Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние вопроса и задачи исследования 10
1.1. О математических моделях в теории пластин и известных численных решениях для прямоугольных пластин с защемленно свободными краями 10
1.2. Основные численные методы решения граничных задач теории пластин . 31
2. Математическое моделирование упругих ребристых пластин 40
2.1. Защемленная по всему контуру прямоугольная пластина с центральным ребром жесткости 40
2.2. Вычисление критерия сходимости, результаты численного эксперимента, анализ сходимости рядов 55
2.3. Защемленная пластина с двумя центральными ребрами жесткости, идущими параллельно сторонам 70
3. Численно-аналитическое решение для пластины, две смежные кромки которой защемлены, а две другие свободны 79
3.1. Физическая и математическая модели. Постановка задачи 79
3.2. Анализ сходимости рядов, входящих в решение. Сходимость итерационного процесса 90
3.3. Результаты численного эксперимента 96
4. Моделирование защемленной пластины под действием поперечной нагрузки, распределенной на малом участке 104
4.1. Физическая и математическая модели задачи 104
4.2. Обоснование метода и построение решения для сосредоточенной силы 106
4.3. Результаты численного эксперимента 113
4.4. Анализ сходимости итерационного процесса и рядов, входящих в решение 117
4.5. Построение решения и численные результаты для нагрузки, распределенной на малом участке 121
Заключение 133
Список основных обозначений 135
Список литературы 136
- Основные численные методы решения граничных задач теории пластин
- Вычисление критерия сходимости, результаты численного эксперимента, анализ сходимости рядов
- Анализ сходимости рядов, входящих в решение. Сходимость итерационного процесса
- Обоснование метода и построение решения для сосредоточенной силы
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В различных областях техники, таких как судостроение, авиастроение, гидротехническое и гражданское строительство, возникает проблема оценки параметров напряженно-деформированного состояния (НДС) прямоугольных пластин как элементов обшивки, судовых переборок, палубного настила и т.п. Эта проблема является важной общенаучной и государственной задачей, особенно при создании уникальных по своей сложности и размерам сооружений. Стремление избежать возможных техногенных катастроф, применение новых материалов, работа конструкций в сложных условиях предъявляют повышенные требования к методам расчета на прочность отдельных элементов и конструкции в целом, а также к достоверности численных результатов, полученных этими методами. Многие приближенные теории и методы решения краевых задач требуют в современных условиях оценки точности полученных результатов путем сравнения с «эталонными» задачами, которые имеют точное решение в замкнутом виде или которое можно получить сколь угодно точно (например, методом последовательных приближений). Создание и применение новых, более точных, методов позволяет также выявить особенности поведения элементов конструкций в отдельных (опасных) точках, где возможны концентрации напряжений. Численные результаты, полученные этими методами, могут быть использованы для снижения металлоемкости различных конструкций и позволяют также «тестировать» другие приближенные методы: метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ) и др.
Математические модели упругих пластин с защемленным контуром, а также пластин, у которых защемлены три, два смежных края или один край, а остальные свободны, приводят к проблеме получения точного решения и поэтому представляют большой интерес для исследования. Указанные пластины, могут быть подкреплены ребрами жесткости между основным силовым набором. Для современного этапа развития авиа- и судостроения, гражданского и промышленного строительства при анализе НДС плоских элементов различных конструкций актуально использование новых численно-аналитических методов, которые направлены на широкое использование компьютерных вычислений.
МКЭ часто считают универсальным методом расчетов на прочность, однако он эффективен для нахождения приближенных решений краевых задач и имеет свои недостатки вычислительного характера. Поэтому и сейчас актуальны аналитические и численно-аналитические методы исследования, когда подстановкой во все условия задачи можно проверить полученное решение. В данной работе используется именно такой метод.
Степень разработанности темы исследования. Математические модели тонких упругих однородных изотропных пластин с защемленно-свободными краями исследовались рядом авторов с помощью различных приближенных методов с той или иной степенью точности численных результатов.
Пластины с ребрами жесткости исследовались, в основном, с помощью дельта-функции энергетическими методами в первом приближении. Здесь следует отметить работы Бубнова И.Г., Галеркина Б.Г., Савина Г.Н., Флейшмана Н.П., Голоскокова Д.П. и др. Мало изучены пластины с двумя смежными защемленными краями и двумя свободными. Пластины, защемленные по контуру, рассматривались в работах Тимошенко СП., Бубнова И.Г., Канторовича Л.В. и Крылова В.И., Папковича П.Ф., Сухотерина М.В. и др.
Во многих работах остается открытым вопрос о достоверности полученных численных результатов, о близости их к точному решению задачи.
Цель работы и задачи исследования.
Цель работы:
использование и дальнейшее развитие итерационного метода суперпозиции исправляющих функций для исследования изгиба плоских элементов различных конструкций, увеличение точности расчетов их НДС, решение с их помощью новых инженерных задач.
Задачи исследования:
-
построение численно-аналитического итерационного процесса суперпозиции исправляющих функций, который позволит получить с высокой точностью решения задач изгиба гладких и ребристых прямоугольных пластин с защемленно-свободными краями;
-
доказательство сходимости итерационных решений к точным решениям;
-
разработка комплексов программ для расчетов НДС;
-
получение достоверных численных результатов НДС указанных прямоугольных пластин, их анализ, сравнение с известными решениями.
-
представление численных результатов в табличной и графической форме для использования проектно-конструкторскими организациями.
Научная новизна. В настоящей работе впервые использован итерационный метод суперпозиции исправляющих функций для математического моделирования ряда задач изгиба ребристых и гладких прямоугольных пластин с защемленно-свободными краями, который позволяет получить решение с высокой точностью с помощью относительно простого алгоритма. Этим методом решены задачи изгиба защемленной по контуру пластины с центральным ребром жесткости; пластины с двумя центральными ребрами жесткости, идущими параллельно сторонам; пластины, две смежные стороны которой защемлены, а две другие свободны; пластины, защемленной по всему контуру и нагруженной на малом участке.
В работе доказана сходимость итерационных процессов к точному решению, составлены комплексы вычислительных программ и получены численные результаты НДС рассматриваемых пластин.
Теоретическая и практическая значимость работы. Используемый метод и полученные им численные результаты расчета НДС могут найти применение в теоретических исследованиях и практических расчетах на прочность плоских прямоугольных элементов различных конструкций в проектно-
конструкторских организациях, а также для решения других задач математической физики, допускающих подобный подход.
Методология и методы исследования. В исследованиях, имеющих теоретический характер, использовались теория пластин; математический аппарат теории числовых рядов и рядов Фурье; интегрального и дифференциального исчисления функции одной и нескольких переменных; решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных; бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.
Численные результаты получены в системе аналитических вычислений Maple по алгоритмам и программам применяемого итерационного метода суперпозиции исправляющих функций.
Положения, выносимые на защиту:
-
практическое применение итерационного метода суперпозиции исправляющих функций для математического моделирования определенного класса задач изгиба прямоугольных пластин с защемленно-свободными краями с высокой точностью; алгоритмы численной реализации метода; комплексы программ для проведения численных экспериментов;
-
доказательство сходимости итерационного процесса к точному решению; доказательство сходимости рядов для функции прогибов и изгибающих моментов.
-
математическое моделирование упругой пластины, защемленной по контуру, с одним и двумя центральными ребрами жесткости;
-
математическое моделирование упругой пластины с двумя смежными защемленными краями и двумя свободными от действия равномерной поперечной нагрузки, а также защемленной по контуру прямоугольной пластины от действия поперечной нагрузки, заданной на малом участке.
Степень достоверности и апробация результатов работы. Все теоретические результаты получены с использованием основных положений теории упругости, теории пластин, теории рядов Фурье, бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, дифференциального и интегрального исчислений. На основании построенных алгоритмов были составлены программы вычисления НДС прямоугольных пластин с защемленно-свободными краями и получены численные результаты в системе аналитических вычислений Maple, которые сравнивались с известными решениями; производился анализ полученных результатов с математической и физической точки зрения, а также исследовалось асимптотическое поведение решения.
Основные положения и результаты, полученные в диссертации, были представлены
-
на IV межвузовской научно-практической конференции студентов и аспирантов «Современные тенденции и перспективы развития водного транспорта России» (2013 г., ФГБОУ ВО «ГУМРФ имени адмирала СО. Макарова», г. Санкт-Петербург, ул. Двинская, 5/7);
-
на V межвузовской научно-практической конференции студентов и аспирантов «Современные тенденции и перспективы развития водного транспор-
та России» (2014 г., ФГБОУ ВО «ГУМРФ имени адмирала СО. Макарова», г. Санкт-Петербург, ул. Двинская, 5/7);
З.на научном семинаре по прикладным задачам механики Института проблем машиноведения РАН (19.02.2015 г., ИПМаш РАН, г. Санкт-Петербург, Васильевский остров, Большой проспект, 61);
4. на научном семинаре кафедры высшей математики Университета ИТ-МО (17.11.2015 г., Университет ИТМО, г. Санкт-Петербург, Кронверкский проспект, д.49).
Реализация результатов работы. Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе ФГБОУ ВО «Государственный университет морского и речного флота имени адмирала СО. Макарова».
Основные научные и практические результаты диссертационной работы доведены до алгоритмов и программных продуктов, на которые получено Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ.
Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 7 научных статей, в том числе 5 статей опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК РФ; получено Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014613491. В статьях, выполненных в соавторстве, доля автора составляет 60%. Автором выполнен основной объем теоретических исследований, получены численные результаты и проведен их анализ и сравнение с известными решениями. Личный вклад автора в публикациях составляет 1, 6 п.л.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка используемых сокращений, списка литературы, включающего 115 наименований, и приложений. Содержание диссертационного исследования изложено на 152 страницах, включает в себя 38 рисунков и 10 таблиц.
Основные численные методы решения граничных задач теории пластин
Решение в работе [51] строится в тригонометрических рядах, содержащих дельта-функцию. В рассмотренных примерах все края или две параллельные считались свободно опертыми. В этой же монографии получено приближенное решение задачи теории изгиба подкрепленных пластин методом Л.В. Канторовича с помощью полиномов специального вида. Подобный подход использовался и в работе [52]. Для решения использовался метод граничных элементов (МГЭ) в сочетании с методом Канторовича-Власова; рассматривались различные условия опирания, в том числе и заделка по всем краям пластины, однако конкретных численных примеров расчета не приводится. В работах Б.К. Михайлова и его учеников [53 55] использовались специальные разрывные функции для расчета ребристых пластин в поста новке (1.5). Кан С.Н., Каплан Ю.И. [56] используют теорию обобщенных функций. Конструкция «пластина-ребра» рассматривается как континуальная, но возможен локальный учет ребер жесткости, входящих в основную конструкцию.
Для расчетов перекрытий важны приближенные методы, которые позволяют значительно уменьшить трудоемкость вычислений, не внося в расчет больших погрешностей, чем погрешность самой модели. Здесь следует отметить метод Ростовцева [57]. Подход автора заключается в замене ребристой пластины (оболочки) на пластину без ребер, но с другими механическими характеристиками (т.е. пластину с заданной анизотропией материала, учитывающей общее изменение жесткости пластины в направлениях расположения подкрепляющих ребер).
Техническая теория ребристых пластин рассматривается в работе [58]. Если помимо поперечной нагрузки на пластину действуют растягивающие или сжимающие усилия в ее плоскости, то деформацию пластины называют сложным изгибом [1]. Наиболее опасно действие сжимающих усилий, которые могут привести к потере устойчивости пластины. Дифференциальное уравнение сложного изгиба имеет вид [1, 59]: DV2V2 W = qa2—T 2, (1.7) дХ дУ где Тх , Ту равномерные сжимающие усилия, приложенные ко всем граням пластины. Здесь также получены решения для случаев, когда, по крайней мере, две параллельные кромки свободно оперты [1, 60 и др.].
Если все кромки пластины жестко заделаны, то задача становится весьма сложной. К первым работам в этой области следует отнести работы [61 - 63], в которых главное внимание было уделено нахождению эйлеровых нагрузок. Наиболее достоверные результаты получены в работе СО. Барышникова и М.В. Сухотерина [59], в которой применялся метод суперпозиции двух гиперболо-тригонометрических рядов. Помимо эйлеровых нагрузок бы ли найдены и вторые критические нагрузки для пластин с отношением сторон 1 и 2. Были получены также и формы устойчивого равновесия пластин в объемном изображении.
Большой интерес вызывают расчеты пластин на упругом основании. В гидротехнике днища камер шлюзов, лежащие на грунте, можно рассматривать как плиты на упругом основании. Днищевые пластины судов, лежащие на кильблоках при ремонте судна, воспринимают от них реактивные давления упругого основания. Дифференциальное уравнение изгиба такой пластины имеет вид [1, 9] DV\2W = q0-pW, (1.8) где - коэффициент постели, характеризующий жесткость основания. В работе [59] решена задача изгиба пластины на упругом основании при условиях жесткого защемления на контуре. При этом также использовался метод бесконечной суперпозиции рядов Фурье, исследовалась сходимость итерационного процесса и получены численные результаты.
В классической теории тонких пластин при выводе соотношений между напряжениями и прогибом игнорируется искажение элементов пластины, вызываемое перерезывающими силами. Пренебрежение этой деформацией приводит к тому, что модуль сдвига Gz = , и пластина фактически не является изотропной. Она не реагирует на кручение, производимое некоторой парой, приложенной к цилиндрической поверхности пластины, если вектор пары совпадает с нормалью к этой поверхности. Это позволило заменить приращение крутящих пар дМ /ду, обусловленных горизонтальными касательными напряжениями по краю пластины, воздействием вертикальных сил Qx, приложенных по тому же краю, и, тем самым, уменьшить число граничных условий с трех до двух.
Вычисление критерия сходимости, результаты численного эксперимента, анализ сходимости рядов
Уравнение изгиба (2.1) есть уравнение С. Жермен -Лагранжа (1.1), записанное в безразмерном виде. Граничные условия (2.2-2.3) выражают условия отсутствия прогибов защемленных кромок и углов их поворота. Условия (2.4) есть условия сопряжения: должны быть равны нулю углы поворота сечения по оси ребра и обобщенные перерезывающие силы Vy . Второе условие
(2.4) является, по сути, уравнением изгиба балки, поперечной нагрузкой для которой является перерезывающая сила со стороны пластины. Заметим, что последнее условие содержит четвертую производную прогиба, что, безусловно, приведет к определенным трудностям при построении решения и получении численных результатов.
Построение решения. Частное решение уравнения (2.1), удовлетворяющее также условиям отсутствия прогибов на всех защемленных кромках, возьмем в виде многочлена четвертой степени: 1 w0 =— о (2.5) -ЫУ2-Ч Заметим, что иной выбор многочлена четвертой степени (например, дающего нулевые прогибы только на двух параллельных кромках) приводит к большим сложностям при анализе сходимости процесса. Функция (2.5) удовлетворяет также и условиям (2.4) в продольном сечении по оси ребра, однако нарушает граничные условия по углам поворота в заделанных сечениях, т.е. порождает «невязки»: +г=-ф2 2уУ (2.6) Функцию (2.5) можно считать начальным приближением задачи. Для того чтобы устранить невязки (2.6) добавим к функции (2.5) еще две функции. Эти функции должны быть бигармоническими, т.е. удовлетворять одно-43 родному уравнению (2.1): V2V2w = 0. Ввиду симметрии пластины и нагрузки относительно оси Оу они также должны быть четными по координате х. Указанные функции были выбраны в виде гиперболо-тригонометрических рядов по двум координатам: і(х,у) = Y,{Akch\x + Bkxsh\x) \y- (2.7) дх4 + дх2ду2 + ду4 Непосредственным дифференцированием нетрудно убедиться, что функции w x,y), w2(x,y) удовлетворяют этому уравнению, т.е. являются бигармони-ческими.
Функция wr(x,y) (2.7) «автоматически» удовлетворяет условию отсутствия прогибов кромки у = 0 (первое условие (2.2)) и условию отсутствия углов поворота сечения у= 1 (первое условие 2.4).
Неопределенные коэффициенты Ак, Вк будут в дальнейшем находиться при удовлетворении условиям на кромках х = ±у 12.
Заметим, что индекс к в функциональном ряду для w x,y) «пробегает» лишь нечетные значения. Этот выбор обусловлен дальнейшим ходом рассуждений.
Функция w x,y) не может компенсировать все исходные невязки от начального многочлена, так как, в свою очередь, сама порождает невязки на гранях у = 0 (второе условие (2.2)) и у = 1 (второе условие (2.4)). Эти невязки должна компенсировать функция w2(x,y).
Функция w2(x,y) (2.8) «автоматически» удовлетворяет условию отсутствия прогибов кромки х = ±r /2 (первое условие (2.3)).
Неопределенные коэффициенты CS, DS, ES, Fs будут в дальнейшем находиться при удовлетворении условиям на краях у = 0, у = 1. Выбор нечетных значений индекса s и множителя (-1)s в ряду w2(x,y) также будет объяснен позже.
Функция w2(x,y) оставляет невыполненным условие отсутствия углов поворота защемленных кромок х = ±у /2 (второе условие (2.3)). Отметим, что гиперболические функции в выражении для w2(x,y) содержат множители у - 1, а не у, что упростило бы выражение в квадратных скобках. Однако выбор этот был сделан с таким расчетом, чтобы получить наиболее простое выражение для прогибов сечения по ребру жесткости. Кроме того при таком выборе более простыми оказались и все последующие преобразования при построении решения.
Функции w1(x,y) и w2(x,y) будем называть исправляющими функциями [108] соответственно 1-го и 2-го видов. Каждая из них точно удовлетворяет лишь части граничных условий задачи, поэтому процесс устранения невязок будет носить характер бесконечного наложения (суперпозиции) пар исправляющих функций w1n(x,y) и w2n(x,y), где п - номер итерации. Этот процесс должен быть сходящимся, т.е. невязки выполнения граничных условий должны убывать с ростом числа итераций и стремиться к нулю. При достижении заданной точности процесс можно остановить.
Идея получения решения в виде суммы функций использовалась многими авторами для линейных задач механики. Например, СП. Тимошенко [9] решил, таким образом, задачу изгиба защемленной по контуру прямоугольной пластины, наложив на прогибы свободно опертой пластины прогибы пластины, подвергнутой действию распределенных по ее краям моментов. Проблема при этом свелась к решению бесконечной системы линейных ал гебраических уравнений относительно коэффициентов гиперболо тригонометрических рядов.
Впервые суперпозицию «неполных решений» в виде бесконечного итерационного процесса использовал В.З. Васильев [106] при решении первой основной задачи для полубесконечного цилиндра. Решение было построено с помощью функций Бесселя.
Для задач изгиба, устойчивости и колебаний прямоугольных пластин метод суперпозиции исправляющих функций успешно применялся в работах М.В. Сухотерина [107, 108].
Следует отметить, что общей теории бесконечной суперпозиции с доказательством сходимости процесса для линейных задач механики не существует. Сходимость метода доказывалась для каждой конкретной задачи. Успешное применение идеи бесконечной суперпозиции основано на удачном выборе исправляющих функций, построении алгоритма их наложения, определении критерия сходимости, построении вычислительного процесса. Итак, обратимся к невязкам (2.6) от начального решения (2.5). Сначала займемся второй невязкой (2.6), которую разложим в ряд Фурье по синусам (можно было исправлять сначала первую невязку (2.6), но это не влияет на решение в силу линейности задачи):
Анализ сходимости рядов, входящих в решение. Сходимость итерационного процесса
Оценим теперь коэффициенты Cs , Ds , Es , Fs исправляющей функции второго вида для первой итерации. В коэффициенты Cs , Ds , которые считаются базовыми, входят выражения as, ts (2.26). Они, в свою очередь, содержат ряды Si и S2 (2.30). С учетом оценок этих рядов получаем as = 0(ln//,/// ), К = {v2Jchns). Тогда для коэффициентов исправляющей функции справедливы оценки С, = 0(\1сН/л,), D, = 0(l/tfchMs), Е, = 0(l/{JschMs), Fs = 0(l/{jsch{js). Наличие гиперболического косинуса в знаменателе означает, что функциональный ряд w2(x,y) сходится быстро, во всяком случае, не медленнее, чем ряд wfay). Результаты численного эксперимента. Подробнее остановимся на вычислении прогибов пластины и получении графической формы ее поверхности.
При G = 0,1 величина прогиба в середине ребра составила w(0;1)=-0,0020022 (уменьшилась по абсолютной величине по сравнению с гладкой пластиной -0, 0025329). Число членов в рядах последовательно принималось равным N = 19, 29, 49, 69, 89, 109, 129, 149, 169, 189, 209. Процесс во всех случаях был сходящимся, однако для совпадения пяти значащих цифр в значениях прогибов двух соседних итераций потребовалось соответственно п = 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60 шагов итерации. Особо отметим, что для каждой пары значений N и п из указанного списка прогибы в контрольных точках совпадали по пяти значащим цифрам. Это значит, что для получения высокой точности решения достаточно ограничится наименьшей парой. В данном случае это N = 19, п = 10. Таким образом, увеличение количества членов в рядах приводило к увеличению числа итераций для достижения заданной точности. Заметим также, что при N 19 наблюдалось снижение точности вычисления прогибов.
Помимо получения трехмерного графика функции прогибов (формы изогнутой поверхности пластины) на печать выводились контрольные значения прогибов в отдельных точках сечения х = 0. Эти значения сведены в табл. 3 для пятнадцати значений относительной жесткости ребра. Там же указано оптимальное количество членов в рядах и число итераций, при которых эти значения достигались.
Табл. 3 показывает, что, начиная с G = 0,3, стала проявляться неустойчивость процесса для больших значений N. Например, при удержании во всех рядах N = 99 членов процесс начал медленно расходиться после первых нескольких итераций. Для G = 0,4 расходимость проявилась уже при 7V=69 и т.д. Это объясняется тем, что невязки на линии ребра в перерезывающих илах имеют медленно сходящийся числовой ряд (см. выражение для оо і2 і 2 tsn), который мажорируется рядом (-1) —Ц. Члены этого ряда с =1,3,... 1%} + jU2) ростом индекса к сначала растут, достигают максимума, а уж затем, убывая, стремятся к нулю. Чем больше значение второго индекса s, тем правее и ниже максимум. Поэтому для надежных результатов следует брать не слишком большие значения индексов.
Критерием выбора оптимального количества членов рядов является сходимость процесса, т. е. убывание невязок выполнения граничных условий. Большое количество членов ряда вызывает накопление погрешностей машинного счета, что, в свою очередь, приводит к неверным результатам. К сожалению, определение оптимального числа членов ряда приходилось делать методом проб, однако этот перебор не занимал много времени.
С ростом относительной жесткости увеличивалось и число итераций для достижения заданной точности вычисления прогибов. Из табл. 3 видно, что при N = 19 число итераций и для G = 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7;.0,8 составило соответственно 15, 25, 40, 60, 90, 160, 500. Заметим, что для больших жесткостей G = 2; 3; 4; 5 в рядах удерживалось пять членов, число итераций для достижения заданной точности росло с ростом жесткости; при большем значении числа членов процесс был расходящимся. В табл. 4 приведены значения прогибов пластины с ребром жесткости G=0.3. На рис. 4 показана типовая форма изогнутой поверхности пластины с ребром жесткости при G = 0,3 и два ее вида со стороны осей координат. Графики показывают, что граничные условия для прогибов и углов поворота выполнены точно. Углы поворота всех четырех кромок в поперечном направлении равны нулю.
Обоснование метода и построение решения для сосредоточенной силы
Наибольшее значение изгибающего момента вблизи угловой точки (0; 1) примерно 0,3. На кромке x = у моменты Mx «0 (граничное условие выполняется). В угловой точке (0; 1) произошел резкий скачок с 0,3 до 0,09. т.е. можно предполагать, что с увеличением количества членов в рядах изгибающий момент Mx —» -оо при JC 0, jv 1. Это подтверждает теоретические выводы о том, что точки перехода от защемленных краев к свободным являются особыми точками. В этих точках из-за резкой смены граничных условий изгибающие моменты бесконечны (в рамках теории тонких пластин), следовательно, бесконечны и напряжения. Вычисления при п = 99; 149; 199 показали, что значения Mx в угловой точке (0; 1) были соответственно 0,155; 0,116; 0,088, т.е. менялись значительно с ростом количества членов в рядах, в то время как в других точках они отличались лишь в 4-5-ом знаках.
Эпюра изгибающих моментов My квадратной пластины при n = 199 и N = 15 Заметим, что (аналогично с Mx) с ростом числа членов в рядах значения изгибающих моментов M в точке (у ,0) стремятся к -, в соответствии с приведенным выше анализом сходимости рядов для изгибающих моментов. Изгибающие моменты Mx и My для квадратной пластины должны в виду симметрии совпадать в соответствующих точках (если координаты х и у поменять местами). Вычисления в контрольных точках подтвердили это совпадение (до 4-5 значащих цифр). Графики Mx и M повернуты друг относительно друга на 90о. В угловой точке заделанных кромок (0, 0) изгибающие моменты Mx =0, My = 0.
Нельзя не отметить тот факт, что увеличение количества членов в рядах (299 и более) требует и увеличения точности машинных вычислений, т.е. удержания в расчетах более 250 значащих цифр. Среда Maple позволяет это делать, однако, многоцикловое суммирование неизбежно приводит к накоплению погрешностей счета и запиранию вычислительного процесса при определенном (большом) количестве членов в рядах. В данной задаче это объясняется тем, что числовые ряды по одному индексу содержат в качестве параметра второй индекс. Например, ряд k , входящий в выра 1,3,...! Л? + /U2 ) жение Ss1 (3.19). Его члены при больших значениях s сначала растут, а затем убывают, начиная с некоторого значения первого индекса к. Этот максимум сдвигается вправо и вниз с ростом второго индекса, и для получения приемлемой точности надо опять увеличивать количество членов в рядах. Поэтому следует остановиться на оптимальном количестве членов, однако мы не можем указать четкий критерий для этого выбора. Многочисленные вычисления показали, что оптимальное число членов в рядах в данной задаче 99; число итераций 15-20.
Вычисления прогибов и изгибающих моментов производились и для пластины с отношением сторон у = 2. Максимальный прогиб имел место в свободной угловой точке и составил - 0,10505. Деформация поверхности представлена на рис. 15, а эпюры изгибающих моментов - на рис.16, 17.
На рис. 18 изображена изогнутая поверхность прямоугольной пластины с отношением сторон (/ = 3). Максимальный прогиб в угловой точке свободных краев составил -0,12052 против - 0,10505 для у = 2 и -0,043605 для у = 1. Таким образом, с ростом прогиб этой точки стремится к значению -0,125, соответствующему прогибу консольной балки-полоски. Например, для пластины с отношением сторон у = 5 максимальный прогиб составил -0, 12351.
Полученное численно-аналитическое решение изгиба прямоугольной пластины, два смежных края которой защемлены, а два других свободны, вычислительный алгоритм и программа вычисления НДС могут быть использованы в практических расчетах плоских элементов судовых, гидротехнических конструкций, а также в гражданском строительстве. Основные результаты данной главы опубликованы в работе автора [113]. Силовой набор корпуса судна (бортовой обшивки, переборок, палубного настила и т. д.), затворов гидротехнических сооружений разделяет плоские панели на прямоугольные элементы, которые можно считать пластинами, защемленными по контуру. На эти элементы могут действовать силы, распределенные на малом участке (в пределе сосредоточенные силы), например, сила реакции стены причального сооружения при неудачной швартовке судна, удары бревен, навал льдин и других предметов. Наиболее опасен с точки зрения прочности случай, когда сила действует в середине пластины.
В данной главе для решения задачи изгиба прямоугольной защемленной пластины используется итерационный метод суперпозиции исправляющих функций. Нагрузка, распределенная на малом участке, разлагается в двойной ряд Фурье. Частное решение и исправляющие функции в виде гиперболо-тригонометрических рядов дают в пределе точное решение.
Рассмотрим прямоугольную пластину (панель обшивки) с размерами ахЪ в плане и постоянной толщиной h (рис.20). Поместим начало системы координат XOY в центр пластины. Будем считать, что сила Р приложена в центре в виде равномерно распределенной нагрузки д(Х,7) на малом прямоугольном участке с размерами и х v.