Математическое моделирование транспорта загрязняющих веществ в прибрежных системах Семенякина Алёна Александровна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Постановка и исследование непрерывных пространственно-неоднородных задач транспорта загрязняющих веществ в прибрежных системах 34

1.1 Обзор и анализ существующих моделей распространения загрязняющих веществ в прибрежных системах 34

1.2 Математическая модель распространения загрязняющих веществ в

1.3 Исследование основных процессов, влияющих на распространение нефтепродуктов в прибрежных системах

1.3.1 Влияние процесса испарения на динамику распространения нефтепродуктов в водной среде 52

1.3.2 Влияние процесса биоразложения на распределение нефтепродуктов в

1.3.3 Влияние процесса осаждения на транспорт нефтепродуктов в

1.3.4 Влияние учета растекания при транспорте нефтепродуктов в водной среде 61

1.4 Математическая модель транспорта нефтепродуктов в прибрежной системе

1.5 Выводы по первой главе 70

ГЛАВА 2. Построение и исследование дискретной модели транспорта нефтепродуктов в прибрежных системах 72

2.1 Дискретная модель транспорта нефтепродуктов з

2.2 Схемы повышенного порядка точности 78

2.3 Исследование схем повышенного порядка точности

2.3.1 Аппроксимация 3-й краевой задачи схемами повышенного порядка точности 83

2.3.2 Консервативность схем повышенного порядка точности 88

2.3.3 Устойчивость схем повышенного порядка точности 2.4 Сопоставление результатов численных расчетов задачи диффузии-конвекции на основе схем второго и четвертого порядков точности 97

2.5 Выводы по второй главе 107

ГЛАВА 3. Разработка методов решения задач транспорта загрязняющих веществ в прибрежных системах 110

3.1 Задача построения карты глубин прибрежной системы на основе методов интерполяции 110

3.2 Численная реализация адаптивного модифицированного попеременно-треугольного метода на основе схем повышенного порядка точности 118

3.3 Применение модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для решения задач транспорта ЗВ 124

3.4 Выводы по третьей главе 129

ГЛАВА 4. Программная реализация моделей транспорта загрязняющих веществ 131

4.1 Программный комплекс «Azov3d» 131

4.2 Модернизированный программный комплекс «Azov3d» 133

4.3 Программная реализация численных алгоритмов решения задач транспорта загрязняющих веществ в прибрежных системах 141 4.4 Параллельная реализация варианта адаптивного модифицированного

попеременно-треугольного метода на МВС 148

4.4.1 Методы расчетов, основанные на декомпозиции области по одному пространственному направлению 150

4.4.2 Оценка ускорения и эффективности параллельной реализации попеременно-треугольного метода 154

4.5 Решение прикладных задач на основе схем повышенного порядка точности 165

4.5.1 Задача построения карты глубин прибрежной системы на основе методов интерполяции 165

4.5.2 Численное моделирование задач распространения загрязняющих веществ в водной среде 167

4.5.3 Задача транспорта нефтепродуктов в прибрежной системе

4.6 Сравнение модернизированного программного комплекса «Azov3d» с подобными работами и натурными экспериментами 181

4.7 Выводы по четвертой главе 187

Заключение 190

Список литературы 195

• Исследование основных процессов, влияющих на распространение нефтепродуктов в прибрежных системах
• Аппроксимация 3-й краевой задачи схемами повышенного порядка точности
• Применение модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для решения задач транспорта ЗВ
• Методы расчетов, основанные на декомпозиции области по одному пространственному направлению

Введение к работе

Актуальность темы. Проблема загрязнения вод является одной из самых важных на сегодняшний день. Ежегодно в акватории водоемов сбрасывается до 400 млрд. кубометров сточных вод, вследствие чего около 5,5 тысяч млрд. кубометров воды постоянно находится в загрязненном состоянии. В связи с возрастанием антропогенной нагрузки на прибрежные зоны водоемов вследствие различных загрязнений реализация условий их устойчивого развития возможна благодаря учету всех факторов и процессов, влияющих на их экологическое состояние. Наиболее негативное влияние на состояние прибрежных систем оказывают выбросы нефтепродуктов, способствующие: растворению в воде токсических веществ; ухудшению физико-химических свойств воды (изменение цвета, вкуса, запаха, замутнение); а также образованию пленки нефти на поверхности и донных отложений водоема, снижению содержания кислорода в воде.

Согласно Федеральному закону от 10.01.2002 г. № 7-ФЗ (с изм. и доп. от 3.07.2016 г., вступ. в силу с 01.01.2017 г.) «Об охране окружающей среды»; Водному кодексу РФ (с изм. от 31.10.2016 г. № 384-ФЗ); распоряжению Правительства РФ от 4.12.2014 г. №2462-р; Постановлению Правительства РФ от 30.12.2003 г. №794 (с изм. и доп. от 26.01.2017 г.) «О единой государственной системе предупреждения ЧС», Постановлению Правительства РФ от 15.04.2002 г. № 240 (с изм. от 14.11.2014 г.) «О порядке организации мероприятий по предупреждению и ликвидации разливов нефти и нефтепродуктов на территории РФ» время принятия решений и устранения ЧС (чрезвычайной ситуации) техногенного или природного характеров должно составлять от нескольких часов до 2 – 3 суток. Поэтому время, отведенное на построение прогнозов экологического состояния прибрежных систем при возникновении ЧС, которое должно быть в 10 и более раз меньше нормативного времени устранения ЧС, может составлять десятки минут.

Анализ научных работ показал, что существующие математические модели транспорта загрязняющих веществ (ЗВ), включая нефть и нефтепродукты, в прибрежных системах не позволяют получать качественных и точных прогнозов распространения в них загрязнений. В связи с этим возникает необходимость в построении новых моделей транспорта ЗВ, включая нефть и нефтепродукты, в прибрежных системах с учетом факторов, оказывающих существенное влияние на распределения загрязнений, для получения достоверных и оперативных прогнозов распространения ЗВ в прибрежных системах.

В связи с этим тема диссертационной работы, посвященная прогнозированию распространения ЗВ в прибрежных системах, является актуальной и имеет важное значение для развития математического моделирования экологической обстановки прибрежных систем.

Степень разработанности темы. Значительное число научных работ российских и зарубежных ученых посвящено контролю и управлению качеством окружающей среды и водных объектов, среди которых труды ученых: Марчука Г.И., Матишова Г.Г., Саркисяна А.С., Лыкосова В.Н., Дымникова В.П., Пененко В.В., Кузина В.И., Маккавеева П.Н., Флинта М.В., Тишкина В.Ф., Ильичева В.Г., Базыкина А.Д., Fay I., Mackay D., Johansen O., Thian-Yew W., Copeland G., Markatos N., Psaltak M. и др.

Предсказательное моделирование при аварийном загрязнении вод осуществляется с помощью программных комплексов и систем прогнозирования, разрабатываемых россий-

скими и зарубежными научно-исследовательскими центрами и организациями: «Seatrack Web» (SMHI, Швеция); SHIO, OSSM, CATS, CNOME Analyst (NOAA, США); пакеты прикладных программ организаций VIMS (США); CWR (Австралия); «Green Sea Ranger» (KRISO, Корея); ИМЭСАМ (Имитационная система экосистемы Азовского моря) (1976 г., 1987 г.); ЭКОМОД (1994г.); комплекс POM (Princeton Ocean Models, 1996 г.); EFDC (The Environmental Fluid Dynamics Code, 1996 г.); GLOBIO3 (Global Biodiversity Model, 2000г.); DYRESM–CAEDUM (2005г.); SALMO (2006 г.); CAEDYM–ELKOM (2008г.); IPH-PCLake (2009 г.); «Mars3d» (2009 г.); CHTDM (Climatic Hydro Termo Dynamic Model, 2011г.); CARDINAL (2012 г.); PHOENICS (2015 г.); Экоинтегратор (2016 г.) и др.

Анализ существующих математических моделей и программных комплексов показал, что они используют значительные упрощения гидрофизических процессов, в том числе не учитывают пространственно-трехмерную структуру движения водной среды, стоки рек, сгонно-нагонные явления, испарение, сложную геометрию дна берега и рельефа дна. Дискретные гидрофизические модели, используемые в существующих комплексах программ, в большинстве случаев оказываются неустойчивыми при значительном перепаде глубин, что типично для прибрежных систем. Сказанное позволяет сделать вывод о необходимости разработки моделей распространения ЗВ с учетом особенностей гидрофизических процессов в прибрежной зоне водоемов.

Немногие работы посвящены параллельной реализации данного класса прикладных задач. При возникновении чрезвычайной ситуации в акватории прибрежной системы вследствие аварийного выброса загрязнений необходимо осуществлять качественный прогноз развития неблагоприятных явлений в течение десятков минут – нескольких часов, что, в свою очередь, требует предсказательного моделирования динамики процессов распространения ЗВ на многопроцессорной вычислительной системе в режиме ускоренного масштаба времени.

Цель диссертационной работы – повышение точности предсказательного моделирования распространения ЗВ в прибрежных системах с учетом факторов: сложная геометрия дна и береговой линии, испарение, стоки рек, пространственная неоднородность и движение водной среды, температурный режим, с учетом микротурбулентной диффузии по вертикальному направлению, на основе системы уравнений Навье-Стокса, включающих уравнения движения по трем координатным направлениям.

Объект исследования – гидрофизические процессы транспорта загрязняющих веществ в прибрежных системах.

Предмет исследования – математические модели, численные методы и библиотеки программ для предсказательного моделирования транспорта загрязнений в прибрежных системах.

Научная задача, решаемая в диссертационной работе – повышение точности моделирования распространения ЗВ в прибрежных системах на основе математических моделей гидрофизических процессов, усовершенствованных численных методов и библиотеки программ с учетом факторов: сложная геометрия дна и береговой линии, испарение, стоки рек, пространственная неоднородность и движение водной среды в трех координатных направлениях, температурный режим, микротурбулентная диффузия; и обеспечение возможности оперативного прогноза распространения загрязнений. Оперативность

прогноза подразумевает выполнение времени нормативов, принятых в МЧС. В случае беспрецедентных загрязнений, не описанных в нормативной базе, время выполнения прогноза должно быть в 10 и более раз меньше длительности моделируемого процесса.

Для достижения поставленной цели требовалось решить перечисленные ниже задачи исследования:

1. Анализ существующих методов и средств предсказательного моделирования динамики распространения вредных веществ в прибрежных системах.

2. Разработка и исследование непрерывных моделей транспорта загрязняющих веществ в прибрежных системах.

3. Разработка дискретных аналогов построенных моделей, обладающих свойствами консервативности, устойчивости и сходимости, а также алгоритмов их решения, обеспечивающих повышение точности прогнозного моделирования.

4. Разработка численных методов решения задачи транспорта загрязняющих веществ в прибрежных системах с целью повышения точности расчетов.

5. Разработка параллельных алгоритмов численной реализации дискретных моделей транспорта загрязнений на высокопроизводительных вычислительных системах.

6. Разработка библиотеки прикладных программ для прогнозирования динамики распределения концентраций вредных веществ в прибрежных системах.

7. Проведение вычислительных экспериментов и исследование результатов моделирования на основе разработанной библиотеки программ.

Методы исследований основаны на применении теории разностных схем Самарского А.А., аппарата уравнений математической физики и функционального анализа. При разработке математической модели транспорта ЗВ использованы неявные схемы повышенного (четвертого) порядка точности, устойчивость которых исследована на основе метода гармоник. Для аппроксимации задачи транспорта ЗВ по временной переменной использованы схемы с весами. Полученные в процессе дискретизации системы сеточных уравнений решены адаптивным модифицированным попеременно-треугольным итерационным методом (МПТМ) вариационного типа. Для повышения точности расчетов использованы схемы, имеющие повышенный порядок точности и учитывающие частичную заполненность контрольных областей, точность которых повышается за счет лучшей аппроксимации границ разделов сред. Разработанные численные методы реализованы на языке C++. Параллельная реализация разработанных алгоритмов выполнена на основе методов декомпозиции по одному и двум пространственным координатным направлениям на многопроцессорной вычислительной системе с использованием библиотеки MPI.

Достоверность и обоснованность научных результатов, полученных в диссертационной работе, обусловлена применением фундаментальных принципов численного решения задач механики сплошной среды, корректностью использования математических методов теории разностных схем, численным анализом построенных математических моделей, а также использованием апробированных специализированных программных сред. Достоверность построенных численных моделей обусловлена проведенными численными экспериментами, а также решением тестовых задач при помощи стандартных пакетов и сравнением результатов моделирования с работами других авторов.

Представленные в диссертации результаты имеют математические обоснования.

Для предложенных конечно-разностных схем: показано, что используемые схемы удовлетворяют основным балансовым соотношениям, определен порядок погрешности аппроксимации; доказана их консервативность и устойчивость. Точность вычислений достигалась за счет: построения схем повышенного порядка точности; применения подробных расчетных сеток, учитывающих частичную заполненность контрольных ячеек; использования реальных физических параметров, полученных на основе компьютерной обработки гидрографической информации глубин водоема.

Соответствие паспорту специальности. Диссертация выполнена в соответствии с требованиями специальности 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Области исследования: 1 – Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений; 3 – Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий; 4 – Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента; 8 – Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.

В области математического моделирования:

1. Разработана непрерывная модель транспорта загрязняющих веществ в прибрежных системах, отличающаяся от известных наличием усовершенствованных гидродинамических характеристик – вектора скоростей и функции давления, которые являются входной информацией для модели транспорта нефтепродуктов.

2. На ее основе построена модель распространения нефтяных загрязнений, отличающаяся от известных учетом: нейтральной и неиспаряющейся псевдофракций нефтяного пятна; испарений легкой фракции; растворения и растекания нефтяного слика; осаждения; диффузии; адвекции и биоразложения.

В области численных методов:

3. Разработаны численные методы решения задач распространения загрязняющих
веществ, отличающиеся от известных использованием конечно-разностных схем
повышенного порядка точности, учитывающих степень заполненности контрольных
ячеек расчетной области.

4. Определены необходимые и достаточные условия устойчивости (ограничения
на шаги времени и координатным направлениям и сеточное число Пекле), а также
условия консервативности разностной схемы четвертого порядка, учитывающей степень
заполненности ячеек, для дискретных аналогов построенных моделей. Определен
порядок аппроксимации дискретной задачи диффузии-конвекции, и доказана сходимость
ее решения к соответствующей поставленной непрерывной задаче.

5. Разработан метод решения построенной дискретной модели транспорта нефти и
нефтепродуктов, отличающийся от известных использованием новой функции рельефа
дна, построенной для задачи восстановления карты глубин водоема на основе
гидрографической информации, которая позволила уменьшить погрешность
восстановления донной поверхности прибрежной системы на 5 – 7% в сеточной нор
ме L₂.

В области создания комплексов программ:

6. Разработан алгоритм и выполнена его параллельная реализация на многопроцессорной вычислительной системе для решения задачи распространения загрязняющих веществ в прибрежных системах, отличающиеся от известных применением адаптивного модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода (МПТМ) для решения систем линейных уравнений с блочно-пяти-и девяти-диагональными матрицами, который является более эффективным по требуемому числу итераций для достижения заданной точности по сравнению с другими известными методами.

7. Разработана библиотека прикладных программ на базе многопроцессорной вычислительной системы, включающая модули численной реализации двухслойных итерационных методов решения сеточных уравнений, возникающих при дискретизации прикладных задач гидрофизики.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Существующие математические модели динамики распространения загрязнений в прибрежных системах не обладают требуемой точностью для своевременного обоснованного принятия оперативного решения по ликвидации последствий распространения вредных веществ в водоеме в заданное время.

2. Разработанная модель транспорта нефти и нефтепродуктов, отличающаяся от известных учетом: нейтральной и неиспаряющейся псевдофракций нефтяного пятна, испарений легкой фракции, растворения и растекания нефтяного слика, осаждения, диффузии, адвекции и биоразложения, повышает точность прогнозирования распространения нефти и нефтепродуктов в прибрежных системах.

3. Разработанные численные методы и алгоритмы решения дискретных задач транспорта ЗВ, полученных на основе конечно-разностных схем, имеющих повышенный порядок точности и учитывающих заполненность контрольных областей, позволяют повысить точность прогнозного моделирования динамики распространения ЗВ в прибрежной системе.

4. Применение модернизированного программного комплекса «Azov3d» на основе объединения разработанных моделей гидробиологии прибрежной системы, численных методов, библиотеки прикладных программ с возможностью его репликации на другие водоемы позволит уменьшить погрешность предсказательного моделирования концентраций биоты и биогенных веществ в прибрежных системах в 1,1 – 1,3 раза.

Теоретическая значимость научных результатов состоит в разработке численных методов, которые позволяют повысить точность математического моделирования распространения загрязнений в водоемах при решении задач транспорта загрязняющих веществ, включая нефть и нефтепродукты, в прибрежных системах.

Разработанный новый метод восстановления рельефа дна прибрежной системы на основе гидрографической информации позволяет получить сглаженное изображение донной поверхности водоема для построения подробных расчетных сеток и, тем самым, повысить точность моделирования задач гидрофизики прибрежных систем.

Практическая значимость работы состоит в разработке и исследовании комплекса взаимосвязанных математических моделей транспорта загрязняющих веществ,

позволяющих более точно, на 10 – 30%, по сравнению с известными моделями, прогнозировать всевозможные сценарии динамики распространения загрязнений в прибрежных системах со сложными пространственными структурами течений.

Разработанные параллельные алгоритмы решения задач транспорта загрязняющих веществ позволяют сократить время расчетов в десятки раз.

Применение модернизированного программного комплекса «Azov3d» на основе объединения разработанных моделей гидрофизики прибрежных систем, численных методов, библиотеки прикладных программ с возможностью его репликации на другие водоемы позволяет проводить оценку и осуществлять прогнозы изменения экологической обстановки прибрежных систем. Данный программный комплекс может быть использован предприятиями и рыбными хозяйствами для получения точных и оперативных прогнозов изменения экологической обстановки прибрежных систем, а также различными организациями, занимающимися охраной природы и окружающей среды, специалистами в области морской гидротехники, строительства прибрежных сооружений и т.д.

Реализация и внедрение результатов работы. По данной тематике были получены и выполнялись: задание № 2014/174 в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки России и программы фундаментальных исследований Президиума РАН №43 «Фундаментальные проблемы математического моделирования» № 606/36157, № 01201461935 (2015 г., 2016 г.); грант РФФИ по проекту № 16-37-00129 (2016 г.); грант РНФ по проекту № 17-11-01286 (2017 г.).

Разработаны: программа для решения сеточных уравнений различными итерационными методами на многопроцессорной вычислительной системе (свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2015616787 от 23.06.2015 г.); программа для решения задачи диффузии-конвекции-реакции на основе схем повышенного порядка точности (свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2015617008 от 26.06.2015 г.).

Результаты диссертационного исследования использовались при выполнении ряда НИР в Научно-исследовательском институте многопроцессорных вычислительных систем им. академика А.В. Каляева Южного федерального университета (НИИ МВС ЮФУ), наиболее значимыми из которых являются:

- «Разработка комплексов моделей, методов и масштабируемого программного
обеспечения для предсказательного моделирования неблагоприятных и опасных явлений
в водных системах на высокопроизводительных вычислительных системах» по заданию
№ 2014/174 в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки РФ
№ 606/36157, № 01201461935 (2015 г., 2016 г.);

- «Разработка и исследование технологии создания ресурсонезависимого приклад
ного программного обеспечения высокопроизводительных вычислительных систем ги
бридного типа», СПС №14.578.21.0006 от 05.06.2014 г., № 114101540025 (2015 г.,
2016 г.).

Результаты диссертации также внедрены в «Научно-исследовательском центре супер-ЭВМ и нейрокомпьютеров» («НИЦ СЭ и НК») при выполнении НИР:

- «Разработка нового поколения программного обеспечения РВС для решения ре
сурсоёмких научно-технических задач различных предметных областей» № НЦ – 160217

(2016 г.).

Материалы теоретических и методических разработок диссертации внедрены в учебный процесс кафедры интеллектуальных и многопроцессорных систем Южного федерального университета, используются в лекционных курсах и при проведении лабораторных работ по дисциплинам: «Современные проблемы прикладной математики и информатики», «Непрерывные математические модели» для подготовки магистров, обучающихся по программе «Прикладная математика для высокопроизводительных вычислительных систем» направления подготовки 01.04.02 «Прикладная математика и информатика».

Апробация работы. Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях Всероссийского и Международного уровней: Международной научной конференции «Философские вопросы естествознания и технических наук» (Таганрог, 2014 г.); Всероссийской научно-технической конференции «Суперкомпьютерные технологии» (Геленджик, 2014 г., 2016 г.); Международной конференции «Численное моделирование прибрежных, шель-фовых и устьевых процессов» (Ростов-на-Дону, 2015 г.); Ежегодной научной конференции студентов и аспирантов базовых кафедр Южного научного центра РАН (Ростов-на-Дону, 2015 г., 2016 г.); 5th International Conference on Informatics, Electronics and Vision (ICIEV) (Dhaka, Bangladesh, 2016 г.); Международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии» (ПаВТ) (Екатеринбург, 2015 г.; Архангельск, 2016 г.; Казань, 2017 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 194 страницах основного текста, включает в себя 33 рисунка, 12 таблиц; состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы, содержащего 150 наименований, четырех приложений.

Исследование основных процессов, влияющих на распространение нефтепродуктов в прибрежных системах

Моделирование прибрежных систем представляет собой сложный процесс. Прибрежные системы, как правило, имеют более сложную, пространственно-неоднородную структуру, в отличие от других водоемов. Разработка моделей экосистем подобных водных объектов невозможна без гидродинамической составляющей. Прибрежные системы, в отличие от мелководных водоемов, характеризуются наиболее выраженным движением водной среды вследствие различных природно-климатических, географических особенностей, ветровыми напряжениями, достаточно большим биологическим разнообразием популяций флоры и фауны водоемов, большими перепадами глубин, наличием различных гидротехнических сооружений. Поэтому для получения качественных результатов прогнозирования распространения ЗВ в прибрежных системах необходимо построение более точных математических моделей, учитывающих вышеперечисленные факторы и особенности данных водоемов.

К числу работ, посвященных математическому моделированию распространения загрязняющих веществ в прибрежных системах, относятся труды российских ученых Матишова Г.Г., Муравейко В.М., Бердникова С.В., Ильина Г.В., Зуева А.Н., Ильичева В.Г., Кравченко В.В. и др. [13, 38, 39].

Важной задачей моделирования распространения ЗВ в прибрежных системах является прогнозирование динамики распределения нефтяных загрязнений в водоемах, которые являются одной из самых вредных и трудноустранимых чрезвычайных ситуаций (ЧС) как для человека, так и для природных экосистем в целом [59]. В настоящее время активно разрабатываются различные системы моделирования последствий аварийных разливов нефти, которые опираются на методы математического моделирования, экологического мониторинга и комплексной оценки состояния экосистемы водоема. В основе этих методик лежат научные работы, посвященные исследованию и управлению состоянием и качеством окружающей среды, ученых: Потапова А.И., Карлина Л.Н., Воробьева В.Н., Музалевского А.А. Также моделированию нефтяных разливов на водной поверхности посвящены научные работы российских и зарубежных ученых Fay I., Mackay D. построили модели, учитывающие временную динамику пятна нефти. Johansen O., Tkalich P.,

Chan E., Дембрицкий С.И., Ларионов А.В., Уртенов М.Х. разработали модели, в которых деформация (удлинение и растекание) нефтяного слика рассматривалась как результат движения капель нефти под действием волн. Thian-Yew W., Copeland G., Markatos N., Psaltak M. предложили модели, в которых учитывается процесс биоразложения. Базыкин А.Д., Ферхюльст П.Ф., Гомпертц Б. разработали методики оценки экологического состояния прибрежно-морских зон и т.д.

Типичным примером прибрежной системы является Азовское море [36]. Оно обладает сложной, неоднородной структурой и нуждается в тщательном и детальном изучении. Береговая линия Азовского моря сильно изрезана. Течения Азовского моря образованы под влиянием большого количества наносов и кос, которые теперь, в свою очередь, сами влияют на эти течения. Помимо рельефа донной поверхности, на течения непосредственное влияние оказывают искусственные гидротехнические сооружения, расположенные в акватории моря.

В основе математических моделей транспорта ЗВ и различного рода примесей и взвесей [66, 126, 146] лежат системы дифференциальных уравнений в частных производных, которые отражают основные законы физики и описывают движение жидкости в прибрежной системе и перенос в ней различных веществ [15, 16, 18, 76]. Большинство моделей транспорта ЗВ в водоемах включают уравнения диффузии-конвекции [110, 143], гидродинамическую составляющую [121], уравнение переноса вещества [88, 89].

Аппроксимация 3-й краевой задачи схемами повышенного порядка точности

В соответствии с вышесказанным, рассмотрим движение частицы в толще воды, имеющую произвольную форму, под действием силы тяжести. Обозначим плотность осаждаемой частицы нефти - рт, жидкости - рж. Учитывая, что на частицу действуют архимедова (подъемная) сила S и сила тяжести G, направленная в сторону, обратную направлению архимедовой силе, запишем следующие выражения, описывающую зависимость данных сил на движение осаждаемой частицы нефти [58]: G = cfpmg, S = с/р , (1.21) где / - размер частицы; сх - коэффициент, который зависит только от формы частицы. Частица перемещается в толще жидкости под действием разности этих сил [5, 6]. При этом со стороны жидкости на частицу также действует сила трения, которая определяется законом Ньютона и зависит от площади поверхности частицы с212: R = с l 2ju—, (1.22) 2 дп где l - размер частицы; ц - коэффициент вязкости жидкости; изменение дп скорости движения жидкости в направлении нормали к поверхности частицы; с2 - коэффициент, учитывающий форму частицы; Для данного случая, в соответствии со вторым законом механики, запишем равнодействующую силу [50]: с 1 l (pn-pж )g-с2l 2ju— = с 1 lpт — . (1.23) дп дт

Выражение (1.23) представляет собой дифференциальное уравнение, описывающее процесс осаждения частицы под действием силы тяжести. Отметим, что при его нахождении не учитывались инерционные силы (это является допустимым для установившегося ламинарного движения).

Закон Стокса. Рассмотрим процесс осаждения частицы, обладающей сферической формой и имеющей диаметр d, при ламинарном движении. Тогда выражение для определения скорости осаждения частицы будет иметь вид: и =—gd (Рт-Рж) . (1 24) о 18 ju Уравнение (1.24) отражает закон Стокса, согласно которому скорость осаждения шарообразных частиц при ламинарном движении пропорциональна квадрату их диаметра, разности плотностей частиц и среды и обратно пропорциональна вязкости среды. Таким образом, рассмотренная информация о процессе осаждения частиц нефти и его скорости непосредственно учитывалась при построении математической модели транспорта нефтепродуктов в прибрежных системах. 1.3.4 Влияние учета растекания при транспорте нефтепродуктов в водной среде

Растекание нефти является одним из важных факторов, которые оказывают влияние на изменение нефтяного пятна при разливе. Равномерное по всем направлениям от центра поля при спокойной воде растекание имеет наибольшую динамику в начальный период разлива. На этой стадии растекание нефти обусловлено, главным образом, действием удельного веса, которому противостоит сила инерции.

После растекания нефти до критической толщины, которая составляет порядка 8 мм, к одним из немаловажных факторов, способствующих распространению нефти в водоеме, становится поверхностное натяжение. С течением времени транспорт нефтяной пленки по поверхности воды затормаживается тонким водным слоем. К моменту, когда толщина нефтяной пленки будет равна толщине водного слоя, вязкость становится главным фактором, препятствующим дальнейшему растеканию, и, таким образом, процесса растекания заметно снижается. В процессе растекания нефть теряет свои летучие и водорастворимые компоненты, что ослабляет тенденцию остаточной нефти, которая характеризуется более высокой температурой застывания и вязкостью, к дальнейшему ее растеканию, несмотря на то, что волнение на море способствует дроблению нефтяного слика на более мелкие части. Таким образом, растекание нефти является самотормозящимся явлением, общая картина которого осложняется образованием эмульсий.

При мгновенном локальном разливе небольшого объема нефти этот процесс представим следующим образом: вначале растекание нефти происходит под действием гравитационных сил и вязкого трения, затем – сил поверхностного натяжения. На определенном этапе процесса растекания действие сил, которые обусловлены поверхностным натяжением, меняет знак и, таким образом, процесс растекания прекращается. Дальнейшее увеличение размеров нефтяной пленки определяется турбулентной диффузией (ветром и течением).

Помимо изучения механизма распространения нефтяного пятна относительно его центра тяжести большую роль в прогнозировании распространения слика играет исследование его движения, которое, в свою очередь, зависит от степени поверхностного волнения, ветра и течений.

Рассмотрим процесс растекания образующегося при аварийном разливе нефтяного пятна на поверхности водоема. Будем предполагать, что данный процесс растекания нефтяного слика по водной поверхности происходит под действием гравитационных сил и вязкого трения. Будем считать основными характеристиками нефтяного слика его радиус и толщину. Воспользуемся уравнением сохранения массы для элементарного объема пятна нефти и уравнением движения. Математическая модель, описывающая процесс растекания нефтяного слика по поверхности воды, в осесимметричном случае представима в виде уравнения сохранения массы:

Применение модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для решения задач транспорта ЗВ

Схемы второго порядка точности зачастую применяются для решения различных задач вычислительной гидрофизики. Однако при решении 3D-модельных экологических задач в областях сложной формы более предпочтительным является применение конечно-разностных схем более высокого порядка точности в виду возрастания погрешности аппроксимации при решении поставленных задач на основе схем второго порядка точности, которая не позволит получить достоверные результаты прогнозного моделирования.

Было установлено, что при использовании традиционных разностных схем (второго порядка точности) для нахождения решения задачи диффузии-конвекции вида (2.1) - (2.3) необходимо взять 30 расчетных узлов, необходимых для описания исследуемого объекта, а при использовании схем четвертого порядка точности - 5 - 6 расчетных узлов на 1 км рассматриваемой области [123]. Также получено, что при использовании схем четвертого порядка погрешности аппроксимации необходимо взять в 2 раза меньше узлов, в отличие от схем второго порядка точности. В этом случае каждый узел будет обрабатываться дольше примерно в 2 раза, т.к. количество операций в узле при использовании схем второго порядка точности меньше, однако точность моделирования будет увеличиваться в 5 - 30 раз в зависимости от сетки и вида решаемой модельной задачи [79]. Таким образом, возникает необходимость в оценке эффективности использования схем второго порядка погрешности аппроксимации для повышения точности предсказательного моделирования распространения ЗВ в прибрежных системах.

Оценим общее время выполнения расчетов для моделирования транспорта загрязняющих веществ в прибрежных системах по формуле: T = N-f(N)-R р где N - общее количество узлов сетки (N = n2, п - количество узлов вдоль одного направления); f(N) - число итераций, будем считать, что f(N) N; R - количество арифметических операций для вычисления значений концентрации ЗВ в узле расчетной области; Р - производительность вычислительной системы. С учетом введенных предположений выражение (2.7) для оценки времени расчетов примет следующий вид: n4-R Т = , (2.8) Р Согласно Постановлению Правительства РФ от 30.12.2003 г. №794 (с изм. и доп. от 26.01.2017 г.) «О единой государственной системе предупреждения ЧС»; Федеральному закону от 10.01.2002 № 7-ФЗ (с изм. и доп. от 3.07.2016 г., вступ. в силу с 01.01.2017 г.) «Об охране окружающей среды»; Постановлению Правительства РФ от 20.08.2000 г. № 613 (с изм. от 14.11.2014 г.) «О неотложных мерах по предупреждению и ликвидации аварийных разливов нефти и нефтепродуктов» время принятия решений и устранения ЧС техногенного или природного характеров должно составлять от нескольких часов до 2 - 3 суток. Поэтому время прогнозирования экологической обстановки водоема является ограниченным. Исходя из этого, положим Т = 2ч = 7200с. Для оценки точности вычислении при решении задачи транспорта нефтепродуктов в прибрежных системах вида (1.2) - (1.4) использовалось решение модельной начально-краевой задачи диффузии-конвекции (2.1) - (2.3), к которой в упрощенном случае сводится поставленная в данной работе задача.

Было установлено, что при заданной погрешности а = 10 6 для схем второго порядка точности необходимо взять около 2000 узлов расчетной области, а для схем повышенного (четвертого) порядка точности при той же погрешности -7У(4)«0,92-103узлов [82].

Выполним оценку требуемой производительности вычислительной системы для нахождения решения поставленной задачи с применением схем второго порядка точности с учетом размеров расчетной области, количества выполняемых итераций при заданном времени моделирования: Р2) « 50PFlops.

Таким образом, получено, что для выполнения расчетов по модельной задаче вида (2.1) - (2.3) на основе схем второго порядка точности требуются достаточно большой объем вычислительных ресурсов, что не позволяет осуществлять предсказательное моделирование даже на небольшой МВС.

Для того, чтобы повысить точность предсказательного моделирования динамики распространения загрязняющих веществ в прибрежных системах при заданном времени прогнозирования, можно: - использовать дорогостоящие высокопроизводительные вычислительные системы с большим (порядка 103 и более) количеством процессоров, однако, в этом случае, будет происходить снижение эффективности; - отказаться от используемых численных методов для решения данного класса задач, что, в свою очередь, является недопустимым;

Методы расчетов, основанные на декомпозиции области по одному пространственному направлению

В данном комплексе привязка к изучаемым объектам осуществляется с помощью модуля баз данных, который включает в себя многолетние данные экспедиционных исследований, проводимых с 2000 года учеными ЮФУ в акватории Азовского моря, а также сведения о физико-географических условиях изучаемого объекта, в данном случае – данные геоинформационной системы (карта Азовского моря с пространственным шагом, равным 5 метрам) [51].

Программный комплекс «Azov3d» имеет универсальный характер, его привязка к условиям конкретных физических объектов осуществляется на уровне входной информации. Поля скоростей водного потока, рассчитанные на основе гидродинамической модели Азовского моря, являются входными данными для модели транспорта ЗВ вида (1.2) – (1.4) и, в частности, модели транспорта нефтепродуктов в прибрежных системах вида (1.29) – (1.31), описанных во второй главе.

Модуль гидродинамики предназначен для построения оперативных прогнозов движения турбулентных потоков полей скоростей водного потока на расчетных сетках с высокой разрешающей способностью. Данный модуль включает гидродинамическую модель Азовского моря и применяется для расчета трехмерного вектора скорости водного потока в Азовском море с учетом следующих физических параметров: сток рек, силы Кориолиса, испарения, сложной геометрии дна и береговой линии, сгонно-нагонных явлений, турбулентного обмена, трения о дно, ветровых напряжений. С помощью данного модуля рассчитываются функций: трехмерного поля скорости водного потока; поля скорости водного потока без учета давления; гидростатического давления, используемого в качестве начального приближения для гидродинамического давления; гидродинамического давления.

Входными параметрами данного модуля являются: размеры расчетной сетки, шаги по пространству, погрешность решения сеточных уравнений, рассматриваемый интервал времени, интенсивность испарения, начальные распределения компонент вектора скорости движения водной среды и давления.

Модуль распространения загрязнений в прибрежных системах, входящий в модернизированный программный комплекс, предназначен изучения и расчета значений концентраций ЗВ в прибрежных системах для заданных пользователем значений времени, а также для расчета соответствующих площадей загрязнения с определением их пространственных характеристик.

Модуль распространения ЗВ в прибрежных системах включает в себя совокупность разработанных в диссертации математических моделей, описывающих процесс распространения загрязняющих веществ в прибрежных системах: модель транспорта ЗВ вида (1.2) – (1.4), модель транспорта нефтепродуктов вида (1.29) – (1.31). Данный модуль позволяет, задавая временной интервал от начала выброса загрязнений, моделировать динамическую картину распространения ЗВ в акватории водной среды в виде профилей концентрации загрязнений и их расположение на координатной плоскости. При прогнозировании распространения нефтепродуктов в прибрежных системах учитываются испаряющиеся легкие фракции нефти, а также неиспаряющиеся тяжелые псевдофракции нефтяного слика.

Разработанная на базе многопроцессорной вычислительной системы библиотека прикладных программ, включающая численную реализацию двухслойных итерационных методов, позволяет решать сеточные уравнения, возникающие при дискретизации различных прикладных задач гидрофизики. Библиотека программ содержит реализации следующих методов: Якоби, скорейшего спуска, Зейделя, минимальных поправок, верхней релаксации, адаптивного МПТМ вариационного типа.

Программный комплекс «Azov3d» допускает внедрение новых расчетных блоков (модулей). В частности, в данный комплекс был встроен разработанный программный модуль (библиотека прикладных программ) решателей СЛАУ, а также построенные математические модели, который используется при программной реализации численных методов для решения задач транспорта ЗВ в прибрежных системах.

Численные алгоритмы реализованы на языке высокого уровня C++. Разработанные их параллельные аналоги реализованы на многопроцессорных вычислительных системах (МВС) ЮФУ с использованием технологии MPI [106]. Таким образом, модернизированный программный комплекс позволяет: – применять разработанные методы для решения различных прикладных задач гидрофизики, включая задачи распространения ЗВ; – проводить комплексный мониторинг экологического состояния прибрежных систем сложной формы; – выполнять точные и достоверные прогнозы возможных последствий ЧС, связанных с загрязнением акватории прибрежных систем загрязняющими веществами (в том числе и нефтью), в условиях реального и ускоренного масштабах времени;