Содержание к диссертации
Введение
1 Теоретическое описание и методы математического моделирования процессов воздействия электронного облучения на полярные диэлектрики 14
1.1 Модельные представления инжекционных и полевых процессов воздействия электронных пучков на диэлектрические материалы 15
1.1.1 Краткие аспекты использования методов растровой электронной микроскопии для анализа и модификации свойств полярных диэлектриков 16
1.1.2 Применение метода Монте-Карло для математического моделирования транспорта электронов в облученной мишени 20
1.1.3 Основные подходы к моделированию тепловых эффектов и процесса зарядки диэлектриков при электронном облучении 25
1.2 Базовые концепции численного моделирования отклика физических систем на сосредоточенные энергетические воздействия в стационарных и нестационарных условиях 34
1.2.1 Общая постановка задачи моделирования конвективно-реакционно-диффузионных процессов 37
1.2.2 Обзор конечно-разностных методов решения многомерных уравнений типа «конвекция-диффузия» 40
1.2.3 Аппроксимация, устойчивость, сходимость и монотонность вычислительных схем 47
1.2.4 Математическое моделирование эволюционных систем с запаздыванием 54
1.3 Выводы по главе 58
2 Математическое обеспечение для системы моделирования процесса электронно-индуцированной зарядки полярных диэлектриков 61
2.1 Концептуальная постановка задачи математического моделирования процесса зарядки полярных диэлектриков 61
2.2 Подходы к формализации физико-математической модели 63
2.3 Аналитическое задание функции внутреннего источника при решении полевых задач 69
2.3.1 Стохастическая модель расчета транспорта электронов в облученной мишени 69
2.3.2 Аппроксимация функциональной зависимости потерь энергии электронами 79
2.4 Математическая постановка задачи моделирования нестационарной зарядки диэлектриков электронным зондом 81
2.5 Модификация математической модели эволюционного процесса зарядки полярных диэлектриков с учетом эффекта запаздывания 83
2.6 Контрольные проверки корректности математической модели 87
2.7 Основные результаты и выводы 89
3 Вычислительные схемы и алгоритмы расчета характеристик процесса динамической зарядки полярных диэлектриков в условиях электронного облучения 92
3.1 Гибридная вычислительная схема для реализации динамической модели зарядки полярных диэлектриков 93
3.1.1 Алгоритм расчета методом Монте-Карло траекторий электронов в облученном материале. Задание функции источника 93
3.1.2 Конечно-разностная схема решения диффузионно-реакционно-дрейфового уравнения 95
3.1.3 Решение локально-мгновенного уравнения Пуассона 104
3.1.4 Расчет компонент векторов напряженности и поляризации, стимулированных электронным облучением 107
3.2 Аппроксимация, устойчивость, сходимость и монотонность вычислительной схемы 107
3.3 Модификация конечно-разностной схемы для реализации модели динамической зарядки с запаздыванием 113
3.4 Формальное представление алгоритма моделирования процесса зарядки диэлектриков 118
3.5 Основные результаты и выводы 119
4 Комплекс программ компьютерного моделирования процессов инжекции и зарядки в облученных электронами полярных диэлектриках и результаты вычислительных экспериментов 121
4.1 Описание модульного комплекса программ 122
4.1.1 Спецификация требований программного обеспечения 122
4.1.2 Структура и режимы работы программного комплекса 125
4.2 Проверка адекватности результатов моделирования 132
4.2.1 Верификация на основе сравнения данных моделирования с известными результатами для тестовых задач 133
4.2.2 Проверка практической сходимости вычислительных схем 137
4.2.3 Компьютерное моделирование стационарного процесса зарядки сегнетоэлектриков с использованием инструментария COMSOL Multiphysics 142
4.3 Вычислительные эксперименты и анализ результатов расчета характеристик процесса электронно-индуцированной зарядки сегнетоэлектриков 145
4.3.1 Объекты вычислительного эксперимента. Инициализация параметров моделирования 145
4.3.2 Результаты стохастического моделирования транспорта электронов и спецификация функции источника зарядов 151
4.3.3 Закономерности зарядки сегнетоэлектриков при модификации доменной структуры электронным зондом (по данным модельного эксперимента) 155
4.4 Основные результаты и выводы 163
Заключение 165
Библиографический список 167
Приложение А. Акт внедрения в учебный процесс результатов диссертации 182
Приложение Б. Копии свидетельств об официальных регистрациях программ для ЭВМ 183
- Применение метода Монте-Карло для математического моделирования транспорта электронов в облученной мишени
- Стохастическая модель расчета транспорта электронов в облученной мишени
- Аппроксимация, устойчивость, сходимость и монотонность вычислительной схемы
- Структура и режимы работы программного комплекса
Введение к работе
Актуальность темы. Методы математического моделирования и разработка систем компьютерного моделирования - обязательные составляющие в широком спектре научных исследований, в том числе при изучении условий модификации перспективных материалов внешними потоками энергии. Одна из приоритетных в этом направлении – проблема изучения и обоснования основных законов и механизмов воздействия электронного облучения на функциональные диэлектрики в связи с применением методов растровой электронной микроскопии для диагностики и модификации свойств таких материалов. Несмотря на значительный прогресс в развитии экспериментальных методик, анализ многих важных эффектов взаимодействия электронного облучения с диэлектриками по-прежнему представляет собой сложную экспериментальную задачу, поэтому информацию о поведении физических систем зачастую получают на основе математических моделей.
Современные подходы к математическому моделированию динамических процессов взаимодействия электронных пучков с диэлектриками основываются на обширном арсенале методов. Основными классами математических моделей, применяемых для решения такого рода прикладных задач, как правило, являются дискретно-стохастические модели, описывающие транспорт электронов, и непрерывно-детерминированные модели, позволяющие проводить расчет полевых эффектов инжектированных зарядов. Методики расчета и программные реализации моделей транспорта и эмиссии электронов в наноструктурных и объемных функциональных материалах представлены в исследованиях D.C. Joy, А.Ф. Аккермана, R. Renoud, D. Drouin, M. Akarsu, O. Ozbas, E. Napchan, В.С. Кортова, H. Zhang и др. Для математического моделирования основных характеристик процесса зарядки диэлектриков на практике часто применяют детерминированный подход (J. Cazaux, G.M. Sesler, K. Ohya, A. Melchiger, D.S.H. Chan, М.В. Андрианов, С.С. Борисов и др.), в том числе сеточные методы реализации диффузионно-дрейфовых моделей (H. Suga, H. Tadokoro, M. Kotera, С.В. Поляков, B. Raftari и др.). Вычислительные схемы для решения многомерных эволюционных задач математической физики могут быть построены на базе экономичных методов расщепления, концепции которых были сформулированы Г.И. Марчуком, Н.Н. Яненко, Д. Писменом, Г. Рэчфордом, А.А. Самарским, В.М. Ковеня, С.К. Годуновым, Дж. Дугласом. Основы сеточных методов моделирования конвективно-диффузионных систем приводятся в базовых обзорах А.А. Самарского, S.V. Patankar, K.W. Morton, W. Hundsdorfer, развиты в трудах П.Н. Вабищевича, В.Г. Зверева, Tony W.H. Sheu, Z. Buckova и др. Теоретический базис конечно-разностных методов решения функционально-дифференциальных уравнений с частными производными заложен в работах B. Zu-bik-Kowal, P.J. Van Der Houwen, X.Lu, C.R. Jin, А.В. Кима, C.V. Pao, В.Г. Пименова, А.Д. Мышкиса и адаптирован для решения уравнений параболического типа с запаздыванием в работах Y.F. Jin, J.A. Ferreira, Z.B. Zhang, L. Turyn, D. Li, А.В. Ле-комцева, P. Garcia, J.A. Martin и др.
Однако многие вопросы, касающиеся интегрированных математических моделей, вычислительных алгоритмов и систем моделирования неравновесных процессов в полярных диэлектриках, облученных электронами, до сих пор остаются открытыми. Специфика рассматриваемых проблем вызывает необходимость развития
подходов к математическому и компьютерному моделированию корпоративных эффектов инжекции электронов и зарядки полярных диэлектриков, их адаптации для прогнозирования свойств материалов. В частности, дальнейшего анализа требует математическая модель электронно-индуцированной зарядки полярных диэлектриков, которая включает уравнения с частными производными, допускающие нелинейные режимы и запаздывание по времени, специально заданные граничные условия и функцию внутреннего источника, соответствующую физическому процессу.
Объектом нашего исследования являются математические модели динамических диффузионно-реакционно-дрейфовых процессов в открытых физических системах, предметом исследования – математическая модель динамической зарядки полярных диэлектриков в условиях электронного облучения.
Цель диссертационной работы – разработка специального математического, алгоритмического и программного обеспечения для моделирования и последующего анализа динамики процесса зарядки в полярных диэлектриках при электронном облучении.
Для достижения поставленной цели был сформулирован и решен ряд научных задач:
-
Развитие подхода к численному моделированию нестационарного процесса электронно-индуцированной зарядки полярных диэлектриков на основе конструирования эффективной вычислительной схемы реализации математической модели.
-
Разработка модифицированной математической модели эволюционного процесса зарядки полярных диэлектриков с учетом эффекта запаздывания по времени и конструирование вычислительного алгоритма для ее реализации.
-
Синтез алгоритмов стохастического моделирования транспорта электронов в облученной мишени и расчета характеристик процесса зарядки полярных диэлектриков.
-
Разработка интегрированного комплекса программ для компьютерного моделирования полевых эффектов в диэлектриках на основе реализации гибридной вычислительной схемы.
-
Проведение с помощью разработанной системы компьютерного моделирования вычислительных экспериментов по комплексному исследованию закономерностей процесса зарядки типичных сегнетоэлектриков, находящихся в неравновесных условиях электронного облучения.
Методы и средства решения научных задач. В работе использована общая методология математического и компьютерного моделирования. Вычислительные схемы решения многомерных начально-граничных и краевых задач математической физики строились с применением метода расщепления. Для оценок области взаимодействия пучка с мишенью и аппроксимации функции источника использованы метод Монте-Карло и метод наименьших квадратов. Для создания комплекса программ на основе разработанных алгоритмов применена среда программирования Matlab. Верификация отдельных результатов моделирования проведена на платформе COMSOL Multiphysics.
Новизна исследования определяется следующими его результатами: 1. Предложена гибридная вычислительная схема реализации математической модели нестационарного процесса электронно-стимулированной зарядки полярных диэлектриков, основанная на расчете методом Монте-Карло транспорта электронов
в облученной мишени и конструировании процесса решения диффузионно-реакционно-дрейфового уравнения с использованием модификации экономичного метода переменных направлений.
-
Предложены авторская математическая модель динамической зарядки диэлектриков в присутствии эффекта запаздывания и вычислительный алгоритм для реализации модели, построенный с использованием эффективной схемы расщепления.
-
Проведен синтез вычислительных алгоритмов для реализации комплексной системы дискретно-стохастического моделирования процессов инжекции электронов и непрерывно-детерминированного моделирования зарядки диэлектриков.
-
Разработан программный комплекс, интегрирующий модули расчета электронных траекторий и характеристик процесса зарядки. Разработанное программное приложение предоставляет возможности для автоматизации проводимых вычислений, экспорта данных, обработки результатов с одновременной трехмерной визуализацией характеристик процесса в установившемся и динамическом режимах.
-
С использованием технологии математического моделирования и на основе вычислительных экспериментов впервые проведены комплексные исследования характеристик процесса зарядки (распределение потенциала, напряженности поля и поляризации) для ряда сегнетоэлектриков при параметрах, соответствующих режимам управляемого переключения под действием электронного зонда.
Теоретическая и практическая значимость. Решение поставленных в диссертации задач имеет важное значение для развития системно-комплексного подхода в задачах математического моделирования рассматриваемых физических систем, включающего набор взаимосвязанных этапов (формулировка физической модели и математическая постановка задачи моделирования; алгоритмизация и синтез вычислительных схем дискретно-стохастической модели транспорта электронов и непрерывно-детерминированной модели полевых эффектов инжектированных зарядов; программная реализация интегрированной системы моделирования; верификация и анализ результатов вычислительного эксперимента, нацеленного на всесторонний учет специфических откликов моделируемых систем).
Разработанные в диссертационной работе алгоритмы, вычислительные средства и система компьютерного моделирования позволяют проводить комплексный анализ динамики инжекционных эффектов в полярных диэлектриках и могут стать основой для прогнозирования закономерностей поведения исследуемых систем по данным вычислительного эксперимента. В частности, полученные результаты способствуют решению задач идентификации процессов и интерпретации откликов, наблюдаемых в методиках доменной инженерии – при управляемом формировании полярного состояния сегнетоэлектриков под действием электронного луча.
Математические модели и программные средства, разработанные в диссертации, используются в учебном процессе ФГБОУ ВО «Амурский государственный университет» при выполнении научно-исследовательских работ, в курсовом проектировании, при написании выпускных квалификационных работ студентами, обучающимися по направлениям подготовки «Прикладная математика и информатика» (уровни бакалавриата и магистратуры).
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Математическая модель процесса зарядки диэлектриков при электронном облучении может быть эффективно реализована на основе гибридной вычислительной
схемы, предполагающей дискретно-стохастический расчет транспорта электронов и численное решение дифференциальной задачи с использованием предложенной модификации метода переменных направлений.
-
Сформулированная математическая модель предоставляет возможность формализации процесса зарядки диэлектриков в присутствии эффекта запаздывания. Сконструированный вычислительный алгоритм, базирующийся на сеточном решении функционального диффузионно-реакционно-дрейфового уравнения, служит основой реализации математической модели и разработки комплексной системы компьютерного моделирования процессов зарядки.
-
Разработанный программный комплекс, интегрирующий приложения по компьютерному моделированию транспорта электронов и характеристик зарядки, позволяет с применением технологии вычислительного эксперимента проводить исследования закономерностей полевых эффектов в полярных диэлектриках с учетом вариации режимов и условий электронного зондирования.
Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность полученных результатов подтверждается использованием фундаментальных принципов при построении математических моделей физических процессов, корректными физико-математическими постановками задач, обоснованностью принятых ограничений, применением современных апробированных численных методов и средств компьютерного моделирования, согласованием полученных результатов с частными результатами других авторов и с решениями эталонных задач для предельных режимов.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на следующих научных мероприятиях: XIV Международной научной конференции им. А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (Томск, 2015 г.); Asia-Pacific Conference on Fundamental Problems of Opto- and Microelectronics, (Хабаровск, 2016 г.); Всероссийской молодежной научной конференции «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование» (Благовещенск, 2014 г., 2017 г.); XXVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-28» (Саратов, 2016 г.); XVII региональной научно-практической конференции «Молодежь XXI века: шаг в будущее» (Благовещенск, 2016 г.); Всероссийской заочной научно-практической конференции «Математическое и экспериментальное моделирование физических процессов» (Биробиджан, 2015-2017 гг.); 7-й научно-практической Internet-конференции «Междисциплинарные исследования в области математического моделирования и информатики» (Ульяновск, 2016 г.); XXV Международной научно-технической конференции «Прикладные задачи математики» (Севастополь, 2017 г.); Международной молодежной научно-практической конференции «Моделирование. Фундаментальные исследования, теория, методы и средства» (Новочеркасск, 2017 г.). Результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научно-методических семинарах кафедры «Математический анализ и моделирование» Амурского государственного университета.
Связь работы с научными темами и программами. Основные результаты диссертационной работы были получены автором при проведении исследований, выполнявшихся в 2014-2017 гг. в рамках научных тем: проект НИР № 1158/2014 «Исследование электрических и тепловых процессов в неоднородных диэлектрических системах» – выполнение государственной работы «Проведение научно-
исследовательских работ (фундаментальных научных исследований, прикладных научных исследований и экспериментальных разработок)» в рамках базовой части государственного задания вузу на 2014-2016 гг. (№ гос. рег. НИР: 114030440030); инициативная НИР ФГБОУ ВО «АмГУ» «Разработка численных алгоритмов исследования и компьютерное моделирование физических систем» (№ гос. рег. НИР 01201251796) в 2014-2015 гг.; инициативная НИР ФГБОУ ВО «АмГУ» «Разработка систем компьютерного моделирования процессов неравновесного воздействия концентрированных потоков энергии на функциональные материалы» (№ гос. рег. НИР АААА-А16-116033010062-3) в 2016-2018 гг., а также по темам, поддержанным грантами «Исследовательский проект» ФГБОУ ВО АмГУ в 2016-2017 гг.
Публикации и личный вклад автора. По материалам диссертации опубликованы 24 работы, в том числе 4 статьи в ведущих рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК РФ (одна из которых входит в ядро Web of Science: Science Citation Index Expanded (база по естественным наукам)); 4 статьи в реферируемых изданиях, цитируемых международными базами Web of Science и Scopus; 4 статьи в региональных изданиях; 12 материалов докладов в сборниках международных, всероссийских и региональных конференций. Получены два свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.
Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором лично или в соавторстве, при его непосредственном участии. Выбор направлений исследования, постановка прикладных задач и формализация математических моделей, анализ результатов моделирования осуществлены совместно с научным руководителем. Разработка вычислительных схем и алгоритмов, проектирование и программная реализация системы компьютерного моделирования, постановка и проведение вычислительных экспериментов проведены автором самостоятельно. Совместные работы опубликованы при определяющем вкладе соискателя в представленные исследования. В статье [3] И.А. Ковальскому принадлежит часть работы по разработке программного модуля; в публикации [6] Т.К. Барабаш принадлежит модель формирования тока переключения поляризации сегнетоэлектрика в условиях электронного облучения; в работе [24] А.В. Сивунову принадлежит методика расчета тепловых эффектов воздействия электронного зонда на полярные материалы; соавторы других публикаций принимали участие в проведении отдельных расчетов, тестировании комплекса программ, частичной обработке результатов.
Соответствие паспорту специальности. Научные результаты, полученные в рамках диссертации, соответствуют трем пунктам паспорта специальности 05.13.18 – «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (физико-математические науки).
П.4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента – в части разработки и реализации гибридной вычислительной схемы для математической модели процесса зарядки, основанной на расчете транспорта электронов методом Монте-Карло и численном решении диффузионно-реакционно-дрейфового уравнения с запаздыванием модифицированным методом переменных направлений, в виде комплекса программ, предназначенного для постановки и проведения вычислительных экспериментов.
П.5. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента – в части аналитических исследований и прогнозирования на основе данных вычислительных экспериментов характеристик процесса электронно-индуцированной зарядки типичных сегнетоэлектриков при значениях управляющих параметров модели, соответствующих методикам растровой электронной микроскопии.
П.8. Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования – в части разработки интегрированной системы компьютерного 3D-моделирования ин-жекционных и полевых эффектов воздействия электронного облучения на полярные диэлектрики.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка. Рукопись диссертации содержит 181 машинописную страницу основного текста, 37 рисунков, перечень литературы из 201 наименования.
Применение метода Монте-Карло для математического моделирования транспорта электронов в облученной мишени
Решение полевых задач - расчет характеристик процесса зарядки и тепловых процессов воздействия электронных пучков на исследуемые материалы - требует спецификации области взаимодействия электронного зонда с веществом и задания внутреннего источника в объекте. В связи с этим приведем базовые концепции математического моделирования транспорта электронов в облученной мишени, а также подходы к математическому моделированию полевых эффектов, стимулированных инжекцией электронов.
Математические модели процессов взаимодействия пучка электронов с облучаемой мишенью могут быть реализованы с использованием метода статистических испытаний или метода Монте-Карло [29]. Моделирование на основе метода Монте-Карло занимает одну из ведущих позиций в теории и практике математической формализации стохастических систем, отклик которых можно предсказать только в вероятностном смысле. В настоящее время известен широкий ряд математических моделей сложных физических систем, для реализации которых успешно применяют метод статистических испытаний [30, 31, 32, 33].
Одним из важнейших приложений метода Монте-Карло является имитация на ЭВМ случайных процессов рассеяния и потерь энергии электронами в твердых телах. Имитационное моделирование транспорта электронов методом случайных блужданий позволяет получить подробную информацию о характерных процессах: геометрии области взаимодействия пучка с мишенью, глубине инжекции, коэффициенте вторичной электронной эмиссии, координатной зависимости функции потерь энергии электронами и др. Интерес многих исследователей к моделированию случайных блужданий методом Монте-Карло обусловлен стремительным развитием информационных технологий и программного обеспечения вычислительных систем. Усовершенствование характеристик микропроцессоров и увеличение объемов оперативной памяти позволяют реализовывать имитационные 3D-модели транспорта электронов, анализировать механизмы процесса рассеяния электронов, прогнозировать эффекты последействия электронного облучения на материалы различного функционального предназначения.
На сегодняшний день известен большой ряд научных работ, посвященных разработкам, программным реализациям и практическому применению метода Монте-Карло для моделирования транспорта электронов в конденсированных средах, c учетом специфики исследуемых сред, режимов экспериментального наблюдения, симметрии и размерности задачи, теоретических основ, лежащих в основе физических моделей процессов [18, 34, 35, 36, 37, 38, 39]. Для моделирования методом Монте-Карло электронных траекторий в облученных материалах и исследования процессов инжекции электронов в твердотельной среде группы исследователей различных направлений предлагают авторские программные комплексы, - например, NISTMonte, WinXRay, Penelope [40], CASINO [41], MC-SET [42] и др.
Применение метода Монте-Карло для моделирования электронных траекторий в облученной мишени базируется на следующих положениях [3, 34]. Рассматриваются элементарные акты взаимодействия отдельных электронов с образцом. Каждый электрон, обладая в начальный момент времени некоторой энергией старта E0, попадает на поверхность мишени, в точку с заданными координатами. С точкой падения луча, как правило, связывают начало системы координат, в которой производится моделирование. Энергия старта пропорциональна значению ускоряющего напряжения и измеряется в кэВ (например, для ускоряющих напряжений 10 кВ энергия старта пучка равна 10 кэВ). Как было отмечено выше, электрон может испытать взаимодействия упругого типа с атомами вещества или неупругого типа. Вследствие случайных блужданий электрон может быть отражен также обратно из образца. Вид взаимодействия определяется на основе случайных распределений. Для вычисления новой координаты при изменении позиции электрона полагают, что электрон после акта рассеяния в некоторой текущей точке проходит расстояние st с энергией Et. Считается, что электрон между промежуточными положениями перемещается вдоль прямой линии.
Позиция электрона рассчитывается также с помощью случайных распределений и вычисления значений углов рассеяния сог, ф,-: сог - азимутальный угол, ф,- - угол отклонения. Для получения случайных распределений достаточно воспользоваться встроенными генераторами случайных чисел, которые встроены практически во все современные программные оболочки. Расчет траектории и потерь энергии производится для каждого электрона. Алгоритм метода Монте-Карло заканчивает работу, когда величина энергии уменьшится до некоторого порогового значения Eth, при которой электрон уже не может вызывать ионизацию.
С использованием выражения (1.1) вводят величину длины свободного пробега электрона или среднее расстояние, которое преодолевает частица между актами взаимодействия. Значение полной длины свободного пробега оказывается меньше минимального среди значений величин средних длин свободного пробега (из числа реализуемых взаимодействий) [3].
Одним из важнейших шагов алгоритма при реализации модели инжек-ции электронов в твердые тела является определение характеристик процесса (координат и значения энергии) при упругом и неупругом рассеянии электрона [41]. Упругое рассеяние реализуется в итоге соударений электронов высоких энергий с ядрами атомов, частично экранированных связанными электронами. При этом электрон меняет направление скорости v , а абсолютное значение его скорости Ivl и значение кинетической энергии остаются неизменными. Объекту передается энергия менее 1 эВ, которая является малой величиной по сравнению с энергией старта пучка (1-40 кэВ). Угол отклонения при упругом взаимодействии срг изменяется в диапазоне от 0 до 180, но его типичное значение составляет 5. В качестве сечения можно использовать сечение по модели Резерфорда [6, 35, 43].
Исследования значений сечений рассеяния, по данным работ [34, 35, 36], показывают зависимость от атомного номера облучаемой мишени и энергии старта электронов, при этом сечение пропорционально квадрату атомного номера Z и обратно пропорционально квадрату энергии Е0. Поскольку длина свободного пробега обратно пропорционально зависит от сечения рассеяния, при уменьшении значения Z и возрастании Е0 средняя длина свободного пробега будет увеличиваться. Как следствие, вероятность упругого рассеяния будет больше в материалах с большим атомным номером и при меньших значениях энергии электронов [34].
Как описано в работах [36, 43, 44], сечение Резерфорда дает плохую аппроксимацию при рассеянии электронов на значительные углы при энергии 1 кэВ. Для полного сечения рассеяния предлагается [44] использовать сечение Мотта.
Неупругое рассеяние возникает благодаря задействованию множества дискретных процессов, при которых с различной интенсивностью передается энергия твердотельной мишени. Во всех случаях происходит изменение энергии падающего электронного пучка. Поскольку сечения рассеяния частных процессов рассчитать затруднительно для всех анализируемых объектов, в алгоритме стохастического моделирования транспорта электронов можно рассмотреть интегральный эффект от всех неупругих процессов, создающих «непрерывные потери энергии». В частности, можно использовать соотношение Бете для непрерывных потерь энергии, которое учитывает совокупный эффект [3, 34, 35].
Процессы рассеяния упругого и неупругого типов конкурирующие. При упругом взаимодействии электрон получает другое направление движения, отличное от первоначального, а далее либо продвигается по своей траектории на определенную глубину, либо отражается из образца. При неупругом взаимодействии последовательно уменьшается энергия электрона, тем самым инициируется его «торможение» в объекте.
Можно выделить важнейшие закономерности, которые могут быть получены из результатов симуляции транспорта электронов в облученной мишени методом Монте-Карло. В первую очередь это геометрия области взаимодействия пучка с объектом. При решении полевых задач данная информация служит основой для интерпретации геометрии внутреннего источника тепла и зарядов [18]. Во-вторых, прямое моделирование электронных траекторий в их статистической совокупности позволяет оценить размеры области инжекции и функцию потерь энергии электронами в объекте, что также востребовано при решении задачи моделирования процессов зарядки и теплопроводности. В-третьих, аналитическое задание функции источника может быть уточнено при наличии информации о коэффициенте вторичной электронной эмиссии [45], оцененном по отношению числа эмитированных электронов к общему числу падающих электронов.
Известно множество соотношений, позволяющих оценить глубину проникновения электронов в образец при исследовании последних методами РЭМ: длина пробега по Бете, экстраполированная глубина проникновения, максимальная глубина проникновения и т.п. В числе эмпирических соотношений наиболее известными являются выражения, основанные на экспериментальном факте – значение максимальной глубины проникновения электронов в материал R находится в степенной зависимости от энергии электронов E0 с показателем степени n от 1.2 до 1.7.
Стохастическая модель расчета транспорта электронов в облученной мишени
Динамическая 3Б-модель транспорта электронов в твердых телах при облучении электронным зондом РЭМ базируется на физической модели однократных взаимодействий электронов с веществом. Метод моделирования электронных траекторий представляет собой вариацию метода Монте-Карло.
В вычислительной схеме предполагалось, что электрон, обладающий некоторой энергией старта Е0, падает перпендикулярно плоскости поверхности образца (под углом 90 к осям х и у, под углом 180 к оси z) в некоторую точку Р0 облучаемой области, как показано на рисунке 2.2. Облучаемое пятно на верхней грани образца определяется окружностью с диаметром d.
Электрон может испытывать упругие или неупругие соударения и может быть отражен обратно из образца. Взаимодействие упругого типа приводит к изменению направления движения электрона без изменения его энергии, неупругого – к уменьшению энергии при незначительном изменении траектории. В результате упругого рассеяния электроны отклоняются от первоначального направления движения, и рассеяние в объеме объекта приводит к образованию области взаимодействия пучка с образцом.
Тип взаимодействия определяется с помощью генерирования псевдослучайных чисел с использованием возможностей программной среды. Результатом работы генератора чисел случайных является число R, равномерно распределенное на интервале (0, 1).
Принимая во внимание закономерности упругого и неупругого рассеяния электронов в приповерхностной части кристалла и в основном объеме образца [182], будем считать процессы упругих и неупругих соударений не равновероятными. Весь объем образца плоскостью, параллельной плоскости XOY, разделим на две части в соотношении 5 % и 95 % соответственно. Для организации случайных блужданий в верхней части образца (1/20 часть объема материала) расширим доверительный интервал для неупругого взаимодействия, принимая Л є (0.2; 1). Соответственно для упругого взаимодействия Л є (0; 0.2). При расчете траектории электрона в нижней части объекта (занимающей объем, равный 95 % объема образца) увеличим вероятность упругого взаимодействия, расширив интервал аналогичным образом.
После установления, какой вид взаимодействия рассеяния электрона имеет место в точке Pt, нужно определить следующее местоположения электрона. Для нахождения углов будем использовать следующую методику. Найдем сог - азимутальный угол и ср - угол отражения, которые будут определять направляющие косинусы, т.е. направление движения электронов.
Как известно, упругое рассеяние электронов является результатом столкновения электронов с ядрами атомов бомбардируемой мишени. Электрон меняет направление движения, отклоняясь от прежнего направления движения на угол ф. При этом угол ф может принимать значения от 0 до 180, но его типичное значение имеет порядок 10. Доказано [34], что для актов упругого соударения происходит отклонение на углы больше 2. Зафиксируем диапазон варьирования значений угла отклонения ф при упругом взаимодействии [2,30]. В расчетной схеме примем, что углы отклонения генерируются в диапазоне [2, 10] с большей вероятностью, равной 0.8, а углы из диапазона (10;30] - с меньшей, равной 0.2 соответственно. При неупругом взаимодействии отклонение электрона происходит на малый угол ф, значение которого много меньше значения ф при упругом рассеянии. Определим промежуток для генерации случайного значения ф в этом случае как [0,2].
Азимутальный угол ю вычислим, используя схему случайного выбора с равномерно распределенным на интервале (0,1) случайным числом R: = 2-n-R.
Замыкая математическую постановку задачи (2.12) заданием начального условия (предыдущее значение энергии электрона), получим начальную задачу для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Эта задача должна быть решена на каждом шаге и для каждой итерации (каждой истории отдельного электрона). Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (2.12) на каждом шаге решалась численно с использованием метода Рунге-Кутты IV порядка точности.
Расчет траектории и потерь энергии на ее длине для каждого электрона производится до тех пор, пока величина его энергии вследствие неупругого рассеяния не уменьшится до энергии электронов в твердом теле или до произвольной пороговой энергии, которая обычно инициализируется как энергия, при которой моделируемые процессы не проявляются. Так, например, при энергии #,-0.05 кэВ электрон уже не может больше вызывать ионизацию. Имитационная модель реализуется для достаточно большого числа Ne историй электронов, статистическая совокупность которых является достаточной для модельного представления области взаимодействия пучка с мишенью. Как правило, прослеживается от 1000 до 10000 историй электронов [41, 42]. Для экономии вычислительных затрат визуализации будет подлежать устанавливаемое число электронов N (число N e должно быть кратно числу N).
Для организации блужданий электрона получим соотношения, определяющие изменение его траектории. Согласно общей концепции алгоритма, в точке падения Pt электрон отклоняется от предшествующего направления на угол ф и далее поворачивает против часовой стрелки на азимутальный угол ю. После этого электрон изменит направление движения, и его позиция будет определена точкой Рт. На рисунке 2.2 показана схематическая интерпретация изменения траектории электрона.
Аппроксимация, устойчивость, сходимость и монотонность вычислительной схемы
Аппроксимация. Для определения порядка аппроксимации схемы расщепления, построенной на основе модификации метода переменных направлений для уравнения непрерывности, воспользуемся операторным представлением исходного уравнения
Заметим, что все введенные конечно-разностные операторы имеют второй порядок аппроксимации по координате (для производных и первого, и второго порядка). Первые пять слагаемых в правой части последнего выражения (в совокупности с аппроксимацией производной по времени) аппроксимируют дифференциальные операторы аналогично схеме Кранка-Николсона с порядком 0[х2+h2 при h2 = h2 + /22. Все остальные слагаемые дают ошибку аппроксимации дифференциальной задачи. Оценим порядок аппроксимации каждого из слагаемых, используя разложение в ряд Тейлора.
Отметим, что итоговая математическая постановка задачи включает уравнение Пуассона, которое решается методом установления на каждом временном шаге. При решении этого уравнения используется также метод переменных направлений и конструируется схема с порядком точности Oiz2+h2Y где т - шаг по «фиктивному» времени (шаг по времени соответствует одной итерации в методе установления). Общая постановка задачи (2.37)-(2.39) содержит, кроме того, граничные условия II рода. При аппроксимации производных в граничных условиях, как было показано выше, использованы выражения со вторым порядком точности Oih2), 0[h2\.
Поэтому порядок аппроксимации задачи в граничных узлах не ниже порядка аппроксимации во внутренних узлах. Таким образом, описанная выше вычислительная схема, имеет глобальный порядок аппроксимации 0[х2 +h2\ при h2 = /zf + /z2, т.е. второй - по переменным г, z и времени t.
Устойчивость. Исследуем на устойчивость по начальным данным сконструированную вычислительную схему для уравнения непрерывности (3.2)-(3.3). Для исследования устойчивости воспользуемся принципом максимума [95, 132] и рассмотрим дифференциально-операторное представление подсхем (3.22) и (3.23). Из последнего, выстраивая цепочку равенств вплоть до начального условия, получим искомую априорную оценку (3.24).
Поскольку неравенство (3.24) будет выполняться при любых соотношениях шагов по координате и времени, то согласно достаточному условию, которое дает принцип максимума, схема (3.2)-(3.3) и ее операторный аналог (3.22)-(3.23) абсолютно устойчивы.
Абсолютно устойчивой является и схема решения уравнения Пуассона, сконструированная по общепринятой для метода переменных идеологии.
Решение смешанной краевой задачи, а именно наличие условий Неймана вдоль двух границ расчетной области, не оказывает влияния на устойчивость сконструированной схемы. В работе использована схема с фиктивными узлами на границах, аппроксимация же граничных условий II рода конечно-разностными аналогами второго порядка точности позволяет исключить фиктивные узлы из рассмотрения, записав аппроксимацию дифференциальной задачи.
Таким образом, уравнения результирующей системы автоматически учитывают граничные условия. Это означает, что конечно-разностная схема, сконструированная на основе идеологии метода переменных направлений, аппроксимирует исходную дифференциальную задачу со вторым порядком точности по координате и времени и абсолютно устойчива. Как было отмечено в первой главе, из аппроксимации и устойчивости следует сходимость вычислительной схемы.
Монотонность. Одним из важнейших пунктов анализа конструируемых конечно-разностных схем является исследование монотонности.
Литературный анализ в первой главе показал, что наличие дрейфового (конвективного) слагаемого в диффузионно-реакционно-дрейфовом уравнении и его аппроксимация требуют дополнительного анализа, в частности, для задач с преобладающим дрейфом (конвекцией) или с слабой диффузией для которых число Пекле Pe 1. Так, использование центрально симметричных формул аппроксимации производной первого порядка в конвективном слагаемом налагает ограничения на монотонность схемы для обеспечения отсутствия осцилляций в численном решении. Использование противопотоковой схемы (аппроксимация производной первого порядка «левой» разностью) дает монотонную схему, но только первый порядок аппроксимации по координате. В нашем случае предложена модификация схемы переменных направлений на основе аппроксимации дрейфового слагаемого на текущем временном подслое с использованием схемы Роберта Вейсса. В первой главе также отмечено, что анализ условия монотонности схемы сопряжен с исследованием условия выполнения принципа максимума.
В отношении конечно-разностных схем, заданных (3.2) и (3.3) (и их частных аналогов, представленных в цепочке соотношений (3.4)-(3.15)), исследование можно провести, воспользовавшись трактовкой принципа: диагональное преобладание будет выполнено, если будет выполнено условие отрицательности внедиагональных элементов. Рассмотрим анализ монотонности, выбрав для определенности подсхему I (для подсхемы II анализ строится аналогичным образом), заданную (3.7) в записи трехточечного разностного уравнения второго порядка
Анализ коэффициентов (3.28) свидетельствует о выполнении требования принципа максимума при любых соотношениях коэффициентов. Поэтому сконструированная схема (3.2)-(3.3) монотонна. Конечно-разностная схема (3.19)-(3.20) для решения уравнения Пуассона в силу математической постановки ограничений на монотонность также не имеет.
В целом можно отметить, что основным достоинством сконструированной схемы является ее абсолютная устойчивость при относительной простоте алгоритмизации и программирования, монотонность, а также второй порядок точности по времени, причем этими же характеристиками обладает и схема решения уравнения Пуассона. Однако конечно-разностная схема, построенная для уравнения типа «конвекция реакция-диффузия» с использованием центрально-симметричных аппроксимаций конвективных слагаемых, имеет ограничения на монотонность.
Структура и режимы работы программного комплекса
Исходя из задач, предъявляемых к программному комплексу, его структуру можно представить в виде модульной архитектуры, показанной на рисунке 4.1. Функциональные элементы комплекса можно разделить на две основные части:
– «Моделирование транспорта электронов в облученной мишени» – блок, отвечающий за расчет траекторий электронов в диэлектрической мишени и за анализ области взаимодействия электронов с образцом (аппроксимация геометрической формы и аналитического задания функции источника);
– «Моделирование процесса электронно-стимулированной зарядки» – блок расчета характеристик процесса зарядки (объемная плотность зарядов, потенциал и напряженность поля, компонента электронно-стимулированной поляризации).
При запуске приложения выводится основное окно интерфейса программы (рисунок 4.2), содержащее главное меню, позволяющее моделировать транспорт электронов в облученной мишени и вызывать подпрограммы моделирования процессов зарядки диэлектриков в стационарном и нестационарном режимах.
Модуль расчета транспорта электронов позволяет визуализировать область взаимодействия электронного пучка с мишенью и осуществлять аппроксимацию нормированной функции потерь энергии электронов при заданных параметрах вычислительного эксперимента, соответствующих геометрическим размерам, диэлектрическим характеристикам модельного образца и режимам сканирования в РЭМ.
Основная группа элементов интерфейса – область вывода графиков и настроек. В области «Параметры вычислительно эксперимента» требуется инициализация параметров:
– «Материал образца»: позволяет выбрать материал исследуемого образца из списка данных;
– «Толщина металлического электрода»: настройка размера слоя электрода, мкм (0 – электрод отсутствует);
– «Материал электрода»: выбор материала электрода (медный, серебряный, золотой);
– «Энергия»: начальная энергия электронов, кэВ (соответствующая по значению ускоряющим напряжениям зонда, кВ);
– «Диаметр зонда»: задание значения диаметра облучаемой области (линейный размер пятна на поверхности), мкм;
– «Поверхностная плотность инжектированных зарядов»: задание значения поверхностной плотности зарядов (в соответствии со значениями тока зонда, времени облучения и площади пятна на поверхности), Кл/м2.
Для пополнения банка данных новыми материалами в интерфейсе предусмотрено меню «Редактор материалов». Вид данного окна интерфейса показан на рисунке 4.3. При нажатии кнопки «Редактировать» появляется окно, позволяющее добавлять, редактировать и удалять материалы из созданной базы.
В области «Параметры симуляции транспорта электронов методом Монте-Карло» требуется задание:
– «Количество историй электронов»: общее количество электронов для симуляции;
– «Количество визуализируемых электронов»: количество отображаемых траекторий при визуализации.
Кнопка «Старт симуляции» запускает процесс расчета области взаимодействия электронного пучка с образцом, как показано на рисунке 4.2. В окне визуализируются результаты вычислений: электронные траектории – 3D и двумерная визуализация; распределение потерь энергии (двумерное представление); профиль распределения потерь энергии по глубине объекта. В области «Характерные величины» выводятся параметры аппроксимации функции источника, установленные методом наименьших квадратов.
На рисунке 4.4 показан интерфейс подпрограммы моделирования процесса стационарной зарядки диэлектриков при электронном облучении. Подчиненная оконная форма содержит группы: «Параметры моделирования», «Параметры управления вычислительным процессом», «Расчет характеристик зарядки».