Математическое моделирование нестационарных неизотермических процессов в движущихся многофазных средах Ермолаева Надежда Николаевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Моделирование неустановившихся турбулентных течений смеси газов при сверхвысоких давлениях по морским газопроводам

1.1. Обзор математических моделей течения газа по магистральным газопро

1.2. Особенности транспортировки газа по морским газопроводам в северных морях. Математическая модель неустановившихся неизотермических турбулентных течений смеси газов по морским газопроводам 23

1.3. Уравнение состояния многокомпонентной газовой смеси 27

1.4. Модели термодинамических процессов в газовой смеси при сверхвысоких давлениях 38

1.5. Стационарные и нестационарные модели теплообмена газа с окружающей средой через многослойную стенку морского газопровода 52

1.6. Модель установившихся режимов транспортировки газа. Программный комплекс «SGTM» расчета установившихся режимов. Практические рекомендации по выбору температуры и давления газовой смеси на входе в газопровод 66

1.7. Идентификация параметров модели транспортировки газа по морским газопроводам, программный комплекс «PIGTM» 78

Глава 2. Моделирование процессов теплообмена в многослойных областях и динамики их оледенения в морской воде

2.1. Физическая постановка задачи оледенения внешней поверхности морского газопровода 89

2.2. Экспериментальные данные о процессах оледенения в пресной и в мор ской воде з

2.3. Обзор подходов к аналитическому и численному решениям задач стефа-новского типа 99

2.4. Оледенение цилиндрической поверхности в морской воде (модель ill), численные и аналитические решения

2.4.1. Математическая модель Л1, численное решение 107

2.4.2. Метод расчета теплофизических характеристик нарастающего морского льда и оценки эффективных параметров модели 115

2.4.3. Квазистационарное приближение, численное решение 122

2.4.4. Приближение тонкого слоя, аналитические решения 126

2.5. Оледенение многослойной стенки цилиндра в морской воде (модель ЛЛ),

численные и аналитические решения 129

2.5.1. Математическая модель ЛЛ, алгоритм численного решения 130

2.5.2. Приближенные нестационарные и квазистационарные модели ЛЛ.11, ЛЛ.1, алгоритмы численного решения 140

2.5.3. Приближение тонкого слоя, аналитические решения 149

2.6. Плоская задача оледенения многослойной области в морской воде, численные и аналитические решения 152

2.7. Чувствительность моделей оледенения к вариациям параметров. Выводы по копьютерному моделированию по программному комплексу «Лед» процессов теплообмена и нарастания льда в морской воде 160

Глава 3. Алгоритм численного решения системы уравнений модели неустановившегося турбулентного неизотермического течения смеси газов при сверхвысоких давлениях по морским газопроводам с учетом оледенения

3.1. Обзор численных методов решения одномерных нестационарных задач о 3.2. Численное решение задачи одномерного неустановившегося течения смеси газов при сверхвысоких давлениях по морским газопроводам с учетом оледенения на основе схемы Лакса-Вендроффа 176

3.3. Программный комплекс «SGPITM». Решения модельных задач

3.3.1. Расчет неустановившегося режима течения при изменении отбора газа на конце газопровода расчет режима заполнения газопровода 192

3.3.2. Расчет режима заполнения газопровода 196

3.4. Оценка влияния рельефа трассы прокладки морского газопровода на характеристики потока. Практические рекомендации 198

Глава 4. Моделирование расширяющегося сферического жидкого слоя в условиях невесомости

4.1. Физическая модель одного из вариантов создания космического зеркала за бортом космической станции 205

4.2. Математическая модель процесса расширения жидкого сферического слоя в условиях невесомости 207

4.3. Численное решение системы уравнений математической модели 216

4.3.1. Вывод дифференциального уравнения, описывающего закон изменения внутреннего радиуса R(t) слоя 216

4.3.2. Прямая и обратная задачи динамики расширения жидкого слоя 219

4.3.3. Расчет полей скорости и давления в жидком слое 220

4.3.4. Анализ дифференциального уравнения, описывающего закон изменения R(t) 227

4.3.5. Методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение прямой задачи в начале процесса расширения жидкого сферического слоя 230

4.3.6. Новая модифицированная явная схема численного решения жесткого нелинейного неавтономного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка 238

4.3.7. Выводы из проведенных расчетов решения прямой задачи в начале процесса расширения 240

4.4. Асимптотическое решение приближенного сингулярно-возмущенного уравнения, моделирующего динамику расширения жидкого слоя при 241

4.4.1. Решение прямой задачи на конечной стадии процесса расширения 241

4.4.2. Выбор момента t перехода к асимптотическому решению 246

4.4.3. Расчет обыкновенного дифференциального уравнения, моделирующего динамику расширения жидкого слоя, на всем интервале времени 248

4.5. Тепловые процессы в расширяющемся сферическом слое жидкости 249

4.5.1. Математическая модель остывания сферического слоя жидкости 249

4.5.2. Численное решение тепловой задачи в эйлеровых координатах для подвижной изменяющейся сетке 251

4.5.3. Модель поведение средней по слою температуры 256

4.5.4. Приближенное аналитическое решение ряда вариантов математической модели тепловых процессов в расширяющемся слое жидкости 263

Заключение 266

Список обозначений 271

Список литературы

• Особенности транспортировки газа по морским газопроводам в северных морях. Математическая модель неустановившихся неизотермических турбулентных течений смеси газов по морским газопроводам
• Оледенение цилиндрической поверхности в морской воде (модель ill), численные и аналитические решения
• Программный комплекс «SGPITM». Решения модельных задач
• Расчет обыкновенного дифференциального уравнения, моделирующего динамику расширения жидкого слоя, на всем интервале времени

Введение к работе

Актуальность темы. Мощность современных компьютеров и стремительное развитие вычислительных методов обусловили возрастающую роль математического моделирования в решении фундаментальных научных и прикладных задач. Математическое моделирование нестационарных неизотермических процессов в движущихся многофазных средах охватывает широкий круг современных прикладных задач. В диссертации представлено решение двух крупных практических задач, имеющих важное значение в развитии страны: созданы математическая модель нестационарного неизотермического течения смеси газов по протяженным подводным газопроводам в северных морях и математическая модель нестационарных неизотермических процессов, лежащих в основе одного из вариантов создания космических зеркал. Совместное рассмотрение этих задач определяется общностью проблем математического моделирования.

Проектирование морских газопроводов, оценка состояния эксплуатируемых, исследование вопросов безопасности и влияния морских газопроводов на экологическую ситуацию в акватории требуют создания адекватных математических моделей транспортировки газа по морским газопроводам. Начало исследований течения газа в трубах положено в классических работах Г. Н. Абрамовича, И. А. Чарного, И. П. Гинзбурга, Л. Г. Лойцянского, Л. И. Седова, Р. И. Нигматулина, С. К. Годунова, Ю.В. Лапина, Л. Прандтля, Т. Кармана, И. Никурадзе, А.Дж. Рейнольдса, Г. Шлихтинга и многих других ученых. Большую роль в моделировании магистральных газопроводов сыграли работы А. Д. Альтшуля, О.Ф. Васильева, А.Ф. Воеводина, Э.А. Бондарева, М.А. Каниболотского, И. Е. Идельчика, С. А. Сарданашвили, М.Г. Сухарева, В. В. Алешина, Г. С. Клишина, С.Н. Пряло-ва, В. Е. Селезнева. Несмотря на множество работ, посвященных моделированию газопроводов, и на широкое распространение таких пакетов, как Fluent, «Star-CD» (Великобритания), «ANSYS CFX» (США), «OLGA» (Норвегия), моделирование транспортировки газа по морским газопроводам далеко от завершения, в северных морях моделирование осложняется необходимостью учета возможного нарастания морского льда на поверхности газопровода.

Актуальность создания математической модели расширения сферического слоя в условиях невесомости следует из возрастающей роли возобновляемых источников энергии, среди которых важную роль играет солнечная энергия. С начала 90-х годов 20 века рассматривается вопрос об использовании солнечной энергии, улавливаемой c помощью космических зеркал. В проектах DOE NASA космические зеркала предлагалось использовать как составную часть космической электростанции, не меньшая роль отводилась им и в освещении районов Земли в ночное время. В эти же годы в Государственном Оптическом Институте им. СИ. Вавилова исследовалась возможность создания космических зеркал из полых сфер большого диаметра, создаваемых вблизи космических летательных аппаратов. Для специально синтезированного материала были проведены успешные наземные испытания получения полых сфер, диаметр которых был ограничен из-за

влияния силы тяжести. При реализации этого проекта обнаружился ряд трудностей, одной из которых явился выбор режима расширения жидкого слоя, обеспечивающего достижение необходимых размеров сферической оболочки в условиях невесомости за короткий промежуток времени. Интерес к этим задачам не ослабевает и в наши дни. Создание математической модели расширения жидкого слоя в условиях невесомости, позволяющей заменить натурный эксперимент в космосе компьютерным, по-прежнему актуально.

Цель диссертационного исследования заключается в создании математических моделей процессов, лежащих в основе транспортировки смеси газов по морским газопроводам в северных морях и математической модели формирования в невесомости полых сфер большого диаметра, а также в проведении вычислительных экспериментов по созданным программным комплексам, позволяющих ответить на фундаментальные и прикладные вопросы, встающие при реализации этих проектов. Достижение этой цели потребовало решения следующих задач.

1. Провести анализ существующих математических моделей неустановившихся течений смеси газов в трубах.

2. Обосновать выбор термодинамической модели для многокомпонентной смеси газов при сверхвысоких давлениях в широком диапазоне изменения температуры. Вывести калорическое уравнение и зависимости всех термодинамических величин от плотности и температуры смеси газов.

3. Исследовать допустимость использования квазистационарного приближения при моделировании нестационарных процессов теплообмена потока газа с окружающей морской водой.

4. Создать модель течения и программный комплекс, позволяющие рассчитывать установившиеся режимы течения с учетом влияния рельефа трассы, состава газовой смеси, конструкции газопровода. Исследовать область допустимых значений давления и температуры на входе в газопровод.

5. Исследовать подходы к расчету таких параметров модели п. 4, как коэффициент гидравлического сопротивления и суммарный коэффициент теплообмена. Решить задачу идентификации этих параметров по экспериментальным данным.

6. Создать математическую модель нарастания льда на поверхности в морской воде, учитывающую особенность процесса образования льда в соленой воде. Рассмотреть возможность моделирования динамики оледенения в терминах средних по слою льда теплофизических характеристик.

7. Создать математическую модель, вычислительный алгоритм и программный комплекс расчета тепловых процессов и процессов нарастания льда на многослойной стенке цилиндрического газопровода в морской воде.

8. Исследовать допустимость использования в моделях транспортировки смеси газов по морским газопроводам в северных морях квазистационарного и приближенного вариантов модели п. 7.

9. Создать общую математическую модель процессов транспортировки смеси
газов по морским газопроводам, позволяющую для неустановившихся режимов
учесть рельеф трассы, сверхвысокие давления, состав газовой смеси, конструкцию
газопровода, нестационарность процессов теплообмена и динамику нарастания
морского льда на внешней поверхности газопровода в северных морях.

10. Разработать вычислительный алгоритм и программный комплекс расчета по математической модели п. 9.

11. Решить модельные задачи заполнения газопровода и выхода на новый установившийся режим эксплуатации на основе компьютерного моделирования по программному комплексу п. 10.

12. Создать математическую модель процесса сферически симметричного расширения слоя жидкости в условиях невесомости и модель поведения внутреннего радиуса слоя при разных режимах подачи газа.

13. Разработать алгоритмы решения гидродинамической и тепловой части модели расширения слоя жидкости, создать на основе этих алгоритмов программу расчета внутреннего радиуса слоя, полей давления, скорости и температуры в слое в процессе его расширения.

Научная новизна и теоретическая значимость работы определяется представленными новыми математическими моделями нестационарных неизотермических процессов в движущихся многофазных средах. Анализ различных термодинамических моделей поведения смеси газов при сверхвысоких давлениях, а также сравнительный анализ использования в модели транспортировки смеси газов различных уравнений состояния, дает основу для выбора адекватного описания термодинамических процессов в широком диапазоне реальных условий.

Расчет коэффициента гидравлического сопротивления по полуэмпирическим уравнениям Коулбрука–Уайта или Альтшуля не гарантирует точности его определения в реальных условиях. Полученное в диссертации решение задачи идентификации по экспериментальным данным коэффициента гидравлического сопротивления и суммарного коэффициента теплообмена позволяет верифицировать расчет этих трудноопределяемых величин.

Предложена новая математическая модель динамики оледенения поверхности в морской воде, включающая модифицированное условие Стефана и методику выбора средней по слою солености нарастающего морского льда и расчета его средних теплофизических характеристик. Обоснована возможность описания процесса нарастания морского льда в терминах средних теплофизических характеристик в условиях ограниченности интервала изменения температуры и толщины слоя льда. Эта математическая модель может быть использована для широкого круга задач о нарастании морского льда.

Научный интерес представляет исследование допустимости перехода от нестационарной модели тепловых процессов и процесса оледенения к ее приближенному и квазистационарному вариантам.

Ценность полученных аналитических решений ряда задач о нарастании льда на многослойной стенке газопровода состоит в возможности с их помощью оценки достоверности и приемлемой точности численных решений систем нелинейных уравнений в частных производных, моделирующих процессы теплообмена и оледенение газопровода.

Созданная новая математическая модель и алгоритм ее численного решения, реализованный в виде программного комплекса, позволяет рассчитать в неустановившихся режимах поведение давления, температуры, плотности, скорости потока и динамику нарастания морского льда при транспортировке смеси газов по морским газопроводам в северных морях.

Предложен новый алгоритм решения жесткого неавтономного нелинейного дифференциального уравнения, моделирующего поведение внутреннего радиуса движущегося и изменяющегося слоя жидкости, расширяющий аппарат решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод асимптотического решения нелинейного сингулярно возмущенного уравнения, моделирующего изменение внутреннего радиуса расширяющегося слоя жидкости, обогащает приложение теории дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной.

Научный интерес представляет созданная новая математическая модель процесса расширения слоя жидкости в условиях невесомости и алгоритм расчета этого процесса для разных режимов подачи газа.

Практическая значимость работы обусловлена ее ориентацией на научно обоснованное решение двух крупных задач, имеющих важное практическое значение в развитии страны. Исследования диссертации явились продолжением научно-исследовательских работ, начатых в СПбГУ в рамках договоров с ОАО «ГИПРОСПЕЦГАЗ» по расчету транспортировки газа от Штокмановского газоконденсатного месторождения в Баренцевом море, а также в рамках договора с Государственным Оптическим институтом им. СИ. Вавилова по расчету процесса получения полых сфер большого диаметра в условиях невесомости, предполагаемого использовать в технологии получения космических зеркал.

Созданные в диссертации новые математические модели процессов транспортировки газа по морским газопроводам в северных морях и программные комплексы «SGTM», «PIGTM», «Лед» и «SGPITM» вносят весомый вклад в разработку отечественных программных продуктов по моделированию процессов в нефтегазовой отрасли и в решение задач освоения Арктики.

Математическая модель и алгоритмы расчета внутреннего радиуса слоя и полей давления, скорости и температуры в слое жидкости при его расширения в невесомости позволяют оценить реализуемость проекта создания космических зеркал, определить требования к материалу слоя и к тепловому экранированию для поддержания температуры слоя выше температуры затвердевания материала. Эти результаты имеют практическое значение при разработке новых технологий использования солнечной энергии.

Созданные в диссертации модели нестационарных неизотермических процес-

сов в движущихся многофазных средах и алгоритмы численного решения систем уравнений этих моделей вошли в учебные дисциплины «Гидродинамика», «Основы моделирования движущихся сплошных сред», «Методы анализа устойчивости численных схем решения нелинейных задач» факультета ПМ-ПУ СПбГУ. Результаты диссертационного исследования используются автором в учебном процессе при руководстве научно-исследовательской работой студентов, обучающихся по направлениям: 01.04.02 - Прикладная математика и информатика. Модели нестационарных неизотермических процессов в движущихся средах и алгоритмы численного решения систем уравнений этих моделей используются при выполнении хоздоговорных работ по теме «Разработка алгоритмов программного обеспечения системы управления магистральными газопроводами» (договор №9. 19. 1263. 2016 от 01.08.2016).

Методы исследования. При создании математических моделей, вычислительных алгоритмов и программных комплексов, представленных в диссертации, использовались классические методы механики сплошных сред, газовой динамики, неравновесной термодинамики, математической физики, аналитический и численный аппарат теории дифференциальных уравнений, численный анализ, современные компьютерные технологии.

Положения, выносимые на защиту

1. Математическая модель нестационарного неизотермического турбулентного течения смеси газов по морским газопроводам, включающая учет сверхвысоких давлений, состава газовой смеси, нестационарности процессов теплообмена; программный комплекс «SGTM» расчета стационарного варианта этой модели; решение задачи идентификации параметров модели, программный комплекс «PIGTM», реализующий этот алгоритм.

2. Математическая модель оледенения цилиндрической поверхности в морской воде и методика выбора средней солености нарастающего морского льда и расчета его средних теплофизических характеристик. Модель нестационарного теплообмена потока газа с окружающей морской водой через многослойную стенку газопровода в условиях оледенения его внешней поверхности.

3. Алгоритмы численных решений систем уравнений нестационарных и квазистационарных моделей теплообмена и динамики оледенения многослойных областей в морской воде, программный комплекс «Лед», реализующий эти алгоритмы. Новые аналитические решения ряда задач динамики оледенения и теплообмена.

4. Математическая модель транспортировки смеси газов по протяженному морскому газопроводу в северных морях при сверхвысоких давлениях, включающая модель динамики оледенения; эффективный алгоритм численного решения системы уравнений этой модели и программный комплекс «SGPITM», реализующий алгоритм решения.

5. Результаты исследования влияния рельефа трассы, конструктивных и теплофизических параметров газопровода, условий на входе на поведение основных

характеристик потока смеси газов в неустановившихся режимах течения. Практические рекомендации по выбору параметров режимов на основе компьютерного моделирования по программному комплексу «SGPITM».

6. Математическая модель неизотермического расширения сферического слоя жидкости в условиях невесомости.

7. Алгоритм решения жесткого неавтономного нелинейного дифференциального уравнения, моделирующего изменение внутреннего радиуса расширяющегося сферического слоя жидкости; асимптотическое решение нелинейного сингулярно возмущенного уравнения динамики расширяющегося жидкого слоя; алгоритм численного решения уравнения конвективной теплопроводности в эйлеровых координатах на подвижной изменяющейся сетке. Дифференциальное уравнение, моделирующее динамику средней по слою температуры и его приближенное аналитическое решение для одного из вариантов граничных условий проведения процесса расширения слоя жидкости. Решение задачи выбора режимов расширения сферического слоя в технологии создания космических зеркал.

Достоверность новых математических моделей обеспечена корректным использованием аппарата механики сплошных сред, газовой динамики, неравновесной термодинамики и методов численного решения краевых задач математической физики; достоверность полученных аналитических решений обеспечена корректным использованием аппарата решения обыкновенных дифференциальных уравнений и совпадением в частных случаях с известными аналитическими решениями; достоверность численных решений подтверждается совпадением в частных случаях с результатами других авторов и совпадением с высокой точностью этих решений с полученными в диссертации аналитическими решениями; достоверность результатов компьютерного моделирования по созданным программным комплексам подтверждена проверкой программных комплексов на тестовых задачах.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на различных конференциях, на заседаниях научных школ и на научных семинарах: Всероссийском семинаре по аэрогидродинамике (2008 г.), на международной научно-практической конференции «Шестые Окуневские чтения», на XXXVIII, XXXIX и XL международных научных конференциях «Процессы управления и устойчивость», на международной научной конференции по механике «V Поляховские чтения», на семинаре «Компьютерные методы в механике сплошных сред» (Computer Methods in Continuum Mechanics), на XLV международной научной конференции «Процессы управления и устойчивость» (CPS’14), на международной научно-практической конференции «Восьмые Окуневские чтения», на XLVI международной научной конференции «Процессы управления и устойчивость» (CPS’16), на международной конференции «Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA), 2014 International Conference on», на международной научной конференции по механике «Седьмые Поляховские чтения», на 3-й международной конференции «Устой-

чивость и процессы управления», посвященной 85-летию со дня рождения профессора, чл.-корр. РАН В. И. Зубова (5-9 октября 2015 г),на международной конференции Physica. SPb/2016, на международной конференции «Суперкомпьютерные технологии математического моделирования» (SCTEMM 2016).

Результаты работы докладывались на научном семинаре кафедры теплофи-зических основ судовой энергетики СПбГМТУ, неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела, кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета ПМ-ПУ СПбГУ, на кафедре гидроаэромеханики математико-механического факультета СПбГУ.

В 2011 году работа автора была отмечена стипендией Президента Российской Федерации.

Публикации. Основное содержание диссертации достаточно полно отражено в 24 работах автора, 15 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, в том числе, 11 работ в ведущих рецензируемых отечественных и зарубежных журналах, входящих в перечень ВАК РФ, и 4 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. 6 работ опубликованы в изданиях, индексируемых базами Web of Science и Scopus.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Диссертация содержит 300 страниц основного текста, 52 рисунка, 38 таблиц, список литературы включает 191 наименование.

Особенности транспортировки газа по морским газопроводам в северных морях. Математическая модель неустановившихся неизотермических турбулентных течений смеси газов по морским газопроводам

Технико-экономическое обоснование проектируемых морских газопроводов, оценка состояния эксплуатируемых газопроводов, исследование вопросов безопасности и влияния морского газопровода на экологическую ситуацию в акватории, разработка компьютерных тренажеров требуют создания адекватных математических моделей транспортировки газа по морским газопроводам.

Решению задач о течении газа по трубам посвящено огромное количество работ. Начало исследований положено в классических работах К.П. Станюковича, Г.Н. Абрамовича, И.А. Чарного, Л.С. Лейбензона, Д. Гидаспова, Р.И. Нигматулина, И.П. Гинзбурга, Л.Г. Лойцянского, Л.И. Седова, С.С. Кута-теладзе, С.К. Годунова, О.Ф. Васильева, А.Ф. Воеводина, Л. Прандтля, Т. Кармана, И. Никурадзе, А. Дж. Рейнольдса, А. Шиллера, Г. Шлихтинга и многих других отечественных и зарубежных ученых. В области моделирования трубопроводных систем отметим работы А.Д. Альтшуля, О.Ф. Васильева, М.Е. Дейча, И.Е. Идельчика, С.Н. Прялова, С.А. Сарданашвили, В.Е. Селезнева, М.Г. Сухарева, А.Д. Тевяшева.

На сегодняшний день многие модели транспортировки газа по трубопроводам доведены до программных комплексов, например, Fluent, «Star-CD» (Великобритания), «ANSYS CFX» (США) и др. Из отечественных разработок отметим пакеты «CorNet» и «AMADEUS» [1], [2], программный комплекс «АСТРА» [3]. Все программные комплексы представляют собой сложные системы, имеющие многоступенчатые структуры, включающие формализацию задачи, расчетный модуль, графический интерпретатор результатов вычислений.

Одним из лидеров по моделированию процессов в нефтегазовой отрасли считается компания SPT Group (Норвегия). Известный норвежский программный комплекс «OLGA» предназначен для моделирования установившихся и неустановившихся течений многофазных потоков в скважинах и трубопроводах. ПК «OLGA» используется инженерами во многих странах мира при моделировании, анализе и оптимизации транспортировки газов по трубопроводам. ПК «OLGA» непрерывно совершенствуется и уточняется.

Широкое распространение коммерческих пакетов создает иллюзию того, что с их помощью можно решить большинство практических задач. В действительности это не совсем так, поскольку каталоги математических моделей и разностных схем их решения, используемые в этих пакетах, далеки от совершенства. Для сложных задач построение адекватных математических моделей транспортировки газа не завершено. Кроме того, применимость той или иной математической модели в конкретном случае для сложных многофакторных задач является предметом самостоятельного исследования. Нетривиальным моментом является и выбор численных алгоритмов решения уравнений математической модели. Наиболее распространенные из них — метод конечных разностей, метод конечных объемов, метод конечных элементов и спектральный метод — обладают своими преимуществами и недостатками. Так, например, метод конечных элементов опирается на вариационную задачу о минимуме ошибки аппроксимации искомого решения базисными функциями, а не на исходные уравнения модели. Он эффективен при решении задач механики деформируемого твердого тела, но для решения задач газовой динамики и теплообмена его эффективность не очевидна.

Поэтому даже наличие таких программных комплексоа, как ПК «OLGA», не позволяет говорить о завершении задачи моделирования транспортировки газа в общем случае. При решении инженерных задач ПК «OLGA» необходимо адаптировать к конкретным условиям. Например, при использовании ПК «OLGA» для подготовки Штокмановского проекта пришлось от версии 5.3 ПК «OLGA» дойти до версии 7.1. В нормативных документах ОАО «Газпром» особо подчеркивается, что для каждой конкретной задачи расчета и проектирования газопроводов требуется доработка как коммерческих пакетов, так и лицензионных программ «OLGA», PipeSim с учетом специфики задачи.

О незавершенности задачи моделирования сложных процессов транспортировки газа по современным газопроводам говорит и непрекращающийся поток публикаций по этой теме. Предлагаемые в работах модели основаны на тех или иных упрощающих допущениях, таких как: одномерность процессов, их стационарность, изотермичность, несжимаемость потока, возможность пренебрежения силами инерции и т.п. Содержательный обзор многих публикаций последних десятилетий приведен, например, в работе Селезнева В.Е., Алешина В.В., Прялова С.Н. [1].

Дополнительные сложности возникают при моделировании морских газопроводов, особенно в северных морях. Задача эта на сегодняшний день весьма актуальна, поскольку одним из основных вариантов доставки добываемого на морском шельфе газа до берега является его транспортировка по морским газопроводам, поскольку она экономически выгоднее. По оценкам профессора А.Ф. Андреева из РГУ НиГ им. И.М.Губкина транспортировка единицы объема газа по морским газопроводам составляет 3.32 доллара, а транспортировка единицы объема газа танкерами составляет 4.40 долларов.

Примеры морских газопроводов: газопровод от месторождения Брент до терминала в шотландском городе Сэнкт-Фергюссон (протяженностью 447 км), газопровод в Южно-Китайском море от газоконденсатного месторождения Ячэн (протяженностью 420 км), двухниточный газопровод сырого газа от месторождения Фригг в Северном море (протяженностью 330 км), морской газопровод от месторождения Bassein в Индии (протяженностью 213 км).

Для Штокмановского газоконденсатного месторождения в Баренцевом море также проектируется вариант доставки добываемого природного газа по морскому газопроводу.

В начале 21 века в России подготовлен проект глубоководного газопровода Россия - Турция («Голубой поток») через акваторию Черного моря длиной 396 км, рассчитанный на давление 25.0 МПа [4]. Основная часть газопровода пролегает на глубине примерно 2150 м и подвержена действию наружного давления около 22 МПа.

Оледенение цилиндрической поверхности в морской воде (модель ill), численные и аналитические решения

В диссертации рассматривается морской газопровод, свободно обтекаемый водой или лежащий на дне. В реальных вариантах прокладки газопровода на участках, примыкающих к берегу, газопровод, как правило, закапывается в грунт. Наиболее низкая температура газа характерна в конце трассы. Оледенение поверхности газопровода для протяженных трасс наступает именно в конце трассы, при наиболее низких температурах в потоке. Для закопанного в грунт газопровода опасности его всплытия при оледенении не возникает. Однако, если оледенение газопровода наступает раньше, на других участках трассы, проблема всплытия газопровода при оледенении становится существенной. Поэтому представляет интерес рассмотреть именно участки трассы прокладки газопровода, где он в грунт не закопан. При моделировании оледенения внешней поверхности газопровода это учтено в записи граничного условия на внешней поверхности газопровода и в граничном условии на внешней поверхности образующегося слоя льда.

Для рассматриваемого круга задач характерны большие числа Рей-нольдса: Re 108 для течения газовой смеси, это свидетельствует о турбулентном характере течения. Интенсивность турбулентных пульсаций в газовом потоке приводит к тому, что в радиальном направлении лимитирующей стадией теплообмена с внешней средой является теплопроводность через многослойную боковую стенку газопровода. Это позволяет учитывать теплообмен потока газа с окружающей средой интегрально. В уравнение энергии (1.3) вводится слагаемое ш типа мощности объемного источника (стока) внутренней энергии. Величина ш выражается через q — радиальную составляющую вектора плотности потока внутренней энергии (вектора потока тепла) на внутренней поверхности газопровода в z-м сечении: fu dv = -fq.nds, fcodv = uj7rR25z, Q — область, ограниченная поперечными сечениями газопровода, проходящими через z и z + 6z, и боковой поверхностью газопровода между этими сечениями. Тепловые условия на внешней поверхности газопровода на малых расстояниях Sz R (R — внутренний радиус газопровода) допустимо считать неизменными по z и по t. Дополнительный пульсационный перенос внутренней энергии газа в направлении оси z пренебрежимо мал по сравнению с конвективным переносом внутренней энергии в этом направлении. Сказанное позволяет записать: V(G [z,z + 6z], q{(,t) = q{z,t) 2тг z+Sz - fq-nds= f f q((,t)Rd(dip Sn 0 z ы2тг R6zq(z,t) -+ -+ uj(z,t)7rR25z -27rR5zq(z,t), uj(z,t) sa - 2q f\ (1.48) R Величина q(z,t) зависит от z и t параметрически через зависимость от z и t температуры газа (при неизменных внешних условиях) и определяется из решения уравнения теплопроводности в области многослойной боковой стенки газопровода при соответствующих начальных и граничных условиях.

Для большинства практических задач изменения как в окружающей среде, так и в потоке газа в направлении оси z на масштабах 6z R пренебрежимо малы. В этом случае нестационарная модель теплообмена между потоком газа в z-м сечении газопровода и окружающей средой через многослойную обшивку газопровода состоит из одномерных линейных уравнений теплопроводности в слоях обшивки и в тепловом погранслое воды и условий раввенства температур и тепловых потоков на стыках слоев. При наличии двух слоев обшивки — внутреннего, состоящего из стали, и внешнего — из бетона, модель записывется в следующем виде. Модель 2 г Є (Л, Лі), ІЄ (0,) : (1.49) t = 0, Ti(r)=T[)(r); (1.50) іє(0,і), г = Л: a0(T( , ) Т1) = лЛТі; (1.51) є(0,), г = Ді: Г1=Т2, A,f = A2f; (1.52) г Є (Ді,Д2), ІЄ (0,): A2±(/f); (1.53) t = 0, T2(r) = 7?(r); (1.54) Є(0,), г = Д2: Т2 = Тз, A2f = A3f; (1.55) r Є (Д2,Д2 + ад, Є (0,): ЙСЗІ=Азі (г ) 1 д a -rarar- (L56) t = 0, T3(r) = 7j(r); (1.57) fG(0,i), г = Д2 + : T3 = T . (1.58) r — радиальная координата в цилиндрической системе координат (r,(p,z);t — время начала оледенения; 6i, 82 — толщины первого и второго слоев обшивки газопровода соответственно; Ri = R + ; R2 = R + 5\ + 52 — внешний радиус газопровода.

Индексы: 1 - область первого слоя обшивки (стали); 2 - область второго слоя обшивки (бетона); 3 - область эффективного теплового погранс-лоя воды; 6 — толщина эффективного теплового погранслоя воды; Т — температура морской воды на удалении от газопровода; Aj, pi, СІ, if (Г) — коэффициент теплопроводности, плотность, удельный коэффициент теплоемкости и начальное распределение температуры в г-ом слое соответственно, (і = 1, 2, 3); ТІ = ТІ (r,t) — распределение температуры в г-м слое. Модель 2 легко обобщается на большее число слоев обшивки газопровода.

В модели 2 уравнения (1.49), (1.53) и (1.56) — одномерные линейные уравнения теплопроводности в слоях стали, бетона и в эффективном тепловом погранслое воды. Величина 6 зависит от многих факторов, в частности от донных течений и от условий контакта газопровода с донным грунтом. Оценка величины 6 в установившихся режимах приведена ниже. Однако достоверная информация о 6 может быть получена только из решения обратной задачи. Методика решения задачи идентификации параметров модели приведена дальше в параграфе 1.7 настоящей главы.

Выражения (1.50), (1.54), (1.57) - начальные данные, которые соответствуют условию теплового равновесия в начальный момент времени, модель 2 легко обобщается на другие начальные данные; (1.52), (1.55) — условия равенства температур и тепловых потоков на границах слоев. В рамках модели 2 поведение температуры газа T(z,t) в граничном условии (1.51) считается заданным.

Как известно, с увеличением числа Рейнольдса величина а0 растет и вкладом первого механизма в теплообмен газа с внешней средой можно пренебречь по сравнению с остальными механизмами передачи тепла. Как отмечалось, характерное значение числа Рейнольдса для рассматриваемых задач составляет величину порядка 108, поэтому значения а0 в рассматриваемых задачах велики. При больших значения а0 граничное условие (1.51) переходит в граничное условие первого рода: te{0,i), r = R: T1=T{z,t). (1.51) Доказательство существования и единственности решения системы уравнений модели 2 выходит за рамки работы, отметим только, что оно базируется на на известном [26] доказательстве сушествования и единственности решений линейных уравнений теплопроводности при кусочно-непрерывных начальных функциях и при ограниченных граничных условиях. Расчет по модели 2 позволяет найти величину u(z,t) (1.48): w(;M) = - тр = -fAi (1.59) г=Д Модель 2 предполагает отсутствие слоя льда на внешней поверхности газопровода. Математическая модель теплообмена потока газа с окружающей средой с учетом нарастающего слоя льда исследуется в параграфе 2.5 второй главы диссертации.

Программный комплекс «SGPITM». Решения модельных задач

Программное обеспечение для расчета характеристик установившихся течений многокомпонентной смеси газов по морским газопроводам оформлено в виде программы «SGTM» [41], написанной на языке С++. В программе реализован алгоритм решения уравнений модели (1.75)-(1.80). Время счета менее одной секунды (в системе Intel Core i5-3230M, ОЗУ 8 ГБ). Программа позволяет произвести следующие расчеты. 1. Расчет давления, температуры и скорости потока многокомпонентной смеси газов в широком диапазоне входных параметров, представляющих практический интерес при расчете транспортировки газовой смеси по морским газопроводам. 2. Определение требований к конструкции морского газопровода: выбор внутреннего радиуса, толщин и теплофизических параметров обшивок газопровода. 3. Расчет различных установившихся режимов эксплуатации газопровода. Программа «SGTM» является переносимой и может быть собрана для работы в ОС семейства Windows, Unix и GNU/Linux. Она обладает дружественным пользовательским интерфейсом. На рисунках 1.4-1.8 приведены основные окна программы.

Основное окно программы предназначенно для запуска программы на счет и сбора всех необходимых для расчета характеристик, а именно, параметров конструкции газопровода, параметров окружающей среды, параметров смеси газов и данных на входе в газопровод.

Это окно предназначено для ввода теплофизических и геометрических параметров обшивок газопровода, параметров теплового погранслоя воды, длины газопровода и его внутреннего радиуса.

В качестве граничных условий на входе в газопровод принимаются значения температуры Т и давления р газовой смеси. По ним из уравнения состояния в программе определяется плотность р газовой смеси. Скорость потока и на входе определяется по массовому расходу газа и плотности потока.

Окно ввода характерных значений и параметров расчетной сетки в программе «SGTM». :эргм;трз1 гаїсзоЗ смеси \в Уравнение состоянил Удельная Удельная "НИТЯМ 0.00001 гПа.с С 12297,57997 5 0.001S33 2000.00 .Дк/К h 502.3000104 1712.25 .Дж/К Рисунок 1.8 - Выбор уравнения состояния и ввод параметров газовой смеси в программе «SGTM». Пример расчета установившегося течения газа в условиях не допускающих оледенение внешней поверхности газопровода Примем следующие параметры модельного морского газопровода: постоянный массовый расход Q газа равен 590 (кг/с); температура T окружающей морской воды считается неизменной вдоль трассы и равной 278.15 (К); длина трассы L 600 (км).

Газопровод моделируется цилиндром с внутренним радиусом R = 0.5 (м), имеющим два слоя обшивки. Параметры первого слоя обшивки: толщина 5\ = 0.04 (м), теплопроводность Лі = 24 (Вт/(м-К)), параметры второго слоя: толщина 62 = 0.12 (м), теплопроводность А2 = 1.7 (Вт/(м-К)).

На входе в газопровод задаются даление pzo= 200 (атм.) и температура Tz0 = 315.15 (К). Плотность определяется из уравнения состояния Редлиха-Квонга. В исследуемых режимах для температуры T(z) газовой смеси, как показали расчеты, выполняется следующее условие: T(z) Т Vz Є [0,L], где Т — температура фазового перехода морская вода-лед (величина Т зависит от солености морской воды, эти вопросы подробно рассмотрены в параграфе 2.2 главы 2). При этом условии оледенение внешней поверхности газопровода невозможно.

Для расчетов по модели (1.86)-(1.88) были выбраны следующие размерные характерные величины: рх = 150 (атм.), Тх = 283.15 (К), 1Х = 10 (км), им соответствуют характерные плотность рх = 138.02 (кг/м3) и скорость UX = Q/{TIR2PX) = 3.69 (м/с). Коэффициент гидравлического сопротивления А определялся по закону Коулбрука - Уайта -JL = _2 ig (А + АЁМ (1.89) л/Х 7Л Reл/X Полуэмпирический закон сопротивления Коулбрука - Уайта (1.89) содержит параметр ks — коэффициент эквивалентной шероховатости. Как показано в параграфе 1.7, коэффициент гидравлического сопротивления А может быть найден и в результате решения задачи идентификации параметров модели.

Параметры /г, с, 5 для смеси газов с преобладанием метана, состоящей из 12 компонент, рассчитаны в параграфе 1.3; были выбраны следующие характерные значения /І, A, cv, /3 (значения всех параметров приведены в системе СИ): /1 = 496.630658 с = 1219.54091, 5 = 0.001816, cv = 2000.0, (1.90) /3 = 6.18, /І = 0.00001, ks = 1.0-Ю-5, Л = 0.00829776. На рисунках 1.9-1.11 приведены распределения температуры T(z), давления p(z) и плотности p(z) газовой смеси соответствено для параметров (1.90). Решение задачи об установившемся течении позволило найти область допустимых значений температуры и давления на входе в газопровод, и найти их пороговые значения, при которых прохождение трассы невозможно.

Рассмотрим влияние давления pzo и температуры Tzo на входе в газопровод на величину суммарного падения давления. Назовем предельным давлением р\0 давление на входе, начиная с которого для более низких давлений транспортировка газа в выбранных условиях невозможна. Найдем зависимость предельного давления p zo от параметров режима. Кроме того, исследуем влияние процессов теплообмена потока газа с окружающей средой на плотность и температуру газа и соответственно на величину суммарного падения давления.

На рисунке 1.12 представлено рассчитанное по модели (1.81)–(1.85) (для эталонного варианта (90)) распределение скорости потока u(z) в зависимости от давления pzo на входе при Tzo = 313.15 K.

Расчет обыкновенного дифференциального уравнения, моделирующего динамику расширения жидкого слоя, на всем интервале времени

Отметим ряд монографий, которые охватывают наиболее широкий круг вопросов по задаче Стефана. Первые важные результаты были изложены в работе Л.И. Рубинштейна [51], в частности, в этой работе представлен исторический обзор, доказаны теоремы существования решения задачи Стефана для одномерного случая, приведены некоторые методы решения. Идеи и методы решения задачи Стефана изложены также в работе А.М. Мейрманова [52], которая в основном посвящена вопросам существования и единственности решения в случаях двух и более пространственных переменных. Принципы моделирования и анализа классических задач Стефана изложены в работе S.C.Gupta [164]. Особого внимания заслуживает работа [165], в которой J.Crank приводит различные постановки задач с подвижными границами, существующие аналитические решения, а также дает описание численных методов решения задач стефановского типа.

В работе Рубинштейна [53], опирающейся на нелинейное преобразование координат, решается задача Стефана для одномерного случая при переменных начальных и граничных условиях. Как известно, метод Л. И. Рубинштейна алгоритмически малоэффективен. В 1947 году Л. И. Рубинштейн предложил другой метод сведения задачи Стефана к системе интегральных уравнений типа Вольтерра. Этот метод основывается на использовании тепловых потенциалов.

Интенсивное развитие получили приближенные методы решения задачи Стефана. Существенную роль сыграл метод Л. С. Лейбензона [54], примененный им для решения задачи об остывании нефтепровода. Метод основан на предположении о квазистационарности распределений температуры в слое льда во все моменты времени процесса, автор назвал это приближение методом смены стационарных состояний. Этот метод в дальнейшем использовался во многих работах, например, в работе С. С. Ковнера (1936) при расчете времени промерзания шара, в работе И.А. Чарного [55] при расчете замораживания грунта вокруг скважины.

Попытка получить точное, а не приближенное решение задачи Стефана, была сделана М. Бриллюэном в докладе, прочитанном в 1929 году в институте Пуанкаре. Доклад был опубликован в 1931 году [165]. М. Бриллюэн предложил метод сведения задачи Стефана к системе нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Однако даже сам автор, выписав эту систему интегродифференциальных уравнений, отказался от попытки ее решения. Поэтому доклад М. Бриллюэна способствовал скорее усилению интереса к задаче Стефана, чем ее решению.

В 60-х годах вышли работы, в которых были предложены формулы расчета глубин промерзания грунта при периодических колебаниях температуры на его поверхности (Кудрявцев, Меламед, 1963, 1965). Кроме этого, предложен ряд приближенных формул расчета распределения температур и закона движения фронта оледенения.

В 1958 году вышла работа В. Г. Меламеда [56], в которой рассматривается приближенное решение задачи Стефана с любой степенью точности. Автор обосновывает возможность решения задачи Стефана сведением ее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В последующих работах В. Г. Меламеда предложенный метод распространяется на другие задачи стефа-новского типа. Достоинством метода В. Г. Меламеда является простота его реализации.

Большой цикл работ посвящен вопросам существования и единственности решения задач стефановского типа. В работе [57] О. А. Олейник ввела понятие обобщенного решения задачи Стефана, единственность и существование которого обеспечивается в классе измеримых ограниченных функций. Доказано, что обобщенное решение совпадает с классическим решением задачи Стефана в случае, когда классическое решение существует. О. А. Олейник рассмотрела вопрос о сходимости предложенного ею метода. Однако вопросы численного решения задачи Стефана ею не рассматривались. Метод О. А. Олейник не позволяет получить информацию о структуре границы раздела фаз и о том, в каком смысле обобщенное решение задачи удовлетворяет классической задаче Стефана.

Решение многомерной задачи Стефана наталкивается на известные трудности. Так, до настоящего времени не доказано существование классического решения многомерной задачи Стефана. В связи с этим большой интерес представляет работа С. Л. Каменомостской [58], в которой доказано существование и единственность обобщенного решения многомерной многофронтовой задачи Стефана. Решение задачи Стефана в замкнутой аналитической форме возможно лишь в частных случаях. Большое распространение получили численные методы решения задачи Стефана. Их можно условно разделить на две группы.

К первой группе относятся методы сквозного счета, в которых явным образом не выделяется граница раздела фаз и используется общее уравнение теплопроводности во всей расчетной области. Главной особенностью методов сквозного счета является отсутствие точного отслеживания положения межфазных границ. Это оказывается достаточно эффективным при решении многомерных и многофазных задач. Для применения данного подхода исходная задач записывается в обобщенной формулировке в виде единого уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами на межфазных границах. При построении алгоритма численного решения полученной задачи проводится процедура сглаживания разрывных коэффициентов на некотором интервале. Данный подход был предложен в работе А.А. Самарского и Б.Д. Моисеенко [59] (там же отмечается, что аналогичный подход одновременно разрабатывался Б.М. Будаком, Е.Н. Соловьевой и А.Б. Успенским), дальнейшее развитие первая группа методов получила в работах Р.П. Федоренко и многих других отечественных и зарубежных ученых. Недостатками данного подхода являются зависимость точности разностного решения от выбора параметра сглаживания и низкая точность определения положения межфазных границ. Интерес к методам сквозного счета не ослабевает и в настоящее время [167]–[169].