Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Состояние вопроса, постановка цели и задач исследования 8
1.1.Устройство и принцип действия манометрической трубчатой пружины 8
1.2.Методы виброзащиты 12
1.3. Обзор исследований в области колебания стержней и оболочек 19
1.4.Обзор исследований в области сопротивления жидкости перемещениям в ней тел 26
1.5. Основные выводы, постановка задачи 32
Глава 2. Математическое моделирование колебательного движения манометрических трубчатых пружин 34
2.1.Расчет параметров затухания колебаний манометрических трубчатых пружин с помощью уравнений Лагранжа второго рода 34
2.1.1.Динамическая модель пружины 34
2.1.2.Определение потенциальной энергии пружины [105] 35
2.1.3.Определение кинетической энергии [105] 42
2.1.4. Определение обобщенных сил сопротивления и коэффициента сопротивления 47
2.1.5.Решение системы уравнения движения 50
2.2.Динамическая и математическая модель колебательного движения манометрической трубчатой пружины, как криволинейного стержня 54
2.3.Выводы 57
Глава 3. Численные методы и комплексы программ для решения системы уравнений, колебательного движения манометрических трубчатых пружин 58
3.1.Решение системы уравнений методом Бубнова-Галеркина 58
3.2. Определение коэффициента Кармана [105] 63
3.3.Исследование сходимости решения 65
3.4.Комплекс программ для определения параметров затухания колебаний манометрических трубчатых пружин 67
3.5.Сравнение результатов методов расчета 71
3.6.Влияние геометрических характеристик и вязкости демпфирующей жидкости на параметры затухающих колебаний 73
3.7. Влияние вязкости демпфирующей жидкости на снижение времени затухания колебаний 79
3.8.Выводы 80
Глава 4. Экспериментальные исследования колебаний манометрических трубчатых пружин 81
4.1.Методика эксперимента 81
4.1.1.Цель и задачи эксперимента 81
4.1.2.Опытные образцы манометрических пружин 81
4.1.3. Определение физических свойств демпфирующих материалов 84
4.1.4.Определение параметров затухания с помощью анализатора вибрации AU014 85
4.1.5.Определение параметров затухания с помощью вибрационного вискозиметра SV-10 86
4.2.Сравнение параметров затухания колебаний 88
4.3.Выводы 96
Заключение 97
Литература
- Обзор исследований в области колебания стержней и оболочек
- Определение обобщенных сил сопротивления и коэффициента сопротивления
- Определение коэффициента Кармана [105]
- Определение физических свойств демпфирующих материалов
Обзор исследований в области колебания стержней и оболочек
Данной тематике посвящены следующие исследования. В работе [48] авторами было разработано устройство гашения колебаний стрелки манометрических измерительных приборов, предназначенное для демпфирования колебаний подвижных частей манометрических приборов и стрелочных механизмов, на которые воздействуют колебания извне, а так же резкие колебания давления контролируемой среды. Принцип устройства заключается в том, что на регулируемом и поворачивающемся кронштейне, установленном на наконечнике трубчатой измерительной пружины, расположен ролик, охваченный гибкой тягой, концы которого соединены с вилкой, закрепленной на плате стрелочного механизма. В зазор, образованный торцевой поверхностью удерживающего его кронштейна, введена жидкая демпфирующая среда. Поверхности скольжения на ролике и кронштейне имеют по периферии слой, отталкивающий демпфирующую среду, например политетрафторэтилен. Для улучшения демпфирующих свойств вал стрелки соединяется с диском, который расположен против диска, смещаемого аксиально и снабженного демпфирующим средством, что имеет большее значение при эксплуатации измерительных приборов высокой точности. Устройств в таком исполнении не искажает показания измерительного прибора, как это имеет место при несвободной измерительной системе. Кроме того, устройство можно устанавливать на уже смонтированной измерительной системе обычной конструкции.
Разработанная в [11] полезная модель - демпфирующее устройство для манометрических приборов относится к измерительной технике и предназначено для защиты манометра от пульсации давления при измерениях среднего статического давления пульсирующих потоков жидкости. Сущность полезной модели заключается в том, что клапаны выполнены нормально закрытыми в виде подпружиненных относительно друг друга шариков, а на поверхностях клапанов и седел выполнены дроссельные канавки, обеспечивающие проход и дросселирование потока жидкости по поверхности их взаимного контакта. Использование нормально закрытых шариковых клапанов позволяет получить их контакт с седлами, близкий к линейному, исключить трущиеся детали и жесткую связь между клапанами. Благодаря этому устраняется возможность заклинивания клапанов и влияния несоосности и перекосов деталей на стабильность демпфирования, улучшается самоочистка клапанов, а в целом – повышается надежность демпфирующего устройства при работе на загрязненной жидкости. В предлагаемом в качестве полезной модели демпфирующем устройстве исключены все детали, требующие высокой точности и частоты обработки, а также не требуется регулировок при сборке. Это позволяет снизить стоимость изготовления в два раза.
В работе [95] были проведены исследования влияния вибродемпфирующих жидкостей на виброактивность манометрических трубчатых пружин при возбуждении колебаний. Для исследования были выбраны три жидкости (вода, масло, глицерин).
В ходе работы были сняты амплитудно-частотные характеристики виброактивности образцов, заполненных жидкостями на 25, 50 и 75 % объема. Сравнение полученных амплитудно-частотных характеристик показало, что наиболее эффективной из используемых жидкостей является глицерин. Наиболее эффективным уровнем, при котором пик, соответствующий резонансу, уменьшался по амплитуде и становился более широким, являлся уровень (75…100 %).
Амплитудно-частотные характеристики, снятые в вертикальном направлении при 25 %-м заполнении манометра: 1 – пустой; 2 – вода; – масло; 4 – глицерин; 5 – базовый уровень. Рис.1.11. Амплитудно-частотные характеристики, снятые в вертикальном направлении при 50 %-м заполнении манометра: 1 – пустой; 2 – вода; 3 – масло; 4 – глицерин; 5 – базовый уровень.
Амплитудно-частотные характеристики, снятые в вертикальном направлении при 75 %-м заполнении манометра: 1 – пустой; 2 – вода; 3 – масло; 4 – глицерин; 5 – базовый уровень. Анализируя все выше изложенное можно сделать вывод, что на сегодняшний день вибродемпфирование жидкостью является эффективным, экономичным и простым в исполнение методом виброзащиты манометрических пружин. Однако методы расчета параметров затухания колебаний, манометрических трубчатых пружин работающих в жидкости, отсутствуют, в связи, с чем исследование в этой области является актуальной задачей.
Обзор исследований в области колебания стержней и оболочек Для определения частот и форм колебаний используются в основном результаты линейной теории механических колебаний стержней. Так в [116] дифференциальное уравнение свободных поперечных колебаний однородного стержня постоянного поперечного сечения, основанное на исследовании равновесия элемента стержня с учетом сил инерции Даламбера, приводит к уравнениям: где - плотность стержня; q - площадь поперечного сечения; k - радиус инерции поперечного сечения относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба и проходящей через центр тяжести поперечного сечения; у(x,t)- прогиб в плоскости изгиба, перпендикулярный оси x; Q - поперечная перерезывающая сила и М - изгибающий момент, к которому приводятся силы, действующие в поперечном сечении; Ф-поворот элемента стержня.
Угол, образуемый касательной к упругой линии стержня с осью х, отличается от Ф на угловое изменение , которому подвергается элемент вследствие перерезывающих сил Q. Для малых поворотов:
Определение обобщенных сил сопротивления и коэффициента сопротивления
Рассмотрим деформации в поперечном направлении бесконечно малого элемента. При работе под давлением поперечное сечение пружины деформируется, стремясь принять форму окружности. Таким образом, кроме продольных деформаций возникают поперечные, вызванные изгибом стенки пружины. Относительное удлинение в касательном направлении к профилю поперечного сечения (рис.2.4) будет определенно следующим образом.
Из подобия треугольников AA1O и CC1O определим длину волокна CC1, находящегося на расстоянии z от среднего контура сечения. ) где R1 - радиус кривизны контура сечения до деформации. С учетом деформации волокно CC1 удлинится до величины . Значения z и дуга ds (предположение о не растяжимости контура) остаются прежними. Поэтому ( ) Рис. 2.4. Определение относительного удлинения где R2 - радиус кривизны сечения после деформации. 39 Относительное удлинение равно: — (2.4) Согласно допущению 6 (условие тонкостенности) - R!»b»h, так как z изменяется в пределах от 0 до h/ , то z« Ri. В связи с этим величиной — ввиду ее малости пренебрегаем: Q -\ Изменение кривизны средней линии поперечного сечения ( ) обозначим как К, относительная деформация в точке С волокна запишется в следующем виде: (2.5) В виду малости деформации растяжения среднего профиля поперечного сечения пружины по сравнению с деформациями изгиба, первыми пренебрегают. Объем выделенного участка (в соответствии с допущением 5) равен: (2.6) Потенциальная энергия деформации этого участка будет равна: (2.7) Проинтегрировав величину dU по объему пружины, получим потенциальную энергию деформации манометрической пружины: [ U (2.8) где h - толщина стенки манометрической пружины; s - длина дуги средней линии профиля поперечного сечения. Проинтегрировав уравнение (2.8) по переменной z с учетом (2.3) и (2.5), получим: (2.9) В этом уравнении содержится три неизвестных: - относительный угол поворота пружины; - перемещение профиля поперечного сечения в направлении малой полуоси сечения; - изменение кривизны средней линии сечения. Уменьшить количество неизвестных поможет связь между перемещением , и изменением кривизны , так как оба этих значения определяются деформацией профиля поперечного сечения.
Для определения формы искривления профиля поперечного сечения манометрической пружины, согласно методу Ритца, примем, что поперечное сечение деформируется, так же как и прямолинейная трубка, работающая под давлением. Рассмотрим элементарный стержень, работающий под давлением, давление представим как распределенную нагрузку q (рис.2.5, а).
Определение формы искривления поперечного сечения Возможно, выразить перемещение и изменение кривизны через распределенную нагрузку q, но для удобства свяжем ее с перемещением малой полуоси стержня w0, которое примем за меру искривления контура. Выражение изгибающего момента в произвольном сечении C, при раскрытии статической неопределенности стержня: ( ) (2.10) где – функции дуги s контура, зависящая от формы поперечного сечения манометрической пружины. С помощью интеграла Мора определим перемещение w0 в точке А:
Определение кинетической энергии [105]. Кинематические энергии верхнего и нижнего полупрофилей будут различными, в виду того что перемещения полупрофилей отличаются (рис.2.6 и рис.2.7), а следовательно и скорости у них различны. Абсолютное значение кинетической энергии манометрической пружины будет определяться как сумма обоих полупрофилей:
Объем элементарного элемента полупрофиля -где Rd - длина элементарного элемента полупрофиля; – ширина элементарного элемента полупрофиля; – высота элементарного элемента полупрофиля. Масса элементарного элемента полупрофиля Квадраты абсолютных скоростей верхнего и нижнего элементарных полупрофилей элемента равны: где – перемещение элемента в продольном направлении; – перемещение элемента в радиальном направлении; – проекция перемещения элемента на ось х (рис.2.6.). Рис.2.6. Определение перемещений в плоскости центральной оси Рис.2.7. Определение перемещений в плоскости сечения Значение кинетической энергии было получено с учетом того что для симметричных точек на верхнем и нижнем полупрофилях сечения пружины продольные и радиальные составляющие скоростей равны, поэтому:
Определение коэффициента Кармана [105]
Определение обобщенных сил сопротивления и коэффициента сопротивления. Силы сопротивления, действующие на отдельные точки системы, пропорциональны их скоростям , определим обобщенные силы и коэффициент сопротивления из данной формы записи. Пользуясь приемом неопределенных коэффициентов, запишем формулу для определения аэродинамической силы по способу анализа размерностей. Очевидно, сила R зависит от площади наибольшего поперечного сечения тела F, кинематического коэффициента вязкости , плотности жидкости и скорости набегающего потока .
Запишем R в следующем виде: где А - безразмерный коэффициент; х, у, z и п - неизвестные показатели степени. Чтобы найти эти показатели, в зависимость вместо величин подставим единицы их измерения в системе СИ: ( ) (f) ( f или Показатели степени у единиц измерения величин слева должны быть такими же, как и показатели степени у единиц измерения соответствующих величин справа. С учетом этого, получаем:
В общей практике принимается п=2. Обозначив , будем иметь: где - коэффициент аэродинамической силы, F - площадь миделевого сечения. Силы сопротивления действуют по нормали к сечению трубки, поэтому учитывается только сила лобового сопротивления: — (2.28) где - коэффициент лобового сопротивления; - площадь миделевого сечения; - плотность жидкости; - скорость. Для симметричных тел описывается корреляцией Стокса: —. Число Рейнольдса Re характеризует режим движения жидкости, учитывающее основные характеристики потока —, где характерный линейный размер. Для манометрической пружины характерный линейный размер расстояние между стенками колбы манометра и большой осью пружины, площадь миделевого сечения , а произведение - является динамической вязкостью жидкости . Сила сопротивления примет вид: (2.29) Коэффициент сопротивления в общем случае будет иметь вид:
Абсолютная скорость движения определяется как сумма скорости в радиальном направлении и скорость от увеличения малой оси:
Если вязкое сопротивление мало, что могут происходить колебания, то все четыре корня окажутся комплексными с отрицательными действительными частями. где и – коэффициенты затухания (положительные); и – частоты затухающих колебаний; и – числа, сопряженные с соответствующими комплексными числами.
Таким образом, получены выражения для определения первых двух параметров затухания колебаний манометрической пружины. Полученное аналитическое решение позволяет определить параметры затухания с различной формой поперечного сечения, постоянной по длине.
Имея значения параметров затухания можно получить уравнения движения. Корню соответсвует система частных решений: Комплексному сопряженному корню соответствует сопряженная система решений
Из этих уравнений следует, что рассматриваемое движение манометрической пружины можно рассматривать как наложение двух затухающих колебаний. Данные колебания характеризуются одинаковыми частотами и и коэффициентами затухания и , но они отличаются друг от друга амплитудами колебаний и сдвинуты по фазе. Значение амплитуд определяется с помощью начальных условий следующим образом: Таким образом, получены уравнения движения, с помощью которых можно оценить скорость затухания в зависимости от вязкости демпфирующей жидкости и геометрических параметров пружины. 2.2. Динамическая и математическая модель колебательного движения манометрической трубчатой пружины, как криволинейного стержня
Ранее полученный энергетический метод расчета позволяет аналитически рассчитать параметры затухания колебаний манометрических пружин. Так как для нахождения выражения перемещений профиля поперечного сечения трубки принималась деформация прямой трубки, то с увеличением параметра кривизны пружины погрешность данного метода будет возрастать. Ниже предлагается альтернативный метод.
Представим манометрическую пружину как изогнутый стержень, который совершает колебания в плоскости кривизны центральной оси. Перемещение элементарного сечения будет складываться из продольной и поперечной составляющей.
Сила сопротивления движению в жидкости - распределенная нагрузка q. Будем считать, что сила сопротивления движению пружины направлена по нормали к оси стержня и пропорциональна её нормальной скорости: .
У основания манометрической пружины (в сечении, где пружина жестко закреплена) - =0 продольные и поперечные перемещение, а так же угол поворота поперечного сечения трубки равны нулю. На свободном конце = перерезывающие, растягивающие усилия, а так же изгибающий момент равны нулю, таким образом, получаем граничные условия: Главные граничные условия при =0: ; ;
Данная система уравнений и граничные условия представляют собой математическую модель колебательного движения манометрической трубчатой пружины. 1. Получены выражения для определения обобщенных сил сопротивления и коэффициенты сопротивления жидкости . 2. С помощью уравнений Лагранжа второго рода получены выражения для определения параметров затухания и форм колебаний манометрических трубчатых пружин. 3. Разработана математическая модель манометрической пружины как криволинейного стержня.
Определение физических свойств демпфирующих материалов
Анализируя полученные значения, можно сделать вывод, что при увеличении базисных функций, значения параметров колебания стремятся к некоторому пределу. Отклонения между решениями, в которых учитывалось пять и шесть функций, составляет для частоты затухающих колебаний – 0,8%, для коэффициента затухания – 0,4%. Отклонения при четырех и пяти слагаемых, для частоты затухающих колебаний – 1,6%, для коэффициента затухания – 1,4%. Для получения удовлетворительных результатов достаточно удерживать по пять функций.
Комплекс программ для определения параметров затухания колебаний манометрических трубчатых пружин Для определения параметров затухания колебаний при известных геометрических параметрах пружины, свойств демпфирующей жидкости был разработан следующий алгоритм. Начало. Шаг 1. Ввод геометрических характеристик пружины, физических свойств материала пружины и демпфирующей жидкости. Шаг 2. Ввод интервала значений предполагаемого нахождения затухающей частоты колебаний, а также начального отклонения конца пружины. Шаг 3. Определение основных характеристик: площади поперечного сечения; массу единичной длины трубки; коэффициента Кармана; момента инерции; и др. Шаг 4. Формирование матрицы в символьном виде. Составление характеристического уравнения из условия равенства нулю определителя. Нахождение корней характеристического уравнения. Шаг 5. Если часть корней уравнения входят в заданный интервал, то вывод соответствующих результатов, иначе вывести сообщение - «изменить интервал поиска частот» и вернуться к шагу 2. Шаг 6. Построение графика затухающих колебаний. Конец. Схематично данный алгоритм представлен на рис.3.4.
Для реализации данного алгоритма использовался язык высокого уровня «MATLAB». Программный комплекс «МАНОМЕТР» имеет интерфейс пользователя, с помощью которого можно отслеживать как геометрические характеристики сечения пружины, так и степень затухания колебаний различной конфигурации.
При составлении характеристического уравнения в символьном виде использовалась стандартная функция det, а для нахождения корней этого уравнения использовалась стандартная функция solve.
Окно запуска показано на рис.3.5, на рис.3.6 представлено окно для расчета статических характеристик пружин, а так же частот собственных колебаний манометрических пружин.
На рис.3.7 показано окно с результатами определения параметров затухающих колебаний и построенными графиками поперечного сечения и частот затухающих колебаний пружины.
Свободный ходО С учетом соср.моментаО С учетом с ос р. силы Коэффициент Пуассона Модуль упругости - Е - (10Л6 кг/смл2) Рабочее давление пружины (кг/смЛ2) Внешний момент [кг см) или сила (кг) нет доступа нежны СИЛ ОБОИ Радиус продольной оси пружины [мм) компенсации Q Жесткая заделкаО Шарнирно-неподв.закр.О Шарнирно-подв.закрепл. Центральный угол пружины (град) Угол приложения внешней сипы [град) нет доступа Толщина стенки пружины [мм) Большая полуось поперечного сеч. пружины (мм) Ьвод параметров Малая полуось "Ь" поперечного сеч. пружины (мм} сечения абсолютные ед. иім. О относительные ед. изм. Радиус кривизны на конце большой полуоси сеч. [мм) Малая полуось "с" поперечного сеч. пружины (мм) Показать форму сечения Расчет частот свободных колебаний Выход Расчет статических характеритик Расчет парамеров затухания Рис.3.6. Окно для расчета статических характеристик пружин. Рис.3.7. Окно расчета параметров затухания манометрических трубчатых пружин.
Сравним полученные значения параметров затухания колебаний манометрических трубчатых пружин полученных в результате численных экспериментов обоими методами. Исследуем зависимости параметров затухания от параметра кривизны (и тонкостенности) манометрической пружины
В качестве примера рассмотрим три ряда пружин постоянного сечения с соотношениями полуосей поперечного сечения - 2, 5 и 8, со следующими характеристиками: толщины стенки изменяются в пределах от 0,1 мм до 1,6 мм; радиус кривизны центральной оси R=50 мм; центральный угол пружины у=220; радиус трубки-заготовки =8 мм; ширина колбы манометрической пружины равняется двум большим осям; динамическая вязкость демпфирующей жидкости =1 Па с. Графики зависимостей представлены на рис.3.8 и 3.9 Рис.3.8. Сравнение частот затухающих колебаний
Из рис.3.8, 3.9 видно, что модель, основанная на уравнениях Лагранжа, дает более высокие значения параметров затухания колебаний по сравнению с моделью, основанной на принципе Даламбера во всем рассматриваемом диапазоне. Коэффициент затухания в большей степени зависит от вязкости демпфирующей жидкости, для разных отношений полуосей разность полученных значений не превышает 1%(поэтом на рис.3.9 показана одной линией). Сравнивая полученные значения одних и тех же образцов, можно сделать вывод, что оба метода дают близкие значения при параметре кривизны менее 10, с увеличением параметра кривизны разница между параметрами затухания увеличивается. 10 20 30 іС
Рассмотрим, как буду меняться параметры затухания при изменении толщины стенки в пределах от 0,2 до 1,6 мм. Пружина имеет центральный угол 250, отношение полуосей – 5. На рис.3.10 показано изменение коэффициентов затухания в зависимости от толщины стенки h и вязкости демпфирующей жидкости. Как видно из графиков, с увеличением толщины стенки коэффициент затухания уменьшается, а частоты затухающих колебаний растут. С увеличением вязкости жидкости пропорционально увеличивается и коэффициент затухания. Незначительное изменение частот затухающих колебаний от вида демпфирующей жидкости (рис.3.11) подтверждается следующим, частота затухающих колебаний зависит от частоты свободных колебаний и коэффициента затухания следующей зависимостью , а так как n мало по сравнению с K, то и частоты затухающих колебаний меняются незначительно.