Введение к работе
Актуальность темы. Метод электрофореза — способ разделения многокомпонентной смеси веществ на отдельные компоненты под действием внешнего электрического поля — имеет важное прикладное значение и, наряду с хроматографией, широко используется в медицине, биологии, химии как для идентификации компонент смеси, так и для выделения из нее необходимых компонент. Важной особенностью этого метода является его применимость для анализа микроконцентраций различных веществ. Электрофорез применяется в космических биотехнологиях с целью получения новых биологических препаратов, используется в аналитических целях, в частности, при расшифровке генетических последовательностей, применяется для решения ряда проблем в космохимии, геохимии, аналитической химии, радиохимии.
В настоящее время известно большое количество методов электрофореза: зональный электрофорез, капиллярный электрофорез, изоэлек-трическое фокусирование, изотахофорез и др. Наиболее популярными и востребованными в последнее время являются методы капиллярного зонального электрофореза в связи с их высокой разрешающей способностью, позволяющей идентифицировать вещества, содержащиеся в смеси, в количествах сотых долей процента. Не последнюю роль играет и тот факт, что процесс, протекающий в капилляре, возможно моделировать при помощи пространственно одномерной модели, а также то, что процессы диффузии при высоких напряженностях электрического поля малы, и основное влияние на искажение профиля концентраций оказывают электромиграционные эффекты, в основном определяемые нелинейной зависимостью электрофоретической подвижности от концентраций.
С математической точки зрения интерес к задаче электрофореза и, в частности, капиллярного зонального электрофореза обусловлен тем, что в случае бездиффузионного приближения математическая модель представляет собой систему квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка, как правило, гиперболического типа. Более того, во-первых, оказалось, что система уравнений принадлежит к классу систем вполне интегрируемых при помощи обобщенного метода годографа — одного из интенсивно развивающихся направлений нелинейной математической физики, а во-вторых, именно системы уравнений электрофореза и хроматографии наиболее отчетливо демонстрируют типичный характер поведения решений уравнений переноса: нелинейные волны, их взаимодействие, возникновение сильных и слабых разрывов, изменение типа уравнений в зависимости от решения.
Все вышесказанное говорит о том, что аналитическое, асимптотическое и численное исследование уравнений переноса вещества электрическим полем в бездиффузионном приближении, в частности, капиллярного электрофореза, и исследование взаимодействий нелинейных волн, является актуальным, и именно этому посвящена данная диссертация.
Цели и задачи исследования. Целью диссертации является построение и аналитическое исследование математической модели капиллярного зонального электрофореза. В работе делается упор на наиболее важные и практически не изученные проблемы, а именно:
исследование математической модели капиллярного электрофореза, описывающей процесс разделения смеси электрическим полем в случае зависимости проводимости смеси от концентрации компонент;
детальное описание процесса разделения двухкомпонентной смеси и решение задач о взаимодействиях разрывов — ударных волн (сильный разрыв) и фронтов волн разрежения (слабый разрыв);
решение задачи о переносе вещества электрическим полем в бездиффузионном приближении в случае, когда уравнения имеют гиперболический тип, и в случае смены типа уравнений на эллиптический;
численный анализ методом конечных разностей и методом конечных элементов поведения решений квазилинейных уравнений с начальными данными, близкими к кусочно-постоянным.
Научная новизна. Рассматриваемая в диссертации задача впервые решена аналитически для случаев взаимодействий: ударная волна — ударная волна, ударная волна — фронт волны разрежения, и численно для взаимодействия фронт волны разрежения — фронт волны разрежения. Обобщенный метод годографа впервые использован для решения системы квазилинейных уравнений эллиптического типа.
Методы исследования. Для построения аналитических решений уравнений переноса вещества электрическим полем в бездиффузионном приближении использовалась теория квазилинейных гиперболических уравнений и обобщенный метод годографа. Для численных расчетов использован метод конечных элементов и конечно-разностные методы.
Научная достоверность. Научная достоверность результатов работы подтверждается 1) корректностью математической постановки задачи; 2) совпадением полученных аналитических результатов с известными численными расчетами и экспериментами; 3) сравнением результатов вычислительных экспериментов с точными решениями.
Научная и практическая значимость. Полученные результаты являются частью общей математической теории разделения многокомпонентных смесей электрическим полем. Результаты о взаимодействии
волн являются общими и могут быть использованы для решения аналогичных задач. Практическая значимость работы заключается в развитии аппарата описания и прогнозирования процессов разделения многокомпонентных смесей. Результаты работы могут быть использованы для разработки методик экспериментов и их интерпретации.
Представленные в диссертации исследования поддерживались грантами: РФФИ 07-01-00389, 2007-2009 гг. («Нелинейные волны и электрофорез»), 07-01-92-213-НЦНИЛ, 2007-2009 гг. («Математическое моделирование и исследование динамики жидкости со сложными физико-химическими свойствами при электромагнитных и вибрационных воздействиях»), грантами АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» 2.1.1/6095 и 2.1.1/554, 2009-2010 гг., грантом Федерального аген-ства по науке и инновациям (гос. контракт 02.740.11.5189), 2009-2010 гг.
Апробация. Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики ЮФУ, кафедры математического моделирования ЮФУ, докладывались на следующих конференциях, школах:
XI-XIV Международные конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2007-2010 гг.)
XIII Всероссийская конференция-школа «Современные проблемы математического моделирования» (п. Абрау-Дюрсо, 2009 г.)
— Первая международная конференция «Процессы самоорганизации
в высыхающих каплях многокомпонентных жидкостей: эксперименты,
теория, приложения» (Астрахань, 2010 г.)
Публикации. По результатам диссертации автором опубликовано 10 работ, из них 2 работы [1, 2] в изданиях, входящих в перечень ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, утвержденный ВАК.
Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем диссертации — 161 страница, включая иллюстрации, таблицы, список литературы из 148 наименований и приложение объемом 3 страницы.