Математическое моделирование эффективных характеристик композиционных материалов с учетом межфазного слоя Пальков Роман Сергеевич

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1 Построение математической модели определения эффективных характеристик композитов в виде периодической структуры 13

1.1 Краткий исторический обзор существующих методов определения и прогнозирования механических свойств композиционных материалов 13

1.2 Представительный элемент и определяющие дифференциальные уравнения для линейной упругости 23

1.3 Эффективные свойства трансверсально изотропного композита 37

1.4 Метод граничных элементов 43

1.5 Эффективные упругие модули структуры «включение - межфазный слой» 50

ГЛАВА 2 Определение эффективных механических характеристик композиционных материалов без учета межфазного слоя 60

2.1 Верификация алгоритма и программы 60

2.2 Анализ волокнистых композитов на основе трехмерного представительного элемента 63

2.3 Влияние формы включений на эффективные упругие характеристики композиционных материалов 69

2.4 Исследование эффективных упругих характеристик материала с включениями круглой формы при наличии трещины 79

ГЛАВА 3 Определение эффективных механических характеристик композиционных материалов с учетом межфазного слоя 82

3.1 Математическое моделирование влияния характеристик межфазного слоя на эффективные механические свойства композитов 82

3.2 Влияние геометрической формы включений на эффективные механические характеристики однонаправлено армированных композитов с учетом межфазного слоя 96

3.3 Эффективные механические характеристики для трехмерных тел с учетом межфазного слоя 104

3.4 Влияние схемы армирования на эффективные механические характеристики однонаправлено армированных композитов с учетом межфазного слоя 108

Заключение 116

Список использованных источников 118

Приложение

• Представительный элемент и определяющие дифференциальные уравнения для линейной упругости
• Анализ волокнистых композитов на основе трехмерного представительного элемента
• Исследование эффективных упругих характеристик материала с включениями круглой формы при наличии трещины
• Влияние геометрической формы включений на эффективные механические характеристики однонаправлено армированных композитов с учетом межфазного слоя

Введение к работе

Актуальность и степень разработанности по теме работы. В настоящее время композиционные материалы (КМ) успешно применяются в различных отраслях промышленности, используются как для создания элементов строительных конструкций (рамы, фермы, балки, трубы) так и для замены токсичных, дефицитных и дорогостоящих материалов (бериллий), в авиационной и космической технике и машиностроении.

Как правило, КМ имеет периодическую структуру. Под средой с периодической структурой будем понимать двухфазную среду (фаза матрицы и фаза включения), составленную из периодически повторяющегося представительного элемента (ПЭ). На рис. 1а показан пример периодической структуры для волокнистого композита, состоящего из включений одного вещества и матрицы другого вещества, заполняющего пространство между этими включениями.

Одной из основных математических задач в современной науке о материалах является задача моделирования свойств КМ (их обычно называют эффективными, или макроскопическими, свойствами) по свойствам составляющих их компонентов. На границе раздела матрицы и включения образуется межфазный слой в виде дополнительной фазы (Рис.1 б). Эта фаза отличается по своим свойствам от фазы матрицы и фазы включения. Прочностные характеристики композитов во многом определяются структурой и свойствами межфазного слоя. Для включений с радиусом порядка микрометров вклад такой тонкой межфазной области в упругие свойства композита является незначительным. Однако для включений с радиусом порядка нанометров, этот потенциальный вклад повышается из-за увеличения площади межфазной поверхности. Например, для h/r₀ =0.25 (рис. 1б), межфазная объемная доля превышает 100% от объемной доли включения, так, что упругие свойства межфазного слоя доминируют над свойствами включения. Поэтому при вычислении эффективных характеристик КМ, таких как модуль упругости Е, модуль сдвига G, объемный модуль упругости к и коэффициент Пуас-

сона v необходимо учитывать его наличие, что значительно усложняет расчет.

Рисунок 1. а) Поперечное сечение КМ с периодической структурой, б) ПЭ с межфазным

слоем, в) ПЭ с эффективным включением. Для теоретического определения свойств КМ разрабатываются методы усреднения, цель которых состоит в замене реальной неоднородной среды однородной средой с эффективными характеристиками. Обширные обзоры по определению эффективных механических характеристик двухфазных сред можно найти

в работах M. Качанова, И. Севостьянова, Z. Hashin, R.M. Christensen, A.V. Dyskin и L.N. Germanovich, S. Nemat-Nasser и M. Hori, G.J. Weng, R.W. Zimmerman, J.W. Ju, T.M. Chen, Y. Huang, J.R. Willis; теоретические основы приведены в книгах Б.Е. Победря, Н.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко, T. Mura, M.J. Beran.

Межфазный слой в предыдущих исследованиях учитывался либо как дополнительная фаза с постоянными механическими свойствами, окружающая включение, либо через дополнительное когезионно-адгезионное слагаемое в рамках градиентной теории упругости (Лурье С.А.). В последнем случае чрезвычайно тяжело определить экспериментально необходимые новые физические постоянные, отвечающие за нормальную и сдвиговую адгезию.

Таким образом, разработка методов определения эффективных

механических свойств КМ при наличии межфазного слоя с переменными по толщине свойствами и программного обеспечения для их определения в КМ является актуальной задачей, чему и посвящена данная диссертационная работа.

Математическая модель может предсказать свойства КМ в процессе его конструирования и, таким образом, позволяет рассмотреть задачу об оптимизации по критерию максимальной жесткости формы включений и их распределении по сечению, что также чрезвычайно актуально при создании новых материалов с наперед заданными свойствами.

Целью работы является разработка математических моделей, методов и программного обеспечения для численного и аналитико-численного моделирования эффективных механических характеристик КМ с периодической структурой, с включениями различной формы, окруженных межфазным слоем с переменными по толщине свойствами на основе эффективного включения, которое эквивалентно структуре «включение - межфазный слой».

Научная новизна работы состоит в следующем:

– Разработана новая математическая модель для эффективного включения, которое по своим механическим свойствам эквивалентно структуре «включение – межфазный слой», отличающаяся тем, что она позволяет учитывать неоднородность механических свойств по толщине межфазного слоя;

– Создан новый численный алгоритм и комплекс программ, отличающийся от предыдущих тем, что он позволяет определять эффективные упругие свойства КМ с периодической структурой для включений различной формы с учетом межфазного слоя, свойства которого неоднородны по толщине;

– Проведено аналитико-численное исследование эффективных упругих характеристик КМ различной структуры с учетом межфазного слоя, механические свойства которого являются переменными по толщине. На основе новых полученных результатов сделан вывод о наилучших по критерию максимальной жесткости КМ в поперечном направлении схемах армирования и формах включений;

– Исследованы зависимости механических характеристик КМ для нового класса задач - наличие дефектов на границе включений и матрицы и исследована зависимость эффективных механических свойств КМ от степени выраженности дефектов;

– В результате проведенных исследований найдены структуры КМ, отличные от общепринятых, имеющие сплошную сетку армирования с диагональными элементами во включениях, у которых жесткость в поперечном направлении в несколько десятков раз выше.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость заключается в разработанном методе моделирования и определения эффективных упругих констант композитов с учетом наличия неоднородного межфазного слоя. При этом становится возможным прогнозирование эффективных механических характеристик создаваемых вновь КМ с помощью метода граничных элементов (МГЭ) и метода конечных элементов (МКЭ), производить оценку эффективных механических характеристик композита, в зависимости от свойств, входящих в его состав матрицы и включений с учетом неоднородного межфазного слоя, в зависимости от геометрической формы включений, а также пространственном распределении включений в матрице.

Практическая значимость заключается в разработке алгоритмов и прикладных программ для ЭВМ, которые могут служить основой для определения и прогнозирования эффективных механических характеристик создаваемых КМ с учетом неоднородного межфазного слоя на стадии проектирования и, следовательно, дают возможность уточнить или скорректировать ожидаемые свойства готового КМ. Разработанные математические модели, алгоритмы и программы для расчета эффективных характеристик композитов могут быть использованы в инженерных расчетах, методических рекомендациях, что в свою очередь позволит снизить количество дорогостоящих экспериментальных исследований путем замены части из них расчетами.

По результатам исследований получены 4 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ №№2014612743, 2015611619, 2015611600, 2016616949.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе использованы общенаучные и специальные методы исследования. Для достижения целей диссертационной работы применялись методы математического моделирования. Использованы специальные методы двумерных статических задач теории упругости, вычислительной математики, фундаментальные принципы механики, теории дифференциальных уравнений, МГЭ и МКЭ в механике сплошных сред. Комплекс программ реализован на базе МГЭ, на языке Fortran.

Положения и результаты, выносимые на защиту:

новая математическая модель определения эффективного включения, которая позволяет учитывать переменные механические свойства по толщине межфазного слоя;

новый алгоритм определения механических свойств КМ с учетом неоднородности межфазного слоя с использованием эффективного включения, позволяющий рассматривать очень тонкие межфазные слои;

новое программное обеспечение на основе МГЭ, для вычисления эффективных упругих свойств КМ для различных форм включений как при наличии, так без межфазного слоя;

новые результаты моделирования композитов различной структуры с учетом межфазного слоя, на основе которых сделан вывод о наилучших схемах армирования и формах включений;

исследование зависимости механических характеристик КМ для нового класса задач: наличие дефектов на границе включения и матрицы.

Апробация результатов. Основные положения и результаты работы, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на международных и всероссийских научных конференциях, форумах и симпозиумах:

1. Международный молодежный научный форум «ЛОМОНОСОВ 2012», Москва, апрель 2012.

2. V Научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов ФГУП «НПЦАП», Москва, апрель 2012.

3. 14 Всероссийская молодежная конференция по физике полупроводников опто- и наноэлектронике, Санкт-Петербург, ноябрь 2012.

4. Международная научно-техническая конференция РАН «Системы и комплексы автоматического управления летательными аппаратами», посвященной 105-летию со дня рождения академика Н.А. Пилюгина, Москва, май 2013.

5. VI Научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов ФГУП «НПЦАП», Москва, сентябрь 2014.

6. XXXXII Всероссийский симпозиум по механике и процессам управления, Миасс, декабрь 2012.

7. XV конференция молодых ученых «Навигация и управление движением», Санкт-Петербург, март 2013.

8. Научно-практическая конференция с международным участием XLI НЕДЕЛЯ НАУКИ СПбГПУ, Санкт-Петербург, декабрь 2012.

9. Научно-практическая конференция с международным участием XLII НЕДЕЛЯ НАУКИ СПбГПУ, Санкт-Петербург, декабрь 2013.

10. Х Международная научно-практическая конференция «Современные металлические материалы и технологии» СММТ’13, Санкт-Петербург, июль 2013

11. IХ Российская ежегодная конференция молодых научных сотрудников и аспирантов «Физико-химия и технология неорганических материалов», Москва, октябрь 2012.

12. Всероссийская молодежная научная школа «Химия и технология полимерных и композиционных материалов». Москва, ноябрь 2012.

13. Научно-практическая конференция с международным участием «XLIII НЕДЕЛЯ НАУКИ СПбГПУ», Санкт-Петербург, декабрь 2014.

14. V Международная конференция «Деформация и разрушение материалов и наноматериалов», Москва, ноябрь 2013.

15. Международная научная конференция «Теории оболочек и мембран в механике и биологии: от макро- до наноразмерных структур», Минск, Беларусь, сентябрь 2013.

16. Форум с международным участием «XLIV НЕДЕЛЯ НАУКИ СПбПУ», Санкт-Петербург, декабрь 2015.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 научных работ, 5 из которых опубликованы в ведущих рецензируемых журналах из перечня ВАК Ми-нобрнауки РФ.

Представительный элемент и определяющие дифференциальные уравнения для линейной упругости

Асимптотический метод осреднения, предложенный Н.С. Бахваловым [2], является одним из известных методов численного осреднения, применяемых для периодических сред. Данный метод применим только для структур с известной структурой периодических сред. Достоинствами данного метода является то, что он позволяет определять не только эффективные модуль упругости и коэффициент Пуассона, но и локальные значения напряжений на включениях, а недостатки состоят в том, что необходимо решать нестандартные краевые задачи, которые не могут быть решены численно МГЭ или МКЭ. Однако, этот метод не позволяет учесть наличие межфазного слоя между матрицей и включением.

Все рассмотренные оценки эффективных упругих характеристик КМ не учитывают возможного наличия межфазного слоя между матрицей и включением. Поэтому, для того, чтобы использовать микромеханические теории для получения эффективных свойств композитов с учетом межфазного слоя или неоднородности межфазного слоя между включением и матрицей необходимо найти решение для одного включения с наличием межфазного слоя или неоднородного межфазного слоя [48, 56, 62, 74, 83]. По сравнению с проблемой, связанной с неоднородным межфазным слоем, в случае однородного слоя решение гораздо легче. Для этого случая существует некоторые явные решения для сферических частиц или цилиндрических волокон [51, 56, 83]. Однако эти решения могут быть довольно сложными при чистом сдвиге. В случае, когда межфазный слой имеет неоднородные свойства, требуется применение численных методов для решения дифференциальных уравнений задачи теории упругости в бесконечной матрице, содержащей одну частицу или волокно с межфазным слоем [62]. Для особого случая, то есть радиально симметричной задачи с бесконечной матрицей, содержащей включение в виде сферы, в [74] дано решение в виде бесконечных рядов, а затем получено значение эффективного объемного упругого модуля, на основе метода Мори-Танака. Но соответствующие задачи, связанные с граничными условиями чистого сдвига на бесконечности, не были решены, ни аналитически, ни численно.

Для композитов, армированных волокнами с межфазным слоем Hill R. [56] указал, что волокна вместе с межфазным слоем могут быть заменены однородным волокном с эффективным модулем, за исключением эффективного модуля сдвига в поперечном направлении. Упругие свойства однородного эффективного волокна могут быть определены через отыскание эффективного модуля двухфазных композитов. Решение эквивалентно модели композитного цилиндра [51], методу Мори-Танака [101], или обобщенному неитерактивному решению [91].

Данные математического моделирования для неоднородных межфазных слоев появились впервые в работах [66, 67] для эффективной упругой среды со сферическими включениями, окруженными радиально неоднородными межфазными зонами. В этой работе была сформулирована основная идея замены неоднородного включения одним эквивалентным однородным включением. Такая замена осуществлялась путем моделирования неоднородных межфазных зон множеством тонких концентрических слоев (с кусочно-постоянным изменением свойств). Было показано, что при количестве слоев равным 40, дальнейшее увеличение практически не приводит к изменениям. Аналогичный анализ для цилиндрических неоднородностей (волокон) в окружении концентрических слоев осуществлен в [66, 67]. Эта работа была в значительной степени забыта и ее идеи вновь появились в ряде более поздних работ [53]. Основная идея замены неоднородных включений эквивалентным однородным была использована в большинстве работ по данной теме. Аппроксимация радиально переменных свойств несколькими слоями (с кусочно-постоянным изменением свойств) была рассмотрена работах [44] и [45] для бетонных композитов. Альтернативный метод был использован в [100]. Авторы считали, что КМ со сферическими включениями и межфазной зоной представляет собой функционально-градиентный материал и вычислили эффективные упругие модули с помощью обобщенного самосогласованного метода для эффективного модуля сдвига. Ими была получена замкнутая форма решения для двух конкретных законов изменения радиальных свойств: линейного и степенного. В [72] и [107] получен эффективный объемный модуль упругости для включений с линейно изменяющимся упругим модулем. Авторы работ [73, 74, 75] получили эффективный объемный модуль упругости для включений со степенным законом изменения межфазного слоя. Что же касается произвольного закона изменения свойств в радиальном направлении, то помимо вышеперечисленных идей многослойной аппроксимации, интересная методика была предложена в [89, 90], где толщина межфазного слоя постепенно увеличивается бесконечно малыми порциями с гомогенизацией на каждом шаге. В результате композитная сфера или цилиндр, сферическая частица или цилиндрическое волокно вместе с его межфазным слоем, заменяются эффективной однородной частицей или волокном. Ими получены дифференциальные уравнения для эффективного модуля частицы или волокна. В отличие от самосогласованного метода, в котором вся объемная доля каждой фазы внедряется в эффективную матрицу за один шаг, дифференциальная схема основана на постепенном внедрении бесконечно малыми шагами. На каждом шаге только бесконечно малый объем dV фазы включения с тензором упругости С1 встраивается в бесконечно большую однородную матрицу. На произвольном шаге матрица характеризуется эффективным свойством C (c1), которое соответствует заполнению объемной доли с1 = 11Т. При сохранении общего объема V , добавляется бесконечно малый объем dV фазы включения и при этом тот же объем эффективного матричного материала должен быть удален. Тем самым объемная доля включения изменяется до с1 + dc1 и объемный баланс на этом шаге можно записать в виде: ( w її лі лт dv dc (1.18) (C1 +dc1)y = с у -c1av + dv = . V 1-C1 Дифференциальная схема, таким образом, приводит к нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям для эффективного тензора упругости как функции объемной доли с1 фазы включения. Исходный материал (вторая фаза) появляется только в начальных условиях: С (с1=0)=См. В случае полной (т.е., материальной и геометрической) изотропии получаем следующую систему связанных дифференциальных уравнения для эффективных объемного модуля и модуля сдвига:

Анализ волокнистых композитов на основе трехмерного представительного элемента

На границе раздела матрицы и включения образуется межфазный слой в виде дополнительной фазы. Эта фаза отличается по своим свойствам от фазы матрицы и фазы включения. Прочностные характеристики композитов во многом определяются структурой и свойствами межфазного слоя. Тонкий межфазный слой, толщина которого h обычно находится в диапазоне нескольких нанометров вокруг волокон/частиц встроенных в полимерную матрицу с упругим модулем выше, чем объемный модуль матрицы вследствие ограниченной подвижности цепочек полимера. Для традиционного композита, где радиус волокон/частиц находится в диапазоне нескольких микрометров или больше, влияние межфазного слоя на жесткость составного объекта может быть незначительным и составные объекты могут быть смоделированы как двухфазная система материалов. Однако толщина тонкого межфазного слоя может стать сопоставимой с размером наполнителя для некоторых случаев, например, если наполнителем являются нано размерные волокна/частицы или углеродные нано трубки. В этом случае его влияние на эффективные свойства композита может быть существенным. Для полимерных нано композитов было указано, что межфазная область [71, 93] толщины h нано метрового масштаба возникает в результате сложных взаимодействий на границе включений и полимерной матрицы. Для наполнителя с радиусом порядка микрометров вклад такой тонкой межфазной области в упругие свойства композита является незначительным. Однако, для включений с радиусом порядка нанометров, этот потенциальный вклад повышается из-за увеличения площади межфазной поверхности. Например, для h/r0, где г0 - радиус включения, межфазная объемная доля превышает 200% от объемной доли включения, так, что упругие свойства межфазного слоя доминируют над свойствами включения.

Общепризнано, что межфазный слой может значительно влиять на механические свойства составных объектов. Таким образом, в целом термомеханические свойства композита будут зависеть от отношения толщины слоя к размеру включения. Анализ этой зависимости, а также влияния формы включений на эффективные характеристики является одной из целей настоящего раздела. Проблема состоит в определении тех параметров (его относительной толщины, закона изменения свойств по толщине), которые приводят к основным изменениям эффективных упругих констант. Наличие межфазного слоя существенно усложняет применение численных методов для определения эффективных характеристик композитов. Кроме того, параметры самого межфазного слоя, как правило, являются неоднородными по толщине.

По сравнению с проблемой, связанной с неоднородностью межфазных слоев, в случае однородного покрытия определение эффективных характеристик гораздо легче. Для однородных слоев в некоторых случаях получены явные решения для сферических частиц и цилиндрических волокон. В случае неоднородного межфазного слоя, как правило, требуется решать дифференциальные уравнения для задачи теории упругости с бесконечной матрицей, содержащей одну частицу или волокно с межфазным слоем.

Последние исследования [12, 16, 20, 43] показывают, что для композитов, армированных волокнами, волокна вместе со слоем покрывающим волокна, могут быть заменены однородными волокнами с определенным эффективным модулем [43]. Основная идея замены неоднородных включений путем эквивалентных однородных уже используется в большинстве работ. Идея аппроксимации переменных радиальных свойств несколькими слоями с постоянными свойствами (кусочно-постоянное изменение свойств) была предложена в [44, 45]. Альтернативный метод был использован в [100], где для сферического включения межфазный слой представляется в виде множества слоев с различными свойствами. Эффективные упругие модули рассчитывались для композитных многослойных сфер. Были получены несколько решений в замкнутой форме для двух конкретных видов линейных законов изменения свойств межфазного слоя. Для произвольного закона изменения свойств межфазного слоя по его толщине интересная методика была предложена в [89]. Согласно этой методике толщина межфазного слоя считается постепенно возрастающей и происходит гомогенизация на каждом шаге. В результате для эффективных характеристик структуры «включение -межфазный слой» выводится дифференциальное уравнение. Эта идея, с изменениями, использована в работе [59].

Недавно в [89] была предложена дифференциальная модель для получения эффективных упругих свойств структуры «включение -межфазный слой» для произвольного закона изменения упругих свойств слоя по толщине, которая позволяет преобразовать включение с его межфазным слоем в эффективное однородное включение. Авторами было показано, что модель не точна для случая чистого сдвига. Ее точность зависит от комбинации материалов включения, межфазного слоя и матрицы. Сравнения с результатами МКЭ [89, 90] показали, что модель приводит к довольно точным результатам, когда межфазные свойства заключены между свойствами матрицы и включения. Однако модель приводит к большим ошибкам, когда межфазный слой жестче и волокно мягче, чем матрица. На практике этот случай как раз встречается в композите усиленном полыми волокнами или углеродными нанотрубками.

Исследование эффективных упругих характеристик материала с включениями круглой формы при наличии трещины

Математическое моделирование, проводилось для объемных долей 5% и 20%, при следующих значениях свойств материала: =1012Па, v/=0,27, Ет = 1,53 109 Па, vm = 0,45, V; = 0,36. Для толщины межфазного слоя в диапазоне от /г = 0,001г0 до /г = 0,1г0 сравнивались значения эффективных упругих характеристик, полученных на основе формул (1.72), (1.73), (1.80), (1.84), при явном наличии межфазного слоя (рисунок 3.1) с модулем Юнга равным среднему значению, вычисленному по соотношению (3.1). Для закона изменения Et{r) (3.2), как легко показать среднее значение Ег не зависит от толщины межфазного слоя h и для г0 = 0,2523, что соответствует объемной доли включения 5%, Ег =154-109Па. Аналогично, для закона изменения Et{r) (3.4), среднее значение также не зависит от /г, а зависит лишь от показателя степени Q. В частности для Q = 0,5 получаем Ег= 667-109 Па, а для Q = 2 Ег =334 109Па. Для закона изменения Et{r) (3.5) при 5 = 0,1 среднее значение Ег изменяется от Ег =109-109 Па при h = 0,1r0 до г =115-109Па при /г = 0,001г0. На рисунке 3.3 показаны графики изменения Et{r) по толщине межфазного слоя: а) график изменения Et{r) для закона (3.2); б) для закона (3.4) при Q = 0,5 - пунктирная кривая и Q = 2 сплошная кривая для h = 0,2г0; в) график изменения Et{r) для закона (3.5) и значения h = 0,2г0. а) б) в) Рисунок 3.3. Кривые зависимости Дг): а) для закона (3.2); б) для закона (3.4); в) для закона (3.5). Вначале эффективные характеристики Ее, Ge,ke,ve были вычислены МКЭ без замены структуры «включение - межфазный слой» на эффективное включение с ПЭ, показанном на рисунке 3.1. Эти результаты для различных значений толщины межфазного слоя h приведены в таблицах 3.1-3.3 для трех законов изменения модуля Юнга по толщине межфазного слоя. В первой строке приведены результаты для закона (3.2), во второй строке для закона (3.4) при Q = 0,5, в третьей строке для закона (3.5) и 5 = 0,1 для объемной доли включения 5%. При очень малой толщине равной /г = 0,001г0 вычисления по МКЭ провести невозможно из-за плохой обусловленности системы уравнений МКЭ.

Здесь, как и прежде, Ее/Ет- отношение эффективного модуля упругости к модулю упругости основного материала (матрицы), Ge /Gm -отношение эффективного модуля сдвига в поперечном направлении к модулю сдвига основного материала (матрицы), ке /кт - отношение эффективного объемного двумерного модуля к объемному двумерному модулю основного материала (матрицы) и ve - эффективный двумерный коэффициент Пуассона.

Так как упругие свойства эффективного включения и структуры «включение - межфазный слой энергетически» эквивалентны, то энергия упругих деформации этих областей должны быть равны для заданных напряжений. Поэтому расчетная область не будет содержать тонкий межфазный слой, но он будет учтен при определении эффективных свойств включения (см. п. 1.5). Эффективное включение имеет радиус гг =г0 +Л . График зависимости kef\r) при кг.=254.6ГПа, Л/=856ГПа, г0=0,25 и г г 12г0 показан на рисунке 3.5. Эффективный объемный модуль при 1 =1.2г0 =0.3 имеет значение kef(r1) = 409.2 ГПа. После этого по формулам (3.10) и (3.11) для различных значений k.,G., в качестве которых были взяты средние значения, для законов (3.2), (3.4) и (3.5), были вычислены эффективные характеристики ke,(r1), GeAr1) структуры «включение - межфазный слой» и характеристики Ее, Ge,ke,ve композита.

Далее в качестве параметров эффективного включения kef(K),GeAr) /V1/ использовались значения, полученные как решения дифференциальных уравнений (3.7), (3.8) не для постоянных k.,G., а для заданных конкретных законов изменения значения модуля упругости (3.2), (3.4) и (3.5). Решение дифференциальных уравнений проводилось методом Рунге-Кутты. Графики зависимостей полученных решений kef{r0 + h) от h для законов (3.2), (3.4) и (3.5) представлены на рисунке 3.6 для объемной доли включения 5%.

Результаты, полученные МКЭ с использованием эффективного включения, для различных значений толщины приведены в таблицах 3.8-3.11 для тех же законов изменения модуля Юнга по толщине межфазного слоя.

Аналогичные расчеты были проведены для объемной доли включения 20% для тех же материалов матрицы и включения. Радиус включения при этом г0 = 0,5046. Результаты вычисления эффективных характеристик Ее, Ge,ke,ve МКЭ без замены структуры «включение - межфазный слой» на эффективное включение для различных значений толщины приведены в таблицах 3.12-3.14 для трех законов изменения модуль Юнга по толщине межфазного слоя.

Влияние геометрической формы включений на эффективные механические характеристики однонаправлено армированных композитов с учетом межфазного слоя

Для этого закона, значений г0 = 0,50046, h = 0,2г0 и следующих характеристиках матрицы и включения: модуль упругости матрицы Ет =1.53 109Па, коэффициент Пуассона матрицы vm =0,45, модуль упругости армирующих волокон Ef =1000-109 Па, коэффициент Пуассона армирующих волокон vr=0,27 из решений уравнений (1.136), (1.137) были получены значения K2 3 , (r1),Ge2 3 (г1), которым соответствуют значения модуля упругости эффективного включения E2 2 J = Е 3 3J =420-109 Па и коэффициент Пуассона v2 3, = 0,33 (рисунок 3.31). Значение У 23(Г) принималось равным среднему значению коэффициентов Пуассона матрицы и волокон v 23(r) = 0,36.

Сначала рассмотрим однонаправлено армированный композит как трехмерное тело и найдем его эффективные характеристики на основе трехмерной ПЭ в виде куба и параллелепипеда.

Далее по методике, описанной в п. 1.5, с использованием эффективного включения были вычислены эффективные механические характеристики КМ Ее22 и Ge23 в условиях плоской деформации на основе двумерного и трехмерного ПЭ. В первой строке таблицы 3.30 приведены результаты для ПЭ в виде куба hx=a, во второй строке для двумерного квадратного ПЭ, в третьей строке для трехмерного ПЭ в виде параллелепипеда, в четвертой строке для трехмерного ПЭ с учетом плоской деформации. Таблица 3.30. Результаты исследования с учетом межфазного слоя Вид ПЭ 22Ет 23 Gm kekm Куб hx= а 1.858 1.851 1.786 Двумерный 1.529 1.534 1.483 Параллелепипед hx = 10а 1.850 1.843 1.774 Трехмерный (плоская деформация) 1.485 1.485 1.485 Двумерные результаты существенно отличаются от трехмерных. Это связано с тем, что условия плоской деформации в трехмерном случае нарушаются из-за наличия предписанной деформации є (і) 25 К Уменьшение этой деформации за счет увеличения размеров ячейки в направлении оси ОХ (hx=10a) позволило несколько сблизить результаты полученные по двумерной модели c результатами трехмерной модели (третья строка таблицы 3.30), но все равно отличие их достаточно велико.

Дальнейшее увеличение hx проблематично, так как количество конечных элементов сильно возрастает из-за большой разницы размеров. Единственным способом получить в трехмерной модели результаты соответствующие двумерной в условиях плоского деформированного состояния является исключение предписанной деформации Є = —, то есть hx hx cc. Полагая є11 = 0, проведя два численных эксперимента из равенств (1.62) - (1.65) с использованием соотношений (1.68) находим трехмерные упругие модули. В условиях плоской деформации соответствующие модули приведены в четвертой строке таблицы 3.30.

Как видно из таблицы 3.30 результаты для модулей упругости для двумерного ПЭ и трехмерного ПЭ (плоская деформация) совпадают с точностью 2,8% при наличии межфазного слоя. Таким образом, в случае волокнистых композитов нет необходимости использовать трехмерный ПЭ для прогнозирования эффективные механических характеристик и можно использовать двухмерный ПЭ. Аналогичный вывод можно сделать и для композитных пластин находящихся в условиях плоского и обобщенного плоского напряженного состояния.

В данном параграфе проводится математическое моделирование эффекта усиления КМ по различным моделям однонаправленного армирования. Рассмотрим КМ в алюминиевой матрицей, армированной борными волокнами. Приводимые в литературе физико-механические свойства волокон, изготовленных из бора, имеют очень большой разброс. В первую очередь это связано с конкретной технологией их изготовления, поэтому мы принимаем осредненные по литературным источникам значения механических свойств [14]: - алюминиевая матрица, имеет плотность рm = 2700 кг/м3, модуль Юнга Em = 70 ГПа, коэффициент Пуассона vm = 0,34; - борные армирующие волокна имеют: плотность pf = 2500 кг/м , модуль Юнга Ef = 400 ГПа, коэффициент Пуассона vf = 0,25; - модуль Юнга межфазного слоя толщиной h = 0,1г0 изменяется по закону (3.4) при 6 = 0,5 (рис. 3.23а). На рисунке 3.21 а, б приведены структуры поперечного сечения КМ, для квадратной и гексагональной модели армирования. На рисунке 3.22а, б приведены контуры расчетной области для квадратной и гексагональной модели армирования соответственно. Цифрами обозначено: 1 - матрица, 2 -межфазный слой, 3 - включение.

Здесь E/Em - отношение эффективного модуля упругости к модулю упругости матрицы (алюминия), G/Gm - отношение эффективного модуля сдвига к модулю сдвига матрицы, ке/кт - отношение эффективного объемного двумерного модуля к объемному двумерному модулю матрицы, ve - эффективный коэффициент Пуассона.