Введение к работе
Актуальность темы исследования. Математическое описание
периодических процессов, проходящих на сетях (множество одномерных континуальных фрагментов, связанных между собой посредством узлов), имеет принципиальное отличие от описания таковых, протекающих на классических многообразиях: соотношения в узле суть соотношения в точке, соотношения на континуальных фрагментах – соотношения на многообразиях. Математическая интерпретация процесса в виде системы многих соотношений в узлах и на многообразиях сложна в анализе и неэффективна для использования. Другой спецификой математического описания периодического процесса на сети является свойство многофазовости описываемого процесса, подготовленное самой природой периодических процессов сплошных сред, которые не являются однородными из-за сложного структурного состава (наличие нескольких фаз). Сказанное явилось первопричиной использования классов суммируемых (интегрируемых на ограниченной области) функций, которые обладают обобщенными производными, определяемыми с помощью интегральных тождеств, так как класс непрерывно дифференцируемых функций слишком узок и недостаточен для описания периодического процесса в многофазовой среде. Расширение класса функций позволяет более точно отразить физическую сущность периодических процессов и явлений.
Исследования, стационарных колебательных процессов на
пространственных сетях, проведенные в конце ХХ – начале ХХI веков в работах М.И. Белишева, А.В. Боровских, М.Г. Завгороднего, Ю.М. Покорного, В.Л. Прядиева, В.А. Юрко, S. Nicaise, J. Below (см. также работы А.И. Вольперта, С.И. Худяева), сосредоточены на выводе теоретических закономерностей, относящихся к областям качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
В последние 20 лет интенсивное развитие получил анализ нестационарных периодических процессов на пространственных сетях, в том числе задачи оптимального управления указанными процессами (С.А. Авдонин, О.М. Пенкин, В.В. Провоторов, А.С. Волкова, Ю.А. Гнилицкая). Существенно расширяется класс функций, описывающих допустимые состояния дифференциальной системы, а именно, осуществляется переход от гладких к суммируемым функциям, являющимися элементами соболевских пространств, при этом дифференциальные уравнения, часть начальных и краевые условия заменяются интегральными тождествами (О.А.Ладыженская, Н.Н. Уральцева, J.-L. Lions, E. Magenes). Численные методы анализа указанных задач до настоящего времени находятся в стадии формирования – существуют отдельные фрагменты численных исследований (А.С. Волкова, Ю.А. Гнилицкая). Разумеется, алгоритмы и комплексы программ находятся на том же этапе развития.
Из сказанного вытекает актуальность темы исследования в следующих
направлениях: развитие качественных методов анализа математических моделей
нестационарных периодических процессов, разработка и обоснование
вычислительных методов исследования моделей, численный анализ предлагаемых эффективных алгоритмов и формирование комплекса программных продуктов.
Цели и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является развитие качественных аналитических методов анализа математических моделей нестационарных сетевых периодических процессов, развитие численных методов анализа указанных моделей в направлении использования их для класса
суммируемых функций, разработка и обоснование необходимых эффективных алгоритмов, разработка комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:
- математическое описание периодических процессов в терминах
эволюционных начально-краевых задач гиперболического типа с распределенными
параметрами на графе (сети), построение для таких задач множеств допустимых
слабых решений в классе суммируемых функций;
обоснование существования слабого решения для эволюционного уравнения гиперболического типа с распределенными параметрами на сети, изучение его свойств для конструктивного определения приближений;
разработка и обоснование численных методов, адаптированных к отысканию в классе суммируемых функций приближений слабого решения эволюционного уравнения гиперболического типа с распределенными параметрами на сети;
- разработка алгоритмов для отыскания приближений слабого решения с
заданной точностью, где учитывается как архитектура сети, так и типы исходных
данных задачи;
- разработка комплекса проблемно-ориентированных программ,
реализующих предложенные численные методы и алгоритмы нахождения
приближений слабого решения эволюционного уравнения гиперболического типа с
распределенными параметрами на сети, а также включающего рекомендации по
использованию.
Методы исследования. В диссертационной работе используются методы математического моделирования и фундаментальные методы современного анализа теории периодических процессов; методы построения разностных схем и методы аппроксимаций интегральных соотношений для эволюционных систем, их обоснование в классе суммируемых функций; современные технологии вычислительного эксперимента.
Положения, выносимые на защиту.
-
Разработаны новые подходы в направлении развития качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей периодических процессов и явлений в сетеподобных объектах, представленных эволюционными системами гиперболического типа с распределенными параметрами на сети. Отличительной особенностью таковых подходов является использование класса суммируемых функций при описании указанных процессов и явлений в многофазовых сплошных средах сетеподобной структуры. Представлены условия существования слабого решения эволюционной системы, установлены свойства этого решения, необходимые для отыскания и численного анализа приближений слабых решений.
-
Изучены задачи определения внешних воздействий на эволюционную систему без учета и с учетом временного запаздывания, оптимально связывающие расчетное состояние системы с заданным; представлены соотношения для построения таких внешних воздействий. Решены задачи синтеза внешнего воздействия: внешние воздействия определяются через состояние системы.
3. Построена разностная схема эволюционной начально-краевой задачи
гиперболического типа с распределенными параметрами на сети для отыскания
приближений слабых решений в классе суммируемых функций, обоснованы ее
устойчивость и сходимость. Представлена аппроксимация интегральных тождеств
({v} -аппроксимация) в конечномерных линеалах с базисом {v;} из обобщенных
собственных функций эллиптического оператора эволюционной системы.
4. Разработаны алгоритм определения приближений слабого решения
эволюционной системы гиперболического типа с распределенными параметрами
на сети и алгоритм построения внешних воздействий на эту систему по заданному
состоянию системы.
5. Разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для
проведения вычислительного эксперимента, получены решения серии тестовых
задач, ориентированных на задачи прикладного характера.
Положения, выносимые на защиту, соответствуют пунктам 2,3,4 раздела «Области исследований» паспорта специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.
Научная новизна диссертационного исследования состоит в следующих результатах:
-
Разработаны новые подходы для качественных и приближенных аналитических методов анализа математических моделей периодических процессов и явлений, которые используют класс суммируемых функций, учитывают архитектуру сетей или сетеподобных объектов; и могут быть использованы в теоретических и практических исследованиях.
-
Представлено обоснование существования приближений решений начально-краевой задачи для эволюционной системы гиперболического типа с распределенными параметрами на сети в слабой постановке.
-
Разработаны и обоснованы вычислительные методы для отыскания приближений слабого решения эволюционной системы гиперболического типа с распределенными параметрами на сети и методы для синтеза внешнего воздействия на эту систему без запаздывания и с запаздыванием.
4. Разработаны алгоритмы и комплекс проблемно-ориентированных
программ для ЭВМ с проведением вычислительных экспериментов на тестовых
задачах.
Практическая значимость. Разработаны новые подходы для численного анализа математических моделей сетевых периодических процессов, которые учитывают архитектуру сети и структурную многофазовость процессов. Результаты работы могут быть использованы для разработок спецкурсов математического факультета Воронежского государственного университета, Института математики, механики и информатики Тамбовского государственного университета и ВУНЦ ВВС «Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), а также при решении прикладных задач технического характера.
Достоверность научных положений и выводов диссертационной работы обеспечивается использованием отечественного и зарубежного опыта в решении задач, аналогичных представленным в диссертационной работе; сопоставлением
полученных соискателем результатов с данными ведущих ученых по исследуемой в работе задаче; сравнительным анализом теоретических выводов с результатами вычислительных экспериментов; публикациями соискателя в рецензируемых научных изданиях, в том числе изданиях списка ВАК РФ.
Апробация работы. Материалы диссертационного исследования были
представлены и обсуждались на научных конференциях и семинарах: IX,
X Международная конференция "Современные методы прикладной математики,
теории управления и компьютерных технологий" ПМТУКТ-2016, 2017 (Воронеж,
2016, 2017); IV Всероссийской НПК «Академические Жуковские
чтения» (Воронеж, 2016); Межвузовская научно-практическая конференция «Молодежные чтения памяти Ю.А. Гагарина» (Воронеж, 2016, 2017); II Международная открытая конференция «Современные проблемы анализа динамических систем. Приложения в технике и технологиях», посвященной 100-летию со дня рождения С.Г. Крейна (Воронеж, 2017); Международная научно-практическая конференция «Молодежный форум: прикладная математика. Математическое моделирование систем и механизмов» (Воронеж, 2017); Международного молодежного симпозиума «Современные проблемы математики. Методы, модели, приложения» (Воронеж, 2017), семинар проф. Жуковского Е.С. (Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, 2016, 2017), семинар проф. Корниенко В.В. (Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2016), семинар проф. Глушко А.В. (Воронежский государственный университет, 2016, 2017), семинар проф. Сумина А.И. (Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)), 2016,2017,2018).
Публикации. Результаты диссертационного исследования опубликованы в
12 научных работах, в том числе 5 - в изданиях рекомендованных ВАК РФ. В
работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат: [3] -
построение устойчивой разностной схемы для гиперболической начально-краевой
задачи; [4] – доказательство соотношений, определяющих оптимальное
управление; [5] – доказательство существования слабого решения; [11] – условия
нахождения единственного оптимума гиперболической системы, с
распределенными параметрами на графе; [12] –обоснование существования и построение приближенных решений.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, списка литературы и приложения. Объем составляет 139 страниц (в том числе приложение на 42 страницах) и содержит 17 таблиц и 15 рисунков.