Математическое моделирование и численный анализ геометрически нелинейных оболочек Бессонов Леонид Валентинович

Введение к работе

Актуальность темы.

Теория пластин и оболочек имеет важное практическое значение и находит широкое применение при расчётах строительных конструкций, летательных аппаратов, деталей механизмов и машин. При этом эффективность расчёта оболочечных конструкций связана с разработкой математических моделей и созданием комплексов программ.

Вопросы математического моделирования оболочек и их численный анализ берут начало с работ Софи Жермен, Лагранжа, Коши, Пуассона, Кирхгофа. Более позднее развитие этих моделей связано с трудами таких отечественных и зарубежных учёных как С.А. Амбарцумян, В.В. Болотин, И.Г. Бубнов, И.Н. Векуа, В.З. Власов, А.С. Вольмир, И.И. Ворович, Б.Г. Галеркин, В.В. Га-лишникова, И.И. Гольденблат, А.Л. Гольденвейзер, Э.И. Григолюк, В.В. Карпов, Н.А. Кильчевский, С.Г. Лехницкий, А.И. Лурье, Х.М. Муштари, А.А. Назаров, В.В. Новожилов, П.Ф. Папкович, Б.Л. Пелех, Ю.Н. Работнов, А.Р. Ржаницын, С.П. Тимошенко, В.И. Феодосьев, К.Ф. Черных и другие. Нужно отметить, что в теории технических оболочек особо важное значение имеют геометрически нелинейные модели пологих оболочек, т.е. модели, содержащие нелинейные слагаемые, отражающие гауссову кривизну оболочки, развитие которых связано с работами В.З. Власова, Х.М. Муштари и других ученых.

Для численного анализа геометрически нелинейных моделей, как правило, используются такие известные методы как метод Бубнова — Галёркина, метод сеток, метод конечных элементов и другие. В области устойчивости параметров часто используют метод В.В. Петрова – метод последовательного возмущения параметров. В данной работе изучаются вопросы, связанные с применением метода Бубнова — Галёркина и метода последовательного возмущения параметров.

Численный анализ геометрически нелинейных моделей оболочек на основе метода Бубнова — Галёркина осуществляется наиболее эффективно в случае прямоугольных в плане оболочек, шарнирно закреплённых по краям. Это связано с наличием в случае указанных оболочек ортогонального базиса в пространстве функций, удовлетворяющих нулевым граничным условиям, что значительно упрощает схему вычисления методом Бубнова — Галёркина при анализе нелинейной модели.

Вместе с тем, остаётся ряд малоизученных задач. В частности, встаёт задача определения такого класса геометрически нелинейных моделей оболочек, для которого применение метода Бубнова — Галёркина позволит эффективно (в смысле снижения вычислительной сложности при сохранении, или даже улучшении точности решения) получать решение, как в случае прямоугольных в плане шарнирно закреплённых оболочечных конструкций, так и в более сложных случаях.

При численном анализе геометрически нелинейных моделей оболочек широко применяется метод В.В. Петрова, гарантируется верный результат только в области устойчивости параметров, т.е. при таких значениях параметров (нагрузка, геометрические размеры и др.), для которых не происходит потеря устойчивости. Те значения параметров, при которых происходит потеря устойчивости, называются критическими значениями параметров. Переход через критические значения параметров может привести к ложным решениям. Зачастую критические значения параметров заранее неизвестны, что осложняет применение метода. Поэтому актуальна задача определения области устойчивости параметров.

Цель исследований — определить расширенный класс геометрически нелинейных моделей, численный анализ которых с помощью указанных методов позволяет получать приемлемый по точности результат для достаточно произвольных в плане границ пологих оболочек, имеющих как шарнирный, так и жёсткий характер закрепления, а также создать программный комплекс с повышенной скоростью автоматизированных вычислений.

В связи с этой целью в работе решаются следующие задачи:

1. Определение расширенного класса геометрически нелинейных моделей оболочек, для которого в пространстве функций, удовлетворяющих граничным условиям строится ортогональный базис.

2. Определение для полученного класса моделей скорости сходимости метода Бубнова — Галёркина в зависимости от гладкости полученных решений.

3. Разработка алгоритма расчёта напряжённо-деформированного состояния (НДС) оболочек, однозначно разрешимого аппаратом символьных вычислений, позволяющего аналитически проверить результаты численных расчётов.

4. Разработка численной схемы, позволяющей определять область допустимых значений параметров при применении метода последовательного возмущения параметров в рассматриваемом случае.

5. Разработка эффективного программного комплекса для расчёта НДС оболочек и сопряжённых с этим расчётом задач для рассматриваемого случая.

В силу вышесказанного тема диссертационной работы является актуаль-

ной.

Научная новизна:

1. Определён расширенный класс геометрически нелинейных моделей пологих оболочек, отличающийся тем, что область (проекция оболочки на плоскость опоры), имеет границу составленную из линий, заданных произвольными алгебраическими уравнениями. Этот класс отличается тем, что имеет произвольные в определённом смысле граничные условия, при этом для известных задач (прямоугольных, треугольных, трапециевидных, круговых в плане оболочек и некоторых

других частных случаев) решение получается сравнимое по точности с аналитическим. И в то же время, удаётся получить решение для более экзотических конфигураций границ оболочки. При этом наряду с шарнирным закреплением возможно и жёсткое закрепление краёв оболочки. Предложен достаточно простой алгоритм построения ортогонального базиса в пространстве функций, непрерывных в области , удовлетворяющих граничным условиям поставленной задачи, и существенно упрощающий расчёт оболочечной конструкции методом Бубнова — Галёркина, по сравнению с подходом, использующим неортогональные базисы.

2. Для предложенных геометрически нелинейных моделей разработан алгоритм расчёта НДС оболочек, однозначно разрешимый аппаратом символьных вычислений компьютерной алгебры, что позволило получить аналитическое решение для верификации численного решения.

3. Для предложенных геометрически нелинейных моделей пологих оболочек разработана численная схема, позволяющая в расчётах получить область критических значений параметров, приводящих к ложным решениям в методе последовательных возмущений параметров.

4. Для предложенных геометрически нелинейных моделей получена оценка скорости сходимости метода Бубнова — Галеркина при расчёте НДС в зависимости от гладкости начальных условий, что позволяет определить требуемое число слагаемых при разложении в ряд по ортогональному базису и существенно повышает эффективность метода.

5. Разработан программный комплекс для расчета НДС геометрически нелинейных оболочек, для которых область имеет кусочно-алгебраическую границу, учитывающий модификации метода Бубнова — Галер-кина и метода последовательных возмущений параметров, основанный на современных высокопроизводительных API языков программирования Java и Python.

Практическая и теоретическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы для расчёта НДС пологих оболочечных конструкций в случае области , определяемой поверхностью оболочки, являющейся ограниченной областью с кусочно-алгебраической границей методом Бубнова — Га-лёркина и методом последовательного возмущения параметров. Для практического применения полученных в работе теоретических результатов разработан программный комплекс. Результаты работы могут быть использованы как в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов и аспирантов соответствующих направлений подготовки, так и специалистами при решении соответствующих задач теории оболочек и соответствующих прикладных областей, например, технической теории оболочек, строительной механики.

Объект исследования. Объектом исследования диссертации является определенный класс нелинейных моделей пологих оболочек, численные ме-5

тоды: метод Бубнова — Галеркина, метода последовательных возмущений параметров и их модификации.

Предмет исследования. Предметом исследования является НДС исследуемого класса геометрически нелинейных оболочечных конструкций.

Mетодология и методы исследования. В работе используются методы функционального анализа, методы рядов Фурье в различных функциональных пространствах, операторный метод.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Модификация метода Бубнова — Галеркина для случая геометрически нелинейных моделей пологих оболочечных конструкций с областью , определяемой поверхностью оболочки, являющейся ограниченной областью, имеющей кусочно-алгебраическую границу. Эта модификация позволяет для известных задач (прямоугольных, треугольных, трапециевидных, круговых в плане оболочек и некоторых других частных случаев) получать решение, сравнимое по точности с аналитическим. И в то же время, построенная модификация позволяет получить решение для более экзотических, ранее не рассматривавшихся, конфигураций границ оболочки. При этом наряду с шарнирным закреплением возможно и жёсткое закрепление краёв оболочки.Оценка скорости сходимости метода Бубнова — Галёркина в зависимости от гладкости начальных условий.

2. Определение области единственности решения модельной задачи в результате использования спектрального критерия локальной потери устойчивости в ходе процедуры применения метода последовательных возмущений параметров при расчёте НДС пологих оболочек с кусочно-алгебраическими границами области как в случае шарнирного, так и в случае жёсткого закрепления краёв оболочки.

3. Основные положения реализации программного комплекса расчёта НДС геометрически нелинейных моделей пологих оболочек, для которых область имеет кусочно-алгебраические границы, и иллюстрации возможностей этого комплекса на отдельных примерах. А именно, разработка алгоритма построения ортогонального базиса, однозначно разрешимого средствами компьютерной алгебры; применение для реализации алгоритмов символьных и численных расчётов современных высокоэффективных API языков программирования Python и Java; применение архитектуры программного комплекса, позволяющей модульно делать замены компонентов.

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается строгими теоретическими выкладками и доказательствами, опирающимися на методы функционального анализа, теории функций, а также на ранее полученные результаты учёных, работавших над смежными вопросами. Также достоверность обеспечивается сравнением отдельных полученных результатов с аналогичными результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на кафедральном семинаре кафедры компьютерной алгебры и теории чисел СГУ имени Н.Г. Чернышевского, Саратов, 2012-2016; внутревузов-ской конференции «Актуальные проблемы математики и механики» СГУ имени Н.Г. Чернышевского, Саратов, 2012-2016; I Внутревузовской научно-практической конференции студентов и аспирантов, СГУ имени Н.Г. Чернышевского, Саратов, 2013; Международной конференции «MECHANICS, SIMULATION AND CONTROL» (ICMSC-2015), Санкт-Петербург, 2015; Девятнадцатой Международной конференция по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС’2015), Алушта, 2015; XV международной конференции «Современные концепции научных исследований», Москва, 2015; X Всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», пос. Дивноморское, 2015; XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Казань, 2015.

Личный вклад. Решение поставленных задач, доказательство, анализ результатов и выводы из них получены автором самостоятельно. В выполненных в соавторстве работах соискателю в равной степени принадлежат как постановка задачи, так и результаты выполненных исследований.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах, входящих в перечень журналов, рекомендуемых ВАК, 2 статьи в рецензируемых журналах, 3 статьи в сборниках трудов конференций. Получено 1 авторское свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, написанной по результатам исследований, приведённых в диссертационной работе, а также включающей ранее известные факты.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх частей, заключения, списка цитированной литературы и приложений. Полный объём диссертации составляет 160 страниц, включая 19 рисунков. Список литературы содержит 140 наименований.