Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Математическое описание эволюционных процессов в сетях и сетеподобных объектах 12
1. Общие положения 12
2. Математическое описание эволюционных процессов в кровеносных сосудах 15
2.1. Эволюционные процессы в кровеносных сосудах 16
2.2. Эволюционная модель переноса по системе сосудов 19
2.3. Волновые явления в сосудистой системе 20
3. Моделирование эволюционных процессов в сетях и сетеподобных физических объектах 21
3.1. Ламинарное течение жидкости в сети длинных труб 22
3.2. Турбулентное течение сред в сетеподобных трубопроводах 24
3.3. Ламинарное течение сред в сетеподобных трубопроводах 26
3.4. Другие задачи естествознания 26
Выводы 27
Глава II. Математические модели, описываемые эволюционными уравнениями с распределенными параметрами на сетях и сетеподобных областях 28
1. Одномерные и многомерные сетеподобные множества 30
1.1. Одномерные сетеподобные множества 30
1.2. Многомерные сетеподобные множества 32
2. Динамика несжимаемой вязкой жидкости (линейный случай) 33
2.1. Основные понятия и предложения 34
2.2. Начально-краевая задача, однозначная разрешимость 37
3. Динамика несжимаемой вязкой жидкости (нелинейный случай)... 43
3.1. Необходимые обозначения и понятия 43
3.2. Существование решения задачи (2.25)-(2.30) 49
3.3. Единственность решения задачи (2.25)-(2.30) 54
3.4. Непрерывность по исходным данным 57
3.5. Линеаризованная система (2.25)-(2.30) 57
4. Корректность математических моделей 58
Выводы 59
Глава III. Оптимизация эволюционных процессов в сетях и сетеподобных объектах 60
1. Линейный случай, система с распределенными параметрами на сети 60
1.1. Задача стартовой оптимизации 61
1.2. Соотношения, определяющие оптимум 62
1.3. Управляемость системы (3.2) 66
1.4. Отыскание оптимума 67
1.5. Конечномерная оптимизация 67
2. Нелинейный случай, система с распределенными параметрами в сетеподобной области 70
2.1. Задача стартовой оптимизации 71
2.2. Бесконечномерная оптимизация 71
Выводы 72
Глава IV. Численные методы 73
1. Метод Роте 73
1.1. Предварительные рассуждения 74
1.2. Обоснование метода Роте (линейный случай) 77
2. Аппроксимация дифференциальных систем на сетях 79
2.1. Уравнения Навье-Стокса. Система с параметром 79
2.2. Анализ задачи с параметром 81
2.3. Сходимость 83
2.4. Метод Роте для систем эволюционных уравнений с параметром 84
3. Метод приближений Галеркина 85
4. Алгоритмическое описание эволюционных процессов 86
4.1. Алгоритмы отыскания специального базиса 86
4.1.1. Алгоритм 1-го типа для сети Г 87
4.1.2. Алгоритм 2-го типа для сетеподобной области 88
4.2. Алгоритмы отыскания решений начально-краевых задач 90
4.2.1. Алгоритм метода Роте 90
4.2.2. Алгоритм метода аппроксимаций 92
4.2.3. Алгоритм метода Галеркина 94
5. Алгоритмы отыскания решений задач оптимизации 96
5.1. Общая схема алгоритма отыскания решений задач оптимизации 96
5.2. Алгоритм отыскания решений задачи стартовой оптимизации 97
5.3. Алгоритм отыскания решений задачи граничной оптимизации 98
5.4. Алгоритмы отыскания решений других задач оптимизации 99
Выводы 100
Глава V. Прикладные эволюционные задачи в сетеподобных объектах 101
1. Расчет полей скоростей ламинарных потоков 103
1.1. Линейный случай, давление в сети постоянное 103
1.2. Линейный случай, давление в сети изменяется 107
2. Расчет полей скоростей турбулентных потоков 111
2.1. Нелинейный случай, давление в сети изменяется (Г є R1) Ill
2.2. Нелинейный случай, давление в сети изменяется (3 є R2) 115
3. Оптимизационные задачи эволюционных процессов 119
3.1. Оптимизация по стартовым данным (линейный случай) 119
3.2. Оптимизация по стартовым данным (нелинейный случай) 130
Заключение 141
Список литературы 143
- Эволюционные процессы в кровеносных сосудах
- Динамика несжимаемой вязкой жидкости (линейный случай)
- Соотношения, определяющие оптимум
- Аппроксимация дифференциальных систем на сетях
Введение к работе
Актуальность темы. При математическом описании физических процессов и последующего анализа их математических моделей возникла необходимость в замене классических постановок начально-краевых задач обобщенными (не использующие аппарата непрерывных функций), более точно отражающими физическую сущность явлений, описываемых эволюционными уравнениями. К тому имелось два различных источника. Первый -многомерные вариационные (оптимизационные) задачи. При их исследовании столкнулись с необходимостью расширить класс функций (пространств), среди которых ищется минимум и допустить к сравнению наряду с гладкими функциями и суммируемые функции, обладающие обобщенными производными. Вторым (и основным) источником явились эволюционные процессы гидродинамики. Сложности возникли в описании и анализе течения многофазных сред в сетях и сетеподобных конструкциях (трубопроводы, сетевые гидросистемы, кровеносные системы живых организмов и пр.). Разветвленные потоки имеют не только фиксированные внешние границы (стенки каналов, поверхности обтекаемых тел), но и внутренние поверхности раздела — межфазные поверхности раздела, изменяющиеся в пространстве и времени. Как показывают исследования Л.Г. Лойцянского, С.С. Кутателадзе, М.А. Стыриковича, A.M. Архарова, И.В. Марфенина, Е.И. Микулина, Г. Уоллеса, на границах раздела фаз возникают скачки давления, температуры и вектора скорости. Последовательные аналитические методы (в рамках классического анализа на базе гладких функций) для таких систем в настоящее время отсутствуют — существуют фрагментарные результаты, так как в потоках со сложным характером течений имеется ряд областей, замкнутых границами раздела, где возникают трудности, связанные с описанием изменения как геометрии границ, так и их (границ) месторасположении в потоке, носящем вероятностный характер. В качестве примера тому можно привести кровь в кровеносной системе живого организма, состоящей из ньютоновской несущей фазы — плазмы с определенным динамическим коэффициентом вязкости — и переносимых плазмой кровяных телец. К упомянутым сложностям следует присоединить и дополнительные, относящиеся к описанию структуры сетеподобного объекта.
Диссертационная работа Гнилицкой Ю.А. выполнена в рамках научной темы «Исследование свойств операторов в функциональных пространствах и актуальных задач для дифференциальных уравнений», регистрационный № 0120.0853009.
Цели и задачи исследования. Целью работы является развитие конструктивных методов анализа моделей и численных методов (алгоритмов) исследования процессов в сетеподобных объектах, описываемых эволюционными уравнениями.
Для достижения цели в работе ставятся и решаются следующие основные задачи:
— разработка нового системного подхода к анализу моделей
эволюционных процессов в сетеподобных объектах на основе существующих
классических методов анализа эволюционных уравнений параболического
типа;
разработка и исследование начально-краевых задач (линейных и нелинейных) для эволюционных уравнений параболического типа в пространствах С.Л. Соболева, корректность постановок указанных задач: существование и единственность турбулентного решения задачи, непрерывность решения по исходным данным;
разработка конструктивных методов решения задач оптимизации эволюционных процессов в сетеподобных объектах: существование и единственность оптимума, анализ управляемости по исходным данным;
разработка численных методов, адаптированных к отысканию турбулентных решений начально-краевых задач и решений задач оптимизации эволюционных процессов, имеющих особенности, присущие как архитектуре сетеподобных объектов, так и исходным данным задач;
— разработка комплекса алгоритмов отыскания турбулентных решений и
решений задач оптимизации, отличающихся возможностью учитывать
структурные особенности моделей: выбор классов решений, архитектура
сетеподобных объектов, типы исходных данных;
— разработка структуры программного комплекса для решения задач
анализа эволюционных процессов в сетеподобных объектах, включающую
рекомендации по использованию различных типов сетеподобных объектов и
классов турбулентных решений.
Методы исследования основаны на использовании современных методов теории математического моделирования, функционального анализа, приближений и аппроксимаций дифференциальных уравнений с частными производными, теории графов.
Тематика работы соответствует следующим пунктам Паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»: п. 2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей; п. 3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий; п. 4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.
Научная новизна. В работе получены следующие характеризующиеся научной новизной результаты:
— новый системный метод анализа моделей процессов в сетеподобных
объектах, описываемых эволюционными уравнениями, отличающийся
возможностью использовать пространства суммируемых с квадратом функций
для интерпретации негладких особенностей турбулентных решений;
— конструктивные методы анализа нового типа начально-краевых
эволюционных задач (линейных и нелинейных), отличающиеся особенностью,
состоящей в универсальности подхода для получения условий существования и
единственности турбулентных решений этих задач, непрерывности их по
исходным данным, что открывает возможность использования классических
методов как теории аппроксимации, так и теории оптимизации;
— единый подход к исследованию задач оптимизации эволюционных
процессов в сетеподобных объектах, отличающийся анализом существования и
единственности оптимума, управляемости по исходным данным задачи, что
открывает пути использования классических методов оптимизации;
— комплекс численных методов, адаптированных к отысканию
турбулентных решений начально-краевых задач и решений задач оптимизации,
отличающийся полным обоснованием получения приближений таких решений
(анализ аппроксимаций, сходимостей), что дает возможность с заданной
точностью определять их, учитывая особенности, присущие как архитектуре
сетеподобных объектов, так и исходным данным задач;
— комплекс алгоритмов отыскания турбулентных решений и решений
задач оптимизации, отличающихся учетом особенностей математических
моделей: различные классы допустимых решений, архитектура сетеподобных
объектов, типы исходных данных, что дает возможность осуществлять
вычислительную деятельность широким кругом исследователей;
— структура программного комплекса для решения задач анализа
эволюционных процессов в сетеподобных объектах, отличительной
особенностью которого является наличие информационной среды для
различных типов сетеподобных объектов, классов турбулентных решений и
решений оптимизационных задач, рекомендаций по выбору пути отыскания
решения таких задач, что унифицирует и существенно упрощает работу
пользователя.
Практическая значимость работы. Представленные в диссертации конструктивные методы и подходы анализа начально-краевых задач математических моделей эволюционных процессов в сетеподобных объектах с одной стороны в большей степени точности отражают физическую сущность явлений, с другой дают возможность полного анализа математической модели: существование и единственность решения, непрерывная зависимость от исходных данных. Полученные результаты могут быть использованы как в теоретических исследованиях, так и при решении ряда прикладных задач, присущих сетеподобным объектам. Разработанные численные методы составили алгоритмическую основу для программного комплекса, позволяющего решать прикладные задачи разного типа - перенос веществ по кровеносной системе человека, перенос вязких многофазных сред в гидросетях и гидросистемах.
Реализация и внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе математического факультета Воронежского государственного университета, факультета
прикладной математики — процессов управления С.-Петербургского государственного университета, Института математики, физики, информатики Тамбовского государственного университета им. Г.Р. Державина при подготовке студентов по специальностям «Прикладная математика» и «Математика».
Апробация работы. Результаты диссертационной работы
докладывались на научных конференциях и семинарах: XLIII, XLIV, XLV Международные конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2012, 2013, 2014), Международная научная конференция «Колмогоровские чтения - VI. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2013), VII Международная научная конференция «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий. ПМТУКТ-2014» (Воронеж, 2014).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 13 научных работах, в том числе 7 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат: [2] -доказательство разрешимости краевых задач; [3] - доказательство существования обобщенных собственных функций; [4] - доказательство управляемости дифференциальной системой; [13] - доказательство разрешимости начально-краевой задачи для параболического уравнения на пространственной сети.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 93 наименований, и приложения. Объем составляет 216 страниц (в том числе приложение на 55 страницах) и содержит 85 таблиц и 38 рисунков.
Эволюционные процессы в кровеносных сосудах
Кровеносная система (КС) любого высокоорганизованного живого организма — множество сосудов, полостей, иных образований (емкостей), которые заполнены кровью, находящейся в движении, инициированного давлением, формируемым сердечной мышцей (рис. 1.1); при анализе фрагментов КС рассматриваются и подсистемы КС (рис. 1.2). Кровеносную систему принято называть графом КС [3, 12, 30]. С точки зрения математического описания, позволяющего анализировать многие процессы в КС с достаточной степенью адекватности [3, 30], пространственная структура графа КС такова, что является естественным представлять его в виде геометрического ограниченного связного пространственного графа (разумеется, ориенти рованного в силу определенности движения потока крови), процессы же, проходящие в графе КС как физическом носителе, зачастую описываются формализмами эволюционных уравнений как с сосредоточенными [7], так и распределенными параметрами [3, 12, 31] на графе.
Эволюционные процессы в кровеносных сосудах. Не концентрируясь на всей обширной проблематике процессов гемодинамики в кровеносных сосудах [3, 12, 30], остановимся только на гидродинамических процессах, имеющих место в артериальной части графа КС. Последнее продиктовано кругом прикладных задач, рассмотренных в главе V.
Граф КС интерпретируется в квазиодномерном приближении, т.е. заведомо предполагается, что длины сосудов несоизмеримо больше их диаметров и, значит, параметризацию сосудов можно осуществлять одной переменной, изменяющейся вдоль оси сосудов [3, 30] (см. также [12]). При этом всегда можно установить гомеоморфизм сосудов графа КС и ребер любой наперед заданной длины соответствующего геометрического графа, который является множеством изменений выбранной переменной. Течение крови в границах одного сосуда графа КС (ребра геометрического графа) Место ввода ЛВ
Здесь p(x,t) — давление среды в КС, S — площадь поперечного сечения сосуда, р — плотность среды (зачастую р = const). Сила трения среды на границе сосуда (стенки сосуда): Fmp = —Sirvu/S (эмпирическая формула), где v — вязкость среды; Fe — силы, инициированные естественной упругостью сосудов [3, 7].
Соотношение (1.3) в системе (1.1)-(1.3) — связь между S и p(x,t): как правило, имеющая следующий вид (эмпирическая формула) [3]:
Далее рассмотрим граф КС. Пусть щ = щ(х, t) — скорость течения среды (крови) в к-м сосуде графа КС, течение среды в к-м сосуде описывается системой (1.1)-(1.3); величины Sk считаются известными: Sk = Sk(x,t). Пусть в графе КС содержится 1с веществ с концентрациями С/ = — (I = 1,1с), соответственно. Здесь ті — масса /-го вещества, т — масса крови в сосуде. Функция Сі удовлетворяет дифференциальному уравнению [3, 12, 30]
Эволюционная модель переноса по системе сосудов. Используя методы и подходы, представленные в работах [3, 12, 30, 31], получим гидродинамическую модель переноса веществ по системе сосудов графа КС (рис. 1.3). Предварительно приведем необходимое описание геометрического графа Г (полное описание этого графа содержится в главах II, III).
Обозначим через 7& ребра ограниченного графа Г и пусть — узлы его. Пусть далее 9Г и J (Г) — множество граничных и внутренних узлов, соответственно. Все ребра графа ориентированы и параметризованы отрезком [0,1] и пусть R() — множество ребер, ориентированных «от узла », г() — множество ребер, ориентированных «к узлу » (рис. 1.3).
Гидродинамическая модель переноса веществ по графу КС описывается в терминах начально-краевой задачи с распределенными параметрами на геометрическом графе относительно функции C(x,t) (x,t Є Г х [0,Т]) в соответствии результатами пункта 2.1 и работы [12]: Здесь соотношения (1.7) условия распределения потоков среды узлах ветвления сосудов; функции (р(х)} ф(х) заданы и определяют концентрации при { = 0ив концевых точках КС, соответственно.
Ниже представлено математическое описание волновых явлений, сопутствующего процессу продвижения потоков среды по графу кровеносной системы — так называемые пульсовые волны в графе КС, возникающие как результат периодического сокращения сердечной мышцы [7, 12].
Волновые явления в сосудистой системе. Периодическое сокращение сердечной мышцы формирует периодическое изменение внутреннего давления в графе КС и, как следствие, порождает возникновение волновых явлений в сосудистой системе [7].
Выявить и описать такую закономерность (закономерности), как составную часть гидродинамических процессов графа КС, позволяет анализ волновых уравнений с пространственными переменными, изменяющимися на графе [12, 21, 66].
Сущебствует множество подходов и методов моделирования разного рода гидродинамических процессов, используемые как при исследовании од-нокомпонентных жидкостей (однофазных сред), так и многокомпонентных жидкостей (многофазных сред) (см., например [74, с. 21], [38, с. 158] и литературу там). Не останавливаясь на отдельном методе или подходе, укажем на главную идею представляемой работы — математическое описание некоторых гидродинамических процессов не требует математического инструмента непрерывных (гладких) функций. Во многих случаях (прежде всего при анализе некоторых характеристик установившихся течений многофазных сред) такой инструмент просто неприменим (или непомерно/непреодолимо громоздок) из-за необходимости отдельного рассмотрения динамики каждой фазы: моделируются течения каждой фазы, устанавливается межфазное взаимодействие (по-видимому, основная сложность, зачастую непреодолимая) и только после этого внимание исследователя сосредотачивается на анализе гидродинамических процессов. Ко всему этому добавляются естественные сложности, порождаемые самой структурой сетеподобных объектов, в которых происходят гидродинамические процессы и явления (сети водоводов и водопроводов, жидкостные транспортеры, гидравлические системы криогенных установок и пр.). Ниже приводятся некоторые примеры описания таких процессов в физических сетеподобных объектах.
Ламинарное течение жидкости в сети длинных труб. Прежде всего отметим, что понятие «длинная труба» в нашем изложении означает, что численный размер длины трубы много больше такового размера диаметра ее и при математическом описании гидродинамических процессов можно использовать ограниченный геометрический граф, параметризованный одним параметром, принадлежащим какому-либо ограниченному множеству евклидова пространства К1. Не вдаваясь в детальное описание математических формализмов (подробное описание приведено в 1 главы II), ограничимся только необходимыми обозначениями и понятиями.
Пусть Г — ограниченный ориентированный граф (система труб) с конечным числом ребер 7 (трубами) и допускающий наличие замкнутых петель (рис. 1.4): через дГ обозначено множество граничных, через /(Г) — множество внутренних узлов. Каждое ребро графа параметризуется отрезком [0,1] и параметром х Є [0,1] ЄІ1, ориентация ребер установлена определенным образом. Пусть также Гу = Г х (О, Т) ((О, Т) — интервал изменения времени t), дГт = дГ х (0,Т).
Динамика несжимаемой вязкой жидкости (линейный случай)
Обозначим через Е множество всех функций г=1 Y(x,t) с произвольными di(t): обладающими указанными выше свойствами, и произвольными натуральными N. Множество Е плотно в подпространстве функций, принадлежащих W\Q{a) Гу) и равных нулю при t = Т. Это следует из плотности множества {ип{х)}п \ в W\ 0(а, Г), непрерывности Y(x,t) Є S по t Є [0,Т] и У(ж,) Є И- о Г) для каждого фиксированного t Є [0,Т]. Зафиксируем в (16) функцию Y(x,t) = Y (x,t) Є N E (У (ж,) = J d (t)ui(x)) и по выбранной выше подпоследовательно г=1 сти {yNk}k l перейдем к пределу, начиная с номера Щ N . В результате получим соотношение (2.13) для предельной функции y(x,t) и при г)(х, t) = У (ж, t): значит, в силу плотности множества Е в подпространстве функций, принадлежащих W\Q{CL YT) и равных нулю при t = Т, y(x,t) — обобщенное решение из И/2 0(а,Гг) начально-краевой задачи (2.9)-(2.11). Теорема доказана.
Замечание 1. Краевое условие (2.11) может быть неоднородным: y(x,t) = (f)(x,t), х Є 9Г, 0 t Т (здесь (f)(x,t) \хє(= Ф((і) Для каж дого узла ( Є дТ) и доказательство теоремы почти дословно повторяет приведенные рассуждения. При этом предварительно вводится новая неиз вестная функция U(x,t) = y(x,t) — Ф(ж,) Є И/2 0(а,Гг), удовлетворяю щая однородному краевому условию, здесь Ф(ж,) - произвольная функ ция из L/2(TT), имеющая обобщенную производную -д Є L2(TT) И удовле творяющая (почти всюду) лишь неоднородному краевому условию. Пра вая часть уравнения (2.9) для U(x,t) принимает вид F(x,t) = f(x,t) — ЪФ т г1, в правой части соотношения (2.12) определения 1 для обобщен ного решения U(x,t) добавляется слагаемое — j b(x)$(x,i)r)(x,i)dxdt — j a{x) x{x1t)r]x{x1t)dxdt. Замечание 2. Утверждение теоремы остается справедливым и для начально-краевой задачи со смешанными краевыми условиями: условие (2.11) заменяется на (постоянная а своя для каждого граничного ребра у: а = а , С дШ,). Обобщенное решение у(х, t) такой начально-краевой задачи определяется в пространстве W2 (а, Гу) и удовлетворяет тождеству для любой r)(x,t) Є И 2о(а Гт), равной нулю при t = Т; обобщенные собственные функции принадлежат пространству И- Г) и удовлетворяют тождеству, приведенному в замечании к теореме 1.
Покажем далее, что обобщенное решение задачи (2.9)-(2.11) является элементом пространства У21о(а,Гт), при каждом фиксированном t Є [0,Т] принадлежит пространству И- о Г) и непрерывно зависит от в норме И 0(а,Г). Для анализа используем метод Фурье и систему обобщенных собственных функций задачи (2.8), плотную в W\Q{a)Г) и ортонормированную в ІУ2(Г) (теорема 1). Рассмотрим ряд y(x,t) = J2 ane Xntun(x), ап = f v{x)un{x)dx (2.21) множество собственных значений задачи (2.8)). Отметим, что сумма любого из его конечных отрезков есть обобщенное решение системы (2.9), удовлетворяющее краевому условию (2.11). Дальнейшее заключается в исследовании характера сходимости ряда (2.21), которое основано на анализе норм г/(ж,)І2(г), 2/t(,)z,2(r) (t Є [0,71]) (см. также [12]):
В силу v(x) Є L2(Г) имеем azn = \\v(x)\\2L ,т, и ряды, стоящие в правых частях (18), равномерно сходятся относительно t Є [0,Т]. Значит, сумма y(x,t) ряда (2.22) является обобщенным решением задачи (2.9)-(2.11) из пространства V2 0 (а, Гу). Действительно, из указанной сходимости следует, что функция y(x,t) принадлежит У20(а}Гт) и удовлетворяет интегральному тождеству (2.12). Последнее вытекает из следующего: сумма yN(x,t) первых N членов ряда (2.21) удовлетворяет этому тождеству с функцией является ограниченной функцией на любом отрезке [є,Т] (є 0), то в силу соотношения (2.23) обобщенное решение у(х, t) есть элемент пространства \20(а,Г) при любом t Є (0,Т] и непрерывно зависит от t в норме W20(a,V). Таким образом справедлива Теорема 3. Обобщенное решение у(x,t) Є У2 0(а,Гт) начально-краевой задачи (2.9)-(2.11) при любом t Є (0,Т] принадлежит пространству W20(a,V) и непрерывно зависит от t в норме W20(a,Г).
Покажем, что задача (2.9)-(2.11) не может иметь двух различных решений. По выбранной в теореме 2 подпоследовательности {yNk}k , перейдем к пределу в неравенстве (2.18), начиная с номера N} N и, учитывая не зависящую от номера N оценку (2.19) для yNk(x,t), получим
Теорема 4. Начально-краевая задача (5)-(7) имеет единственное обобщенное решение y(x,t) Є У20{а,Тт), непрерывно зависящее от исходных данных f(x,t) uv(x).
Замечание. Доказательство единственности обобщенного решения в пространстве V2 (а, Гу) ничем не отличается от приведенного, при этом необходимо учесть замечание 2 к теореме Необходимые обозначения и понятия. Рассмотрим далее открытую ограниченную область О1 евклидова пространства Жп (п 2), имеющую сетеподобную структуру, аналогичную структуре графа Г (см. 1): 9і = [J k U $1 (см- п- 1-2, 1); через Si обозначена поверхность, разделя k і ющая смежные области 9 , d s — граница О1. Место сопряжения смежных областей k назовем узловым местом по аналогии с внутренним узлом графа Г и оно представляет собой объединение поверхностей 5/, число которых равно числу смежных областей; обозначение узлового места оставим прежним — : = [J Si.
Определим, как и в п. 2 2, слабое решение задачи (2.25)-(2.30) (в [84] — турбулентное решение). Для этого введем необходимые пространства, отличные от введенных в 1 в силу многомерности области О1, и проведем предварительные рассуждения. Обозначим через () пространство измеримых функций /І (классов), суммируемых с квадратом по области для которых Пусть -0() — пространство функций, бесконечно дифференцируемых в области 0і и имеющих в 0і компактные носители. Положим 5)() = {ф : ф Є 0{ )1(1іуф = 0}, a 5) ) — сопряженное к 5)() пространство [36], и определим пространство 7/() как замыкание 5)() в норме () со
Соотношения, определяющие оптимум
Предыдущие исследования, прежде всего результаты главы III (результаты главы II — теоретическое обоснование исследования главы III), являются инструментом алгоритмического описания процесса численного анализа (в т.ч. методик расчета) и апробаций математических моделей на сетях и сетеподобных структурах. При этом весь комплекс алгоритмов разделен на две равноправные группы: алгоритмы определения решений начально-краевых задач математических моделей, играющие во многих прикладных задачах гидродинамики самостоятельную роль, и алгоритмы определения решений разного типа оптимизационных задач, свойственных широкому кругу гидродинамических процессов.
Предваряет комплекс алгоритмов разработанный и обоснованный в исследовании А.С. Волковой алгоритм отыскания решения краевой задачи для эллиптического уравнения с распределенными параметрами на графе Г [12]. Данный алгоритм описывает процесс определения обобщенных собственных функций на сети Г (специального базиса, см. доказательство теоремы 2 главы II), необходимых для представления слабых решений начально-краевых задач в области на графе Гу, является вспомогательным для разработанного комплекса алгоритмов; ниже этот алгоритм приводится полностью. Для определения обобщенных собственных функций в сетеобразной области О1 (см. доказательство теоремы 4 главы II), необходимых для представления слабых решений начально-краевых задач в области области т, алгоритм А.С. Волковой подвергся модернизации.
Алгоритмы отыскания специального базиса. Специальный базис — множество обобщенных собственных функций спектральной задачи на Г (теорема 1, 2 главы II) или О1 (Утверждение, п. 3.2, 3 главы II) для эллиптического уравнения, порожденного эллиптической частью эволюционного уравнения (теорема 1 главы II) — используются в представлениях слабых решений начально-краевых задач типа задач (4.1)-(4.4) и (4.18)-(4.23), а именно в виде функционального ряда по системе обобщенных собственных функций Ниже представлены два типа алгоритма: - алгоритм 1-го типа для задач на сети (графе) Г для задач, аналогичных (4.1)-(4.4) [12], - алгоритм 2-го типа для задач на сетеподобных областях О1 для задач, аналогичных (4.18)-(4.23) — модернизированный алгоритм 1-го типа, адаптированный для сетеподобных областей. 4.1.1. Алгоритм 1-го типа для сети Г. Для представления алгоритма используется исследование, приведенное в диссертационной работе [12, 4, глава III] и основанное на утверждениях теорем 1-3 [12, там же].
Алгоритм 2-го типа для сетеподобной области. Для определения множества обобщенных собственных функций в сетеподобной области О1, необходимых для представления слабых решений начально-краевых задач в области 9у, вышеприведенный алгоритм подвергся модернизации и адаптирован для спектральной задачи в пространстве W\ 0(5/,Г) вида дХіі дхн)Ы )-і=1 Это означает тот факт, что Y(x) есть обобщенная собственная функция класса Wl(Si,$s), а Л — соответствующее ей собственное значение. Алгоритм определения обобщенных собственных функций класса Wl(Si, s) представляет собой следующие шаги (некоторые из них полностью совпадают с шагами предыдущего алгоритма, другие — частично).
Подобласти Зі области О1 для каждого фиксированного / разбиваются плоскостями Х{ = k{h{ (і = 1,п, кі - натуральные числа, hi 0 — фиксированные числа (шаги разбиений)) на элементарные области . ,., объемы которых равны ШІ: называемыми ниже ячейками подобласти /), при этом считается, что узловые места области О1 (т.е. поверхности Si) также входят в число плоскостей разбиения. Множество таких ячеек образуют сетку sh области s (h = (h\, /12, , hn)). Для сеточных функций и (индексы hi для упрощения записи иногда опускается), определенных на sh и соответствующих функциям и(х),х Є О1, вводятся разностные операции (разностные отношения — правое и левое разностные отношения), аналогичные приведенным в описании алгоритма 1-го типа. При этом разностные операции от произведений сеточных функций остаются без изменений (см. там же).
Интегралы по О1 заменяются суммами интегралов по ячейкам ш области О1 и в пределах каждой ячейки ш функции Uh и щ заменяют кусочно-постоянными функциями % и jjd, а производные —fa и —fa-1 -кусочно-постоянными аппроксимациями (восполнениями) каких-либо однотипных вышеприведенных разностных отношений, их аппроксимирующих. Требование и(х),г](х) Є И о Ь О естественным образом заменяется требованием обращения в нуль сеточных функций Uh и щ (uh и fjh) в граничных узлах сетки d sh. есть множество точек тех ячеек ujkihi-, которые принадлежат сетке sh) для всевозможных сеточных функций r/h, определенных на sh и равных нулю на d$sh и вне sh.
Отыскание решения линейной алгебраической системы (4.37) относи тельно Yh при любых указанных в предыдущем шаге сеточных функциях rjh: при этом количество последних определяется числом точек-узлов в сетке sh области О1.
Замечание 8. Выбор функций ц{х) (и последующее построение щ) достаточно осуществлять из класса непрерывно дифференцируемых на функций с нулевыми значениями ц и г} на границе d s области s, что существенно облегчает формирование алгебраических систем, используемых на 4-м шаге. Обоснованием тому является плотность множества указанных функций ц{х) в пространстве W\{Si s).
Аналогичен 5-у шагу алгоритма 1-го типа.При достаточно малых hi (т.е. достаточно большом числе разбиений сетки sh) кусочно-постоянная аппроксимация uh сеточной функция Uh мало отличается от предельной в норме пространства W\(Si, s). Завершение работы алгоритма осуществляется по наперед заданному сколь угодно малому є 0, если выполняется условие
Реализация алгоритмической процедуры для эволюционных дифференциальных уравнений в области Г у или т сложнее, ибо в соответствующих им интегральных тождествах главные члены не образуют положительно определенных билинейных форм и в соответствии с этим выводы энергетических оценок используют интегрирование по частям [45]. Существуют и другие особенности, связанные с формами представления уравнений, их нелинейностью. Ввиду этого, для каждого из представленных в 1- 3 методов ниже сформирован свой алгоритм отыскания решений начально-краевых задач.
Аппроксимация дифференциальных систем на сетях
В соответствии с результатами главы III решение задачи оптимизации гидродинамических процессов разделяется на три основные части: определение множества состояний дифференциальной системы, описывающей указанный процесс (математическая модель), установление оператора наблюдения, обладающего необходимыми свойствами, формирование функционала (функции стоимости) и определение его оптимума, т.е. элемента, принадлежащего определенному множеству, доставляющего минимальное значение этого функционала.
Ниже представлена общая схема алгоритмического описания задач оптимизации гидродинамических процессов, далее приводятся схемы конкретных задач. 5.1. Общая схема алгоритма отыскания решений задач оптимизации. Используются обозначения, принятые в содержании главы III и фиксированы следующие общие данные: U — заданное пространство; Vd С U — заданное множество допустимых исходных данных; математическая модель гидродинамического процесса, определяемая начально-краевой задачей (3.1)-(3.4) или (3.22)-(3.27); С — оператор наблюдения; J(v) — функционал (функция стоимости). Общая схема алгоритма отыскания решения задачи оптимизации гидродинамического процесса: 1. Задание функции v(x) Є Цд, определяющая начальные условия для установленной начально-краевой задачи. 2. Определение решения u(x,t) = u(v)(x,t) начально-краевой задачи, т.е. определение состояния дифференциальной системы, описывающей данную математическую модель. 3. Формирование оператора наблюдения С для полученного состояния u(v)(x,t). 4. Формирование функционала J(v) и множества его значений на состояниях u(v)(x,t). 5. Проверка необходимых и достаточных условий (условия теоремы 4 и замечание к теореме 7, глава III) оптимума для стартовой функции v(x). При невыполнении указанных условий функция v(x) изменяется и процедура снова повторяется с 1-го шага.
Замечание 1. Отметим отдельно часто встречаемый в прикладных задачах случай конечномерной оптимизации: при задании функции v(x) как конечномерного элемента конечномерного множества V Q 3-й шаг представленного алгоритма заменяется на
3 -й шаг. Определение минимального значения функционала J(v) как отыскание минимального значения функции по конечному числу переменных, определяющих конечномерную функцию v(x).
Необходимые и достаточные условия (условия теоремы 4 или 8 главы III) будут выполнены автоматически — необходимость выполнения 4-го шага отпадает.
Замечание 2. Следует отметить, что при изменении оператора наблюдения С, а также вида (представления) функционала J(v) получаем разные типы задач оптимизации для той же выбранной математической модели (см. п. 5.4) 5.2. Алгоритм отыскания решений задачи стартовой оптимизации. В качестве иллюстрации описанного выше алгоритма приведем алгоритм отыскания решений задачи стартовой оптимизации для математической модели, описанной дифференциальной системой (3.1), (3.2) и начально-краевой задачей (3.1)-(3.4) для нее. При этом остановимся на часто встречаемом в прикладных задачах случае конечномерной оптимизации (см. выше замечание 1). здесь индекс к означает номер ребра 7& сети (графа) Г, Vk — заданная постоянная, своя на каждом ребра 7ь к = 1}ко (ко — число ребер сети (графа). Замечание. Задание «конечномерной» функции v(x) можно осуществить и посредством специального базиса {#&(ж)}; определяя обобщенные собственные функции (первые несколько) использованием алгоритма п. 4-1 (алгоритм 1-го типа, п. 4- 1-І): с коэффициентами Vk, которые будут выполнять роль переменных 1, 2,..., в оптимизационной задаче и которые определятся в результате решения этой задачи.
Определение решения u(v)(x,t) начально-краевой задачи (3.1)-(3.4), т.е. определение состояния дифференциальной системы (3.1), (3.2), описывающей данную математическую модель. При этом используется алгоритм п. 4.2.1 или п. 4.2.2.
Замечание. Алгоритмы 5.2 и 5.3 для начально-краевой задачи (4-18)-(4-27) на сетеподобной области 9і строятся аналогично с учетом специфики как самой области s, принадлежащей Ш2, так и соотношений (4-20), (4-21) в узловых местах области О1 (условия согласования дифференциальной системы (4.18)-(4.21)).
Алгоритмы отыскания решений других задач оптимизации. Как следует из п. 5.1, задача оптимизации гидродинамических процессов (поиска оптимума) формируется заданием способа наблюдения состояния гидродинамического процесса (задание оператора С) и способа принятия решения (сюда входит и построение, и оценки правильности этого решения), т.е. задание функционала J и отыскание его минимума, как инструмента принятия решения. Все сказанное определяет технологию построения и решения различного вида задач оптимизации гидродинамических процессов. При этом такая технология должна быть обусловлена обязательным выполнением следующих основополагающих правил: 1) способ наблюдения состояния гидродинамического процесса должен формализован заданием линейного оператора С со значениями в пространстве наблюдений, 2) способ принятия решения (инструмента принятия решения) должен формализовал линейным функционалом J, определенным на множестве состояний дифференциальной системы, описывающей данный гидродинамический процесс.
Представленные выше алгоритмы и их модификации составили основополагающую базу комплекса проблемно-ориентированных ЭВМ-программ, описание которых, листинги и результаты расчета тестовых задач формируют содержание приложения.
Используемые в главах II и III методы и подходы для анализа начально-краевых задач гидродинамических процессов в сетях, а именно, условия существования и единственности решений начально-краевых задач, корректной разрешимости задач оптимизации, явились основой разработанных численных методов, адаптированных к моделям гидродинамических процессов в сетях. Вместе с тем представлены и алгоритмы (в т.ч. методики расчетов), соответствующие указанным численным методам.
Все используемые численные методы — метод Роте (полудискретизация), метод аппроксимации системами типа Коши-Ковалевской (возмущение системы), метод Галеркина (разложение по специальному базису) — изложены в применении к ряду конкретных задач теории гидродинамики прикладного характера (задачи на сетях), однако при этом, обладая большой общностью, применимы и к широкому классу иных задач. При этом освящены ключевые вопросы численного анализа — вопросы сходимости упомянутых методов. Такими же свойствами обладают и алгоритмы указанных методов, для которых представлены подробные структурные схемы.
В представляемой главе показаны конкретные примеры прикладных задач (ни в коей мере не являющиеся исчерпывающими) и решения их, демонстрирующие, прежде всего, принципиальные возможности применения разработанных методов, приемов, алгоритмов и комплексов ЭВМ-программ. Результаты численных расчетов вместе с описанием и листингом ЭВМ-программ изложены в приложении.
В 1 рассматриваются прикладные задачи ( 2 главы II) квазиодномерной динамики вязких двухфазных сред, чаще всего имеющих место при моделировании гемодинамических процессов в кровеносной системе живого организма [3, 12, 30] (две фазы крови: плазма и красные кровяные тельца) . При этом кровеносная система (как система сосудов с направленными в одну сторону потоками) интерпретируется ориентированным связным графом, параметризованным одной изменяющейся вдоль оси сосудов переменной. Здесь, как принято в работах [З, 30], в силу того, что диаметры сосудов много меньше длин их, для анализа процесса достаточно учитывать динамические изменения только вдоль осей сосудов (отсюда и термин «квазиодномерное течение»). Отметим также основополагающее свойство потоков в кровеносной системе — течения являются ламинарными.
Последующий 2 посвящен прикладным задачам ( 3 главы II) описания полей скоростей динамики вязких многофазных сред в сетеподобных объектах (водопроводы, гидравлические системы разного типа), имеющих турбулентный характер. Здесь основным объектом исследования является нелинейная система дифференциальных уравнений Навье-Стокса, описывающая течение многофазных сред как в одномерной пространственной сети, так и в многомерной сетеподобной области (на примере двумерной).