Введение к работе
Актуальность исследования. Эксплуатация нефтеносных и водоносных
слоев грунта сложной геологической структуры; строительство
гидротехнических сооружений; проблемы водоснабжения населённых пунктов;
орошение засушливых территорий, осушение заболоченных пространств;
исследования в области охраны и мониторинга окружающей среды привели к
необходимости построения новых математических моделей
плоскопаралпельных, двумерных и трёхмерных фильтрационных течений.
Для практики большой интерес представляет решение таких вопросов движения жидкости в пористых средах, как расчет фильтрационных течений (нахождение поля давлений и скоростей жидкости) к скважине и определение её дебита.
Наиболее широко вопросы дебита скважин исследованы для плоскопараллельных течений в однородных и кусочно-однородных пластах с различными границами области питания и смены однородности слоя (пласта). Расчёт таких течений проводился в предположении выполнения постулата Форхгеймера о постоянстве напора по вертикали. Для кусочно-однородных слоев напор жидкости описывается гармонической функцией, что позволило использовать теорию функций комплексного переменного, сводя задачу исследования течений в пласте к отысканию аналитической в плане течения функции — комплексного потенциала течения. Построению комплексных потенциалов плоскопараллельных течений посвящены труды М.А. Гусейн-Заде, Г.Г. Тумашева, О.В. Голубевой, П.Я. Полубариновой-Кочиной, А.И. Селин-Бекчурина.
Особенно большой интерес представляют двумерные фильтрационные задачи моделирования стационарного движения жидкости к скважине в неоднородных слоях, так как на практике реальные водо- и нефтеносные пласты пористого грунта имеют сложную геологическую структуру и, как правило, неоднородны. Неоднородность слоя характеризуется проводимостью Р = КН (К — коэффициент проницаемости слоя, Н — его толщина).
Двумерные задачи фильтрации жидкости к скважине в кусочно-однородных и неоднородных слоях для широкого класса законов проводимости и канонических границ исследованы на основе теории функций комплексного переменного в трудах И.А. Чарного, О.В. Голубевой, В.А. Белова, В.Н. Щелкачёва, В.Ф. Пивня, Ю.А. Гладышева.
В отличие от достаточно хорошо исследованных плоскопараллельных и двумерных течений, количество решённых в конечном виде трёхмерных задач фильтрации жидкости в неоднородных слоях незначительно. Первые исследования трёхмерного движения жидкости в. пористых средах были проведены Б.К. Ризенкампфом и Н.К. Калининым, а позже — П.Я. Полубариновой-Кочиной и Б.Э. Казарновской. Осесимметричные задачи, являющиеся частным случаем трёхмерных, представлены в работах В.Ф. Пивня, Н.И. Гайдукова, Ю.А. Гладышева, Ш.И. Данилюка. Трёхмерными
течениями к несовершенным скважинам в кусочно-однородных слоях занимались М. Маскет, Н.Н. Кочина, И.А. Чарный, А.В. Сидоркин, В.М. Шестаков.
Изучению трёхмерных течений жидкостей (в том числе нестационарных) к горизонтальным скважинам, методикам геофизических исследований скважин электрическими и электромагнитными методами каротажа с применением ЭВМ посвящены труды П.И. Дворецкого и И.Г. Ярмахова.
Многие решения задач о дебите скважины в неоднородной среде, построенные на основе теории функций комплексного переменного, получены для достаточно ограниченного класса законов проводимости слоя, а реальные сложные границы сопряжения, области питания, непротекания заменены каноническими поверхностями (кривыми): плоскость, сфера, (прямая, окружность, кривые второго порядка). Известны работы, в которых граничные задачи (в том числе задачи сопряжения) решены методом интегральных уравнений: в теории фильтрации это исследования Г.Г. Тумашева, В.Ф. Пивня, в гидро- и аэродинамике — труды И.К. Лифанова, в электродинамике — работы В.И. Дмитриева и Е.В. Захарова, а также других авторов.
Прогресс в области ЭВТ позволил моделировать течение в пористых средах на компьютере, а также решать задачи о дебите скважин в неоднородных средах для более широкого класса границ численно. В трудах В.Ф. Пивня показано, как такие задачи сводятся к системе интегральных уравнений. Теория метода дискретных особенностей, разработанная в гидродинамике И.К. Лифановым, применима к рассматриваемой системе.
Таким образом, в известных трудах не исследованы граничные задачи трёхмерной и двумерной фильтрации к скважинам в кусочно-неоднородных слоях с произвольными границами сопряжения таких слоев и произвольными поверхностями (контурами) питания.
Целью работы является создание новых математических моделей граничных задач сопряжения плоскопараллельных, двумерных и трёхмерных фильтрационных течений к скважине в неоднородных слоях. На основе этих моделей найти дебит скважины; изучить влияние на него неоднородности слоя, формы границ и положения скважины.
Научная новизна и теоретическое значение работы. Построены и исследованы новые математические модели граничных задач фильтрации. Для канонических границ (в трёхмерном случае — плоскость и сфера, в двумерном и плоскопараллельном — прямая, окружность, овалы Кассини) получены решения в конечном виде. Для произвольных границ, моделируемых поверхностями (кривыми) класса Ляпунова, задача сведена к системе интегральных уравнений и интегрального соотношения, которые решены численно методом дискретных особенностей. Это позволило рассчитать дебиты скважин в неоднородных слоях с границами указанного класса. Проведённые исследования расширяют класс решённых плоскопараллельных, двумерных и трёхмерных граничных задач сопряжения и вносят вклад в теорию решения таких задач.
Предложенные модели и методы могут быть применены для исследования явлений и процессов различной физической природы, которые описываются уравнениями такого же математического вида, как и исходные уравнения фильтрации.
Практическая ценность результатов исследования состоит в том, что рассчитаны дебиты совершенных в плоскопараллельных и двумерных задачах и несовершенных при трёхмерной фильтрации скважин. Исследовано влияние на дебит скважины неоднородности слоя, формы границ сопряжения и питания, а также влияние симметрии задачи (плоскопараллельная, двумерная, трёхмерная). Указаны практические рекомендации и критерии использования простых аналитических формул для дебита вместо сложных численных расчётов, а также рекомендации по оптимальному размещению скважины в пласте с учётом различных границ. Полученные формулы и рекомендации могут быть применены при разработке нефтеносных и водоносных пластов грунта сложной геологической структуры, а также в исследовании граничных задач, значимых для охраны и мониторинга окружающей среды.
Достоверность результатов работы обеспечивается применением строгого математического аппарата, использованием фундаментальных законов движения жидкостей и общепризнанных математических моделей теории фильтрации, численных методов; подтверждена сопоставлением полученных численных решений конкретных задач с известными теоретическими и практическими результатами, которые являются частными случаями этих решений.
Апробация работы. Работа в целом докладывалась и обсуждалась на кафедре высшей математики ВАТУ им. проф. Н.Е. Жуковского (нач. каф. профессор И.К. Лифанов, июль 2000 г.), на кафедре теоретической физики Орловского госуниверситета (зав. каф. профессор В.Ф. Пивень, сентябрь 2000 г.), на семинаре «Интегральные уравнения» факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. профессор Е.В. Захаров, профессор И.К. Лифанов, сентябрь 2000 г.).
По мере получения основные результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции «Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений» (г. Орёл, ОГУ, 14-19 ноября 1996 г.); на ежегодных научных конференциях Орловского государственного университета (1996-2000 г.г.); на заседаниях научного семинара «Проблемы гидродинамики» кафедры теоретической физики ОГУ (рук. профессор В.Ф. Пивень, профессор И.К. Лифанов, 1997-2000 г.г.); на Международной научно-практической конференции «Современные проблемы промышленной экологии» (г. Орёл, ОрёлГТУ, 17-19 ноября 1999 г.); на IX Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Орёл, ОГУ, 29 мая-2 июня 2000 г.). Также результаты работы представлены в виде опубликованных докладов и тезисов докладов на Всероссийской научно-практической конференции «Новое содержание образования и проблемы готовности сельской школы к его
реализации» (г. Орёл, ОГПУ, 20-23 мая 1996 г.); международных конференциях: «Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)» (г.Красноярск, КГУ, 25-30 августа 1997 г.); в Воронежской школе «Современные проблемы механики и прикладной математики» (г.Воронеж, ВГУ, 21-29 апреля 1998 г.); «Седьмая межд. научн. конф им. академика М. Кравчука» (Украина, г. Киев, 14-16 мая 1998 г.); «Современные проблемы теории фильтрации» (Украина, г. Ривнэ, 1-3 июня 1998 г.); «Математическое моделирование систем: методы, приложения и средства» (г. Воронеж, ВГУ, 12-16 октября 1999 г.); «Modern approaches to flows in porous media» (г. Москва, 6-8 сентября 1999 г.); «Современные проблемы промышленной экологии» (г. Орёл, 17-19 ноября 1999 г.).
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованной литературы, двух приложений и 76 иллюстраций. Общий объём работы 153 страницы. Библиография содержит 203 наименования.