Содержание к диссертации
Введение
2 Математическое описание церебральной гемодинамики 22
2.1 Основные предположения 22
2.2 Упруго-эластическая модель гемодинамики 21
2.2.1 Уравнения гемодииамки для изолированного сосуда 21
2.2.2 Упруго-эластическая модель 27
2.2.3 Свойства упруго-эластической модели гемодинамики 29
2.3 Уравнения гемодинамики на графе сосудов 31
2.3.1 Описание структуры сосудистой системы 31
2.3.2 Сопряжение в узлах ветвлений 32
2.3.3 Модель сердца 31
2.3.1 Описание мнкроциркуляторпого русла 35
2.1 Модель гемодинамики в сосудах головного мозга 37
2.1.1 Описание сосудистой системы головного мозга 37
2.4.1 Особенности уравнений состояния для сосудов с аугорогуляцией -11
2.4.2 Модель эффекта поток-зависимой вазоднлятации 43
2.4.3 Модель эффекта Остроумова-Бейлиса для мнкроциркуляторпого русла 46
2.4.5 Варианты моделирования церебральной гемодинамики 48
2.5 Свойства уравнений церебральной гемодинамики 49
3 Построение и исследование кинетически согласованных схем 55
3.1 Вариант записи уравнений гемодинамики 55
3.2 Псевдокииетичсское описание 56
3.3 Общая форма кинетически согласованных схем гемодинамики 59
3.4 Свойства коэффициентов С* КСРС гемодинамики 61
3.5 Варианты кинетически согласованных схем гемодинамики 63
3.6 Исследование устойчивости схем 65
3.7 Реализация КСРС на графе сосудов 67
3.8 Кинетически согласованное описание узла бифуркации 69
3.9 Алгоритм параллельной реализации схем на графе 72
3.9.1 Алгоритм "статического"распределения подзадач 73
3.9.2 Алгоритм "динамического"распределепия подзадач 74
3.10 Сопряжение с другими иариаптами разностных схем гемодинамики . 75
3.11 Тестирование КСРС гемодинамики на модельных задачах 77
3.11.1 Масштабирование переменных 77
3.11.2 Локальное возмущение в сосуде 78
3.11.3 Разрыв макроиараметров в сосуде 79
3.11.4 Сравнение с неявной консервативной разностной схемой расчетов нестационарных течений на модельных графах 80
3.11.5 Расчеты но параллельному алгоритму 81
4 Математическое моделирование задач церебральной гемодинамики 84
4.1.1 Численное исследование церебральной гемодинамики в норме
4.1.1 Методика расчетов задач церебральной гемодинамики
4.1.2 Нестационарные расчеты церебральной гемодинамики 87
4.1.3 Влияние параметров сердечной деятельности на церебральную гемодинамику 89
4.1.4 Теоретическое обоснование пульсации спииио-мозговой жидкости 92
4.2 Моделирование окклюзируюіцих процессов в сосудах головного мозга . 95
4.2.1 Пути коллатерального кровообращения 9G
4.2.2 Исследование возможностей коллатерального кровообращения . 99
4.3 Численное моделирование артерио-венозных мальформаций 101
4.3.1 Модель артерио-венозных мальформаций 102
4.3.2 Исследование патофизиологии артерио-венозных мальформаций 104
4.3.3 Исследование гемодинамики при артерио-венозных мальформа-цпях 104
Литература 106
- Свойства упруго-эластической модели гемодинамики
- Модель эффекта Остроумова-Бейлиса для мнкроциркуляторпого русла
- Сопряжение с другими иариаптами разностных схем гемодинамики
- Влияние параметров сердечной деятельности на церебральную гемодинамику
Введение к работе
Задача математического моделирования течения кроим в сердечно - сосудистой системе давно привлекала внимание исследователей. Со времен открытия У.Гарвеем в 17 и. системы кровообращении накоплен значительный банк данных о строении и функциях сердечно - сосудистой системы , нейрогуморальної! регуляции кровообращения , сформулированы основные принципы организации системы управления кровообращением. II тем не менее многие закономерности деятельности сердечно -сосудистой системы еще далеки от окончательного понимания. Сложность решения задач гемодинамики объясняется прежде всего необходимостью учета архитектоники кровеносного русла, жесткости стенок п калибра сосудов разных генерации ветвлении и ряда других факторов. Существует довольно много математических моделей всей системы кровообращения и моделей регуляции потока крови в отдельных органах. Наиболее; известной и сравнительно детально проработанной среди них является модель Артура Гайтона1. II тем не менее даже в этой основательной модели не учитываемся, например,различие в жесткости стенок различных артериальных сосудов, а также ряд других факторов. С математической точки зрения речь идет обычно о решении систем нелинейных дифференциальных уравнений - обыкновенных или в частных производных - относительно макроскопически наблюдаемых величин (давление, скорость кровотока, сечение сосудов, объем крови) и предполагается знание дополнительных законов и постоянных, являющихся, вообще говоря, следствием микроскопических представлений об особенностях движения крови в сосудах. Поэтому представлялось целесообразным создание математической модели системы кровообращения, сочетающей в себе как преимущества кориускулярно-кииетического описания кровотока, так и возможность учета известных моделей физиологических процессов в крови.
И настоящее время для численного исследования сосудистой системы используется серия математических моделей, различающихся по размерности, зависимости от времени, учету эффектов регуляции. Различаются локальные задачи гемодинамики, изучающие особенности течения крови в изолированной области, и задачи централь-
'Guyton Л.С, Coleman T.G. Quantatitative analysis of the pathopsyhiology. Circulation Research, V.2I, N.l (1909)
iioii гемодинамики, включающие исследование параметров кровоооращепня в сети сосудов. В дальнейшем будет приведен краткий обзор подходов к численному моделированию сердечно-сосудистой системы человека.
Одномерные модели Одним из наиболее распространенных методов исследования сосудистой системы является численное моделирование в рамках одномерного приближения. В настоящее время можно выделить серию подходов к моделированию сосудистой системы, различающихся но степени упрощения исходной системы кровообращения, количеству и общности включенных в рассмотрение элементов, учету в ней ранее выявленных физиологических закономерностей. В зависимости от учета времени различаются стационарные и нестационарные модели [17, 27[.
Наиболее ранним подходом к описанию течения крови в сосуде является требование выполнения закона Пуайзеля, связывающего величины потока Q вязкоіі крови и перепад давления АР на концах сосуда с жесткими стенками:
где v - коэффициент кинематической вязкости, R,L- радиус и длина сосуда. Уравнение Пуайзеля является наиболее простой моделью течения крови и позволяет в модельных задачах исследовать локальные свойства стационарного течения крови в сосуде (профиль скорости, напряжение сдвига) с учетом сделанных предположений [17). Основные закономерности локальной гемодинамики, полученные с помощью данной модели, использовались при разработке клинического и экспериментального инструментария (динамическая внекозометрия). В настоящее время, как правило, используется в качестве вспомогательного инструментария для корректного определения начальных данных в более сложных моделях гемодинамики [10].
На основании уравнения Пуайзеля возможно изучение свойств центральной гемодинамики. При этом рассматривается несколько сосудов параллельно или последовательно соединенных, вдоль которых записывается уравнение ]51, G1]. Следует заметить, что в рамках данного подхода, может рассматриваться значительное число сосудов, связанных согласно строению сосудистой сети исследуемых задач гемодинамики. В частности, в работе Веикеп I. и De Wit J. описание сосудистой системы включает 20 моделируемых участков [39], в работе Van de Berg и De Tarter до 500 [10]. Анализ подобных многоэлементпых моделей проводился па основе электро-аналоговых схем. Для этого уравнение [17] представлялось в виде,аналогичном закот- Ома в электродинамике:
Q '
где 1І = ZTm ~ величина сопротивления течению крови.
В узлах нетлении сосудов требовалось выполнение закона Кнрхгоффа (сохранение потока через узел ветвления) и равенства давлений. В ряде моделей требовалось уточнение сечении дочерних сосудов, которое проводилось эмпирически на основании экспериментально полученных соотношений [21, 58, 51). С вычислительной точки зрении численные расчеты в соответствии сданными моделями сводились к решению системы алгебраических уравнений.
Благодаря простоте математической модели и вычислительных алгоритмов данный подход широко зарекомендовал себя при исследовании закономерностей строения сосудистого русла, гемодинамики в большом и малом кругах кровообращения, сосудах головного мозга. В тоже время, существенным недостатком таких математических моделей является возможность описания только стационарных течений. Для описания динамики макроиарамстрои кровотока во времени на основании [27] разработаны многокомпартментпые модели гемодинамики, в которых сосудистое русло моделируется в виде эластического резервуара и периферического сопротивления. Наиболее распространенной моделью является модель Wiiidkessel, преложенная О. Франком |51], связывающее изменение давления во времени с кровотоком следующим соотношением:
где С - характеризует упруго-эластический резервуар мнкроциркуляторного русла, V- объем крови, R - величина периферического сопротивления. Данная модель может быть обобщена на случай нескольких эластических резурвуаров и периферических сопротивлений соединенных как параллельно, так и последовательно. Для имитации работы предсердий и желудочков сердца в моделях [10] использовались два генератора, задававших периодические режимы изменения давления в артериальной и венозной части описываемой сердечно-сосудистой системы.
Качественно иной подход к моделированию процессов гемодинамики в одномерном приближении реализован в работах. В основу данных моделей положены уравнения сохранения массы и импульса крови вдоль сосуда. Для замыкания полученной системы уравнений используется уравнение состояния, связывающее величину сечения с давлением. Полученная система уравнений представляет собой систему уравнений в частных производных относительно времени t и координаты вдоль сосуда , получивших название системы уравнений гемодинамики.
Уравнение состояния в таких моделях описывает упруго-эластические свойства со-суднсіоіі стенки. В моделях, предложенных в [1, 2, 3| использовалась линейная зависимость сечения от давления.
В работе [об] предложена следующая степенная зависимость давления /; от сечения S, полученная на основании теории упругости:
p(S)=po + ^Eh(l-
где po,Su - минимальные значения давлении и сечения, "-модуль Юнга h -толщина стенки артерии. Значения Eh задавались в соответствии с данными морфологических исследований моделируемых участков сосудистой системы или с помощью следующей эмпирической формулы в зависимости от радиуса сосуда tq\
I}L = Л «jW.) + к
Коэффициенты ki выбирались в соответствии с экспериментальными данными.
Другой подход к описанию упруго-эластических свойств сосудистой стенки реализован в [50, 02]. При этом моделировалось течение крови в артериях мышечного типа с преобладанием средней мышечной оболочки (t. media) в сосудистой стенке. В этом случае использовалась логарифмическая зависимость сечения от давления:
S(x,t) = So + 0\n(^\
где Po,S0 - минимальные значения давления и сечения, [і - коэффициент, характеризующий податливость артериальной стенки.
Анализ различных вариантов описания упруго-эластических свойств сосудистой стенки при учете гравитационных нагрузок приведен в [М]. При этом отмечена взаимосвязь между увеличением гравитационной нагрузки, трансзвуковым характером течении крови и видом уравнения состояния. В качестве варианта зависимости S{p), устойчиво сохранивший дозвуковой характер течения было предложено:
S = Smin + arctg {р - pmin)
~ Ртах Pmin
Данный подход к моделированию сердечно-сосудистой системы широко применяется при численном исследовании задач гемодинамики. В работах [1, 2, 3, G, 12, 7, 13, 11] предложена модель кровеносной системы на графе эластичных сосудов. Топология сосудов формально описывается в рамках данной модели в виде графа, где сосуды представленпы ребрами грасра. В вершинах графа задаются либо граничные условия, либо математические модели органов: узлы ветвления сосудов, сердце, почки, легкие. Обзор моделей течения в зонах ветвления сосудов представлен в [12]. Примеры моделей кровотока в органах можно найти в литературе (например, [12, 45, G5]).
На основании данной модели создан программный комплекс CVSS (Cardio Vascular Simulation System), позволяющий в интерактивном режиме производить расчеты ге-модинамических течений с учетом возможной коррекции исходных графой согласно особенностям расчитываемых задач. Был собран банк данных параметров кровотока, уточнены характеристики и структура графа, соответствующего большому кругу кровообращения.
Данная диссертационная работа представляет собой пі)одолжение численного исследования сосудистой системы в рамках данного подхода. Адаптированные модели кровообращения в сосудах головного мозга, а также структуры графов сосудистой системы головного мозга интегрированы в программный комплекс CVSS.
Для изучения свойств полученных нелинейных моделей гемодинамики использовались упрощенные модели . В частности в работе [8] были получены линеаризованные уравнения гемодинамики и их точные решения, с использованием которых проводился линейный анализ волн давления и скорости в системе эластичных сосудов (2GJ, верификация алгоритмов численного решения нелинейных задач гемодинамики, а также численно исследовались патофизиологические аспекты возникновения и течения аневризматической болезни и несиецифического аортоартеринта [7]. Другой вариант упрощенной модели гемодинамики, а также ее аналитические решения представлены в работе [13]. В этом случае рассматривались нелинейные уравнения гемодинамики в предположении о линейности пространственных профилей входящих в уравнение функций.
Исследованию корректности нелинейных моделей с учетом условий сопряжения в узлах ветвления посвящена работа [19]. В ней доказана теорема существания и единственности решения гиперболических систем уравнений в частных производных на графе, аналогичных системе уравнений гемодинамики, а также непрерывная зависимость решения от начальных и граничных условий.
В диссертационной работе исследуются свойства уравнении гемодинамики с учетом эффектом ауторегуляцнп м общем виде. Дли характерного структурного элемента графа сосудистой системы головного мозга исследуется полная энергия течения крови в зависимости от выбора граничных условий.
Возможности более корректного моделиривания сосудистой системы с учетом детального описания топологии сосудов в рамках нелинейных нестационарных уравнений гемодинамики активно используются для изучения свойств сердечно-сосудистой системы человека в норме и при патологии. В частности, математическая модель легких, предложенная А.С. Холодовым [33], позволяет описать сопряжение между большим и малым кругами кровообращения. В работе [15] предложена математическая модель фильтрационной функции почки и исследована ее влияние в регуляции системного артериального давления в большом круге кровообращения. Проведены расчеты ряда физиологических задач гемодинамики в большом круге кровообращения [12]. При этом кроообращенпе в сосудах головного мозга было учтено лишь обобщенно, без необходимой детализации топологии сосудистой системы и учета эффектов регуляции мозгового кровотока.
Проводилось численное исследование гемодинамических течений в аорте, крупных магистральных артериях в зависимости от упруго-эластических свойств, ре-
зульты расчетов сопоставлялись с экспериментальными данными. В работе [G2, 50] исследовалось влияние стеноза (сужения) бедренной артерии на кровообращение и нижних конечностях.
13 данной работе проводится численное исследование параметров кровообращения в основных артериальных бассейнах головного мозга и норме и при наиболее часто встречаемой сосудистой патологии.
Для численного решения нелинейной системы уравнений гемодинамики использовались разностные схемы. В работе [3] предложен вариант неявной, консервативной разностной схемы гемодинамики с весами. Для ее решения используется метод Ньютона. Сопряжение в узлах ветвлений осуществляется с помощью разностного аналога характеристических соотношений для системы уравнений гемодинамики в узлах ветвлении сосудов , и требует строго гиперболического и дозвукового характера течения крови. На основании оередненной нелинейной модели гемодинамики [13| предложен другоіі вариант консервативной разностной схемы [13, 14, 15]. В работах [G3] для решения исходной системы уравнений использовался метод конечных элементов, полученный на основании метода Галеркина.
Качественно иной подход к построению одномерных нестационарных моделей гемодинамики реализован в [23]. В основу метода положено кинетическое описание процессов гемодинамики. При этом сама кинетическая модель может не иметь исчерпывающего физического и физиологического обоснования, по быть сравнительно несложной с математической и вычислительной точек зрения. В качестве примера можно привести известную модель БГК, которая используется в работе для построения численного алгоритма решения задач газовой динамики [34, 21]. Аналогичный [23] подход использовался в данной работе. При этом рассматривалось псевдокинетическое описание движения крови в системе эластичных сосудов, полученное с помощью метода кинетических аппроксимаций. Основная идея метода кинетической аппроксимации состоит в следующем: для данной системы уравнении гемодинамики в частных производных относительно вектор функции U(x,t), составляется уравнение переноса относительно скалярной функции f(x,^,t), зависящей от дополнительной переменной , такое, что моменты функции / по переменной являются приближенным решением U(x,t) исходной системы. Заимствуя терминологию и з теории кинетических уравнений функцию / называют' функцией распределения некоторых исевдочастиц, получивших название "точечные маркеры", а независимую переменную - кинетической скоростью. Выбор правой части в полученном кинетическом уравнении определяется из условия выполнения уравнения состояния. Методика и подробный анализ данного подхода в зависимости от вида аппроксимируемых уравнений в частных производных представлен в работах Н.Б.Масловой [53, 21]. В работе |1С) доказаны теоремы существования п единственности решения псевдо-кннешческого уравнении гемодинамики для изолированного эластичного сосуда с периодическими граничными условиями. Было показана сходимость решения псевдо-кнпетнческого уравнения в гемодпнамическом пределе к исходной системе уравнений
гемодинамики. Доказательство построено на основании результатов П.-Л. Лиопса и В. Періама исследования существования и единственности решения БГК-уравпеннП в газовоіі динамике [11] суметом построенной в [23, 1G] Лиипшц-неирывной аппроксимации правой части псевдокинетического уравнении гемодинамики. На основе метода кинетических аппроксимаций был построен численный алгоритм решения уравнений гемодинамики на сети сосудов, аналогичный методам частиц в газовой динамике - метод "точечных маркеров ". Благодари кинетическому описанию и имитационному характеру численного алгоритма данный подход особенно удобен при моделировании распространения веществ с кровотоком. В работе [1G] он был применен дли моделировании поведении лейкоцитов в норме и при патологии.
В отличие от метода "точечных маркеров", отражающего идеологию имитационного моделировании [5, 21), в диссертационной работе па основании псевдокинетического описании строится и исследуются кинетически-согласованные разностные схемы гемодинамики на графе. В отличие от перечисленных методов численного решении системы уравнений гемодинамики они являются явными, что позволяет эффективно адаптировать их дли параллельных расчетов на многопроцессорных ЭВМ [21]. В тоже время кинетически-согласованные разностные схемы обладают большей скростыо сходимости по сравнению с методом частиц. Для адаптации разностных схем на граф сосудов построены кинетически-согласованные разностные аналоги условий сопряжения в узлах бифуркации. Отрабатываются алгоритмы параллельного расчета по КСРС гемодинамики, условия сопряжении с другими разностными схемами гемодинамики.
Многомерные модели Исследовании локальной гемодинамики в сосудах с учетом особенностей их внутренней поверхности относится к классическим задачам математической физики. Кровь представляется в виде несжимаемой, ньютоновской жидкости. С математической точки зрении течении крови в исследуемой области Г описывается уравнением Навье-Стокса [63]:
ut + иАи div Т(и, р) = 0, Т(и, р) = —pi + i/Au ,, „.
Р (1-3)
divu = О
где v величина кинематической вязкости.
В ранних работах использовалось предположение о жестких стенках сосуда. На границе задавались условии Дирихле. С использованием этого подхода в настоящее время накоплен большой опыт в моделировании трех и двухмерных задач циркуляции крони в сосуде при наличии стеноза (локального сужения), работы искусственных клапанов сердца. В работах [42, 17] представлены результаты численного исследования течений крови в области ветвления сосудов. При этом особенное внимание уделялось распределению величин и направлений скоростей, сдвиговых напряжений, давления внутри сосудов. В [57] показана взаимосвязь между областями со сниженным напряжением сдвига и зонами образования атеросклеротических бляшек. Проводи-
лиев численное исследование кровотока в зависимости от угла разветвления артерий.
Существенным недостатком таких моделей являлось предположение о жесткости стенки артерии. В связи с этим был предложен алгоритм расчетов двух и трехмерных течений крови с плавающей границей 2. Изменение границы определяется в таких моделях на основании теории упругости и расчитывается в лаграижевых координатах. Дли описания течения более удобным являются эйлеровые координаты. Вдоль границы происходит сопряжение между эйлеровыми и лагранжевыми сетками в соответствии с ALE-алгоритмом 3 |G3]. В данной работе подробно описан и исследован данный алгоритм применительно к многомерным задачам гемодинамики. Благодаря развитию и широкому внедрению современных методов визуализации в клинике в последнее время стало возможным более подробно описывать геометрию сосудистой системы в интересуемой области. Это позволяет производить расчеты в областях с подвижной границей, соответствующих реальным параметрам сосудистой системы. В работах [G3| данный подход был реализован при расчете трехмерных течений в артериях нижних конечностей. Были изучены варианты патологии бедренных артерий, исследованы варианты реконструктивных хирургических вмешательств на бедренных артериях. Предложенный в работе [G3J алгоритм обработки данных магнитно-резонансной ангиографии, построения на их основании реальных областей дли последующего численного моделирования, а также алгоритм расчета трехморнілх точений в построенной области с учетом упруго-эластических свойств сосудистой стенки были реализованы в виде системы планирования хирургических вмешательств на сосудах [G3J. Другими авторами аналогичный алгоритм был применен для расчета течении крови в бифуркации сонной артерии, в артериальных аневризмах сосудов головного мозга. (57J
Несмотря па широкие возможности численного моделирования при использовании алгоритмов расчета гемодинамических течений в реальных областях [27, 28, G3, oG), данный подход не лишен недостатков. В частности, для получения адекватных физиологических параметров кровотока необходимо корректно задавать граничные условия. Кроме того, описание всей сосудистой системы не всегда целесообразно, является технически невозможным и требует значительные вычислительные затраты. Учитывая этот факт, в последнее время распространен следующий подход: выделяются участки сосудистой системы, подробная геометрия которых задается с помощью данных MP-ангиографии. Для моделирования остальных участков сосудистой системы используются одномерные модели. Наиболее часто в качестве одномерных моделей используются стационарные соотношения, основанные на выполнении закона Пуайзеля. В качестве условий сопряжения требуется сохранение величин давления, усредненной по сечению скорости, сечения сосуда, сдвиговых напряжений. В ряде случаев уточняется профиль скорости в трех или двухмерной модели в соответствии с профилем пуайзелевского течения. В работе [50) в качестве одномерной модели используется нелинейная нестационарная модель гемодинамики в элаетиче-
2fluicl-structurc itcraction problem ^Arbitrary Lagrangian-Euler coupling
ских сосудах. В качестве условий сопряжения и этой модели помимо уже описанных требований использовались характеристические соотношения.
Моделирование церебральной гемодинамики
Высокая социальная значимость нарушений кровообращения в сосудах головного мозга определила повышенный интерес физиологов и клиницистов к изучению свойств церебральной гемодинамики. В качестве одного из подходов к изучению и прогнозированию процессов кровообращения в сосудах головного мозга используется математическое моделирования процессов гемодинамики. В тоже время многообразие и сложность выявленных физиологический механизмов регуляции кровотока в сосудах головного мозга, а также широкие возможности коллатерального кровообращения представляют значительную проблему при численном моделировании процессов церебральной гемодинамики. Имеющиеся в настоящее время математические модели лишь отчасти учитывают специфику регуляции мозгового кровотока. Наиболее ранним и распространенным подходом к моделированию кровообращения в сосудах головного мозга является представление сосудистой сети в виде; электроаналоговых схем на основании закона Пуайзеля для стационарных течений в жесткой трубе [18]. В качестве специфической особенности кровообращения в сосудах головного мозга учитывалась структура артериального круга большого мозга (Вил-лизиева круга). На основании данной модели проводились расчеты возможностей коллатерального кровообращения в зависимости от состояния магистральных артерий, питающих головной мозг.
В тоже время возможности коллатерального кровообращения в сосудистой системе головного мозга не исчерпываются Виллизиевым кругом. В работе [59] подробно описывается структура сосудистой сети головного мозга, включающей несколько уровней коллатерального кровообращения. Е.В. Шмидт и Л.Е. Клоссовский [38] выделяют Л уровня коллатерального кровообращения внутри черепа, а также естественые анастомозы меж;гу внечерепными и внутричерепными сосудами. Соответствующая структура сосудистой сети головного мозга учитывалась в данной диссертационной работе.
Другой особенностью кровообращения в сосудах головного мозга является наличие развитой системы ауторегуляции мозгового кровотока. В качестве наиболее существенных механизмов ауторегуляции физиологами выделялись механическая (эффект Бейлиса), нейрогепнаи и метаболическая [30]. Эффект Бейлиса наиболее часто учитывается при математическом моделировании церебральной гемодинамики и заключается в сохранении постоянного кровотока при величинах инутрпсосуднстого давления в пределах так называемых границ ауторегуляции. В качестве математической модели использовались стационарные соотношения на основании закона Пуайзеля. Наиболее адекватную с физиологической точки зрения моделі» предложил Сао[43]. На основании данной модели проведено численное исследование церебрального кровообращения в условиях артериальной гннертензип, отмечена роль рези-стивных сосудов в регуляции кровотока [СО, 61]. Эффекты метаболической ауторегуляции сложны для математического описания и,
как правило, не рассматривались. В данной диссертационной работе проводится качественное исследование метаболической ауторегулнцин (на фоне исчерпанных резервов метаболической ауторегуляцни ) совместно с эффектом Бенлнса. Другой особенностью течения крови в сосудах головного мозга является зависимость диаметра артерии не только от внутри с осуди сто го давления, но и от скорости (G1, 55]. В работах [G-1, 59] показано экспериментально увеличение диаметра артерии при увеличении скорости кровотока. Физиологически данный эффект связан с функцией эндотелия (внутренней поверхности сосуда), выделяющей вещества, локально расширяющие артерию в ответ на увеличение напряжения сдвига [3G, 48]. Оптимальная величина спинового напряжении на стенке сосуда зависит от внутрисосудпетого давления и экспериментально описывается в виде:
т*(р) = 100 - c-^ooOosioOogio''))5,4
Данный эффект получил название поток-зависимой вазодилятации. Для учета данного эффекта Pries [58] предложил определять оптимальный диаметр сосудов в со-остветствии с величиной напряжения сдвига :
d = d0 + к(т - T*)d
где т, г* - текущее п оптимальное значение напряжения сдвига па внутренней стенке сосуда, к - коэффициент, определяющий скорость развития эффекта поток-зависимой вазодилятации, d - диаметр артерии. В проведенных с использованием данного иод-хода расчетах но параметрическим моделям показано, что сосуды головного мозга имеют свойства адаптации к установившемуся течению во времени [59]. Полученные численные результаты были качественно подтверждены экспериментальными данными.
В работе [1С] на стационарных параметрических моделях гемодинамики исследуется влияние различных эффектов ауторегуляцни мозгового кровотока па стабильность параллельно соединенных сосудов. Учитывается влияние упруго-эластических свойств, эффектов поток-зависимой вазодилятации и нейрогенной регуляции. В работе показана роль нейрогенной регуляции кровотока в стабилизации диаметров мелких, параллельно соединенных в сосудистой сети артерий.
Особенный интерес представляет математическое моделирование церебральной гемодинамики при наличии цсреброиаскуляриой патологии. Наиболее значимыми с клинической точки зрении задачами является: моделирование течений крови в артериальных аневризмах сосудов головного мозга и в бифуркациях сонных артерий, исследование церебрального кровообращения при временном выключении сосудов головного мозга, моделирование артерио-венозных мальформаций головного мозга.
Для изучения течений крови в артериальных аневризмах головного мозга и бифуркациях сонных артерий используются трехмерные модели течения крови в областях с подвижной границей [57]. Дли задания реального воспроизведении области используются данные МР-ангиографии.
Наибольший клинический интерес представляет численное исследование артерио-всиозиых мальформаннй [61, -13]. С морфологической точки зрении данная патология представляет собой сосудистое уродство, в котором кровь из измененных питающих артерий непосредственно через патологические сосуды шунтируется в дренажные вены, минуй ткани мозга. При этом различают афферентные, питающие сосуды с сохраненной ауторегуляцией, клубок патологических сосудов без эффектов ауторе-гуляции, и, как правило, одна дренажная вена. На основании стационарных параметрических моделей разработана серия моделей артерио-веиозных мальформаций, различающихся между собой учетом эффекта ауторегуляции, наличием дренажных вен, описанием клубка патологических сосудов. Общим недостатком данных математических моделей является рассмотрение лишь стационарного течения крови, а также упрошенное представление структуры мальформаций. В тоже время, в соответствии с клиническими и экспериментальными данными, кровоток через сосуды мальформаций носит пульсирующий характер.
О диссертационной работе на основании нелокальной нестационарной математической модели артериовенозной мальформаций исследуются закономерности ее функционировании в рамках всей системы церебрального кровообращении. При этом учитывается как пульсирующий характер течения, эффекты ауторегуляции, так и возможность детального описания и осуществления параллельных расчетов при детальном описании ее сложной структры.
Цели и задачи работы
Общим недостатком описанных моделей церебральной гемодинамики является предположение о стационарности течении в жестких трубках, что не соответствует естественным физиологическим условиям течении крови в сосудах головного мозга. Предложенные в настоящее время нелинейные нестационарные одномерные модели гемодинамики, представленные системой уравнений в частных производных, позволяют учитывать лишь упруго-эластические свойства сосудистой стенки. Адаптированных нелинейных нестационарных уравнений церебральной гемодинамики предложено не Гллло. Предложенные в пастощее время методы численного решения нелинейных моделей требуют сохранения гиперболичности течении крови. Кроме того, имеется необходимость в создании устойчивых для различных режимов течения крови разностных схем гемодинамики, а также «алгоритмов их параллельной реализации, что в последующем может быть использовано для сопряжения с трехмерными моделями течения крови в участках сердечно-сосудистой системы. Для этого в данной диссертационной работе планируется:
Развитие математической модели гемодинамики с учетом особенностей церебрального кровобращения. Построение и исследование математических моделей ауторегуляции на основании нелинейных нестационарных моделей гемодинамики.
Построение вариантов графов сосудистой сети, учитывающих основные уровни коллатерального кровообращения и особенности формирования сосудистой
системы голонного мозга.
3. Разработка эффективного численного метода решения модифицированных уравнении церебральної! гемодинамики на графе. Построение на его основе алгоритмом параллельных вычислений для проведении расчетов на многопроцессорных ЭВМ.
3. Интеграция математической модели церебрального кровообращения и метода их решения в программный комплекс CVSS.
о. Проведение численного исследования церебральной гемодинамики для решения клинических и патофизиологических задач:
исследование церебрального кровообращении в норме is зависимости от особенностей строения сосудистой системы головного мозга;
исследование влияния параметров сердечной деятельности на параметры гемодинамики в сосудах головного мозга;
теоретическое обоснование причин пульсации спинно-мозговой жидкости в области кранио-вертебралыюго перехода;
исследовании возможностей коллатерального кровообращении при временном выключении артерий головного мозга из кровотока во время хирургических вмешательств;
исследование влиянии артерио-веиозных мальформаций на церебральную гемодинамику.
Диссертационная работа состоит из четырех глав, списка литературы, приложения.
Первая глава посвящена введению в методы математического моделировании сердечно-сосудистой системы человека. В ней отмечена важная роль математических методов в описании сердечно-сосудистой системы, обоснована актуальность, научная новизна и практическая значимость темы диссертационной работы. Содержит обзор подходов к математическому моделированию кровообращения сердечно-сосудистой системы, в частности в сосудах головного мозга. В конце главы приведены основные результаты численного исследования задач церебральной гемодинамики. Излагается краткое содержание диссертации и результаты, выносимые на защиту.
Вгорай глава посвящена построению и исследованию на основании нелинейной нестационарной модели гемодинамики математической модели кровообращении в сосудах головного мозга с учетом эффектов ауторегулнции. В ней материал представлен в пити иодглавах. В первых трех нодглаиах излагаются общие принципы нестационарных нелинейных моделей гемодинамики на графе |30, 1] с учетом особенностей церебральной гемодинамики. Четвертая и питай нодглавы посвящены построению и исследованию модифицированной модели церебральной гемодинамики.
В первой подглаве приводится основные приближения физической модели, используемые при моделировании и характерные для нестационарных нелиннейных моделей гемодинамики. Основным предположением является квазиоодномерность точения крови в сосудах. Сосуды предполагаются упруго-эластичными. На этом фоне рассматриваются эффекты ауторегуляции мозгового кровотока. Получение свойства сосудистой стенки учитываются в уравнении состояния. Кровь в модели представляет собой несжимаемую, вязкую, нереагирующую ньютоновскую жидкость. Течение крови предполагается ламинарным во всех отделах сердечно-сосудистой системы.
Вторая подглава посвящена рассмотрению уравнений гемодинамики базовой нестационарной нелинейной упруго-эластической модели гемодинамики для изолированного сосуда и ее свойствам. Состоит из трех параграфов. В первом параграфе подглавы (2.2.1) по принятой схеме [30] строятся уравнении гемодинамики для изолированного сосуда в интегральном и дифференциальном видах. Во втором параграфе (2.2.2.) для полученной системы уравнений гемодинамики описывается уравнение состояния в случае упруго-эластической модели. Обсуждаются параметры уравнения состояния в зависимости от типа сосудов головного мозга. В параграфе (2.2.3) рассматриваются свойства упруго-эластической модели, в частности исследуется тин системы уравнений гемодинамики. Показано, что система уравнений гемодинамики [1} базовой модели имеет гиперболический тин.
Третьи подглава (2.3) посвящена изложению стандартного подхода к реализации уравнений гемодинамики для сосудистой сети [1]. Состоит из четырех параграфов. Параграф (2.3.1) посвящен формализации топологии сосудистой сети в виде графа. Приводится описание его структуры и свойств. В параграфе (2.3.2.) излагаются условия сопряжении макропараметров кровотока в узлах ветвления сосудов. Параграф (2.3.3.) посвящен изложению согласованной и простой двухкамерной модели сердца. В параграфе (2.3.-1.) приводятся условия сопряжения в узлах графа, соответствующих тканям в предположении фильтрационной модели и закона Дарси.
Подглава (2.1) посвящена адаптации базовой модели гемодинамики к особенностям крвоообращепия в сосудах головного мозга. Состоит из пяти параграфов. В параграфе (2.«1.1.) приводится подробное описание особенностей церебральной гемодинамики. Подробно задается структрура сосудистой сети головного мозга с учетом основных физиологически значимых путей коллатерального кровообращения. Приводится описание свойств всех структурных элементов построенного графа и особенностей течения крови в них. В параграфе (2.1.2.) для резистивных сосудов приводятся основные механизмы ауторегуляции мозгового кровотока: эффект Остроумова-Бейлиса и иоток-зависимой-вазодилитации, направленные на сохранении потока и определленной величины напряжения сдвига на внутренней поверхности сосудистой стенки. Для их описания использовались модифицированные уравнения состояния. Исследуются уравнении гемодинамики и их свойства в соответствии с моделями эффектов ауторегуляции в общем виде. В параграфе (2.1.3.) строится модель эффекта погок-завненмой вазодилитации. Предлагается модифицированное уравнение состо-
яішя в виде комбнацпи упруго-эластической модели и модели поток-зависимой пазо-дилніацпн. В наі)агра(})е (2.4.4.) приводится описание эффекта Остроумоиа-Беплиса на основании модели мнкроциркуляторного русла. В парагра({>е (2.4.5.) приверчено описание вариантов моделирования церебральной гемодинамики в зависимоти от строения сосудистого графа и свойств входящих в пего структурных элементов.
В подглаве (2.5) для одного из вариантов модеми сосудистой системы головного мозга исследуется вопрос о сохранении полной энергии течения крови. Для этого используется модельный граф, включающий в себя упруго-эластический сосуд и участок мпкроцпркуляцпи с эффектом ауторегуляцпп Остроумова-Бейлиса. Получены оценки для полной энергии течения крови в зависимости от выбора граничных условий.
Третья глава посвящена построению и исследованию свойств кинетически согласованной разностной схемы гемодинамики, алгоритмам ее реализации и условиям сопряжения на графе. Состоит из 11 подглав.
13 подглаве (3.1) приводится альтернативная запись уравнений гемодинамики, удобная для построении и анализа свойств кинетически-согласованных разностных схем гемодинамики. Вместо функции давления вводится дополнительная функции А, связанная с давлением и сечением дифференциальным соотношением. Для нее строятся соответствующие уравнения состояния.
В подглаве (3.2) и соотвествии с подходом [23] аналогично БГК-модели газовой динамики методом кинетических аппроксимаций строится псевдокииетическое уравнение гемодинамики относительно функции распределения некоторых нсевдо-частнц крови - "точечных маркеров". Связь между мнкро и макрооппсанием осуществляется посредством моментных соотношений. Вводится понятие "гемодниампческойфунк-ции распределения. Псевдокииетическое уравнение гемодинамики записывается как в дифференциальном, так и в интегральном видах.
В подглаве (3.3) на основании интегрального представления псеидокннетическо-го уравнения гемодинамики строятся кинетически-согласованные разностные схемы в общем виде. Свойства коэффициентов построенной общей формы разностной схемы исследуются в подглаве (3.4). На их основании в подглаве (3.5) путем выбора аппроксимации коэффициентов строится явный вариант кинетически-согласованной разностной схемы относительно макропараметров гемодинамики. Приводится П-форма дифференциального приближения, проводится стравнение с исходной системой уран-нений гемодинамики. В подглаве (3.6) для явной схемы исследуются условия корректности и устойчивости. Получены оценки для шага но времени и среднего времени пролета маркера через расчетную ячейку в зависимости от свойств сосудистой стенки.
В разделе (3.7) приводится алгоритм реализации кинетически-согласованных разностных схем на графе сосудов. Обсуждаются варианты описания узлов ветвления, мнкроциркуляторного русла. В разделе (3.8) на основании общей формы кинетически-
согласованных разностных схем строится кинетически согласованная модель узла
ветвления сосудов, исследуются ее свойства. В рамках данной модели сопряжение
макропараметров в узлах нетлении осуществляется в соответствии с моментными
соотношениями значений функций распределения и коэффициентами "рассеяния"в
узлах ветвления. Коэффициенты определяются на основании предположении о со
хранении потока через узел ветвления и величин внутрнсосудистого давления в гра-
А ничпых узлу ветвления точках сосудов.
В подглаве (3.9) приведен алгоритм параллельной реализации кинетически-
согласованных разностных схем гемодинамики на графе сосудов. Он включает в себя
алгоритмы "статического11!! "динамнческого"раснределеипя подзадач по процессо
рам. В качестве распределяемой единицы выбран подграф, включающий узел ветвле
ния сосудов с серединами ребер, входящих в узел ветвления. "Статическое"распределении
таких подграфов по процессорам производится в соответствии с валентность узла
ветвления, то есть с числом входящих в узел ветвления сосудов. Подробно данный
алгоритм описан в параграфе (3.9.1). Для более равномерного распределении за
дач по процессорам используется алгоритм динамического распределения подзадач.
Суп, меюда заключается в перемещении граничной меж,ту блоками точек с середи
ны ребер в сюрону блока на более занятом процессоре. Подробно алгоритм "/unla
id мического"раеиределения подзадач представлен в параграфе (3.9.2).
Свойства упруго-эластической модели гемодинамики
В подглаве (3.9) приведен алгоритм параллельной реализации кинетически согласованных разностных схем гемодинамики на графе сосудов. Он включает в себя алгоритмы "статического11!! "динамнческого"раснределеипя подзадач по процессо рам. В качестве распределяемой единицы выбран подграф, включающий узел ветвле ния сосудов с серединами ребер, входящих в узел ветвления. "Статическое"распределении таких подграфов по процессорам производится в соответствии с валентность узла ветвления, то есть с числом входящих в узел ветвления СОСУДОВ. Подробно данный алгоритм описан в параграфе (3.9.1). Для более равномерного распределении за дач по процессорам используется алгоритм динамического распределения подзадач. Суп, меюда заключается в перемещении граничной меж,ту блоками точек с середи ны ребер в сюрону блока на более занятом процессоре. Подробно алгоритм "/unla id мического"раеиределения подзадач представлен в параграфе (3.9.2). Раздел (3.10) посвящен вопросу сопряжении кинетически-согласованных разностных схем с неявной консервативной разностной схемой [3]. Следует отмстить, что физиологический характер гемодинамическнх течений в большом артериальном круге характеризуется одномоментным изменением параметров течения крови во всех участках сосудистой сети. Таким образом, для описания процессов гемодинамики на графе более естественными являются неявные разностные схемы. В крупных магистральных артериях особенностями церебральной гемодинамики можно пренебречь ограничиваясь упруго-эластическими свойствами. В этом случае целесообразно в них проводить расчеты в соответствии с неявными разностными схемами гемодинамики. Явные: кннетичеекп-согласованиые разностные схемы гемодинамики удобны для расчета течений крови в резнстивных артериях с учетом эффектов ауторегулянпи. В главе обсуждаїоіси варианты сопряжении двух вариантов разностных схем. і
Для изучения свойств построенной кинетически согласованной разностной схемы гемодинамики были проведены тестовые расчеты. В качестве модельных задач были выбраны задачи о распространении разрыва параметров гемодинамики и локального возмущения в сосуде с периодическими граничными условиями. Кроме того, проводились нестационарные расчеты на модельных графах с использованием кинетически-согласованных разностных схем, моделей узлов ветвления сосудов и ткани. Результы расчетов по КСРС гемодинамики сравнивались с результатами расчетов но неявной консервативной разностной схеме гемодинамики. Обсуждение результатов тестовых расчетов приведено в подглаве (3.11). В подглаву включены пин. параграфов. Параграф (3.11.1) посвящен вопросу обезразмериванпя исходных уравнении гемодинамики. В дальнейшем расчеты проводились для безразмерных величин. В параграфе (3.11.2) обсуждалась постановка и результаты расчета распространения локального возмущения в единичном эластическом сосуде с периодическими граничными условиями. Параграф (3.11.3) посвящен численному исследованию свойств кинетически-согласованных разностных схем при расчете разрывных течений и изолированном эластичном сосуде, параметры гемодинамики в котором связаны соотношениями Гюгопно по краям разрыва. В параграфе (3.11.4) обсуждаются результаты расчета течений крови в модельных графах с использованием КСРС гемодинамики и кинетически-согласованной модели узла ветвления. Для верификации результаты расчетов сравнивались с результамн, полученными при использовании известной неявной консервативной разностной схемы гемодинамики. Получено близкое соответствие полученных численных решении. Параграф (3.11.5) посвяшен исследованию свойств алгоритма параллельной реализации КСРС гемодинамики. Полученные результаты подтверждают корректность использовании КСРС гемодинамики для описания течений крови в сосудах.
Глава 4 посвящена численному исследованию актуальных клинических и физиологических задач церебральной гемодинамики. Она состоит из трех подглав. Под-глава (4.1) посвящена численному исследованию церебральной гемодинамики в норме. Подглава состоит из четырех параграфов. В параграфе (4.1.1) обсуждается методика проведения расчетов. Для численного моделирования церебральной гемодинамики использовался дополненный комплекс программ CVSS с реализованными в нем кинетически-согласованными разностными схемами гемодинамики и моделями ауторегуляции мозгового кровотока. В параграфе (4.1.2) приведены результаты расчета нестационарных течений крови в сети сосудов головного мозга. Полученные численные результаты соответствуют результатам клинических и физиологических обследовании.
В параграфе (4.1.3) представлено численное исследование влияния параметров сердечной деятельности па церебральную гемодинамику. Варьируемыми параметрами являлись величина ударного объема, продолжительность емполы и всего периода сердечного сокращения. Полученные результаты согласуются с клиническими данными и представляют интерес с физиологической точки зрения.
В параграфе (4.1.4) получено теоретическое обоснование причин пульсации сиинио-мозговой жидкости в области краиио-вертебралыюго перехода с использованием адаптированной к условиям церебрального кровообращения нелинейной нестационарной математической модели кровообращения на графе сосудов головного мозга. В рамках теоретической модели получено качественное и количественное соответствие экспериментальных данных с результатами расчетов. Показана зависимость параметров ликвороциркуляпии от динамики изменения объема крови в артерио-артерполярном русле па уровне мнкроциркуляцнп и объема дренируемой венозной крови. Подглава (4.2) посвящена численному исследованию основных путей коллатералыюго кровообращения при выключении из кровотока магистральных артерий головного мозга. Состоит из двух параграфов. В параграфе (-1.2.1) представлен і »і результаты расчетов потоков в артериях головного мозги после выключении из кровотока внутренней сонной артерии, средней мозговой артерии, начальных отделов подключичной артерии. Полученные результаты расчетов но адаптированной модели церебрального кровообращения отражают основные физиологические закономерности течения крови в сосудах головного мозга, что подтверждено результатами клинических измерений. Показана роль Виллизиева круга в компенсации выключенной из кровотока внутренней сонной артерии.
В параграфе (1.2.1) проведенно численное исследование динамики линейной скорости кровотока в средней мозговой артерии при временном выключении из кровотока внутренней сонной артерии. Данная ситуация часто наблюдается во время ап-гионейрохирургпческих вмешательств на сонной артерии. В диссертации проведено предварительная оценка динамики скорости кровотока у двух больных с замкнутым н разомкнутым Виллнзневым кругом. Результаты расчетов сопоставлялась со скоростью кровотока регистрированной непрерывно с помощью методики ультразвуковой доннлерографпн в ходе операции. При сопоставлении было выявлено высокое качественное и количестиенноей совпадение результатов расчетов с данным клинических измерений.
Модель эффекта Остроумова-Бейлиса для мнкроциркуляторпого русла
Вертебро-базилярная система Позвоночные артерии отходят от подключичной артерии и на своем протяжении лежат в костном канале поперечных отростков шейных позвонков, после чего входят в полость черепа. После входа в полость черепа позвоночные артерии слипаются, образуя основную артерию (ОА). В своем дисталыюм отделе основная артерия делится на задние мозговые артерии (ЗМА), образуя бифуркацию основной артерии. Номенклатура PI, Р2, РЗ ветвей ЗМА аналогична номенклатуре СМА и ПМА. В дисталыюм отделе сегмента Р1 ЗМА отходит, как правило, задняя соединительная артерия (ЗСА), которая соединяет между собой вертебро-базилярный и каротидныи бассейны (задние отделы Виллизиева круга). Вместе с ПСА и другими артериями основания ЗСА образуют большой артериальный круг мозга (Виллизиев круг - Willis, 1GG-1).
Описанная конфигурация графа соответствует представлению о правильно сформированных церебральных сосудах. Но часто встречаются их аномалии. К ним от носи і ся: аплазия - отсутствие артерии и гипоплазия - уменьшение диаметра артерии. В зависимости от состояния артерий, Виллизиев круг может быть разобщен но переднему (аплазия ПСА) или заднему отделам (аплазия ЗСА), что значительно влияет на характер коллатерального кровообращения.
Уровни коллатерального кровообращения головного мозга Діли адекватного описания цереброваскулярной системы в норме, и особенно при патологии, необходимо учитывать основные пути коллатерального кровоснабжения. В соответствии с классификацией Б.Н. Клоссовского [38] можно выделить 4 уровня коллатерального кровообращения головного мозга: 1. Уровень артериального круга большого мозга (Виллизиев круг); 2. Уровень коллатерального кровообращения на поверхности мозга в субарахио-идалыюм пространстве 3. Анастомозы в пределах полушария мозга 4. Внутримозговаи капиллярная сеть Схематично указанные уровни коллатерального кровообращения представлены на рис. 2.3. В зависимости от диаметров артерий и особенности коллатерального кровообращении по ним и дальнейшем при построении модели кровообращении в сосудах головного мозга удобно различать: 1. Крупные, магистральные артерии головного мозга, включающие ВСА, первые 1-3 сегменты ПМА,СМА,ЗМА. Коллатеральное кровообращение осуществляется но артериальному кругу большого мозга; 2. Резисттшные артерии с характерным диаметром 0,3-1,2мм. Коллатеральное кровообращение в этих артериях соответствует 2 уровню коллатерального кровообращения. 3. Микропиркуляторное русло, состоящее из ннальных артерий и капилляров диаметром менее 0,3мм. Коллатеральное кровообращение в этих артериях соответствует 3-1 уровням коллатерального кровообращения. Возможности коллатерального кровообращении в крупных артериях основания головного мозга (первый уровень) в первую очередь определяются вариантом анатомического строения артериального круга большого мозга. При этом различают: A) нормально сформированный Внллизнсв круг при хорошо развитых передних и задних соединительных артериях (на графе ) (по данным литературы встречается в 30-10% наблюдений); Б) разомкнутый пли слабо функционирующий по передним отделам Внллизиев круг при аплазии (5% случаев) или гипоплазии (до 15% случаев) передних соединительных артерий; B) разомкнутый или слабо функционирующий по задним отделам Виллизиев круг при аплазии (до 10% случаев) или гипоплазии (до 30% случаев) задних соединитель ных артерий справа или слева. На уровне резистивных артерий наиболее значимыми являются корковые анастомозы между конечными ветвями передней, средней и задней мозговых артериіі. В соответствии сданными Krayenbuhl, Yasargil (19G5) [38] выделяют анастомозы между корковыми ветвями:
Наличие или отсутствие этих анастомозов в значительной степени определяет возможности коллатерального кровообращения. Числовые значении сосудов, а также начальные распределения скоростей, потоков и давлений по сосудам, необходимые для проведения расчетов, представлены в таблице АЛ приложения. Название сосудов в таблице соответствует их обозначению на рис. Л.4 В данной работе не рассматривается детально венозное кровообращение. Поэтому структура и параметры венозных сосудов (строка в таблице 1) взяты таким образом, чтобы обеспечить реальный градиент давления на тканях, на маршруте от тканей до предсердия п дозвуковой характер течения па всем графе. Эти параметры получены в соответствии с процедурой, описанной в 11 и в таблице А.1 в полном объеме не приведены.
Существенной особенностью сосудов головного мозга является их способность обеспечивать необходимые параметры кровотока в них посредством механизмов ауто-регулянии. С физиологической точки зрения процесс ауторегуляцни заключается в изменении диаметра сосуда, его упруго-эластических свойств в ответ на изменение как локальной, так и центральной гемодинамики и направлен на обеспечение необходимого уровня кровоюка в тканях головного мозга. При этом влияние на сосудистую стенку не ограничивается лишь давлением, как в рамках упруго-эластической модели. В настоящее время к наиболее значимым механизмам ауторегуляцни относят: механическую, или эффект Остроумова-Бейлнса, нотокзависимую вазодилятацию, гуморальные и нервные механизмы. Последние два механизма являются не достаточно изученными с физиологической точки зрения и особенно сложны для корректного моделирования. Учитывая, что влияние нервных факторов на состояние сосудистой системы головного мозга в большинстве клинических ситуаций является менее значимым, по сравнению с другими, в настоящей работе оно не учитывается. Гуморальные механизмы регуляции кровотока в сосудах головного мозга определяются концентрациями определенных веществ в крови, в частности кислорода и углекислоты, вызывающих, соответственно сужение и расширение сосудов. Сложность корректного численного моделирования этих процессов объясняется широкой вариабельностью степени их выраженности в популяции, а также отсутствием адекватных экспериментальных количественных данных.
Наиболее интересными с физической точки зрения являются механизмы механической ауторегуляцни и поток-зависимой вазодилятации. В дальнейшем будут получены и исследования уравнения состояния, соответствующие данным моделям. Общим в этих случаях является тот факт, что диаметр артерии зависит не только
Сопряжение с другими иариаптами разностных схем гемодинамики
Оценка особенностей церебральной гемодинамики имеет большое значение при выявлении п трактовке патогенетических механизмов цереброваскуляриой патологии, а также важна в планировании аигиоиейрохпрургпческих вмешательств. Широко используемые в настоящее время в клинической практике методы диагностики сосудистой патологии головного мозга, такие как церебральная ангиография, МР-ангиографня, транскраниальная допплерография и дуплексное сканирование церебральных сосудов, а также функциональные методы дают высоко достоверную информацию о текущем состоянии цереброваскулярпого русла и параметрах мозгового кровотока в определенный момент времени. При этом анализ полученных данных в целом, выявление ведущих патогенетических механизмов и прогнозирование возможных изменений церебральной гемодинамики затруднен в связи со сложностью системы мозгового кровообращения и требует многосторонней экспертной оценки. Одним из эффективных подходов к объективному анализу данных исследований церебральной гемодинамики является метод прямого математического моделирования.
В данной главе предложенная модель церебрального кровообращения используется для воспроизведения параметров церебральной гемодинамики в норме и патологии. На основании модели планируется оценить параметры церебральной н общей гемодинамики при манипуляциях на сосудах мозга во время ангионейрохирургических вмешательствах, а также провести последующую верификацию результатов расчетов с данными интраоиерацмонного мониторинга. Расчеты по математической модели проводились на программном комплексе CVSS с интегрированной в него методикой расчетов кровообращения в резистивных артериях по модифицированным уравнениям состояния с использованием кипетически-соглазованных разностных схем гемодинамики.
Начальные параметры цереброваскулярпого русла, а также значения мозгового кровотока задавались в соответствии с многочисленными данными литературы и корректировались в соответствии с данными церебральной ангиографии и уль тразвуковых методов исследования. Реактивность мпкроциркуляториого pycvia и его компенсаторных возможностей учитывались на основания оценки резервов коллатерального кровообращения методом транскраниалыюй допплерографии. Для уточнения ведущих патогенетических механизмов при сосудистой патологии головного мозга, а также для оценки возможных изменении церебральной гемодинамики в ходе хирургических вмешательств методом прямого математического моделирования были сформулированы следующие модельные задачи: 1. Воспроизведение в модели параметров кровообращения в сосудах головного мозга в норме с учетом эффектов ауторегуляции. Сопоставление результатов расчетов нестационарных задач с клиническими и экспериметальными данными. Исследование влияния параметров сердечной деятельности на церебральную гемодинамику. 2. Численная верификации физиологических механизмов пульсации спинпо-мозгоной жидкости в области крапио-вертебралыюго перехода па основании предложенной нестационарной модели гемодинамики. Сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными. 3. Прогнозирование изменений церебральной гемодинамики при временном выключении крупных церебральных и магистральных артерий из кровотока в ходе деконструктнвиых операций на магистральных артериях, трепппнге аневризм головного мозга, каротидной эндартерэктомии. Оценка степени изменений мозгового кровотока в зависимости от состояния коллатерального кровообращения и места окклюзии артерии. Изучение возможных путей коллатерального кровообращения и их роли в компенсации выключенной из кровотока артерии. I. Математическое моделирование крупных артерію-венозных мальформаций (АВМ) головного мозга. Выявление роли эффектов ауторегуляции кровотока в развитии и функционировании мальформаций. Оценка степени обкрадывании тканей мозга в зависимости от размеров и строения АВМ; определение условий, способствующих разрыву АВМ. Результаты проведенных расчетов и их обсуждение приведены в следующих параграфах. Численное моделирование актуальных задач церебрального кровообращения проводилось на дополненном программном комплексе CVSS с использованием полученных в диссеріацип модифицированных уравнении состояния для резпетннных артерии. В этих сосудах расчеты осуществлялись с помощью кинетически-согласованных разностных схем гемодинамики. В качестве фоновых значении параметров кровотока использовались результаты стационарных расчетов. Для описания сердечной деятельности использовалась модель двухкамерного самосогласованного сердца (2.5). Параметры сердечной деятельности задавались в соответствии с таблицей (1.1): Указанные параметры соответствуют средним физиологическим значениям. Давление в предсердии задавалось равным 5 мм. рт. ст. Для описания сосудистой сети головного мозга использовался построенный в диссертации базовый граф топологии сосудов головного мозга, структура которого представлена на рисунке (А.б) приложения. Исходные параметры сосудов, входящих в структуру графа, отражены в таблице (АЛ) приложения. В дальнейшем в зависимости от исследуемых задач в граф (А.6) вносились соответствующие изменения. Влиянием силы гравитации в ходе расчета клинических задач перепебрегали. Коэффициент вязкости v полагали равным 0,0001 (0,04см3/сек). Плотность крови р считали равной 1/1300 (1г/см3)
Исследовалась возможность получения квазпетационариого режима работы системы с физиологически адекватными значениями давления и объемного кровотока при учете эффектов регуляции мозгового кровотока. Расчет в резистивных артериях головного мозга (ребра А2,АЗ,М2,МЗ,Р2,РЗ,МРА,АМА,АРА с обеих сюрон, ААА,А\ \ ,АРР Производился в соответствии с кинетически согласованными разностными схемами гемодинамики. Для этого для каждого ребра строилась сетка из 40 точек. При выборе шага по времени использовалось число Куранта г = 0,003. При описании эффекта поток-зависимой вазодплятации величина оптимального напряжения сдвига на сосудистую стенку печаталась постоянной величиной. Коэффициент скорости развития эффекта ауторегуляции к выбирался равным 0,0075. Сопряжение макропараметров гемодинамики в узлах ветвления резистнвпых сосудов производилось в соответствии с алгоритмом (3.3)
В магистральных артериях головного мозга, аорте, эффективных артериях большого круга кровообращения расчеты проводились по неявной консервативной разностной схеме гемодинамики (3.1) для обычных уравнений гемодинамики без эффектов ауторегуляции (2.12). Разбиение ребер и шаг но времени задавились как и дія кинетически-согласованных разностных схем гемодинамики. При этом в схеме (3.1) все весовые множители а І полагались 1, учетом искусственной вязкости пренебрегали («j = яи = 0). Сопряжение разностных схем выполнялось в соответствии с алгоритмом (3.2) в середине ребер А1,М1,Р1 с обеих сторон. Для описания тканей использовалась предложенная в диссертации модель миогепной ауторегуляции кро-вотока на уровне микроциркуляции (2.18).
Влияние параметров сердечной деятельности на церебральную гемодинамику
Па диаграммах (А.14.Б.В.) представлены величины кровотока в сосудах артериального круга большого мозга в норме и при выключении правой ВСА. Как видно и І диаграммы после модельного "пережатни"артерин изменилось направление кровотока в сосудах Виллизнева круга: А1, ГА на стороне пережатия, а также ПСА, ЗСА с двух сторон. Данная ситуация соответствует рентгенологической картине коллатерального кровообращения по передним (ПСА,А1 на стороне пережатия) и по задним отделам Впллизиева круга (ЗСА). В передней соединительной артерии (ПСА) кровоток с 0,3мл/сек изменяет свое направление и достигает 2,3мл/сек. В задних соединительных артериях кровоток с 0,6 меняет свое направление и достигает 1,2мл/сек. Суммарно по задним отделам Виллизнева круга поступает 2,4мл/сек, что сопоставимо с перетокам но передней соединительной артерии. Таким образом, передние и задние отделы Впллизиева круга при его нормальном строении равнозначны в компенсации выключенной ВСА из кровотока. Также можно отметить сформировавшийся кровоток по глазничной артерии с 1,91мл/сек до 1,2 мл/сек в обратном направлении (в полость черепа). Данный путь коллатерального кровообращения подтвержден рентгенологически и имеет название каротндио-офтальмического анастомоза.
На стороне пережатия также можно отметить повышение потока по ПА с 3,13 мл/сек до 3,5 мл/сек (10%) и ЗМА с 2,71мл/сек до 4,05 мл/сек, (33%), что обусловлено как изменением величины и направления кровотока по ЗСА, так и увеличением кровотока по корковым коллатералям (МРА,АРА с обеих сторон). С противоположной выключенной из кровотока ВСА2 стороны отмечается повышение потоков в ВСА2 на 33% с 8,1мл/сек до 12,1 мл/сек что свидетельстве о компенсаторном перераспределении кровоснабжения головного мозга на противоположную внутреннюю сонную артерию. В тоже время увеличение потока по позвоночной артерии менее существенно - с 3,13 до 3,51 мл/сек, что составляет 10-11%.
В общей сложности в ходе расчетов суммарный компенсаторный коллатеральный кровоток был равен 6,61мл/гек, что составляет около 82% от исходного потока но ВСА (8,1.мл/сек). При этом передние отделы Виллизнева круга (ПСА) составили 35% общего коллатерального потока , задние отделы (ЗСА) - 36%, а каротпдно-офтальмический анастомоз - 18%. Участие корковых коллатералей в компенсации кровотока было минимальным и составило 11% от общей, величины компенсаторного кровотока - в абсолютных величинах 0,7-1 мл/сек. Таким образом, в ходе численного эксперимента показано , что при компенсации выключения из кровотока внутренней сонной артерии ведущую роль играют потоки по артериальному кругу большого мозга. Компенсация по естественному каротпдпо-офтальмпческому и корковым анастомозам имеет второстепенный характер.
На диаграмме (Л.15.Л,Б) представлены величины кровотока в сосудах артериального круга большого мозга в норме и при выключении начальных отделов правой средней мозговой артерии (сегмент МІ на графе). Данная ситуация возникает при развитии тромбоза средней мозговой артерии, а также в ходе хирургического лечения аневризм средней мозговой артерии.
Как видно из диаграммы на стороне выключенной из кровотока СМЛ наблюдается снижение потока в ВСЛ2 с 8,1мл/сск до 0,3мл/сек , что составляет 22,3%. Данная картина гемодннампческого течения в магистральных артериях головного мозга может быть обусловлена повышением периферического сопротивлении кровотоку засчет выключении сегмента Ml, а также эффектов миогенной ауторегуляции кровотока в тканях [38]. В противоположной внутренней сонной артерии при этом наблюдается компенсаторное увеличение потока с 8,1мл/сек до 11,0 мл/сек, что составляет 30%. В обеих позвоночных артериях кровоток суммарно увеличивается с C.2G мл/мин до 0,85 мл/сек, что составляет около 9%. Ведущей причиной повышения кровотока по позвоночным артериям можно считать участие их конечных ветвей в коллатеральной компенсации кровотока (через МРА и АРР). Аналогичная причина увеличения потока и в противоположной ВСА2 по коллатералям (АМА,АММ,ААА с обеих сторон). В тоже время, на диаграмме (А.15.) обращает на себя внимание отсутствие изменения направлений течения крови но артериям Виллизиева круга. Можно отметить лишь увеличение потока но ПСА с 0,3 до 1,4мл/сек (составляет 70%) и ЗСА с 0,0 до 1,2 мл/сек за счет увеличившейся асимметрии расчетного графа сосудистой системы головного мозга. В общей сложности суммарный компенсаторный кровоток составил 3,31мл/сек, причем он достигался засчет коллатерального кровообращении по корковым анастомозам.
При выключении из кровотока первого сегмента подключичной артерии слева изменении в кровоснабжении тканей не наблюдалось. Результаты установившихся гемодниамических течений в магистральных артериях и сосудах Виллизиева круга представлены на диаграмме (АЛО.). Следует отметить изменение направления потока крови но левой позвоночной артерии. Так, после выключении первого сегмента подключичной артерии их кровотока при численном моделировании был получен поток но позвоночной артерии из полости черепа, который составил -0,08 мл/сек, в то время как изначально кровоток был направлен в полость черепа и был равен 3,13 мл/сек. В противоположной позвоночной артерии отмечается увеличение расчетного потока с 3,14 до 5,04мл/сек, что составляет около 00% исходной величины. При анализе величин потоков, полученных в сонных артериях и задних соединительных артериях, можно отметить в них увеличение потока в среднем на 0,5-0,Смл/сек.
Таким образом, при анализе результатов расчетов получена картина обкрадывания противоположной позвоночной артерии и всего мозгового кровотока за счет левой позвоночной артерии и эффективно заданной в модели церебрального кровообращения ткани, описывающей левую руку. Данная картина верифицирована рентгенологически и носит название "иодключично-иозвоночного"обкрадывания или "stcal"cinupoMa [38].
Как было показано в предыдущем параграфе, ведущее значение при компенсации выключенной из кровотока внутренней сонной артерии имеют особенности строения артериального круга большого мозга. Для подтверждения данного результата, а также проверки корректности предложенной в диссертационной работе математической модели церебрального кровообращения были проведены расчеты на уникальных графах сосудистой системы головного мозга, заданных в соответствии с данными рентгенологических обследований пациентов. Для этого на базе 4 клинического отделения НИИ нейрохирургии им. Н.Н. Бурденко РАМН с использованием методов калибро-метрпп результон аигиографических исследований сосудов головного мозга у двух пациентов были получены исходные сечения и длины артерий, формирующих Внлли-зиев круг. В первом случае структура графа включала правильно сформированный Впллизиев круг. Во втором случае у пациента был диагностирован разомкнутый по передним отделам Впллизиев круг (отсутствовало ребро ПСА). Диаметры задних соединительных артерий были существенно меньше среднестатистических нормальных значений. В обеих случаях проводились расчеты модельного выключении ребра ВСА1 (общая сонная артерия) из кровотока. При этом регистрировалась динамика линейной скорости кровотока в средней мозговой артерии (ребро МІ). В последствии обоим пациентам были выполнены хирургические вмешательства на сонных артериях с временным их выключением в участке, соответсвующем ребру ВСА1 модельного графа. Этап пережатия артерий сопровождался одномоментной непрерывной во времени регистрацией линейной скорости кровотока в средней мозговой артерии при помощи методики транскраниальной ультразвуковой допплерографии. Верификация модели церебрального кровообращения производилась путем сравнения результатов численных расчетов и клинических измерений.
