Математическое моделирование безударного сильного сжатия газовых слоёв с одномерной симметрией при возрастании радиуса сжимающего поршня Новаковский Николай Станиславович

Содержание к диссертации

Введение

1 Аналитические исследования 17

1.1 Обзор основных подходов к решению задачи силвного сжатия газовых слоев 17

1.2 Математическая постановка одномерной задачи безударного сильного сжатия газовых слоев при возрастании радиуса сжимающего поршня

1.2.1 Задача о получении вертикального распределениея плотности (ХЗК1) 27

1.2.2 Задача о получении наперёд заданного непрерывного распределения плотности (ХЗК 2) 31

1.2.3 Задача Коши для восстановления траектории поршня 33

1.2.4 Постановка задачи сильного сжатия газовых слоев с одномерной симметрией при возрастании времени 33

1.3 Аналитическое представление звуковых характеристик обобщенной центри

рованной волны 36

1.3.1 Получение первых коэффициентов ряда по степеням t для искомых функций 37

1.3.2 Вывод уравнений для характеристик в пространстве специальных переменных 40

2 Алгоритмы решения задачи безударного сильного сжатия газовых слоев с одномерной симметрией 43

2.1 Алгоритм численного решения одномерной задачи сильного сжатия газа методом характеристик в обратном направлении изменения времени 44

2.2 Неявный конечно-разностный метод «Ромб» для численного решения системы уравнений газовой динамики при возрастании времени и его модификации 50

2.3 Алгоритм комбинированного метода расчёта одномерных задач безударного сильного сжатия идеального газа с использованием данных на характеристике 54

2.4 Программно-вычислительный комплекс. Организаиция, принципы функционирования и тестирование 56

3 Результаты численного решения задачи безударного сильного сжатия га зовых слоев с одномерной симметрией при увеличении радиуса сжима ющего поршня 60

3.1 Расчёты в обратном направлении изменения времени методом характери стик с пересчётом 60

3.2 Сравнение приближённых аналитических представлений звуковых характеристик обобщённой ЦВ с результатами расчётов 66

3.3 Результаты расчётов при возрастании времени методом «Ромб» 67

3.4 Результаты расчётов комбинированным методом при возрастании времени с использованием данных на характеристике 74

Заключение 80

Благодарности 81

Список литературы

• Математическая постановка одномерной задачи безударного сильного сжатия газовых слоев при возрастании радиуса сжимающего поршня
• Постановка задачи сильного сжатия газовых слоев с одномерной симметрией при возрастании времени
• Алгоритм комбинированного метода расчёта одномерных задач безударного сильного сжатия идеального газа с использованием данных на характеристике
• Сравнение приближённых аналитических представлений звуковых характеристик обобщённой ЦВ с результатами расчётов

Введение к работе

Актуальность темы исследований обусловлена тем, что решение проблем, связанных с сильным сжатием газовых слоев является одним из ключевых шагов на пути осуществления управляемого термоядерного синтеза.

Считается, что исследование сильного сжатия в рамках модели газовой динамики для идеального политропного газа позволит выявить основные закономерности и дать некоторые рекомендации для реального осуществления происходящих процессов [3].

Идея безударного сжатия весьма привлекательна для получения сколь угодно больших плотностей при минимальных энергетических затратах благодаря отсутствию в течении ударных волн, т.е. из-за сохранения в процессе сжатия значения начальной энтропии [4].

В случае плоскосимметричных течений (у = 0) простая волна Римана [5], центрированная в заданный момент времени t = *, описывает сжатие плоского слоя газа до бесконечной плотности [6] в этот момент времени. Состыковка центрированной волны (ЦВ) Римана с однородным потоком газа дает решение задачи о получении в сжатом плоском слое любого конечного значения плотности [7].

При математическом описании процессов безударного сильного сжатия с помощью построения решений СУГД часто используют точные решения, полученные исходя из заранее указанных свойств этих решений: симметрия, автомодельность, линейность по части переменных и т.п.

На настоящий момент различными авторами получены четыре точных решения СУГД, описывающих процесс безударного сильного сжатия объёмов первоначально однородного и покоящегося газа:

1. Упомянутая выше простая центрированная волна Б. Римана, описывающая сжатие одномерного плоско-симметричного слоя до бесконечной плотности. Подробное описание безударного сильного сжатия плоского однородного слоя газа, первоначально находящегося в покое, приведено, например, в книге СП. Баутина [8].

2. Автомодельные решения Л.И. Седова, описывающие сжатие одномерных объемов газа со сферической или цилиндрической симметрией. Автомодельные решения Л.И. Седова [9] интерпретированы на задачу безударного сильного сжатия, например, в работах И.Е. Забабахина, В.А. Симоненко [10].

3. Двумерное решение В.А. Сучкова, описывающее сжатие призмы при согласованных значениях показателя 7 и угла призмы. Это решение предложено в работе В.А. Сучкова [11] для задачи об истечении газа с косой стенки и интерпретировано для описания безударного сильного сжатия специальных призм А.Ф. Сидоровым [12].

4. Трехмерное решение А.Ф. Сидорова, описывающее сжатие многогранника при согласованных значениях показателя 7 и двугранных углов. Это решение предложено в работе А.Ф. Сидорова [13] для задачи об истечении газа из трехгранного угла, а затем в работе [12] интерпретировано им для описания безударного сильного сжатия специальных многогранников.

К сожалению, отклонение величины угла тела от фиксированного значения ведет к возникновению особенностей, и даже возникновению ударных волн, что доказано СП. Баутиным [14].

Практическая реализация сжатия в соответствии с вышеупомянутыми точными решениями наталкивается на существенные технические трудности [3].

В [8,14] Баутиным СП. предложено полное математическое описание безударного сильного сжатия идеального газа. В частности, для случая сжатия цилиндрически v = 1 и сферически v = 2 симметричных слоев идеального газа с показателем 7 > 1 доказано, что непрерывная состыковка двух течений дает решение задачи о безударном сильном сжатии до любой наперёд заданной плотности ненулевой массы газа.

Первое из этих двух течений является обобщением центрированной волны (ЦВ) Римана [8,14]. Второе - является решением задачи о получении наперёд заданных распределений газодинамических параметров [14].

Доказанные в [8,14] теоремы устанавливают, что существуют цилиндрические и сферические слои с ненулевой массой газа, которые можно безударно сжать до любой плотности. Однако эти теоремы не позволяют определить границы возможной ширины исходных слоев, то есть границы возможной массы сжимаемого газа, которую при фиксированных и, 7 можно безударно сжать до заданной плотности р*.

В работе Николаева Ю.В. и Баутина СП. [15] предложен алгоритм расчёта безударного сильного сжатия одномерных слоев первоначально однородного и покоящегося газа с ро = 1 до любой наперёд заданной конечной постоянной плотности р* > 1 в обратном направлении изменения времени. В этой же работе предлагается восстанавливать так же в обратном направлении изменения времени закон движения поршня, сжимающего слой газа в случае уменьшении его радиуса с возрастанием времени. Необходимо особо отметить, что все расчёты, в том числе восстановление закона движения сжимающего поршня в работе [16] проведены в обратном направлении изменения времени. В работах [15,16] вопрос о том как «сработает» в расчётах найденный закон движения поршня при возрастании времени не поднимался. Вышеупомянутый алгоритм существенно опирается на локальную теорему существования решения

в окрестности особой точки (t = t*,r = г*) [8,14]. Для сжатия достаточно больших масс газа при расчёте траектории движения сжимающего поршня необходимо существенно отступать от t = t*,r = г*. Следовательно, в случае больших масс сжатого газа вопрос о соответствии полученного решения действительности до данной работы оставался открытым.

В работах А.В. Забродина и Г.В. Долголёвой [3,17], а также Г.В. Долголёвой с рядом соавторов [18-20] тщательно и подробно исследуется вопрос конструирования цилиндрических мик-ромишений для УТС при использовании концепции безударного сжатия. Авторами рассмотрены ряд подходов, аналитически находятся приближённые законы энерговложения с целью осуществления безударного сжатия рабочей DT-области. Аналитические выкладки подтверждаются численными расчётами при учёте ряда физических процессов. Во всех этих работах рассматриваются такие режимы сжатия при которых радиус цилиндрической оболочки, сжимающей газ, стремится к нулю с течением времени.

Не смотря на большое количество работ, посвященных безударному сжатию газа, оно до сих пор не реализовано на практике. Причина этого, возможно, состоит и в том, что обычно сжатие газового слоя происходит так, что уменьшаются и геометрические размеры, и радиус сжимающего поршня. Процесс сжатия, при котором радиус поршня увеличивается с течением времени, изначально представляется более устойчивым [2].

Цели диссертационной работы

5. Разработать численную методику расчёта задач безударного сильного сжатия одномерных слоев газа при возрастании радиуса сжимающего поршня (то есть когда поршнем является внутренняя граница слоя, движущаяся наружу - см. рис. 1).

6. При расчётах в обратном направлении изменения времени численно построить закон движения сжимающего поршня, который будет использоваться для моделирования воздействия на слой газа в расчётах при возрастании времени.

7. При заданном законе движения поршня численно построить при возрастании времени решения одномерной СУГД, описывающие сжатие слоев различной симметрии и тем самым проверить является ли этот закон движения поршня рекомендацией для проведения физического эксперимента.

Задачи исследования

Для достижения поставленных целей необходимо решить следующие задачи:

8. Реализовать методику сведения решения задачи сильного сжатия газа к последовательному решению нескольких ХЗК в зависимости от конфигурации течения. Изучить и проанализировать коэффициенты обобщённой центрированной волны Римана для случаев цилиндрической и сферической симметрии.

9. Создать программу, реализующую метод характеристик для решения задачи безударного сильного сжатия одномерных слоев газа в обратном направлении изменения времени в конфигурации Мизеса при возрастании радиуса сжимающего поршня.

10. Создать программу для решения одномерной СУГД при возрастании времени, основанную на общепризнанном алгоритме, провести её верификацию на точных решениях.

11. Получить приближенные аналитические формулы для звуковых характеристик обобщенной центрированной волны, с целью их применения в численных расчётах при возрастании времени.

12. Реализовать модификации методики расчёта при возрастании времени. Численно постро-

ить решение вплоть до момента сильного сжатия. Проанализировать результаты массовых численных расчётов.

6. Получить рекомендации для проведения физического эксперимента.

Объект исследования - нестационарные одномерные решения системы уравнений газовой динамики, являющиеся нелинейной системой уравнений с частными производными.

Предметом исследования являются методы моделирования одномерных течений идеального газа, возникающих в процессе безударного сильного сжатия.

Методы исследования

Для решения сформулированных задач в работе были использованы современные и хорошо апробированные методы аналитического и численного моделирования движения сжимаемой сплошной среды. Математическая модель среды, рассматриваемая в исследовании,- это система уравнений газовой динамики, адекватно описывающая процессы происходящие при сжатии газовых слоев. В рамках этой модели формулируются конкретные начально-краевые задачи, для которых ранее были доказаны соответствующие аналоги теоремы Ковалевской, обеспечивающие существование и единственность локально-аналитического решения. Корректность сформулированных задач позволяет численно находить закон движения сжимающего поршня надёжным методом характеристик при решении задачи в обратном направлении изменения времени. Для моделирования воздействия поршня на слой газа используется общепризнанная неявная конечно-разностная схема «Ромб» [21], которая, с учётом введённых автором модификаций, позволяет строить численное решение вплоть до момента сильного сжатия.

Научная новизна работы по трём областям специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ заключается в следующем.

Математическое моделирование

13. Приводятся конкретные начально-краевые задачи для одномерной СУГД, позволяющие численно построить траекторию поршня, сжимающего слой газа достаточно большой массы, в случае возрастания его радиуса при различной симметрии течения, при решении задачи в обратном направлении изменения времени.

14. Сформулирована начально-краевая задача при возрастании времени, при решении которой моделируется воздействие поршня, сжимающего слой газа в соответствии с ранее полученным законом его движения.

15. Определены газодинамические параметры течения идеального газа в момент сильного сжатия при воздействии на газовый слой в прямом направлении изменения времени.

16. Приведены энергетические характеристики построенных решений.

17. Реализация предыдущих пунктов дала прямые рекомендации для проведения соответствующих физических экспериментов.

Численные методы

18. При решении СУГД в обратном направлении изменения времени численно построены траектории движения сжимающего поршня, радиус которого увеличивается при возрастании времени, для различных начальных данных: показателя адиабаты идеального газа, массы сжимаемого слоя, симметрии задачи.

19. При решении задачи в прямом направлении изменения времени применены несколько модификаций классического конечно-разностного метода «Ромб», обеспечивающие повышенную точность расчёта в области слабого разрыва в решении.

Комплексы программ

Создан программно-вычислительный комплекс, основанный на трёх программах, ориентированный на численное решение одномерных задач безударного сильного сжатия газовых слоев различной симметрии.

Первая часть комплекса - «Программа численного решения задачи сильного сжатия одномерных слоев газа» численно решает поставленную задачу в обратном направлении изменения времени. В ней реализован численный метод характеристик с пересчетом, с учётом разрешения особенности путем привлечения точного решения в особой точке. Кроме этого, так же в обратном направлении изменения времени численно восстанавливается закон движения сжимающего поршня.

С помощью второй программы - «Реализация конечно-разностного метода «Ромб» для численного решения одномерной системы уравнений газовой динамики» получены первые результаты численного моделирования воздействия сжимающего поршня на слой идеального газа при возрастании времени. В этой программе масса газа в расчётной области остаётся постоянной в течении всего расчёта, т.к. используемая методика - лагранжева, а правая граница расчётной области задаётся неподвижной.

Третья программа комплекса «ROBOC-расчёт задачи сильного сжатия одномерных слоев газа с учётом условий на характеристике» является реализацией разработанного автором комбинированного метода расчёта одномерной задачи безударного сильного сжатия газа. Комбинированный метод реализует возможность задания закона движения правой границы расчётной области в соответствии с законом движения звуковой характеристики. Этот закон задаётся аналитически или в таблично из расчёта первой программы.

Все программы прошли государственную регистрацию.

Теоретическая значимость

Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

20. Предложена конкретная реализация моделирования при возрастании времени сжатия одномерных газовых слоев до большой плотности, в том числе в 10⁵ раз превышающей исходную плотность.

21. С помощью предложенной схемы моделирования сильного сжатия одномерных слоев газа показано, что доказанные ранее локальные теоремы можно использовать для получения нелокальных результатов.

22. Предложены конкретные рекомендации для проведения физического эксперимента: законы движения сжимающего поршня и законы внешнего вложения энергии в виде соответствующих таблиц, для случаев разной симметрии и разных р*,т*.

Практическая ценность работы состоит в создании комплекса программ, при помощи которых сначала восстанавливается закон движения сжимающего поршня, а затем моделируется его воздействие на достаточно произвольный одномерный слой идеального газа; в верификации этих программ как при сравнении полученных численных решений с аналитическими, так и с данными других авторов, подтвердивших надёжность программы и достоверность получаемых с её помощью результатов. Это позволяет использовать созданный комплекс программ для формулировки рекомендаций для проведения физических экспериментов при различных входных данных.

Достоверность результатов обеспечивается использованием хорошо известной математи-

ческой модели - СУГД, корректной постановкой начально-краевых задач, для которых доказаны соответствующие аналоги теоремы Ковалевской. Кроме этого, для построения решения используются хорошо зарекомендовавшие себя численные методы. Все созданные программы прошли этап тщательного тестирования на точных решениях и сравнения с результатами других авторов.

На защиту выносятся результаты, соответствующие паспорту специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам.

Пункт 1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.

1. Разработан и реализован новый метод расчёта задач безударного сильного сжатия газа
при возрастании времени, совмещающий преимущества неявного конечно-разностного метода
«Ромб» и метода отслеживания особенности. Его работоспособность и достоверность подтвер
ждена при решении задач, имеющих аналитическое решение. Точность расчёта в окрестности
слабого разрыва принципиально выше, чем у исходного метода «Ромб».

Пункт 2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей.

2. Предложены приближенные аналитические формулы траекторий характеристик обобщенной центрированной волны, позволяющие уменьшить расчётную область численного метода при моделировании воздействия сжимающего поршня в прямом направлении изменения времени.

3. Численно определены траектории поршня с неубывающим радиусом, сжимающего достаточно большие массы газа, в случае безударного сильного сжатия газа при различных симмет-риях.

4. Показано, что при воздействии сжимающего поршня движущегося в соответствии с предварительно численно построенным законом, во всём слое газа, а не в отдельных его частях, достигается искомая большая плотность (вплоть до 10⁵).

Пункт 4- Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

5. Создан программно-вычислительный комплекс на основе трёх, созданных автором про
грамм, предназначенный для численного решения одномерных задач сильного сжатия газовых
слоев различной симметрии при воздействии сжимающего поршня, радиус которого увеличи
вается при возрастании времени. Программно-вычислительный комплекс функционирует на
ПЭВМ.

Пункт 5. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

6. Численные методы построения одномерных нестационарных течений идеального газа в возникающих условиях сильного сжатия и больших градиентов газодинамических параметров в рассматриваемой области.

7. Массовые расчёты одномерных областей газа в целях определения траекторий сжимающего поршня неубывающего радиуса, обеспечивающих сжатие областей с различной симметрией, различной массой до плотности, превышающей исходную в 10⁴ — 10⁵ раз.

8. Приближенные решения СУГД, демонстрирующие возможность достижения во всём слое газа, сжимаемого поршнем по определённому закону, достаточно больших значений плотности.

Эти решения построены с помощью предложенного комбинированного метода, совмещающего преимущества неявной конечно-разностной схемы «Ромб» [21] и метода выделения особенности. Таким образом, в соответствии с формулой специальности 05.13.18 в диссертации присутствуют оригинальные результаты одновременно из трёх областей: математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. В работе преобладают математические методы в качестве аппарата исследований и при получении результатов в виде новых математических методов, вычислительных алгоритмов и новых закономерностей.

Апробация результатов. Основные положения и результаты докладывались на следующих конференциях (см. в том числе [29]-[33]): Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и информационные технологии» (Екатеринбург, 2016); Всероссийской научной конференции «Теоретические основы конструирования численных алгоритмов и решение задач математической физики памяти К.И. Бабенко» (Дюрсо, 2016); Всероссийской научной конференция «НАУЧНАЯ СЕССИЯ НИЯУ МИФИ - 2016» (Снежинск, 2016); XVI всероссийской научно-практической конференции «Дни науки НИЯУ МИФИ», (Озёрск, 2016); Международной конференции «XIII Забабахинские научные чтения» (Снежинск, 2017); Всероссийской конференции с международным участием «Современные проблемы механики сплошных сред и физики взрыва», посвященной 60-летию Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2017).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 12 печатных работах, в числе которых 3 опубликованы периодических изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 5 тезисов докладов, 3 зарегистрированные программы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и приложений. Текст диссертации содержит 108 страниц печатного текста, 59 рисунков, 4 приложения . Список использованной литературы включает 90 наименований работ российских и зарубежных авторов.

Математическая постановка одномерной задачи безударного сильного сжатия газовых слоев при возрастании радиуса сжимающего поршня

В [74] приведены результаты расчётов плоской ЦВ Римана при учёте лучистой теплопроводности. В этих расчётах использовалась одна разностная методика, хорошо себя зарекомендовавшая на протяжении тридцати лет при решении широкого класса прикладных задач. В расчётах из работы [74] максимально достигнутое значение плотности в 3 10 раз превышает исходную плотность, но при этом среднее значение плотности в ЦВ равно 8 10 .

В работах авторов из ИММ УРО РАН [75-79] предлагаются различные численные методы и приводятся результаты расчётов для областей специальной формы, либо при дополнительных предположениях и допущениях. Реализация на практике сжатия таких объемов представляется затруднительным.

Результаты расчётов сильного сжатия двумерных областей приводятся в работах [80,81], однако достигнутые степени сжатия исходной массы газа не превышают 10. В работах [82,83] подробно рассматриваются расчёты автомодельных двумерных задач сильного сжатия при возрастании времени.

Ещё раз отметим, что в работах [74,82,83] расчёты проведены в прямом направлении изменения времени, а движение сжимающего поршня происходит в соответсвии с точными решениями, явно полученными в более ранних работах [26,40,84]. В работах [66,80] расчёты ведутся в обратном направлении изменения времени.

Не смотря на большое количество работ, посвященных безударному сжатию газа, оно до сих пор не реализовано на практике. Причина этого, возможно, состоит и в том, что обычно сжатие газового слоя происходит так, что уменьшаются и геометрические размеры, и радиус сжимающего поршня. Процесс сжатия, при котором радиус поршня не уменьшается с течением времени, изначально представляется более устойчивым [2].

В настоящей работе представлены несколько подходов к моделированию одномерных течений, описывающих безударное сжатие идеального газа. При этом сначала ставятся конкретные начально-краевые задачи, имеющие аналитические решение в окрестности особой точки. Затем эти задачи решаются численно в обратном направлении изменения времени при использовании локально аналитических точных решений для явного раскрытия особенности. Таким образом, формулируются рекомендации для проведения физического эксперимента.

Расчёты в прямом направлении изменения времени по схеме «Ромб», моделирующие воздействие на газ сжимающего поршня по ранее численно полученному закону, выявили области течения, в которых используемый численный алгоритм искажает решение, в том числе в случае плоской симметрии. Решение в окрестности слабого разрыва размазывается, т.е. расчётная волна сжатия «убегает» вперёд от восстанавливаемого решения. Этот эффект часто проявляется при использовании конечно-разностных методов при расчётах волн сжатия и разрежения [85].

Расчётную область можно уменьшить, если правую границу рассчитываемой области сделать подвижной, а не брать постоянной: г = г . Для реализации этого подхода представлен другой алгоритм, использующий как все преимущества метода «Ромб», так и известную информацию о траектории движения слабого разрыва, разделяющего покоящийся и движущийся газ. Такой подход позволил улучшить точность численного решения в окрестности характеристики, разделяющей волну сжатия и фоновое течение.

Однако, поскольку в решении рассматриваемой задачи есть известная особенность в точке ( ,г ) - бесконечное значение градиента, то в расчётах это проявляется следующим образом. При нарастании общего градиента в решении и достижения им значения порядка 30 одновременно в окрестности граничной звуковой характеристики градиент искомой функции становится ещё больше и настолько, что дальнейший расчёт становится невозможным. Завершающим этапом данного исследования является вывод аналитических формул для представления характеристик обобщенной центрированной волны (ОЦВ) и их применение для расчётов в области между сжимающим поршнем и крайней звуковой С+ характеристикой ОЦВ.

Использование полученных аналитических формул позволяет уменьшить расчётную область в моменты, близкие к t = t , до той части, где особенностей в решении нет, т.е. до области между сжимающим поршнем и крайней характеристикой ОЦВ, на которой достигаются искомые значения плотности. Такой подход позволил досчитать сжатие одномерных слоев газа вплоть до момента времени t = t .

Следовательно, восстановив течение сжатия при расчёте от t = 0 до t = t с использованием найденного закона движения поршня, установлено, что этот закон движения поршня действительно является соответствующей рекомендацией для проведения физического эксперимента.

В рассматриваемой математической модели среда описывается как идеальный газ с единой плотностью частиц р и общим вектором их скорости U. Рассматривается случай одномерных изоэнтропических течений. Такие течения являются решениями системы уравнений [49]: Ct + исг + —о—-с (иг + ь Ш) = О, 2 п (1Л) Щ + т— -\ССГ + ииг = 0. (7-1) Здесь с = /г7_ - скорость звука в газе, 7 1 — константа в уравнении состояния р = p /j p — давление;и = (с, и)— искомые функции. Значения v = 0,1,2 соответствуют случаям плоской, цилиндрической и сферической симметрии. В случае v = 0 в системе (1.1) г = Xi, и = V\— проекция вектора V на ось Ох\. В случае v = 1, 2 v+l г \ »=1 а скорость газа и есть проекция вектора V на радиус-вектор в плоскости Х\Ох2 при v = 1 или на радиус-вектор в пространстве переменных Х\, Х2, х% при v = 2 соответственно. Далее рассматривается сжатие газового слоя «изнутри», то есть в том случае когда движется та граница слоя, чья начальная пространственная координата меньше («внутренняя» граница), другая граница остаётся неподвижной. На рисунке 1.1 этот процесс представлен графически. V О v 1,2 Рис. 1.1: Сжатие слоя газа «изнутри» Пусть в некоторой окрестности точки (t = t , г = г ) при г 0 задано какое-либо фоновое течение U = U(,r), где компоненты вектора XJ(t,r) -аналитические функции c(t,r), u(t,r) - являются решением системы (1.1). На рис. 1.2 в области 0 находится фоновое течение, а в области 1 требуется построить искомое течение с наперёд заданным распределением одного из газодинамических параметров, которое будет сопряжено с фоновым течением через слабый разрыв.

Постановка задачи сильного сжатия газовых слоев с одномерной симметрией при возрастании времени

Для моделирования воздействия численно полученного закона движения сжимающего поршня при возрастании времени используется надежный неявный конечно-разностный метод «Ромб». Здесь приводится полный вывод разностной схемы, опубликованной впервые в [16] и обобщенной на двумерный случай в [17] в том числе и для того, чтобы введённые автором модификации естественным образом вписывались в общую канву повествования. Применив для (1.17) неявную аппроксимацию и введя шаг по временит, получим: vn+l _ vn т - Еп (ди]п+1 \дт) dm J (2-8v + ,"+1( ) .0 n+l Систему (2.8) будем решать, разбивая исходный отрезок [XL} XR] на N ячеек (пронумеруем узлы полученной сетки Хо = XL, Х\, Х2,..., XN = XR). Граничные условия на левой и правой границах запишем так: т), а0р% +/3ou% = up(tr,, амРЪ + PNUN = № Система (2.8) нелинейная, для ее разрешения линеаризуем давление и удельную внутреннюю энергию и введём итерационный процесс. Далее верх ний индекс /і будет обозначать величины с текущей итерации по нелинейности.

Алгоритм комбинированного метода расчёта одномерных задач безударного сильного сжатия идеального газа с использованием данных на характеристике

Далее будет описан шаг комбинированного алгоритма. Этот алгоритм использует данные о траектории звуковых характеристик, и газодинамических параметрах (скорости и скорости звука) на них.

Будем считать, что нам известны не только траектория и скорость сжимающего поршня, но и траектории rc+{t) дискретного набора звуковых характеристик Сг+ (і = 1, NC), а так же параметры газа на этих характеристиках uc+(t),cc+(t). Этот набор характеристик определяется при решении соответствующей задачи БУСС газа в обратном направлении изменения времени (см. пункт 2.1). Либо можно использовать аналитические формулы из 1.3.

Пусть расчёт доведен до момента времени tn. Расчёт на n-м временном шаге методом «Ромб» вёлся в первых N интервалах расчётной сетки. Далее: 1) выбирается шаг по времени тп+ исходя из общих соображений точности расчёта;

2) используя дискретный набор значений up{t) , полученный при решении задачи сильного сжатия в обратном направлении изменения времени , в соответствии с алгоритмом, описанным в параграфе 3.1, с помощью линейной интерполяции вычисляется ир (tn + тп+ ). В соответствии с известной траекторией rc+(t), получаем rc+ (tn + тп+1);

3) добавляется к расчётной области (N + 1)-й интервал (схематично эта процедура представлена на рисунке 2.4), так что Гдг+1 = rc+ (tn + тп+1), значения газодинамических параметров на n-м слое в добавленном интервале соответствуют либо фоновому течению (если правая граница - характеристика CQ), либо считаются равными значениям скорости газам и скорости звука с на характеристике С (если именно эта характеристика является правой границей рассчитываемого интервала);

4) делаются вычисления согласно формулам метода «Ромб». Таким образом строим решение на новом временном слое. 2.4 Программно-вычислительный комплекс. Организаиция, принципы функционирования и тестирование

Численные расчёты и эксперименты по исследованию нестационарных процессов, происходящих в газовых слоях с одномерной симметрией под действием сжимающего поршня, проводились при помощи созданного программно-вычислительного комплекса на основе трёх программ. Комплекс позволяет численно решать одномерные задачи сильного сжатия газовых слоев при увеличении радиуса сжимающего поршня. Результатом работы комплекса являются табличные временные зависимости, описывающие такое воздействие сжимающего поршня на данную массу газа, при котором реализуется безударное сжатие до требуемой плотности, а так же распределение газодинамических параметров в исследуемой области на заданные моменты времени.

Комплекс программ реализован как консольное приложение в среде microsoft visual сН—Ь, функционирует на ПЭВМ. На рисунке 2.5 приведена блок схема комплекса программ.

Программно-вычислительный комплекс состоит из пяти основных блоков: управляющей программы, модуля разбора входной информации, программы решения задачи сильного сжатия в обратном направлении изменения времени, блока решения задачи при возрастании времени и блока расчёта интегральных характеристик и записи.

Исходные данные для расчёта задаются пользователем перед началом работы комплекса в отдельном файле, в котором входные параметры задаются в виде именованного списка (см. рис 2.6). Имя файла и полный путь до него задается в командной строке в виде параметра при запуске. Если параметр не задан, то используется путь и файл по умолчанию «с:\ calculations\mises.dat». На рисунке 2.6 приведен пример входного файла для расчёта одного варианта задачи сильного сжатия. Параметры можно разделить на несколько групп

Алгоритм комбинированного метода расчёта одномерных задач безударного сильного сжатия идеального газа с использованием данных на характеристике

Основываясь на данных из таблиц 1 и 2 и рисунков, можно сделать следующий вывод: предложенный алгоритм с хорошей точностью численно строит решение задачи о сильном сжатии одномерного газового слоя в обратном направлении изменения времени для случая плоской симметрии.

Результаты сравнения расчётов других одномерных задач БУСС газовых

Сравнение численно полученной траектории движения сжимающего поршня с точнвім решением v = 0, 7 = 5/3, т = 100, р = 105 слоев в обратном направлении изменения времени с точным решением приведены в приложении Б. Численные эксперименты при V = 1,2 Далее приводятся результаты численных экспериментов в случае v = 1 и v = 2, для которых точное решение в аналитическом виде получено лишь в виде сходящегося в окрестности особой точки t = t ,r = г ряда (вид его коэффициентов приведён в разделе 1.3 настоящей работы, а более подробное исследование, в том числе анализ сходимости, можно найти в [33,49]. Метод

Характеристическая сетка и траектория поршня в случае и = 2 характеристик не обладает свойством сохранения массы, поэтому в качестве критерия точности полученного решения задачи мы, вслед за [49,65], выбрали следующий: масса несжатого слоя шириной do равна массе сжатого слоя шириной d , т. е. проверялось равенство масс в начальный и конечный моменты сжатия газа. Кроме того, была посчитана работа поршня W по сжатию

В таблице 3 приведены результаты расчётов 18 задач сильного сжатия. Введённые обозначения, кроме уже упомянутых: v -показатель симметрии задачи, N,M - количество звуковых С и С+-характеристик в расчёте соответственно, t - момент сильного сжатия, полученный в расчёте, т - масса сжатого до искомой плотности р газа.

Такая поверка выполнялась и в промежуточные моменты сжатия. В приведённой таблице 3 различие масс m сжатого и несжатого газа колеблется 0.0007% до 0.37%, относительная погрешность определения полной энергии не превышает сотых долей процента. Точность можно повышать, уменьшая At и увеличивая N и М.

На рисунках приведены примеры графиков работы, совершаемой поршнем W{t) для двух разных задач. Табличные зависимости W{t) можно интерпретировать как закон энерговложение во внешнюю по отношению к сжимаемому слою область, обеспечивающее безударное сжатие всей массы газа. Подробное описание принципов конструирования термоядерных мишеней можно найти в [13].

По представленным результатам можно сделать вывод, что предложенный алгоритм решения задачи сильного сжатия строит решение и адекватно описывает процесс сжатия с использованием найденной траектории сжимающего поршня. Времена счёта на PC не превышают нескольких минут для задач с десятками тысяч расчётных точек.

В приложении Б приведены графики траекторий сжимающего поршня и совершаемой им работы для всех вышеописанных вариантов расчётов. Таким образом, для ряда конкретных задач сформулированы рекомендации по проведению физических экспериментов. 3.2 Сравнение приближённых аналитических представлений звуковых характеристик обобщённой ЦВ с результатами расчётов

В предыдущем пункте представлены результаты расчётов задачи сильного сжатия одномерных слоев газа при возрастании радиуса кривизны сжимающего поршня методом характеристик с пересчётом. При решении восстанавливаются газодинамические параметры течения, а так же его звуковые характеристики. Данные на характеристиках используются для построения алгоритма решения задачи сильного сжатия при возрастании времени. Далее приводится сравнение траекторий некоторых характеристик для конкретных задач, полученных как аналитически, так и численно.

На рисунках (3.7),(3.8) представлены результаты сравнения расчётов по аналитическим формулам и расчётных значений, полученных при решении задачи методом характеристик в обратном направлении изменения времени. 31.0018 31.0016 31.0014-31.0012 31.001 310008 310006 310004 310002 численное аналитическое

Из приведенных графиков видно удовлетворительное согласие аналитических формул и расчётных значений в окрестности интересующей нас точки t = t . Для сферической симметрии аналогичные графики так же отражают этот факт. Стоит отметить, что отличие нарастает при удалении от точки t = , поскольку ряды (1.19) сходятся в окрестности точки (г , ) [49,86]. Как и стоило ожидать, результаты, полученные по аналитическим формулам, хо Б.01 6.009 E.OOS 6.007 , 5.00S 6.Ш5 6.004 6.003 6.002 6.0 численное аналитическое

Закон изменения с(т) в случае 7 = 3, v = 2 для с = 6 (а) и с = 16 (б) рошо согласуются с расчётными значениями в окрестности этой точки. Таким образом, аналитические формулы, полученные в параграфе 1.3, можно применять при конструировании новой расчётной методики задач сильного сжатия.

Модификации метода «Ромб» для повышения точности расчётов Первые же тестовые расчёты выявили некоторые недостатки метода при решении задач БУСС. Погрешности в расчёте граничных условий проявляются наиболее ярко в те моменты времени, когда скорость сжимающего поршня начинает нарастать быстро. Если левую границу расчётной области не держать искусственно (принудительно делая её координату равной координате сжимающего поршня), то расчётная волна сжатия начинает «убегать» от точного решения. Если же в соответствии с граничным условием рассчитывать не только скорость, но и координату, то плотность в первом расчётном интервале резко падает (см рис. 3.9).

Сравнение приближённых аналитических представлений звуковых характеристик обобщённой ЦВ с результатами расчётов

Модификации метода «Ромб» для повышения точности расчётов

Первые же тестовые расчёты выявили некоторые недостатки метода при решении задач БУСС. Погрешности в расчёте граничных условий проявляются наиболее ярко в те моменты времени, когда скорость сжимающего поршня начинает нарастать быстро. Если левую границу расчётной области не держать искусственно (принудительно делая её координату равной координате сжимающего поршня), то расчётная волна сжатия начинает «убегать» от точного решения. Если же в соответствии с граничным условием рассчитывать не только скорость, но и координату, то плотность в первом расчётном интервале резко падает (см рис. 3.9).

Формула (2.27) по сути является квадратурой «верхних прямоугольников» уравнения для координат. Иными словами, рассчитывая координату точки на новом временном шаге, мы считаем, что левая граница движется со скоростью up(tn+l) на всем временном интервале [tn,tn+l поршень

Погрешность можно уменьшить, если вместо (2.27) использовать другую квадратурную формулу. В дальнейших расчётах использовалось следующее выражение: xf+1 = x + r(a-Ut+1 + b-Ut), (3.1) Весовые коэффициенты подбирались исходя из близости расчётных величин к точному решению. Из рисунков 3.10, 3.11 следует, что лучшая точность

Расчётные газодинамические параметры случае а = 3/4,6 = 1/4 расчёта достигается при а = 3/5, Ь = 2/5. Во всех расчётах, представленных далее, используются именно эти весовые коэффициенты. Заметим также, что координата левой границы расчётной области вычисляется по общему алгоритму, что гарантирует однородность вычислений и меньшую зависимость от точности определения траектории поршня в расчётах методом характеристик.

Следуя этой же логике были проведены численные исследования влияния і.івг 1.14 численное . Расчётные газодинамические параметры случае а = 3/5, Ъ = 2/5 изменения формул (2.28), (2.29) для определения ячеечных значений скорости и удельной полной энергии. В вышеупомянутых формулах Р +1 заме 25 Сравнение расчётов с различными весовыми параметрами а\,Ъ\ нялось на сумму с весами Р = а\РИ+1 + Ь\РИ по аналогии ІІИ+1 в формуле (3.1). На рисунке 3.12 приведено три варианта расчета: старый счёт (аі = 1, Ъ\ = 0), вариант 1 (а\ = Ъ\ = 0.5), вариант 2 (а\ = 0.3, Ъ\ = 0.7). Вариант 2 наиболее близко описывает решение, хотя в районе стыковки волны сжатия с областью покоя наблюдается ступенька. Для дальнейших расчётах выбран Вариант 1.

Тестовые расчёты при v = 0

Для проверки работоспособности избранного метода при расчётах задачи сильного сжатия была выбрана одна из задач в плоско-симметричной постановке: 7 = 5/3, d = 10,ртах = 104. На графиках профиля скорости во всех \ Z—Js

Тестовый расчёт момент времени t = 0.999І Метод «Ромб» достаточно точно описывает волну сжатия с момента времени t = 0 до t = 0.999/; . Однако уже на рис. 3.14 видно, что область слабого разрыва описывается недостаточно точно, что приводит к тому, что возмущение на правую границу приходит раньше, чем должно в соответствии с точным решением. Т.к. правое граничное условие - неподвижная граница, то дальнейший счёт без изменения алгоритма становится невозможным из-за паразитных возмущений в плотности на приграничном интервале. Расчёты можно продолжить, если правую границу немного отодвинуть. В дальнейших расчётах правая граница установлена в точке г = г + 0.01т Из представлен :: HH«

Тестовый расчёт момент времени t = 0.99999 ных графиков и таблицы 4 следует, что метод «Ромб» реализован правильно и обеспечивает адекватное описание газодинамических параметров в случае плоской симметрии. Однако в районе стыковки обобщённой ЦВ с однородным покоем значительным становится «размазывание» волны, что сказывается на точности результатов. Более того, численное возмущение, приходящее на правую границу, вынуждает отодвигать её, т.к. иначе погрешность расчёта в области правой границы делает решение бессмысленным. Следовательно, необходимо модифицировать алгоритм для более аккуратного описания течения в моменты времени близкие к t .

Численные эксперименты при = 1,2

После проведения тестовых расчётов был рассчитан ряд задач с цилиндрической ( = 1) и сферической ( = 2) симметрией. Здесь приведём рассчитанные профили скорости и скорости звука на разные моменты времени Таблица 4: Погрешности метода «Ромб» при расчёте тестовой задачи для одной из задач с цилиндрической симметрией 7 = 5/3, т = 10, р = 10 (результаты расчётов ряда других можно найти в Приложении В). В качестве эталонного решения на графики нанесены профили, полученные при решении соответствующей задачи БУСС в обратном направлении изменения времени. Как можно заметить из графиков 3.17, 3.18, в случае цилиндрической сим