Введение к работе
Актуальность темы. Задачи теории диэлектрических резонаторов возникают при проектировании и анализе современных компактных источников коротких электромагнитных волн — лазеров на основе полимерных и полупроводниковых микрорезонаторов. В диссертации решается скалярная спектральная задача для оператора Гельмгольца на плоскости — задача о собственных модах диэлектрического резонатора с активными зонами. Физическая постановка этой задачи была предложена в работах Е.И. Смотровой и А.И. Носича. Достаточно полная информация получена ими о решениях относительно простой задачи для круглого резонатора на основе анализа характеристического уравнения, полученного методом разделения переменных. Наибольшего прогресса при численном решении задачи, по-видимому, им с соавторами удалось достичь на пути применения системы граничных интегральных уравнений для полностью активного резонатора произвольной формы. Такая формулировка применялась для систематического исследования частот и порогов излучения собственных мод разнообразных микрорезонаторных лазеров. Основное внимание исследователей прежде всего было направлено на построение моделей и алгоритмов, анализ и интерпретацию полученных численных результатов. Важные и сложные вопросы качественного исследования свойств решений задачи, доказательства сходимости применяемых численных методов либо не рассматривались, либо оставались исследованными недостаточно подробно.
Вместе с тем для близких спектральных задач математической теории дифракции достигнут существенный прогресс. В работах А.С. Ильинского, Ю.Г. Смирнова, Ю.В. Шестопалова задачи о собственных волнах щелевых и полосковых линий, а в работах Е.М. Карчевского задачи о собственных волнах диэлектрических волноводов формулируются как задачи поиска характеристических чисел фредгольмовых голоморфных оператор-функций, полученных на основе метода граничных интегральных уравнений. В работах этих авторов анализируются качественные свойства характеристического множества: локализация, дискретность, зависимость характеристических чисел от неспектральных параметров. При обосновании численных методов решения задач используются результаты Г.М. Вайник-
ко, О.О. Карма о сходимости приближенных методов решения нелинейных спектральных задач для фредгольмовых голоморфных оператор-функций.
Таким образом, метод граничных интегральных уравнений активно применяется на практике для численного решения задачи о собственных модах полностью активного диэлектрического резонатора, но до сих пор не имеет достаточно полного теоретического обоснования. Актуальной проблемой является его развитие для резонатора с активными зонами и обоснование на основе общей теории нелинейных спектральных задач и известных результатов о сходимости приближенных методов решения спектральных задач для фредгольмовых голоморфных оператор-функций. Качественные свойства решений задачи о собственных модах диэлектрического резонатора с активными зонами изучены лишь в простейшем случае, допускающем применение метода разделения переменных. Их важно установить в более общей постановке.
Цель и задачи работы состоят в установлении свойств собственных мод диэлектрического резонатора с активными зонами, разработке теоретически обоснованного и эффективного алгоритма вычисления собственных мод, его реализация в виде комплекса программ.
Методы исследований. В работе используются методы теории слабо сингулярных интегральных уравнений, спектральной теории фредгольмо-вых голоморфных оператор-функций, теории приближенных методов решения нелинейных спектральных задач для фредгольмовых голоморфных оператор-функций.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и состоят в получении новой математической формулировки задачи о собственных модах диэлектрического резонатора с активными зонами в форме нелинейной спектральной задачи для фредгольмовой голоморфной оператор-функции, содержащей слабо сингулярные интегральные операторы, удобной для теоретического исследования и численного решения; доказательстве дискретности ее характеристического множества и непрерывной зависимости характеристических чисел (собственных частот) от порога генерации мод; разработке и обосновании численного метода отыскания собственных мод диэлектрического резонатора с активными зонами; реализации этого метода в виде комплекса программ.
Достоверность результатов работы обеспечивается строгими математическими доказательствами; сопоставлением полученных результатов с точными решениями задач, известными в простейших частных случаях.
Практическое значение. Разработанные подходы, методы, алгоритмы и программы могут быть использованы при расчете широкого класса микрорезонаторных лазеров, а также при решении других спектральных задач теории дифракции.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международных научных конференциях Days on Diffraction (Санкт-Петербург, 2015, 2016 г.), International Conference on Transparent Optical Networks (Будапешт, 2015 г., Тренто, 2016 г.), International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (Львов, 2016 г.), на семинаре Центра нанотехнологий Санкт-Петербургского национального исследовательского академического университета РАН (руководитель — член-корреспондент РАН А.Е. Жуков), на семинаре кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенского государственного университета (руководитель - профессор Ю.Г. Смирнов).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ, в том числе 5 статей в изданиях из перечня ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и изложена на 176 страницах. Список литературы состоит из 124 наименований.