Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Особенности применения методов линейной алгебры в математических моделях технических объектов с параллельной архитектурой 13
1.1. Задачи моделирования технических систем, основанные на использовании методов линейной алгебры 13
1.1.1. Моделирование многоканальных информационных систем 16
1.1.2. Задачи организации грузовых и пассажирских перевозок 22
1.1.3. Задачи теоретической механики
1.2. Проблемы моделирования систем передачи и усиления электрических сигналов со структурой «делитель-сумматор мощности» 26
1.3. Численные методы, применяемые для решения задач линейной алгебры
1.3.1. Общая классификация численных методов 37
1.3.2. Основные классы и типы итерационных методов 40
1.3.3. Точность, устойчивость и сходимость итерационных методов 47
1.3.4. Особенности построения итерационных вычислительных алгоритмов 51
Выводы к главе 1 54
Глава 2. Разработка моделей функционирования технических систем и устройств со структурой «делитель-сумматор мощности» 56
2.1. Корректная и однозначная разрешимость системы линейных алгебраических уравнений с дополнительными условиями 56
2.2. Способ и алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений по методу простых итераций и его применение для решения специальных технических задач 65
2.2.1.Описание способа и алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений с равенством свободных членов по методу простых итераций 67
2.2.2. Устойчивость и сходимость способа и алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений с равенством свободных членов 71
2.2.3. Особенности сходимости и устойчивости алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений с равенством свободных членов с симметричными матрицами коэффициентов 77
2.3. Исследование сходимости и устойчивости алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений с равенством свободных членов 85
2.3.1. Влияние асимметрии значений коэффициентов матрицы на сходимость алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений с равенством свободных членов 85
2.3.1. Влияние немонотонности и нерегулярности последовательностей, образующих коэффициенты симметричных матриц на сходимость решения систем линейных алгебраических уравнений с равенством свободных членов 89
2.3.3. Влияние разряженности квадратных матриц на сходимость решения систем линейных алгебраических уравнений с равенством свободных членов 94
Выводы к главе 2 99
Глава 3. Модифицированные численные методы и алгоритмы решения задач линейной алгебры как основа моделей технических систем и устройств со структурой «делитель-сумматор мощности» 101
3.1. Ускоренные процедуры реализации методов линейной алгебры как основа моделирования инерционных свойств многоканальных систем с обратными связями 101
3.2. Квазиоптимальные и адаптивные алгоритмы решения задач линейной алгебры, повышающие производительность вычислений, и основы их применения для моделирования параметрических систем с параллельной архитектурой 106
3.3. Моделирование динамических режимов и переходных процессов в системах и устройствах со структурой «делитель-сумматор мощности» 111
3.4. Экспериментальное определение эффективности итерационных алгоритмов с варьируемой сходимостью решения 116
Выводы к главе 3 119
Глава. 4. Компьютерное моделирование технических систем со структурой «делитель-сумматор мощности» 121
4.1. Особенности применения методов и алгоритмов решения задач линейной алгебры для моделирования мощных ВЧ и СВЧ транзисторов 121
4.2. Программный комплекс для компьютерного моделирования технических систем со структурой «делитель-сумматор мощности» и взаимосвязанными каналами
4.2.1. Функциональное назначение программ, область их применения, ограничения 126
4.2.2. Техническое описание программ 127
4.3. Расчет распределения входных токов в конструкциях мощных ВЧ и
СВЧ транзисторов 134
Выводы к главе 4 154
Заключение 156
Список сокращений и условных обозначений 160
Список литературы 161
- Задачи организации грузовых и пассажирских перевозок
- Способ и алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений по методу простых итераций и его применение для решения специальных технических задач
- Квазиоптимальные и адаптивные алгоритмы решения задач линейной алгебры, повышающие производительность вычислений, и основы их применения для моделирования параметрических систем с параллельной архитектурой
- Программный комплекс для компьютерного моделирования технических систем со структурой «делитель-сумматор мощности» и взаимосвязанными каналами
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Значительное количество современных технических систем, связанных с обработкой сигналов большой мощности, основано на многоканальной реализации их структурных схем, в которых входной сигнал (информационный поток) распределяется по параллельным каналам в соответствии с их степенью загрузки или установленными приоритетами.
Интерес представляют многоканальные системы с автоматическим регулированием, к которым относятся инфокоммуникационные, распределения транспортных потоков, обработки информации с возможностью межканальной переадресации, усилители мощности радиосигналов и другие физические и технические системы с распределением нагрузки по изоморфным каналам или структурным элементам. Под изоморфизмом объектов понимается идентичность их технических характеристик в рамках решаемой задачи.
Особенности архитектуры рассматриваемых технических объектов позволяют классифицировать их как системы со структурой «делитель-сумматор мощности». Системы данного типа с общими для всех параллельно соединенных структурных компонентов входом (эквивалентным входным генератором) и выходом (нагрузкой) могут быть математически описаны методами линейной алгебры, в частности, системами линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в матрице коэффициентов которых диагональные элементы отражают характеристики параллельно соединенных модулей, а остальные элементы – взаимосвязи модулей, в общем случае, каждого с каждым.
Общим вопросам моделирования рассматриваемых систем и устройств посредством использования методов линейной алгебры посвящен ряд работ отечественных и зарубежных авторов: А. Г. Бондаря, Дж. Вадроупа, Д. Дрю, В. Леонтьева, В. Н. Лившица и др. Используемые в диссертации математический аппарат и численные методы построения моделей технических систем и устройств типа «делитель-сумматор мощности» основываются на трудах таких исследователей, как В. Л. Аронов, Л. И. Бабак, О. М. Булгаков, Н. А. Мельников, Б. К. Петров, В. Ф. Синкевич, В. В. Филаретов.
Проведенный нами анализ математических моделей технических систем с параллельной архитектурой и численных методов линейной алгебры показал, что итерационные алгоритмы решений СЛАУ могут представлять собой модели функционирования систем с параллельной архитектурой, включая воспроизведение механизмов автоматического регулирования и реакций на динамические воздействия, и учитывать взаимодействие каналов и неоднородности их характеристик.
Анализ степени разработанности темы исследования показал, что в научных трудах по данной тематике не рассмотрена динамика распределения энергетических параметров (тока, мощности) по изоморфным элементам систем с параллельной архитектурой, в особенности в контексте сценариев отказов систем, а статические режимы работы представлены решением частных задач, не позволяющих распространить полученные результаты на весь класс данных технических объектов. Для корректного решения задач такого рода требуется разработка специальных методов и алгоритмов численного моделирования, позволяю-
щих свести описание сложных технических объектов и процессов к классу задач линейной алгебры.
Таким образом, разработка математических моделей функционирования многоканальных систем и устройств типа «делитель-сумматор мощности» на основе численных методов линейной алгебры и их реализация в программных комплексах компьютерного анализа динамических характеристик данных технических объектов и параметров переходных процессов в них является актуальной научной задачей, ориентированной на широкую область практического применения. В данном контексте особый интерес представляет моделирование динамических реакций системы или устройства на основе решения СЛАУ, так как считается, что математические модели динамических и переходных процессов должны основываться на системах линейных дифференциальных уравнений.
Объектом исследования являются технические системы и устройства со структурой «делитель-сумматор мощности».
Предметом исследования послужили математические модели, численные методы, алгоритмы и комплексы программ для анализа технических систем и устройств со структурой «делитель-сумматор мощности».
Цель исследования - разработка математических моделей и алгоритмов функционирования технических систем со структурой «делитель-сумматор мощности» и неоднородными характеристиками взаимодействия структурных компонентов, реализованных в комплексе программ для расчета основных показателей, определяющих работоспособность и надежность таких систем, и моделирования статических и динамических режимов их работы.
Для достижения данной цели в работе решены следующие задачи:
-
Выбор математического аппарата для моделирования многоканальных технических систем со структурой «делитель-сумматор мощности» на основе систематизации численных методов линейной алгебры применительно к описанию функционирования технических систем с параллельной архитектурой.
-
Усовершенствование итерационных методов решения задач линейной алгебры применительно к нахождению распределения энергетических параметров сигналов в системах и устройствах со структурой «делитель-сумматор мощности» с учетом особенностей физических и математических моделей структурных элементов и процессов в таких системах.
-
Разработка и исследование математических моделей функционирования многоканальных технических систем со структурой «делитель-сумматор мощности» в статическом и динамическом режимах на основе простых и усовершенствованных итерационных алгоритмов решения задач линейной алгебры.
-
Разработка комплекса программ для моделирования работы многоканальных технических систем со структурой «делитель-сумматор мощности» различной сложности.
-
Проведение вычислительного эксперимента по моделированию статических и динамических режимов функционирования технических систем со структурой «делитель-сумматор мощности», анализ технических свойств моделируемых систем.
Научной новизной обладают представленные в диссертации:
-
обоснование выбора метода простых итераций решения систем линейных алгебраических уравнений для моделирования статических и динамических режимов функционирования технических систем и устройств со структурой «делитель-сумматор мощности» на основе систематизации задач, приводящих к применению численных методов линейной алгебры для описания технических объектов [1, 8];
-
способ решения систем линейных алгебраических уравнений с равенством свободных членов по методу простых итераций, реализованный в оптимальных и адаптивных алгоритмах моделирования переходных процессов в многоканальных системах с взаимосвязями, отличающийся возможностью контроля сходимости и управления скоростью решения на каждом шаге итерационной процедуры [2-5];
-
математические модели многоканальных систем и устройств со структурой «делитель-сумматор мощности» на основе итерационных алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений с равенством свободных членов, отличающиеся возможностью моделирования функционирования объектов данного типа в статическом и динамическом режимах с учетом наличия параметрических элементов и обратных связей [6, 7, 9];
-
комплекс программ для моделирования систем со структурой «делитель-сумматор мощности», описывающих характеристики изоморфных компонентов таких систем и их взаимосвязей и отличающихся возможностью имитации переходных процессов с учетом наличия параметрических элементов и обратных связей [31, 32];
-
результаты вычислительных экспериментов в виде количественных оценок и закономерностей, полученные при моделировании функционирования многоканальных систем параллельной архитектуры [6, 9].
Теоретическая значимость диссертации заключается в том, что в ней предложен новый способ решения СЛАУ, синтезированы и исследованы на сходимость и устойчивость итерационные алгоритмы, реализующие данный способ, что является развитием теории численных методов решения СЛАУ. Разработанные в диссертации математические модели дополняют формализованные представления технических систем параллельной архитектуры с взаимосвязями их структурных компонентов. Значимым теоретическим результатом является подтверждение сформулированной в диссертации гипотезы о возможности применения итерационных процедур решения СЛАУ для моделирования динамических процессов в технических системах.
Практическая ценность результатов работы заключается в возможности применения разработанных математических моделей и алгоритмов для совершенствования проектирования многоканальных изоморфных систем в различных отраслях наук, главным образом - в САПР технических систем и устройств с параллельной архитектурой. Результаты численных экспериментов представляют практический интерес для разработчиков мощных ВЧ и СВЧ транзисторов и усилительных каскадов на их основе.
Методология и методы исследования. Теоретические и экспериментальные исследования выполнены на основе теории итерационных методов линейной алгебры и изоморфно-коллективного подхода к моделированию многокомпонентных технических объектов. Общей методологической основой является системный подход. Расчет параметров мощных ВЧ (СВЧ) транзисторов осуществлен на основе методов теории электромагнитного поля и теоретических моделей транзисторов.
Положения, выносимые на защиту:
1) систематизация задач описания технических объектов, приводящих к
применению численных методов линейной алгебры, обуславливает выбор мето
да простых итераций решения систем линейных алгебраических уравнений для
моделирования статических и динамических режимов функционирования техни
ческих систем и устройств со структурой «делитель-сумматор мощности»;
-
реализованный в оптимальных и адаптивных алгоритмах способ решения систем линейных алгебраических уравнений с равенством свободных членов позволяет моделировать переходные процессы в многоканальных системах с взаимосвязями за счет возможности контроля сходимости и управления скоростью решения на каждом шаге итерационной процедуры;
-
математические модели многоканальных систем и устройств со структурой «делитель-сумматор мощности», построенные на основе итерационных алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений с равенством свободных членов, воспроизводят функционирование объектов данного типа в статическом и динамическом режимах с учетом наличия параметрических элементов и обратных связей;
-
комплекс программ для моделирования технических систем и устройств со структурой «делитель-сумматор мощности» обеспечивает возможность имитации переходных процессов в таких системах с учетом характеристик их компонентов и взаимосвязей;
-
моделирование функционирования многоканальных систем параллельной архитектуры с применением разработанного комплекса программ позволяет анализировать влияние структуры и характеристик компонентов таких систем на их эксплуатационные параметры, оценивать надежность и оптимизировать конструкцию исследуемых систем и устройств для повышения их предельных технических параметров.
Степень достоверности результатов работы обоснована корректным использованием фундаментальных принципов математического моделирования процессов функционирования многоканальных систем, численных, в частности, итерационных методов, сертифицированных специализированных программных сред. Адекватность математических моделей технических систем и устройств со структурой «делитель-сумматор мощности» подтверждается совпадением численных результатов с приведенными в научной технической литературе данными о параметрах однотипных систем.
Апробация результатов. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Международная
научно-практическая конференция «Охрана, безопасность, связь» (Воронеж, 2013-2016), Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные вопросы эксплуатации систем охраны и защищенных телекоммуникационных систем» (Воронеж, 2014, 2015), Межвузовская научно-практическая конференция курсантов и слушателей «Молодежные чтения памяти Ю.А. Гагарина» (Воронеж, 2014, 2015), XIV Международная конференция «Информатика: проблемы, методология, технологии» (Воронеж, 2014), Х Международная научно-практическая конференция «Ключевые аспекты научной деятельности» (Перемышль, 2014), Международная научно-практическая конференция «Computer technologies in science» (Валенсия, 2014), I Международная научная конференция «Исследования основных направлений технических и физико-математических наук» (Волгоград, 2014), XXIII Всероссийская конференция «Информатизация и информационная безопасность правоохранительных органов» (Москва, 2014), X Международная научно-практическая конференция «Trends of modern science» (Шеффилд, 2014), X Всероссийская научно-практическая конференция «Математические методы и информационно-технические средства» (Краснодар, 2014), XI Международная научная конференция «Настоящие исследования и развитие» (София, 2015), Научно-практическая конференция «Методы и модели специальных разделов математики» (Курск, 2015), XXIII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2016» (Москва, 2016).
Реализация и внедрение результатов работы. Результаты работы использовались при выполнении ОКР в Центре системных исследований и разработок -филиале АО «Научно-технический центр РЭБ», НИОКР в АО «Концерн «Созвездие». Научная продукция внедрена в учебный процесс в Краснодарском университете МВД России, ВУНЦ ВВС «ВВА им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» и Воронежском институте ФСИН России.
Публикации По теме диссертации опубликованы 33 печатные работы, в том числе 9 статей в научных журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки России; одно свидетельство о регистрации программы в государственном фонде неопубликованных документов, два свидетельства о регистрации программы в ФБГУ «Федеральный институт промышленной собственности». В работах в соавторстве автором лично выполнены: [1-3, 6, 22, 23, 28] - разработка концептуальных положений, постановка задач; [4, 5, 24] - программная реализация алгоритмов и апробация программных продуктов; [7, 9, 21, 25-27, 29, 30] - постановка экспериментов, анализ и интерпретация полученных результатов и выводы.
Соответствие паспорту специальности. Содержание диссертации соответствует п. 3, п. 4 и п. 8 паспорта специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений, списка литературы из 146 наименований, одного приложения. Общий объем диссертации составляет 186 страниц машинописного текста, включая 49 рисунков и 18 таблиц, а также 16 страниц литературных источников и 10 страниц приложения.
Задачи организации грузовых и пассажирских перевозок
Наиболее часто встречается реализация архитектуры сетей, которая заключается в параллельном соединении по входу и выходу однотипных (изоморфных) структурных компонентов (например, параллельно и взаимно соединенные автоматизированные рабочие места операторов центра обработки данных, многокаскадные параллельно соединенные каналы передачи информации с возможностью межканальной переадресации). Отметим, что на данный момент параллелизм как концептуальный конструктивный подход является основным направлением развития систем передачи данных и ИС в целом, поскольку позволяет максимально повысить как надежность и помехоустойчивость систем, так и скорость передачи и обработки данных.
Показатели эффективности функционирования систем выражаются в большинстве случаев через временные критерии, которые определяют оперативность и экономическую эффективность обслуживания информационных потоков, а также снижение затрат на техническую реализацию компонентов системы. Повышение эффективности в данном контексте обуславливается наличием изоморфизма каналов.
Исследования в таких системах могут быть ориентированы на изучение процессов распределения информационных потоков. Расчеты загруженности изоморфных структурных компонентов системы, распределения фактора отказов между ними и поиска оптимального (оперативного) перераспределения ресурсов (например, сохранение скорости трафика при устранении неоднородной загруженности каналов) могут быть реализованы благодаря применению численных, в частности, итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), описывающих функционирующие ИС.
Моделирование процессов распределения информационных потоков может затрагивать работу системы как в статическом, так и в динамическом режимах. Численные характеристики, получаемые в результате итерационного решения СЛАУ, характеризуют распределение потоков при стационарных параметрах каналов. Кроме того, последовательность итерационных процедур до момента сходимости решения СЛАУ может имитировать механизмы саморегуляции ИС и ее реакцию на динамические воздействия с учетом неоднородности характеристик каналов и межканального взаимодействия, описывать переходные процессы моделируемых ИС.
Использование математического аппарата при моделировании ИС определяется требованиями к изучаемым свойствам и характеристикам. Наиболее применим инструментарий теории массового обслуживания, теории незамкнутых стохастических сетей, моделей теории очередей. Однако разработка и изучение итерационных алгоритмов решения СЛАУ выступает актуальной задачей в рамках моделирования ИС с параллельной архитектурой, а характеристики таких алгоритмов и реализующих их программ могут быть предметом научных исследований и апробаций.
В системном моделировании информационно-технологической и телекоммуникационной инфраструктуры ИС ОВД могут использоваться формализация задач, методы теории графов [79], теории массового обслуживания, теории автоматов, конечно-разностные схемы, агрегативное описание [105] и др.
При моделировании некоторых сегментов информационно телекоммуникационных подсистем ИС ОВД методологической базой может выступать изоморфно-коллективный подход. Он наиболее применим при представлении архитектуры подсистемы ИС совокупностью изоморфных объектов, соединенных параллельно по входу и выходу и находящихся во взаимосвязи друг с другом, например, параллельно и взаимно соединенные автоматизированные рабочие места операторов центра обработки данных, параллельно соединенные многокаскадные каналы передачи информации с межканальной переадресацией.
На сегодняшний момент параллелизм как концептуальный конструктивный подход является основным направлением развития систем передачи данных и ИС в целом, поскольку позволяет максимально повысить как надежность и помехоустойчивость систем, так и скорость передачи и обработки данных [42, 47, 48].
Массовый параллелизм достигается объединением направлений параллельных технологий в единую систему: параллельной математики, распараллеливания задач за счет их факторизации, применения усовершенствованных параллельных численных методов, разработки и внедрения параллельных средств обработки и передачи информации [48].
Преимущество применения параллелизма перед последовательными технологиями объясняется и тем, что технологический предел (размер проводника, пропускная способность канала) последних существенно уступает характеристикам ИС с параллельной архитектурой, где эффективное наращивание производительности достигается за счет увеличения числа элементов системы [42].
Максимальная эффективность указанных технологий достигается при использовании параллельной математики в обработке сигналов. Следует отличать параллельную передачу данных от параллельного представления данных. В первом случае данные передаются параллельно в смысле одновременной передачи отдельных частей сообщения по параллельным подканалам общего канала связи. Во втором случае данные сами имеют параллельный формат [47].
Таким образом, при моделировании некоторых параллельно соединенных изоморфных объектов подсистем ИС ОВД, где входной поток (сигнал) распределяется по объектам в соответствии с приоритетами или степенью загрузки, определяемыми некоторым решающим правилом, определяющим будет количество объектов и взаимосвязь (взаимодействие) между ними. Динамические характеристики таких систем исследуются математически с помощью линейных дифференциальных уравнений (ЛДУ), порядок которых определяется сложностью структур изоморфных объектов и внутренней структурой взаимосвязи. При численном решении систем ЛДУ делается большое количество допущений, направленных на облегчение решения дифференциальных уравнений, но, как правило, чрезмерно упрощающих математические модели реальных систем [122].
Способ и алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений по методу простых итераций и его применение для решения специальных технических задач
Множество прикладных задач (а также чисто математических) приводят к необходимости решения СЛАУ и созданию целого ряда методов решения систем. Среди этих методов есть универсальные и специализированные. Методы отличаются друг от друга эффективностью, требованиями к объемам машинной памяти, закономерностями накопления ошибок в ходе расчетов. Не существует одного метода, который можно было бы во всех случаях предпочесть остальным.
Любые технические задачи должны быть преобразованы к удобному виду для реализации их решения на компьютере посредством вычислительных алгоритмов, основанных на численных методах. Алгоритм, осуществляющий решение конкретной задачи, может иметь довольно сложную структуру, но его элементарными шагами являются, как правило, реализации базовых методов. С некоторой степенью условности их подразделяют на следующие классы [3, 50]: 1. Методы эквивалентных преобразований, которые позволяют заменить исходную задачу другой, имеющей то же решение. Выполнение эквивалентных преобразований оказывается полезным, если новая задача проще исходной или обладает лучшими свойствами, или для нее существует известный метод решения (в лучшем случае – готовая программа). 2. Методы аппроксимации, дающие возможность приблизить исходную задачу к другой, решение которой, в определенном смысле, близко к решению исходной задачи. Одним из распространенных методов аппроксимирующей направленности является метод дискретизации – приближенная замена исходной задачи конечномерной, т.е. задачей, входные данные и искомое решение которой могут быть однозначно заданы конечным набором чисел. При решении нелинейных задач широко используют различные методы линеаризации, состоящие в приближенной замене исходной задачи более простыми линейными задачами. 3. Методы статистических испытаний (методы Монте-Карло), основанные на моделировании случайных величин и построении статистических оценок решений задач. Они могут оказаться незаменимыми при моделировании больших систем и существенном использовании аппарата теории вероятности и математической статистики. 4. Прямые (точные методы), позволяющие получить решение после выполнения конечного числа элементарных операций (которые могут оказаться довольно сложными: вычисление значений элементарной или специальной функции, решение СЛАУ, вычисление определенного интеграла). То, что функция принимается за элементарную, предполагает, что ее выполнение существенно проще вычисления всей задачи. При построении прямых методов существенное внимание уделяется минимизации числа элементарных операций. Иногда прямые методы называют точными, подразумевая под этим, что при отсутствии ошибок во входных данных и при точном выполнении элементарных операций полученный результат также будет точным. Однако при реализации метода на ЭВМ неизбежно появление вычислительной погрешности, величина которой зависит от чувствительности метода к ошибкам округления. Многие прямые методы, разработанные в домашинный период, оказались непригодными для вычислений на ЭВМ именно из-за чрезмерной чувствительности к ошибкам округления. Стоит заметить, что не совсем удачный термин «точный» характеризует свойства идеальной реализации метода, но отнюдь не качество полученного при реальных вычислениях результата. 5. Итерационные методы (ИМ) - это специальные методы построения последовательных приближений к точному решению. Применение ИМ начинают с выбора одного или нескольких начальных приближений, для получения каждого из последующих выполняют однотипный набор действий с использованием ранее найденных – итерацию. Неограниченное продолжение итерационного процесса теоретически позволяет построить бесконечную последовательность приближений к точному решению. Итерационные методы широко используются при решении самых разнообразных задач с применением компьютера.
Зачастую, решая задачу, приводящую к составлению СЛАУ, прибегают к применению как прямых, так и итерационных методов. Для систем малой размерности предпочтительными являются прямые методы, т. к. они дают точное решение, однако, в условиях компьютерной реализации, учитывая чувствительность методов к ошибкам округления, их использование может не гарантировать эффективность решения задачи.
ИМ дают решение системы в виде предела последовательности некоторых векторов, построение которых осуществляется посредством единообразного процесса. Большинство ИМ устойчивы к ошибкам округления и являются самоисправляющимися, поэтому, для решения СЛАУ (в том числе, большого размера) на компьютере, предпочтительнее использовать именно их [40,50].
Активно исследуются и совершенствуются научные направления, касающиеся модификации ИМ для решения задач математики и прикладных направлений различных областей научного знания. Условно можно назвать обобщение научных школ и направлений по исследованию приближенных численных методов теорией ИМ, которая, как и любое научное знание, базируется на основных определениях, теоремах, дефинициях. В научной литературе описано значительное количество ИМ, основанных на различных принципах, введена разнообразная классификация (например, методы, основанные на расщеплении, вариационного и проекционного типа, градиентные, стационарные, циклические, релаксационные, координатные и др.) [44, 46, 72, 117, 136, 141, 143, 144]. Встречаются и противоречивые утверждения или завуалированная синонимичность, отражаемая описанием одних и тех же методов, носящих разные названия.
В данном разделе приведены базовые понятия, принципы формирования итерационных методов решения СЛАУ, выполнен сравнительный анализ наиболее распространенных и общеизвестных ИМ, таких как: метод простой итерации (МПИ), метод Якоби, Некрасова, релаксации и др. [7, 108]. Для ИМ выделены основы построения, некоторые их достоинства и недостатки, на основании описания сформированы разнообразные классификации и типизации.
Общим для всех итерационных методов является принцип выражения искомой величины из уравнения линейной зависимости и построения последовательности приближений к точному значению решения СЛАУ.
Отличия методов заключаются в специфике работы с исходной матрицей СЛАУ (матрица перехода, расщепления), итерационными параметрами (параметрами ускорения) и особенностей определения критерия сходимости приближений к точному решению (параметр релаксации). Данные характеристики зависят от параметров матрицы СЛАУ (собственные значения, норма, спектр, обусловленность, с точки зрения требований к сходимости данные параметры тождественны) и конкретных алгоритмических решений, применяемых в методе.
Квазиоптимальные и адаптивные алгоритмы решения задач линейной алгебры, повышающие производительность вычислений, и основы их применения для моделирования параметрических систем с параллельной архитектурой
Найдем значения величин С ир из неравенств (2.10) и (2.11) для числовых последовательностей искомых величин, полученных в результате решения СЛАУ, заданной матрицей коэффициентов М2. С учетом специфики работы алгоритма рассматриваются коэффициенты относительно двух последовательностей: Определено, что для обеих искомых величин значения С є(0;1) найденные последовательности обладают асимптотически линейной сходимостью. Аналогично найдены значения степени;? (рисунок 2.6). Области допустимых значений величин Cr и р для других матриц разного размера и с коэффициентами разной степени неоднородности составили: &} є (0;1,6) и р є (0;2). В область допустимых значений степени р не включены ее отрицательные значения (рисунок 2.6), т. к. р(1) зависит от выбора Y(0). В алгоритме они задаются равными нулю, в случае их другого значения, степень р(1) 0.
Исследование процесса нахождения решений для разных значений начального приближения выявило, что решение сходилось к точному значению для любых Ґ0), однако имела место и расходимость для вектора содержащего различные значения своих компонентов. Относительно «внутреннего равенства» в Ґ} (т.е. уР = const) наблюдалась сходимость решения с асимптотически линейной скоростью. В соответствии с этими наблюдениями рассматриваемый итерационный алгоритм можно классифицировать как глобально сходящийся по X и локально сходящийся по Y [29].
Основываясь на исследовании решения симметричных и несимметричных (в том числе, разреженных) квадратных матриц с диагональным преобладанием элементов (тпц = 1), можно классифицировать рассматриваемый итерационный способ решения СЛАУ с РСЧ как алгоритм первого порядка с асимптотически линейной скоростью сходимости, глобально сходящийся по X и локально сходящийся по Y.
Обращая внимание на специфичность работы алгоритма и сильную зависимость скорости решения от исходных численных данных (отраженных в матрице коэффициентов М), удобнее оценивать скорость сходимости решения конкретной задачи числом итераций, без применения общих характеристик, относящихся к порядку итерационного метода или его линейности.
Особенности сходимости и устойчивости алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений с равенством свободных членов с симметричными матрицами коэффициентов
Проведем исследование алгоритма решения на сходимость в зависимости от вида матрицы коэффициентов СЛАУ с РСЧ. При этом качественной оценкой сходимости будет являться сам факт получения решения при заданной точности, а в роли количественной оценки будет выступать число итераций , за которое решение попадает в окрестность точного решения, т.е. скорость решения, измеряемая в циклах итерационного алгоритма. Также следует учесть соблюдение достаточного условия сходимости МПИ относительно погрешности округления, а именно – преобладание значений диагональных элементов [40, 78, 108].
Рассматриваемая трактовка сходимости представляет очевидный интерес для имитации переходных процессов в многоканальных системах с параллельной архитектурой, в особенности, в рассматриваемых системах со структурой «делитель-сумматор мощности». Факт сходимости может интерпретироваться как установление стационарного режима (переход в устойчивое состояние), характеризующегося некоторым оптимальным (например, равномерным) распределением значимого для системы параметра (для рассматриваемых систем – входных напряжений отдельных усилительных модулей). Количество итераций в этом случае характеризует время переходного процесса в относительных единицах его измерений.
Матрица коэффициентов СЛАУ с РСЧ содержит всю необходимую информацию о характеристиках моделируемого объекта. Характеристики структурных элементов отражаются в значениях коэффициентов на главной диагонали. Если значения таких коэффициентов одинаковы, это говорит об изоморфизме системы. Элементы матрицы М, расположенные не на главной диагонали, моделируют взаимодействия структурных элементов. Симметричная матрица коэффициентов отражает свойство взаимности или равенства действия и противодействия, что характерно для физических эффектов в анизотропных средах. Монотонное убывание коэффициентов по мере их удаления от главной диагонали моделирует ослабление взаимодействия с расстоянием, а закон убывания подчиняется математической модели рассматриваемого эффекта [29]. Таким образом, СЛАУ с РСЧ с симметричными матрицами коэффициентов могут быть положены в основу математических моделей технических систем и физических объектов со структурной (конструктивной) симметрией, к которым относятся практически все серийные мощные ВЧ и СВЧ транзисторы и усилительные ВЧ и СВЧ гибридные интегральные схемы, обладающие осевой симметрией размещения на основании корпуса транзисторных кристаллов и токоведущих элементов [83, 101].
Сформируем симметричную матрицу М коэффициентов СЛАУ с РСЧ, которая, применительно к моделированию многоканальных систем с изоморфными структурными элементами, будет отражать матрицу параметров структурных элементов и их взаимосвязей, со значениями, убывающими по экспоненциальному закону: где ju - коэффициент, определяющий степень неоднородности элементов последовательности (или коэффициентов в строке матрицы), отождествляемый, например, со значением декремента межканального затухания; / - порядковый номер элемента в сформированном по экспоненциальному закону ряде. Таким образом, ju отражает уменьшение взаимодействия между соседними объектами с номерами іиі+1.
Выбор экспоненциального закона убывания последовательности (2.12) обусловлен математическими моделями, описывающими взаимодействия изоморфных элементов технических, информационных, экономических, социальных и иных систем [61, 70, 74, 142] наряду с такими функциями, как [119]:
Программный комплекс для компьютерного моделирования технических систем со структурой «делитель-сумматор мощности» и взаимосвязанными каналами
Разработанное экспериментальное программное обеспечение на базе ЭВМ предназначено для численной реализации моделей систем с параллельной архитектурой типа «делитель-сумматор мощности».
Программный комплекс, в состав которого входят 3 программы: программное средство «Расчет рабочих токов транзисторов» (программа 1) [33], программа для ЭВМ «Программа решения системы линейных алгебраических уравнений модифицированным итерационным методом» (программа 2) [31], программа для ЭВМ «Программа решения симметричных матриц СЛАУ с РСЧ ускоренным итерационным методом» (программа 3), предназначен для численного расчета токов в параллельно соединенных участках электрических цепей с учетом их взаимных проводимостей [30]. В зависимости от задаваемых постоянных величин разработанные программные продукты позволяют моделировать стационарные и динамические режимы работы мощных ВЧ и СВЧ транзисторов и усилительных каскадов на их основе, модульных усилителей с параллельной архитектурой, многоканальных анализаторов спектра и синтезаторов сигналов и др. Программы учитывают характер взаимосвязей между параллельно расположенными изоморфными объектами системы, пошагово воспроизводя изменение параметров распределения потоков до установления стационарного режима.
В качестве примера использования проблемно-ориентированного комплекса программ, решается задача расчета значений рабочих токов и напряжений в эквивалентной схеме мощного ВЧ (СВЧ) транзисторного усилителя со структурой «делитель-сумматор мощности» [19, 23].
Программный комплекс применительно к рассматриваемому примеру обеспечивает выполнение следующих функций: - расчет распределения токов в транзисторных структурах; - расчет значений напряжения; - расчет количества итераций, затраченных на нахождение решения с заданной точностью; - расчет аппроксимированного значения напряжения (в программе 2); - расчет нормированного значения тока (в программе 2). Необходимость расчета значений рабочих токов и напряжения эквивалентной схемы мощного ВЧ (СВЧ) транзисторного усилителя со структурой «делитель-сумматор мощности» возникает при изучении влияния индукционного взаимодействия проводников в рядах транзисторных структур. Неоднородное распределение рабочих токов является причиной неоднородного распределения мощности по транзисторным структурам и, в свою очередь, причиной отказов мощных ВЧ и СВЧ транзисторов. Установлено, что в ряде случаев максимум температуры приходится на крайние структуры, что противоречит традиционной модели их теплового взаимодействия. Перегрев транзисторных структур, крайних в ряду, замечен при изменении параметров режима работы транзистора (например, при рассогласовании с нагрузкой). При этом возрастает плотность тока в крайних проволочных проводниках, что активизирует электромиграцию, приводит к расплавлению проводников и контактной металлизации, вплоть до теплового пробоя р-n-переходов соответствующих транзисторных структур.
Необходимым условием достижения максимума выходной мощности P1 является равномерное рассеяние мощности Рк всеми транзисторными структурами. Для решения этой задачи конструкционно-технологическими средствами нужно на этапе проектирования точно прогнозировать распределение P1 по ТС, что требует более детального исследования влияния электромагнитных (главным образом, индукционных) взаимодействий во входных цепях на распределение входного тока и неоднородность характеристик ТС.
В рассматриваемой системе параллельной архитектуры у центрального проводника значения Li будут максимальными, а у крайних проводников -минимальными. В связи с тем, что проводники соединены параллельно, величины падения напряжения на них равны. Неоднородность Li приводит к неоднородности ВЧ токов Ii в проводниках, причем, как уже было отмечено в первой главе, качественно распределение Ii противоположно распределению Li. Для нахождения Ii необходимо решить систему уравнений (1.6) [5].
Исходя из вышеописанного, можно сформировать набор правил и ограничений, позволяющих описать рассматриваемую структуру транзисторного усилителя мощности системой линейных алгебраических уравнений. При этом используемые для решения СЛАУ итерационные методы представляются оптимальным вариантом не только самого отыскания корней систем больших порядков, но и способом решения, обладающим значимыми для моделирования процессов распределения во времени свойствами: возможностью пошагового воспроизведения динамических процессов, происходящих в системах параллельной архитектуры.
Таким образом, специфика работы алгоритма заключается в следующем:
1. Матрица коэффициентов СЛАУ с РСЧ содержит всю необходимую информацию о характеристиках эквивалентной схемы мощного ВЧ (СВЧ) транзисторного усилителя со структурой «делитель-сумматор мощности». Характеристики структурных элементов (Кур - проводимость каждой ТЯ) отражаются в значениях коэффициентов на главной диагонали. Т. к. система изоморфна, значения диагональных коэффициентов одинаковы. Элементы матрицы, расположенные не на главной диагонали характеризуют взаимодействия ТЯ: индуктивное взаимодействие проводящих конструктивных элементов усилительных модулей ВЧ транзисторного усилителя со структурой «делитель-сумматор мощности». Равенство нулю соответствующих коэффициентов матрицы (ее разреженность) может интерпретироваться как экранирование потоков самоиндукции и взаимоиндукции плоскими электромагнитными экранами, роль которых, в частности, могут выполнять сравнительно протяженные проводящие участки подложки усилителя, теплоотвод и др. Симметричная матрица коэффициентов отражает свойство взаимности, или равенства действия и противодействия, что характерно для физических эффектов в анизотропных средах. Монотонное убывание коэффициентов по мере их удаления от главной диагонали моделирует ослабление взаимодействия с расстоянием, а закон убывания подчиняется математической модели мощного ВЧ (СВЧ) транзисторного усилителя со структурой «делитель-сумматор мощности».
2. Остановка работы алгоритма происходит в момент достижения искомого равномерного распределения по структурным элементам выходного параметра, т.е. равенства значений падения напряжения на всех ТЯ и установления стационарного режима для моделируемой системы.
3. Количество итераций в этом случае характеризует время переходного процесса в относительных единицах его измерений.
4. Модификации алгоритма, направленные на сокращение числа итераций, путем нахождения значений определенного параметра отождествляются как модуляция проводимости цепей межканальной связи, например, параметрических, или положительная обратная связь в межканальных цепях. Наличие положительной обратной связи, в том числе, параметрической, в межканальных цепях должно приводить к снижению устойчивости системы и повышению ее параметрической чувствительности. Данное явление может рассматриваться, например, как возбуждение многоканального усилителя из-за сильной индуктивной связи выходных контуров. Значения элементов первой строки матрицы СЛАУ с РСЧ в этом случае имеют физический смысл проводимостей.