Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая модель установившегося турбулентного течения сжимаемого неидеального газа по морским газопроводам 19
1.1. Общая модель 21
1.2. Замыкающие уравнения 23
1.3. Полуэмпирические модели турбулентности для течений несжимаемых жидкостей в трубах 27
1.4. Математическая модель А 29
Глава2. Аналитическое решение задачи о расчете профиля скорости в широком диапазоне изменений числа Рейнольдса 31
2.1. Выделение задачи о расчете профиля локального расхода из основ ной задачи расчета характеристик потока 31
2.2. Постановка и решение задачи расчета профиля скорости для несжимаемой жидкости по модели Новожилова-Павловского во всем диапазоне изменений эмпирических параметров модели 35
2.3. Связь профиля скорости в модели Новожилова-Павловского со степенным профилем скорости 39
2.4. Расчет зависимости эмпирических параметров п, эеп модели Н-П от числа Re 40
2.5. Сравнительный анализ профилей скоростей, рассчитанных но модели Новожилова-Павловского и по модели Прандтля-Никурадзе для гидравлически гладких труб 45
2.6. Аналитическое решение задачи расчета при малых числах Маха профиля локального расхода сжимаемого газа для гидравлически гладких труб по модели Н-П 51
2.7. Аналитическое решение задачи расчета профиля локального расхода сжимаемого газа для шероховатых труб при больших числах Рейнольдса и малых числах Маха 54
2.8. Сравнительный анализ профилей локального расхода, рассчитан ных но модели Новожилова-Павловского и модифицированной модели
Кармана для сжимаемых сред в гидравлически гладких трубах 58
Глава 3. Численное решение задачи расчета распределений дав ления, плотности, температуры и скорости потока газа в мор ском газопроводе 64
3.1. Осреднение уравнения баланса внутренней энергии 64
3.2. Безразмерная форма уравнений модели 68
3.3. Алгоритм численного решения уравнений модели 72
Глава 4. Анализ чувствительности математической модели транспортировки газа по морским газопроводам к вариациям параметров 75
4.1. Выбор эталонного варианта и расчет характеристик потока для эталонного варианта 75
4.2. Анализ чувствительности математической модели к вариациям параметров 79
4.3. Чувствительность математической модели к изменению расхода газа 80
4.4. Чувствительность математической модели к изменению давления на входе 84
4.5. Чувствительность математической модели к изменению условий теплообмена с окружающей средой 85
4.6. Чувствительность математической модели к изменению шероховатости стенок 91
4.7. Чувствительность математической модели к изменению рельефа трассы 94
Заключение 96
Литература
- Полуэмпирические модели турбулентности для течений несжимаемых жидкостей в трубах
- Постановка и решение задачи расчета профиля скорости для несжимаемой жидкости по модели Новожилова-Павловского во всем диапазоне изменений эмпирических параметров модели
- Безразмерная форма уравнений модели
- Анализ чувствительности математической модели к вариациям параметров
Введение к работе
ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТРАНСПОРТИРОВКИ ГАЗА ПО ПРОТЯЖЕННЫМ ТРУБОПРОВОДАМ
Магистральные трубопроводы в настоящее время обеспечивают практически всю транспортировку добываемого природного газа в пределах России и в европейские страны. Возрастающие объемы перекачиваемого газа, увеличение протяженности магистральных газопроводов, а также перспектива транспортировки газа но морским газопроводам от недавно открытых месторождений газа на шельфе Баренцева моря требуют создания более точных, чем существующие, математических моделей транспортировки газа. К настоящему времени накоплен богатый отечественный и зарубежный опыт по расчетам магистральных газопроводов [2, 3, 4, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 44].
Остановимся кратко на используемых математических моделях. Все они базируются на системе уравнений сохранения массы, баланса импульса и энергии в сплошных средах, дополненной реологической моделью связи тензора напряжений с дифференциалом скорости и двумя термодинамическими уравнениями: уравнением состояния газа и калорическим уравнением связи внутренней энергии (или энтальпии) с температурой и давлением в газе. В общем случае названная система уравнений не только чрезвычайно сложна, но и принципиально не завершена, поскольку отсутствует теория турбулентности. В магистральных трубопроводах всегда реализуется турбулентный режим течения, поэтому одной
из важных и до сих пор нерешенных проблем является создание модели турбулентности для нестационарного течения сжимаемого газа.
Полуэмпирические модели турбулентности для установившегося течения несжимаемой жидкости в цилиндрических трубах построены еще в 30-х годах 20-го столетия. "Классическими"в этой области являются работы Прандтля, Кармана, Тейлора, Никурадзе и многих других авторов. Обзор этих работ содержится, например, в монографии Новожилова и Павловского [7]. Геометрия течения в цилиндрических трубах при осесимметричных граничных условиях позволяет но крайней мере упростить постановку до двумерной (в цилиндрической системе координат). На практике, в большинстве моделей транспортировки газа ограничиваются одномерной постановкой, в которой зависимость характеристик потока от радиальной координаты учитывается с помощью введения интегральных эффективных коэффициентов - коэффициента гидравлического сопротивления Л и суммарного коэффициента теплопередачи а [4, 20, 21, 23, 25, 27, 28, 37, 45, 46]. Оценить погрешность такого упрощения задачи можно только в рамках более общей двумерной модели указанных процессов [2, 14, 22, 48, 49].
В связи с необычайной востребованностью математических моделей течения газа по трубопроводам, этими задачами занимались и занимаются большие коллективы ученых в разных странах. Созданы коммерческие программно-математические комплексы типа "Star — CD" и т.п. Однако доступ к ним ограничен и ограничена информация о математических моделях, лежащих в основе той или иной коммерческой программы. Например, в книгах научной группы под руководством Селезнева
В.Е. [45, 4G] рекламируются два программно-математических комплекса "CorNet" и "Amadeus", созданные на базе одномерной нестационарной модели транспортировки газа, предложенной еще в 1978 году в книге Васильева О.Ф., Бондарева Э.А., Воеводина А.Ф. и Каниболот-ского М.А.: "Неизотермическое течение газа в трубах"[4]. Однако если в книге Васильева О.Ф. подробно обсуждается выбор термодинамических замыкающих уравнений модели (а от правильности этого выбора в значительной мере зависит адекватность модели), то в работах Селезнева В.Е. [45, 46], кроме формальной записи р = р(р,Т), є = є(р,Т) ничего не приводится.
Серия интересных работ, например [21], В.И. Зубова, В.М. Кривцова, В.Н. Котерова, А.В. Шипилина, также базируется на одномерной нестационарной модели книги [4], но и здесь не уточняются р = р(р,Т), є = є(р,Т).
Основной проблемой при использовании этой модели транспортировки газа для описания процессов, сопровождающихся резким изменением во времени характеристик потока (аварийные ситуации, быстрое заполнение трубопровода и т.п.), была и остается проблема правомерности использования зависимости Л = A(Re,&), найденной в стационарных течениях для несжимаемых жидкостей, в нестационарных режимах течения сжимаемого газа. Некоторые основания (теоретические и экспериментальные) использования этой зависимости Л = A(Re,fc) для плавно изменяющихся во времени течений сжимаемого газа при малых числах Маха в литературе приводятся, например в [22, 33].
В установившихся режимах считается справедливым и для сжимае-
мых сред пользоваться законом сопротивления трубы Л = A(Re, к) при малых числах Маха. Экспериментальный закон сопротивления А = A(Re, к) хорошо изучен [20, 23, 25, 29, 30, 33] и для него найдены аналитические зависимости во всем диапазоне изменений числа Рейнольдса Re и коэффициента относительной шероховатости к [7, 29].
Приведенный обзор математических моделей свидетельствует о том, что задача построения адекватной математической модели течения газов по морским газопроводам далека от завершения, поэтому тема диссертации актуальна. Настоящая работа является продолжением исследований, начатых в 90-х годах прошлого века на кафедре физической механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Исследование математической модели транспортировки природного газа по морским газопроводам, учитывающей влияние профиля скорости, неизотермичность процессов, неидеальность, сжимаемость и много-комионентность газа, шероховатость внутренней поверхности газопровода, рельеф трассы.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА
Исследование модели Новожилова-Павловского в широком диапазоне изменений чисел Рейнольдса. Расчет зависимости от числа Рейнольдса эмпирических параметров модели.
Аналитическое решение задачи расчета профиля локального расхода сжимаемого газа для шероховатых цилиндрических труб при больших
числах Рейнольдса и малых числах Маха.
3. Комплекс программ в среде Maple, реализующих алгоритм числен
ного решения уравнений двумерной модели установившегося турбулент
ного неизотермического течения сжимаемого неидсалыюго многокомпо
нентного газа.
4. Анализ чувствительности математической модели к изменению
расхода газа, шероховатости стенок, рельефа трассы, условий теплооб
мена и давления на входе.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ
Предложенная математическая модель и комплекс программ, реализующих процедуру численного решения модели, могут быть использованы в различных проектных организациях нефтяной и газовой промышленности на стадиях технико-экономического обоснования и проектирования морских газопроводов.
Математическая модель транспортировки газа по донным газопроводам, представленная в диссертации, была использована при расчете транспортировки газа от Штокмановского газоконденсатного месторождения в центральной части Баренцева моря до Териберки (губа Корабельная), а также при выполнении хоздоговорных работ по теме: "Научное обоснование реализуемости проектных решений Северо-Евроиейского газопровода и определение технико-технологических параметров морского подводного газопровода сверхвысокого давления (до 20-25 МПа)", (договор N 209.03 от 13.11.2003).
ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ
Исследование модели Новожилова-Павловского в широком диапазоне изменения чисел Рейнольдса. Расчет зависимости от числа Рейнольдса эмпирических параметров модели.
Аналитическое решение задачи расчета профиля локального расхода сжимаемого газа для шероховатых цилиндрических труб постоянного диаметра при больших числах Рейнольдса и малых числах Маха.
Комплекс программ в среде Maple, реализующих алгоритм численного решения уравнений двумерной модели установившегося турбулентного неизотермического течения сжимаемого нсидеалыюго многокомпонентного газа.
4. Анализ чувствительности математической модели к вариациям
основных параметров, в частности, расхода газа, давления на входе, ре
льефа трассы, шероховатости стенок.
СТРУКТУРА РАБОТЫ
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и содержит: 106 страниц текста, 34 рисунка, 5 таблиц и список литературы, включающий 61 наименование.
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится краткий обзор математических моделей транспортировки газа, формулируются цель работы, научная новизна и практическое значение полученных результатов, приводятся общие для всей работы обозначения.
В первой главе дается физическая постановка задачи, перечисляются особенности транспортировки углеводородного сырья но морским газопроводам. Общие балансные соотношения механики сплошных сред упрощаются в соответствии с особенностями задачи и приводится двумерная математическая модель установившегося неизотермического турбулентного течения сжимаемой смеси газов по цилиндрическим трубам, позволяющая учесть шероховатость стенок, характер теплообмена с окружающей средой и изменения скорости потока в поперечном направлении. Обсуждается выбор замыкающего реологического соотношения для касательной составляющей тензора турбулентных напряжений.
В конце первой главы приводится замкнутая двумерная математическая модель установившегося неизотермического турбулентного течения сжимаемой смеси газов по цилиндрическим трубам с замыкающими уравнениями Новожилова-Павловского и Редлиха-Квонга, дополненная граничными условиями на входе в газопровод и на его боковой поверхности.
Во второй главе проводится расщепление общей системы уравнений модели и выделяется задача о расчете профиля локального расхода для сжимаемого газа. Приводится аналитическое решение задачи расчета профиля скорости для несжимаемой жидкости по модели Новожилова-Павловского. Представлены результаты сравнительного анализа профилей скоростей, рассчитанных для несжимаемых жидкостей по моделям Новожилова-Павловского и Прандтля-Никурадзе. Приводится аналитическое решение задачи расчета профиля локального расхода для сжимаемого газа в гидравлически гладкой трубе по модели Новожилова-Павловского и модифицированной модели Кармана. Представлены результаты сравнительного анализа профилей локального расхода, рассчитанных по этим моделям для сжимаемого газа в гидравлически гладких трубах. Приводится аналитическое решение задачи расчета профиля локального расхода сжимаемого газа для шероховатых труб по модифицированной модели Кармана.
В третьей главе осредняется уравнение баланса внутренней энергии и приводится замкнутая постановка задачи расчета плотности p(z), температуры T(z) и давления p(z) газа. Интегро-дифференциальная система уравнений математической модели приводится к безразмерному виду, выделяются безразмерные комплексы задачи и уравнения модели (после расщепления и с учетом найденного решения задачи о профиле локального расхода) преобразуются к замкнутой системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. В конце третьей главы представлен пример численного расчета модельного варианта транспортировки природного газа по мор-
скому газопроводу.
В четвертой главе исследуется чувствительность математической модели главы 3 к вариациям таких параметров, как расход, условия внешнего теплообмена, шероховатость, рельеф трассы, давление на входе. Представлены результаты расчета эталонного варианта, а также - расчеты характеристик течения при вариациях расхода, давления на входе, условий внешнего теплообмена, шероховатости, рельефа трассы. Результаты исследований представлены в виде графиков. В расчетах использован созданный комплекс программ в среде Maple. Комплекс состоит из:
1. программы расчета весового расхода по заданному объемному рас
ходу;
программы расчета параметров уравнения состояния Редлиха-Квонга для многокомпонентной химически инертной смеси газов;
программы сплайн-аппроксимации данных заказчика по рельефу трассы;
программы вычисления интегралов, входящих в расчет профилей локального расхода, через специальные функции;
программы расчета профилей локального расхода по замыкающей модели Новожилова-Павловского и модифицированной модели Кармана;
программы, реализующей численное решение методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений.
В заключении сформулированы выводы но результатам диссертации.
В диссертации принята двойная нумерация, так ссылка на формулу (2.3) означает вторую формулу третьей главы.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Приведем используемые в диссертации обозначения. Если символ используется в значении, отличном от указанного здесь, это специально оговаривается в тексте.
Т температура газа; ЛТ перепад температуры; Т* температура окружающей среды; То температура газа на входе; Те температура газа на выходе; R внутренний радиус газопровода; R* внешний радиус газопровода; Q весовой расход газа; /1о характерная вязкость газа; Re число Рейнольдса; (г, 0, z) координаты цилиндрической системы координат; р плотность газа; ро плотность газа на входе; ре плотность газа на выходе; wo характерная скорость течения uo = Q/(7rR2po);
М число Маха;
а* характерная скорость звука;
р давление;
V вектор скорости;
є массовая плотность внутренней энергии газа;
а тензор напряжения;
dV дифференциал поля скорости;
dsV симметричная часть дифференциала dV (тензор скоростей деформации);
q = (qr,qz, qo) вектор плотности потока тепла;
д вектор ускорения силы тяжести;
Lq характерный линейный размер вдоль трассы;
L длина газопровода;
и z-я составляющая скорости потока;
<р удельный (локальный)расход газа;
(рь = -^- безразмерный локальный расход газа;
к\ размерная константа, определяемая из решения задачи расчета (р(г);
&2 размерная константа;
С,Сі размерные константы;
Л коэффициент гидравлического сопротивления;
w размерная скорость в степенной зависимости (31.2);
wa размерная средняя скорость в степенной зависимости (21.2);
ит максимальная размерная скорость в степенной зависимости (31.2);
vm максимальная безразмерная скорость в модели Н-П для случая несжимаемой среды;
vm максимальная безразмерная скорость в степенной зависимости (31.2);
qw радиальная составляющая вектора плотности потока тепла на внутренней стенке газопровода;
А; коэффициент теплопроводности в г-м слое обшивки газопровода;
Si толщина г'-го слоя обшивки;
rzr касательное напряжение — проекция на ось z поверхностной силы, действующей на площадку с нормалью ёг;
о; угол между направлением силы тяжести и осью газопровода;
с, S размерные постоянные, входящие в уравнение состояния Редлиха-Квонга;
Rg газовая постоянная;
V удельный объем (V = 1//о);
cv массовая плотность теплоемкости при постоянном объеме;
ср массовая плотность теплоемкости при постоянном давлении;
I длина пути перемешивания в модели Прандтля;
f/ турбулентная вязкость;
(n, эеп) эмпирические параметры в модели Новожилова-Павловского; г>* динамическая скорость г>* = (\tw\/p)0-5; tw касательное напряжение на стенке газопровода; ке эквивалентная шероховатость; к относительная шероховатость к = kcjR\ /і вязкость газа;
v кинематическая вязкость газа v — р/р] ті Ч- тю безразмерные комплексы задачи;
и* средняя по сечению скорость потока в 2-ом сечении и* =
Л размерная величина, характеризующая теплообмен (15.1); v = и/и* безразмерная скорость; г = r/R безразмерная координата г; Ро давление газа на входе; ре давление газа на выходе; модель Н-П — модель Новожилова-Павловского.
Полуэмпирические модели турбулентности для течений несжимаемых жидкостей в трубах
Анализ физической постановки задачи приводит к выводу о том, что плотность газа можно считать медленно меняющейся функцией z. Это позволяет локально воспользоваться зависимостью касательного напряжения т от плотности в той же форме, что и для несжимаемых сред. Похожий подход использовался в работах Д.Б. Сиолдинга, СВ. Чи, Э.Р. Ван-Дрийста и ряда других авторов [30]. Предположение о допустимости квазипараметрического обобщения на сжимаемые среды эквивалентно предположению о выполнении закона сопротивления X(Re, к) на участках газопровода, для которых можно считать плотность газа постоянной.
При учете сжимаемости плотность среды перестает быть константой. Из уравнения неразрывности (22.1) следует, что для сжимаемых сред в рассматриваемой задаче не скорость и, а произведение (ри) (локальный расход) является функцией только радиальной координаты г ри = p(z)u(r, z) = p(r). (1.2) Это приводит к ненулевому инерционному слагаемому ри j в уравнении движения (23.1). Таким образом, учет сжимаемости осложняет решение рассматриваемой математической модели течения из-за наличия нелинейного слагаемого в уравнении движения (23.1).
При малых числах Маха влияние инерционных сил мало, это позволяет воспользоваться процедурой решения, предложенной Б.В.Филипповым для подобных задач [51]. Нелинейное слагаемое ри в уравнении движения (23.1) заменяется своим средним по сечению трубы значением, причем осреднение проводится по заранее неизвестному профилю функции (р(г), который рассчитывается в ходе решения задачи. ди I ди\ d Ґ1\ . . R п jLj p (r)rdr. (3.2) Операция осреднения, обозначенная символом (), определена равенством R (f) = j$ff(r)rdr. (4.2) о Такая замена позволяет разделить переменные в уравнении движения (23.1) и отделить задачу о расчете профиля локального расхода. Для этого представим замыкающее уравнение для г в терминах плотности p(z) и функции (р(г) (1.2).
Касательное напряжение г для моделей Прандтля-Никурадзс, Кармана, Новожилова-Павловского можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от p(z), а другая — только от р(г). Это приводит к соотношению т = -rp(ip(r)), (5.2) р G - константа. Уравнение движения (23.1) с учетом приближенного равенства (2.2) и замыкающего уравнения (5.2) преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными iiS)-p3CSa{Z) + t)= MMr») =-С. (6-2) Рассмотрим уравнение (гфШ)) = -С (7.2) Его интегралом является линейная зависимость ф от г Ф(Ф)) = (8.2) из которой (см. 5.2) следует линейная зависимость касательного напряжения г от г т = ф( р(г)) = - (9.2) Р Р Z в частности, для касательного напряжения rw на стенке получается соотношение CRG 1л А т» = —о-Т- 10-2 2 р Здесь С — положительная константа. Соотношения для г (9.2) и rw (10.2) выполняются независимо от используемой модели турбулентности. Константа С может быть определена двумя способами: 1) из соотношения (10.2) совместно с выражением для коэффициента сопротивления Л (при условии, что допустимо считать, что значение тг„ зз совпадает с выражением для rw в несжимаемой среде при соответствующем значении плотности р)
Постановка и решение задачи расчета профиля скорости для несжимаемой жидкости по модели Новожилова-Павловского во всем диапазоне изменений эмпирических параметров модели
В диссертации в качестве определяющего соотношения для т выбрана модель Новожилова-Павловского, обобщенная на сжимаемые среды при малых числах Маха. В работе [7] модель подробно исследована при значениях эмпирических параметров п = 3/4, эеп = 0.53. Проведем дополнительное исследование модели. В частности 1. решим задачу о расчете профиля скорости но модели Н-П для несжимаемых сред во всем диапазоне изменений эмпирических параметров модели; 2. установим соответствие эмпирических параметров модели числам Рейнольдса.
В случае несжимаемой жидкости уравнение неразрывности (22.1) совместно с уравнением движения (23.1) преобразуется к виду Уравнение неразрывности = о, (1,2) уравнение двиэюения (проекция на ось z) dp 13,, о=—— +pg cos a(z) +- — (гт). (18.2) dz r or Из (17.2) следует, что скорость и зависит только от г, и уравнение движения таким образом оказывается уравнением с разделяющимися переменными: -г- - pg cos a(z) = - — (гт) = -С. (19.2) dz r v r drK y J Введем безразмерные величины v = и/щ, г = r/R, (20.2) здесь щ = Q/(7rR2po) - средняя по сечению скорость потока на входе в газопровод. Для несжимаемых жидкостей p(z) = ро и соответственно u — Q/( R2p{z)) = uo- Подставим выражение для г (19.1) du г = /zaenTn dr u\ „ = 0, u \ __ — -co iu dr w d2 dr2 (21.2) в (19.2) и перейдем к безразмерным переменным: IV о; п\2п = -СТ 2 (22.2) 1+п U 1-п„ „п " где Я1"" а = ц ае„р Интегрируя (22.2) относительно безразмерной скорости v с граничными условиями (в безразмерном виде): условием прилипания на стенке трубы w.=1 = 0 (23.2) и условием Кармана для производной скорости v l - -оо, (24.2) /(і-х 1) і2+П" dx. (25.2) получим выражение для профиля скорости в безразмерном виде: 2п- 1\ ҐСЛ "+1 п + 1 v(r,n) = Безразмерная константа С\ выражается через параметры задачи но формуле CR2 п-1 Сх = n-1 pv%asn Re (26.2) или, с учетом (13.2) и (25.2), 2п-1\ 2п п + 1 Ci(n) = 2п ( 2n \(2п+2) 2п-1 J(n+1)(n) (27.2) 1 X J(n)= (1-х)%3( It-i(l) dt)dx. (28.2) о ,2 Здесь константа С = . Интеграл в (25.2) однозначно выражается через гипергеометрические функции, которые в Maple рассчитываются стандартным обращением. Можно показать, что более лаконично интеграл в (25.2) представляется сведением к неполной бета-функции, а именно: /(1- )- =5 / (1-0 ]dt X 2п т. = 2п-1 Bcta(:r 2) = і _ (1), у = (1 - n)/(l + га), 2 = 2п/(2га - 1). Интеграл J(n) (28.2) выражается через полную бета-функцию Beta(l,y,32r) і т/ ч f2n — \\ [ in. чі«±і , /2га — 1\ _ (П)= \ ЬГ ) j ГЇЇ?Т( t) dt= (-—) Beta(1,32;,у), о (29.2) у=(1-га)/(1 + п), г = 2п/(2га-1). (29.2 ) Найденные выражения для J(n) (29.2), Сі (га) (27.2) и для v(r,n) (25.2) представляют собой аналитическое решение задачи расчета профиля скорости несэюимаемой жидкости с замыкаюгцсй моделью Н-П для любых значений п из интервала га Є (0,1). Известно [30], что распределение скорости в гладких трубах, найденное в экспериментах Никурадзе для значений числа Рейпольдса в интервале Re Є [4 104; 3.2 105] хорошо передаст простая степенная зависимость (wm — максимальное значение скорости, wm = иф=0): w(r,d) = wm(l-r)1 d1 (31.2) где показатель (І/d) слабо зависит от числа Re . Кроме того, существует связь между степенным законом сопротивления Блазиуса и степенным профилем скорости, на которую впервые указал Л.Прандтль. Начиная с работ Т.Кармана, предпринимались попытки найти такую замыкающую полуэмпирическую модель турбулентности для течений в трубах, которая бы приводила к степенному закону сопротивления и к степенному профилю скорости. Модель Н-П дает приближенное решение этой задачи с высокой точностью. В пункте 2.4 (таблицы 2, 3) продемонстрировано, что при соответствующем выборе параметров п и d в этих моделях профиль скорости v(r,n) совпадает со степенным профилем скорости {f,d) с точностью до 1% от величины средней скорости м = wa практически во всем сечении трубы. В п.2.4 найдена связь констант п и d, обеспечивающая подобное совпадение. Установление зависимости n{d) позволяет решить проблему определения зависимости n(Re) в модели Н-П, поскольку известна [30] зависимость d(Re), обеспечивающая совпадение степенных профилей с экспериментальными профилями Никурадзе.
Безразмерная форма уравнений модели
Учтем найденные представления (3.3), (5.3), (6.3), (7.3) для слагаемых, осредненных по сечению газопровода, домножим все члены осредпенного уравнения (1.3) на pnR2, обозначим / = pf- и запишем осредненное по сечению газопровода уравнение баланса внутренней энергии dT Qk2 vQdp 2f 2 , pQZc dp QpC Tz = + -pz + P R{-Rq") + 2{1+ Sp)T4 Tz (8 3) Слагаемое, отражающее теплообмен с окружающей средой, здесь записано в терминах qw — радиальной составляющей вектора плотности потока тепла на внутренней поверхности газопровода. Выражение qw для граничного условия третьего рода на внешней поверхности газопровода имеет вид /3R (r(z)(z)) Qw R(1 + {3R A) [[)-6) A = gi-(l + A). (10.3) Выражение для qw для граничного условия первого рода и для льда представлено в работе [53].
Осредненные слагаемые уравнения баланса внутренней энергии имеют следующий смысл: слагаемое (Qpcv ) отражает изменение внутренней энергии газа за счет конвективного переноса, слагаемое (Q/ /p) — за счет диссипации, слагаемое ( ) — за счет работы сил давления, сла-гаеме (pnR2 (—j qw)) — за счет теплообмена с внешней средой, слагаемое Ga+lnr1/2 f) за счет неиДеальности газа. ki dp dp к2 . . -—— = — + pgcosa2, (11.3) pl dz dz p dT Qk2 pQdp 2/ 2 V PQ3c dp QpC = — + TTz+P7rR \-Rqw)+2{1 +5p)T Tz (12 3) _ hffT_ _ __cf__ P i-6P (і + адті/2 - И,=о = Дь TLo = 7b, (14.3) R 0 „_ A ?2 /.-1 Ap2 -1 4тг2Я5 аэп " AR аэп " - Уравнения (11.3), (12.3) совместно с уравнением состояния (13.3) представляют собой замкнутую постановку задачи расчета плотности p(z), температуры T(z) и давления p(z) газа. Функции a(z) и T (z) определяются рельефом морского дна и тепловыми условиями вдоль трассы.
Приведем уравнения модели (11.3)-(16.3) к безразмерному виду, перейдя к безразмерным переменным и функциям но формулам М) Ро J0 (17.3) - Р т v = — Т = — Ро 0 LQ — характерная длина, величина которой связана с длиной газопровода; POJTQ — плотность и температура на входе в газопровод; ро — давление на входе, рассчитываемое но уравнению состояния (25.1) при заданных PQ,TQ. (В некоторых вариантах задачи удобнее в качестве характерных выбирать не значения температуры и плотности на входе, а другие значения Тир.)
Размерная величина потока тепла qw входит в уравнение (12.3) и определяется соотношением (9.3). Алгоритм численного решения задачи использует метод Рунге—Кутты четвертого порядка точности для решения системы дифференциальных уравнений (30.3). При этом предполагается, что константы к\ и С, определяемые профилем локального расхода, рассчитаны заранее. Алгоритм может быть реализован на любом компьютерном языке.
В качестве примера приведены результаты расчета гипотетического морского газопровода. Значения всех параметров приведены в системе СИ. Принятые значения параметров задачи R = 0.5 (внутренний радиус газопровода); А = 0.528001 (параметр, определяемый материалами и толщиной обшивки); L = 5 103 (длина газопровода); р0 = 160.7 (плотность газа на входе); ц = 10 5 (вязкость газа); Q = 570.755 (весовой расход); коэффициент теплоотдачи /3 =10; он определяется многими факторами: условиями погружения газопровода в грунт, локальными морскими течениями, соленостью морской воды и т.п.;
Анализ чувствительности математической модели к вариациям параметров
Наиболее значительное влияние, как и ожидалось, изменение условий теплообмена оказывает на поведение температуры (см. рис. 27-30). При значении коэффициента теплообмена, составляющем 90% от /? в эталонном варианте температура падает по всей длине трубы. При значении коэффициента теплообмена, составляющем 110%, 115% : Распределение давления газа. Вариация значения давления на входе в газопровод от Р в эталонном варианте температура в начале трассы растет, затем начинает падать. Для этих значений коэффициента теплообмена конечное значение температуры оказывается ниже начального.
Увеличение /3 до 120% от эталонного варианта приводит к тому, что температура в начале трассы растет, затем начинает падать, но конечное значение температуры становится выше начального. Уже начиная с (3 = 130% от эталонного варианта температура растет по всей длине трубы.
Начиная с /3 = 1200% дальнейшее увеличение значения коэффициента теплообмена перестает оказывать существенное влияние на газодинамические характеристики потока. Это подтверждается путем сравнения изменений газодинамических характеристик потока при увеличении /3 с 110% до 120% от эталонного варианта с изменениями характеристик 110% 20 30 40 50 км 90% Рис. 26: Распределение скорости газа. Вариация значения давления на входе в газопровод потока в случае увеличения /3 с 1200% до 1500%. Уменьшение значения коэффициента теплообмена на 10% от исходного значения уменьшает перепад плотности на 1%, увеличивает перепад температуры на 92%, уменьшает падение давления на 0.014%, уменьшает возрастание скорости потока 1.19%. Увеличение значетія коэффициента теплообмена на 10% от исходного значения увеличивает перепад плотности на 1%, уменьшает перепад температуры на 82%, PA 148.5: 148; 147.5: 147; 146.5; 145; 145.5; 10 20 30 40 50 Z.IO M Рис. 27: Распределение плотности газа при различных значениях коэффициента теплообмена увеличивает падение давления на 0.015%, увеличивает возрастание скорости потока 1%. Увеличение значения коэффициента теплообмена на 15% от исходного значения увеличивает перепад плотности на 1.5%, уменьшает перепад температуры на 80%, увеличивает падение давления на 0.022%, увеличивает возрастание скорости потока 1.5%. Увеличение значения коэффициента теплообмена на 20% от исходного значения увеличивает перепад плотности на 2%, уменьшает перепад температуры на 45%, Рис. 28: Распределение температуры газа при различных значениях коэффициента теплообмена увеличивает падение давления на 0.028%, увеличивает возрастание скорости потока 2%. Увеличение значения коэффициента теплообмена на 30% от исходного значения увеличивает перепад плотности на 2.8%, увеличивает перепад температуры на 21% - температура растет, увеличивает падение давления на 0.39%, увеличивает возрастание скорости потока 2.8%.
Увеличение значения коэффициента теплообмена на 1100% от исходного значения увеличивает перепад плотности на 16%, увеличивает перепад температуры на 1042% - температура растет, Ч ч ч 1.53е+07 1.525е-Ю7: 1.52е+07 1.515е-К37 1.51е+07 1.505Є-Ю7 1.5Є-Ю7І 1.495Є-Ю Ч \ ч ч Ч ч I I I I ( I I -Т" г і і і і і 10 20 30 ч ч і 3 50 2,10 м Рис. 29: Распределение давления газа при различных значениях коэффициента теплообмена увеличивает падение давления на 0.24%, увеличивает возрастание скорости потока 16%. Увеличение значения коэффициента теплообмена на 1400% от исходного значения увеличивает перепад плотности на 16%, увеличивает перепад температуры на 1076% - температура растет, увеличивает падение давления на 0.25%, увеличивает возрастание скорости потока 16.34%. Изменение условий внешнего теплообмена приводит не только к количественным, но и к качественному изменению распределения температуры газа в потоке. Это связано с тем, что эффект разогрева за счет большей температуры окр. среды при таком значении /3 преобладает над эффектом остывания газа за счет газодинамических процессов в потоке.