Введение к работе
Актуальность темы. При моделировании систем различной природы с помощью дифференциальных и разностных уравнений наиболее часто используются линейные и квазилинейные уравнения. Например, квазилинейными уравнениями описываются химические реакции, физические процессы, развитие популяций, экономические процессы, системы массового обслуживания.
При качественном исследовании моделей большой интерес представляет изучение устойчивости решений уравнений, в частности, условия асимптотической устойчивости и оценки ее областей. Описанию какого-либо процесса сопутствуют возмущающие факторы, которые имеют различную природу и могут быть случайными или даже неизвестными. Они, например, возникают в процессе измерений и за счет неизбежной погрешности измерительных приборов приводят к неточным исходным данным. Возмущающие факторы могут быть непрерывными, но очень малыми и фактически неподдающимися измерениям. В этом случае соответствующие разностные и дифференциальные уравнения будут несколько отличаться от истинных. Поэтому для исследователя важно знать, насколько существенными могут быть отклонения результатов, полученных в процессе исследования теоретической модели, от получаемых на практике. Поскольку возмущающие факторы существуют практически всегда, то проблема устойчивости имеет важное теоретическое и прикладное значение.
Исследованиям устойчивости, основы которых заложил в конце 19-го века А. М.Ляпунов, посвящены монографии Е. А. Барбашина, Н. Н. Красовского, С.К.Годунова, Ю. Л. Далецкого и М. Г. Крейна, Б. П. Демидовича, В. И. Зубова, И. Г. Малкина, А. А. Мартынюка, С. Ли-ла и В. Лакшмикантана, Н. Руша, П.Абетса и М. Лалуа, Л. Чезари, Н.Г. Четаева, В. Я.Якубовича и В. М. Старжинского, R.P. Agarwal, S. N.Elaydi, V. L. Kocic, G. Ladas и др.
В последнее время разработаны критерии асимптотической устойчивости линейных уравнений, которые реализуются на компьютере. Этот вопрос изучается в работах С.К.Годунова, А.Я.Булгакова, Г. В. Демиденко и других математиков.
В настоящей диссертации получены критерии и алгоритмы асимптотической устойчивости решений некоторых классов разностных и периодических дифференциальных уравнений.
Целями работы являются:
-
разработка алгоритмов проверки на асимптотическую устойчивость линейных разностных и дифференциальных уравнений на основе новых критериев и оценок;
-
создание пакета программ для реализации алгоритмов на компьютере;
-
получение оценок областей асимптотической устойчивости квазилинейных разностных и дифференциальных уравнений.
Методика исследований. В диссертации используются методы математического анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений и вычислительной линейной алгебры. При получении критериев асимптотической устойчивости решений разностных и дифференциальных уравнений были использованы свойства матричных рядов и несобственных матричных интегралов со специальными весами.
Научная новизна. В работе получены следующие результаты:
-
разработаны новые критерии асимптотической устойчивости линейных разностных и дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами;
-
на основе разработанных критериев построены алгоритмы асимптотической устойчивости и разработан комплекс прикладных программ, численно реализующих алгоритмы на компьютере;
-
получены новые оценки областей асимптотической устойчивости решений квазилинейных разностных и дифференциальных уравнений;
-
оценена скорость сходимости к нулю решений обоих видов квазилинейных уравнений.
Практическое значение работы. Результаты диссертации носят как теоретический, так и прикладной характер. Разработанные алгоритмы и оценки могут быть использованы при качественном анализе моделей, описываемых разностными и дифференциальными уравнениями.
Обоснованность и достоверность научных положений и выводов подтверждаются проверкой математической строгости постано-
вок задач и математических предложений, а также апробацией работы в научных докладах и публикациях.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах "Избранные вопросы современного анализа" кафедры дифференциальных уравнений Новосибирского государственного университета, "Дифференциальные уравнения с частными производными" в Якутском государственном университете, и были представлены на Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" в Челябинске (1999 г.), на Международной конференции "Математика в восточных регионах Сибири" в Улан-Удэ (2000 г.), на Третьей Международной конференции "Дифференциальные уравнения и приложения" в Санкт-Петербурге (2000 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 117 страниц, включая 13 рисунков и 1 таблицу. Список литературы содержит 70 наименований.