Введение к работе
Актуальность темы. Математическое моделирование электромагнитных полей является мощным инструментом теоретических исследований и широко используется в различных областях пауки и техники. Среди всех задач моделирования электромагнитных полей можно выделить широкий спектр задач, в которых электромагнитное поле возбуждается гармоническими источниками тока.
Довольно часто для вычисления характеристик гармонических электромагнитных полей применяют аналитические методы, использующие некоторые упрощения математической модели поля. Эти методы обсуждаются в работах Л.Л. Ваньяна, А.И. Инкина, К.П. Кадомской, А.А. Кауфмана, Г.А. Морозова, Л.А. Хабаровского, М.И.Эпова и др. Основное достоинство таких методов состоит в том, что предлагаются достаточно простые с точки зрения вычислений формулы, описывающие требуемые характеристики поля. Недостатком этих методов является невозможность учета всех закономерностей поведения электромагнитного поля и необходимость в каждом частном случае разрабатывать новые подходы. Методы численного моделирования, рассматриваемые в дальнейшем, являются с этой точки зрения более универсальными, хотя в тех частных случаях, когда аналитические методы применимы, могут проигрывать Им из-за более высокой сложности получения конечного результата.
На основе изучения электромагнитных полей, возбуждаемых гармоническими источниками, разрабатываются многие индукционные методы электроразведки в наземном, скважинном и аэровариантах. Характерной особенностью методов аэроэлектроразведки является то, что в силу большой удаленности приемника поля от возбудителя (по сравнению с высотой полета) величины наблюдаемых в этих методах аномальных эффектов от проводящей среды становятся сравнимыми с аномалиями, регистрируемыми при наземных исследованиях.
Первых заметных успехов при решении дву- и трехмерных задач геоэлектромагнетизма удалось достичь исследователям, использовавшим для проведения численных расчетов метод интегральных уравнений (МИУ) в различных его вариантах. Этот метод развивался в работах Hohmann G.W., Hvozdara М., G.A.Newman, Weidelt Р., В.И.Дмитриева, M.C.Жданова, Б.Ш.Зингера, О.В. Панкратова, Э.Б. Файнберга и др. Однако один из главных недостатков МИУ, заключающийся в необходимости решения получающейся в результате численной аппроксимации интегрального уравнения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с плотной матрицей, очень часто не позволяет выполнить дискретизации на уровне, необходимом для получения численного решения заданной точности. Из-за заполненности матрицы СЛАУ, аппроксимирующей интегральное уравнение, вычислительные затраты на решение задачи растут с измельчением сетки для МИУ столь быстро, что даже для компью-
теров большой мощности становится актуальной проблема нехватки вычислительных ресурсов.
Некоторым развитием МИУ можно считать подход, предложенный Зингером Б.Ш. и Файнбергом Э.Б. и развитый в работах О.В.Панкратова и др. Этот метод основан на построении решения интегрального уравнения в виде функционального ряда Неймана и позволяет заметно сократить (по сравнению с классической реализацией МИУ) требуемые вычислительные ресурсы, в результате чего появляется возможность использовать гораздо более подробные сетки. Но оценить реальные возможности этого метода при решении трехмерных задач пока довольно трудно, так как приведенные в публикациях результаты несколько ограничены и не позволяют получить более или менее полного представления о точности и надежности метода при решении трехмерных задач. Также из работ, представляющих этот метод, остается неясной зависимость скорости сходимости аппроксимации решения к точным значениям от величины ячейки дискретизации области. Кроме того и МИУ, и разрабатываемые на его основе подходы при наличии в задаче негоризонтальных слоев, наклонных контактов и других трудностей, связанных с усложнением геометрии, а также в случае использования сеток с ячейкаічи неодинакового объема становятся слишком затратными по памяти.
Все эти трудности, связанные с применением МИУ и близких к нему методов, заставляют искать новые подходы к решению трехмерных задач геоэлектромагнетизма, основанные на таких универсальных методах решения дифференциальных уравнений в частных производных, как метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). МКЭ, позволяющий использовать симплициидальные (т.е. треугольные в двумерном случае и тетраэдральные в трехмерном) сетки, имеет значительные преимущества перед МКР благодаря возможностям построения нерегулярных сгущающихся или разреживающихся сеток с минимальным количеством так называемых «лишних» узлов (т.е. узлов, удаление которых из сетки не приводит к увеличению погрешности приближенного решения). МКР также серьезно уступает МКЭ по возможностям учета сложной трехмерной геометрии исследуемой среды: негоризонтальных или выклинивающихся слоев, наклонных контактов и т.д.
Однако применение стандартных вычислительных конечноэлементных схем для решения трехмерных задач геоэлектромагнетизма также требует очень больших вычислительных затрат. Это приводит либо к большим погрешностям решения из-за использования недостаточно подробной сетки, либо к чрезмерно большой стоимости получения решения важных практических задач. Предложенные в работах Соловейчика Ю.Г. подходы к конечноэлементному моделированию с выделением двумерной части поля позволяют при решении многих трехмерных задач геоэлектромагнетизма во много раз снизить вычислительные затраты и тем самым делают эти задачи доступными для решения с очень высокой точностью при относительно небольших вычислительных затратах. В предлагаемой диссертационной работе будут построены основанные на таких
подходах консчноэлементиыс схемы моделирования электромагнитных попей с гармоническими источниками.
Получаемые при консчноэлементной аппроксимации СЛАУ имеют разреженные матрицы. Методы решения таких СЛАУ рассматривались и исследовались в работах X.-C.Cai, R.Fletcher, J.A.George, G.H.Golub, L.A.Hageman, M.R.Hestenes, C.Lanczos, J.W.Liu, J.Ortega, Y.Saad, H.A.Van der Vorst, J.Xu, D.Young., В.П.Ильина, Е.С.Николаев, A.A.Самарского и др. Но при этом разрабатываемые методы, как правило, не учитывают специфические особенности матриц СЛАУ, заключающиеся в существенных различиях между объемом памяти, необходимом для хранения этих матриц при стандартной их упаковке (например, при использовании разреженного строчного или диагонального форматах хранения), и объемом памяти, требуемым для хранения этих матриц при специальной упаковке. Заметим, что для некоторых классов задач применение специальных упаковок может на порядок сократить объем памяти под хранение матриц даже по сравнению с такими довольно эффективными универсальными форматами, как разреженный строчный или диагональный. К такому классу задач относятся и задачи конечноэлементного моделирования трехмерных электромагнитных полей с гармоническими источниками.
Таким образом, проблема построения эффективных процедур численного моделирования электромагнитных полей с гармоническими источниками до сих пор вызывает большой интерес как у исследователей, занимающихся развитием численных методов математического моделирования, так и у исследователей, применяющих математическое моделирование для изучения реальных физических процессов.
В диссертационной работе много внимания уделено построению конеч-ноэлементных аппроксимаций дву- и трехмерных задач с гармоническими источниками. Эффективность этого подхода продемонстрирована на примере решения ряда модельных и практических задач.
Также много внимания в диссертационной работе уделено исследованию эффективности различных методов предобусловливания и решения конечно-элементных СЛАУ, получаемых при аппроксимации трехмерных гармонических электромагнитных полей. Рассмотрены методы сокращения вычислительных затрат, базирующиеся на учете специальных свойств таких матриц. Основанные на этих методах алгоритмы решения коцечноэлементных СЛАУ реализованы в программном комплексе TELMA, их эффективность подтверждена решением практических задач.
Таким образом, основной научной проблемой, пути решения которой рассматриваются в предлагаемой диссертационной работе, является проблема построения, обоснования и программной реализации эффективных процедур численного моделирования двумерных и трехмерных электромагнитных полей с гармоническими источниками.
Цель исследований заключается в разработке и реализации алгоритмов конечноэлементного моделирования гармонических электромагнитных полей, а
также в повышении эффективности итерационных методов решения получаемых СЛАУ.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1 Разработана конечноэлементная схема моделирования трехмерного электромагнитного поля, возбуждаемого гармоническим током d круговой негде.
-
Предложены специальные структуры данных для экономичного хранения матриц конечноэлементных СЛАУ и матриц предобусловливания.
-
Разработаны схемы предобусловливания СЛАУ, получаемых в результате конечноэлементной аппроксимации гармонических электромагнитных полей. Доказан ряд теорем о структуре матриц предобусловливания.
Теоретическая значимость работы состоит в том, что теоретически
обосновано применение методики раздельного вычисления осеснмметричной
части электромагнитного поля и поля влияния трехмерных объектов при реше
нии задач индукционной электроразведки с гармоническими источниками поля.
Для схем неполной факторизации разреженных блочных матриц конечноэле
ментных СЛАУ сформулирован и доказан ряд теорем о структуре блок-
элементов матриц неполной факторизации. 1
Практическая ценность работы и реализация результатов.
Разработанные подходы и программы позволили решить следующие задачи: моделирование электромагнитного поля и расчет потерь в оболочке трехфазного кабеля; расчет комплексного сопротивления пазов ротора трехфазного асинхронного короткозамкнугого двигателя нового конструктивно-технического решения; моделирование трехмерных электромагнитных полей при индукционном каротаже в горизонтальных скважинах; профилирование над ким-берлитовой трубкой для аэроварианта с гармоническим источником поля при различных геоэлектрических обстановках. Все разработанные программы включены как составная часть в программный комплекс TELMA
Достоверность результатов подтверждается данными вычислительных экспериментов, сравнением полученных результатов решения некоторых модельных задач с результатами их решения другими авторами, а также с результатами физических экспериментов.
Личный вклад. Разработаны схемы конечноэлементной аппроксимации двумерных и осесимметричных задач с гармоническими источниками. Выполнена их программная реализация для треугольных конечных элементов с кусочно-линейными базисными функциями. Построена и программно реализована для кусочно-линейных базисных функций на тетраэдрах конечноэлементная схема моделирования трехмерного электромагнитного поля в однородной по магнитной проницаемости и неоднородной по проводимости среде, источником которого является низкочастотный гармонический ток в круговой петле. Разработаны специальные схемы неполной факторизации, учитывающие особенности структуры конечноэлементной матрицы. Доказаны теоремы о структуре матриц предобусловливания, получаемых в результате предложенных схем неполной факторизации. Для нескольких вариантов предобусловливания выпол-
йена программная реализация различных итерационных методов решения СЛАУ со специально упакованными разреженными матрицами блочной структуры.
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены па IV международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-98 (Новосибирск, 1998г.); Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященный памяти С.Л.Соболева (Новосибирск, 1998г.); The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology KORUS'99 (Новосибирск, 1999г), семинарах НГТУ. Результаты проведенных исследований включались в отчеты по НИР НГТУ.
Публикации, По результатам выполненных исследований опубликовано 6 печатных работ.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников (120 наименований) и 4 приложений. Работа изложена на 206 страницах, включая 37 иллюстраций и 35 страниц приложений.