Введение к работе
Актуальность проблемы. Многие практически значимые пространственно - трехмерные постановки задан математической физики требуют для численного решения прсизводи-телшостей и объемов памяти, недостижимых на ЭВМ с последовательней обработкой информации. В практике математического моделирования реальностью стало использование многопроцессорных вьгаслигельных' систем ( МВС ), содержащих сотни - тысячи iipcqeccopaE. Проааируюгся супер-ЭВМ, содержащие десятки - сотни тысяч обрабагы-вакщих устройств ( ііроиессорсв ), с разнообразными топологиями связей между процессорами и различными производительностями каналсв обмена информации между процессорами . В вычислигелыюй математике разработаны мощные средства построения экономичных алгоритмов решения многомерных задач математической с]изики , базирующиеся на методе расщепления .Не представляется возможным дать развернугый обзор работ по схемам расщепления , так как число работ в этой области чрезвычайно велико . Одноксмпоненшые схемы расщепления, при распараллеливании сохраняют свойство экономичности по числу арифметических операций . Однако, как показывает анализ, они не являются экономичными при параллельной реализации на МВС по числу операций обмена , в особенности, в случае жесткой коммутации между процессорами . Затраты на обмены информацией в ряде случаев становятся ігреобладакшими по сравнению с " арио^мешческими " затратами.
В связи со сказанным, ікшикланес^сдамссть переосмысления гажятия зконсмичносш алгоритма, которое целесообразно толковать для параллельных алгоритмов решения многомерных задач матемапяеской физики , как свойство минимальности суммарных временных затрат, состоящих из времени выполнения арисрметических операций и операций обмена между процессорами , для широкого диапазона изменения прсизводтпельностя каналсв обмена инсрзрмацией и различных структур связей между процессорами.
В то же время , получаемые алгоритмы не должны уступать экономичным последовательным алгоритмам по точности и запасу устойчивости. Оказалось ,чго в ряде случаев удается тюсгрсигь эксномичные в суммарном смысле параллельные алгоритмы решения многомерных задач математической физики, если для агяірсксимации использовать двухкомпоненшьк разностные схемы, а также параллельные варианты быстрых прямых методов решения двумерных сеточных уравнений. Сказанное выше является первой группой факторов, огхределякщк актуальность настоящей работы.
Следукщая группа факторов, обуславлііваищігх актуальность темы работы, связана с тем, что математическое моделирование является единственно возможным средством прогноза для задач водной экологии , тюсксльку крутшсмаешгабньк зксперименгы в экосистемах являются недопустимыми. Пглотіигшалью важным для задач водной экологии, в частности, связанных с моделированием фвпопланктонньлх популяций, является итользование ііространсівенно - трехмерных постановок, что, наряду с необходимостью детального моделирования структуры потоков для сложной геометрии реальных водоемов, требует применения МВС.
Цели работы . 1. Построение и анализ двухксмпоненгных схем расщепления для аппроксимации р — мерных уравнений параболического типа (переменных направлений ( р = 3 ), факториэованных и аддишвных ( р 3 )) в декартовых координатах и кглшоштейньгх ортогональных коордлшатах ( вддащагяиеских, сферических и тороидальных ( р = 3 ) ) и для агтрокшмации трехмерных уравнений гапербсшиеского типа ( с])акторизованньіх и аддитивных) .
2 .Разработка параллельных вариантов быстрых прямых методов редким дв}мерных сеючных эллиптических уравнений, восишакших гцх-і апгцхжсимацни двухкомпоненг-ными схемами расщепления, для МВС с универсальным и жестким типами коммутаций для широкого диапазона изменения ірсвтзводшельносш каналсв обмена информацией и на их основе построение жономичных, в смысле суммарных временных заїрах, алгоритмов решения трехмерных уравнений парабсддаескогоиэллишического типов. 3. Применение двухкомпонеганых схем расщепления для построения жономичных алгсрпмш решения пространственно- ірехмерньк постановок задач водной зкодогии, вклкнаюших модели гидрсдшимических прошссов циркуляции и оиологических процессов эволюции фиюпланкюнных популяций.
Научная новизна . Новые резульгаїьі, полученные в процессе исследования: построены и исследованы двухкомпоненшые схемы для уравнений параболического и плерболического галсе, разработаны параллельные варианты быстрых прямых методов для двумерных сеточных уравнений атлтпяескего типа , построены экономичные алгоршмы решения трехмерных задач на мнсгозтрздессорных системах с универсальным и жестким типами коммутации , базирующиеся на дЕ^'хкомпоненшых схемах и параллельных вариантах быстрых прямых методов.
Методы исследования. Для построения двухксмпсненшых схем переменных направлений и факгорвсеанных схем для уравнений ттарасолшеского типа в декартовых координатах использован метод регуляризации разностных схем А. А. Самарского; исследование устойчивости базируется на теории ускйчивссти двухслойных схем, развитой в работах А. А. Самарского и А. В . Гулина. Исследование ухггойчивосш и схо-димосш аддипшных дврагамлоненшьк схем для уравнений парабатического и пзпер-болического типов в декартовых координатах базируется на сеточном принципе максимума и следствиях из него (для параболического уравнения), а также на методе энергетических неравенств, предложенном А А Самарским . Получение оценок скорости сходимости для уравнения теплопроводности в случае криволинейных координат выполнено путем поэтапной редукции разностных задач для ікгрешносіи к более простым , допускакшим построение функций , мажсрірукхцих решения, в явном виде и применении следствий тв принципа максимума. В тороидальных координатах потребовалось дополнительно доказать лемму, являоцуюся аналогом теоремы вложения для двумерной сеточной задачи специального вида.
Исследование тіараллельньк алгоршмов аисвьіваеіся на применении некоторой обобщенной модели многогфсцесссрной вычислтпельной системы, с нежесткими требованиями к механизму обмена информацией между процессорами и с различными структурами связей между прсцессорамт , большим диапазоном сцноапельнай праизводаїельносш каналов обмена іифопмациаі, что позволяет охватшь широкий класс многопроцессорных систем ( например, мультиграншьюгерные системы, матричные вьгоклшельные системы, системы со связями шла " куб " ( "гиперкуб "), въасскспраБвошпелшые системы с универсальной коммутацией и г. д.). Посіроение параллельных алгоршмов базируется на методе геометрического разрезания входной (сеточной) информации по числу процессоров, а также на параллельной (последовательной) реализации базовых процедур, лежащих в основе последовательного анаг лога сооїветоівуїошего параолеожого алгоритма Для построения разностных схем для гидродинамических процессов циркуляции и динамики фшшланктона исдальзоваося метод суммарной апфсксимаши . Исследование свойств полученных сеточных задач
выполнялось мєящами гесрии сеточных сперагоров , действующих в пыьбергсеых гфострансгвах.
Практическая значимость ./твухкомспсиеншые аддитивные схемы использовались три чис
ленном моделировании термически нагруженных трехмерных конструкций котелшых
агрегатов, в частности , сребренных поверхностей нагрева с учетом неоднородности
материалов для стационарных и нестационарных режимов . Разработанные
параллельные алгоритмы позволяют выполнял» проектирование сиблиотек решения сеточных эллиптических уравнений в пространсте двух и трех измерений, а также трехмерных уравнений параболического зила, экономичных в смысле суммарных временных затрат, для МВС различней архигасгуры. Двухксмпонешные аддитивные схемы и алгоритмы их реализующие , иаюлшукяся для расчета трехмерных циркуляционных потоков и экологического прогноза развития сригепланкгонных популяций для мелководных протяженных водоемов типа Таганрогского залива. Аттробаиия работы . Результаты работы неоднократно докладывались на международных, всесоюзных (тхжроссийских) кснсЪеренциях, школах и совещаниях, в том числе : VI Всесоквной школе " Теоретические основы и конструтфование численных алгоритмов решения задач математической (ризики", 1986 г ., I Всесоквной конференции ТГроблемы создания супер-ЭВМ, супер-систем и эффективность их применения", 1987г.,Школе по ксмплексам программ маїемапіческей физики 1990г., Ши IV Школах "Численные методы механики сплошной среды " , 1991 г . и 1932 г . , Международней научной ксиференции " Алгебра и анализ ", гюсаяшенней 100- лешю со дня рождения Н. Г. Чеботарева , ( Казань , 1994 г . ), ГХ Международном Симпозиуме " Супермик-гхкомпьютеры, микгхггрсцессоры и их применение ", (Будапешт, 1994 г .), ІЗсеросаїйской Школе "Современные проблемы математического моделирования ", 1996 г . и других . Результаты диссертации сїіубликовашл в 18 работах , вышедших в ітенгральньк или международных изданиях ; также несколько работ яіубликсвано в межвузовских сборниках и депегарсвано в ВИНИТИ.
Структура и объем диссертации . Диссертация состоит из введения.чегырех разделов , заключения (перечня выводов по работе) списка лшерагуры и грех приложений. Работа содержит 329 страниц основного текста, 48 рисунков, 22 таблицы и список литературы из 99 наименований.