Наилучшая параметризация в задачах приближения кривых и поверхностей Якимович, Анна Юрьевна

Введение к работе

$0/\S)2

Актуальность темы. Задачи приближения играют исключительно важную роль в современной вычислительной математике, так как идеи приближения лежат в основе многих численных методов.

Параметрическое приближение обладает рядом преимуществ по сравнению с традиционным. Параметрические функции позволяют дать простое математическое описание пространственных кривых, кривых и поверхностей, имеющих вертикальные касательные, в том числе замкнутых. Кроме того, параметрический способ задания кривых и поверхностей освобождает от привязки к какой либо определенной системе координат, позволяя наиболее просто осуществлять построение графических изображений на экране дисплея и аффинные преобразования.

Главной особенностью задач параметрического приближения является то, что кривые и поверхности бывают заданы совокупностью точек, лежащих на них, а информация о способе параметризации, необходимая для построения приближающих функций, обычно отсутствует. В задачах приближения кривых необходимо каждой заданной узловой точке поставить в соответствие некоторое выбранное значение параметра. В качестве узловых значений параметра мгіжно выбрать любую строго монотонную последовательность чисел. Для реализации параметрического приближения поверхности необходимо построить на поверхности сетку параметрических линий, делящих поверхность на топологически прямоугольные ячейки. Вдоль каждой линии сетки один из параметров принимает некоторое выбранное постоянное узловое значение. При этом выбор расположения линий сетки и выбор узловых значений параметров неоднозначны.

Выбор параметризации оказывает большое влияние на форму приближающей кривой или поверхности. При неудачной параметризации на кривой появляются осцилляции, а в некоторых случаях даже петли, на поверхности - нежелательные плоские и складчатые области. Актуальность данной проблемы отмечают в своих работах Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л., Леус В.А., Скороспелое В.А., Faux I.D., Pratt M.J., Hoschek J., Lasser D., Nielson G.M., Foley Th.A., Hartley P.J., Judd C.J., Mastin C.W., Topfer H.J., Ahlberg J.H., Nilson E.N., Walsh J.L. и др. при исследовании различных методов параметрического прибі и#йнийДи.^{ИОНАЛЬНАЯ} I

¹ БИБЛИОТЕКА {

і - - —' Ф

В работах Шалашилина В.И., Кузнецова Е.Б. рассмотрены необходимые и достаточные условия наилучшей параметризации в задачах интерполяции и полиномиальной среднеквадратичной аппроксимации плоских кривых.

Цель и задачи работы. Целью данной работы является развитие общего подхода использования наилучшей параметризации в задачах приближения. В связи с поставленной целью были определены следующие основные задачи диссертации.

1. Сформулировать и доказать необходимые и достаточные условия наилучшей параметризации в задаче интерполяции поверхностей.

2. Сформулировать и доказать необходимые и достаточные условия наилучшей параметризации в задачах интерполяции пространственных кривых.

3. Сформулировать и доказать необходимые и достаточные условия наилучшей параметризации в задачах среднеквадратичной аппроксимации обобщенными полиномами пространственных кривых.

4. Провести обзор и сравнительный анализ методов параметрического приближения кривых и поверхностей и способов параметризации кривых и поверхностей в задачах параметрического приближения.

5. Разработать алгоритмы и программы, реализующие параметрическое приближение кривых и поверхностей различными методами и с использованием различных способов параметризации. Сравнить результаты численных экспериментов с теоретическими утверждениями.

Методы исследования. В работе используются методы вычислительной математики, линейной алгебры, математического анализа, программирования.

Для приближения кривых и поверхностей использовались методы интерполяции сплайнами, полиномиальной интерполяции и среднеквадратичной аппроксимации.

Доказательство необходимых и достаточных условий наилучшей параметризации основано на методе продолжения решения по параметру с выбором наилучшего параметра. Данный метод применим для задач, множеством решения которых является кривая, например, таких как нелинейные алгебраические и трансцендентных уравнения, задачи Коши и краевые задачи для ОДУ, дифференциально-алгебраические, функционально-дифференциальные, интегральные уравнения. При этом наилучшим параметром является длина дуги, вычисляемая вдоль кривой множества

решений задачи.

Научная новизна работы состоит в следующем:

6. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия наилучшей параметризации в задаче интерполяции поверхностей. Проведены численные эксперименты, подтверждающие доказанные утверждения.

7. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия наилучшей параметризации в задаче интерполяции и среднеквадратичной аппроксимации пространственных кривых. Проведены численные эксперименты, подтверждающие доказанные утверждения.

8. Установлена эффективность метода представления аппроксимирующих полиномов в виде линейной комбинации ортогональных полиномов в задаче среднеквадратичной аппроксимации параметрическими полиномами

Достоверность научных утверждений и выводов подтверждена строгими математическими доказательствами и численными экспериментами.

Практическая значимость работы обеспечивается широким применением параметрического приближения во многих современных практических задачах, требующих построения кривых и поверхностей геометрически сложной формы, например, обводов и поверхностей летательных аппаратов, автомобилей, судов. Параметрическое приближение используется как на стадии проектирования, для визуализации кривых и поверхностей на экране дисплея ЭВМ и подготовки информации для автоматических чертежных устройств, так и на стадии производства, при программировании станков с числовым управлением.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 7 печатных работ, из них 3 статьи в российских и зарубежных реферируемых журналах, 1 статья в сборнике трудов и 3 публикации в тезисах докладов международных конференций.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались

9. на ХП Международной конференции "Вычислительная механика и современные прикладные программные системы", г. Владимир, 2003г.;

10. в Крымской осенней математической школе, г. Севастополь, 2004 г.;

11. на "International Conference of Computational Methods in Sciences and Engineering 2004", Греция, 2004 г.;

12. на XI Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы конструкций и сплошных сред", с. Ярополец, Моск. обл., 2005 г.;

5. на XTV Международной конференции "Вычислительная механика и современные прикладные программные системы", г. Алушта, 2005г.;

6. на семинаре кафедры "Дифференциальные уравнения" Московского авиационного института, Москва, 2005 г.;

7. на семинаре Института механики МГУ, Москва, 2005 г.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 110 страниц, включая 38 рисунков. Библиография содержит 140 наименований.