Введение к работе
Актуальность. Математическое моделирование как один из важнейших методов научного исследования и, в частности, интегральные методы диагностики играют важную роль в исследовании физических процессов. Преобразования, типа преобразования Радона, лежащие в основе томографии, находят многочисленные приложения в самых различных областях исследования начиная от космического пространства и физики Солнца и кончая диагностикой квантовых, биологических и нано структур. Сегодня значительные результаты с применением томографии получены в молекулярной физике, физике твёрдого тела, геофизике, атмосферной оптике, гидродинамике, лабораторной и космической плазме и т.д. В физических экспериментах и, в частности, в задачах диагностики плазмы часто возникает необходимость использования томографических методов исследования и, более того, они часто бывают единственно возможными. Например, определение пространственного распределения показателя преломления плазмы, основной вклад в который вносит электронная компонента, лежит в основе метода расчёта профиля плотности и важнейших гидродинамических параметров плазмы. Измерение фарадеевского вращения плоскости поляризации зондирующего пучка используется для исследования магнитных полей в плазменной короне.
В работе акцент сделан на разработку алгоритмов для плазменной томографии, обладающей рядом специфических особенностей, а именно: ограниченным доступом к объекту (т.е. малым числом ракурсов), наличием непрозрачных включений, влиянием аппаратной функции регистрирующей системы, нестационарностью исследуемой плазмы, необходимостью высокого спектрального, пространственного и временного разрешения и т.д. Именно поэтому при широком распространении методов томографии в технике и медицине освоение этих методов в физике плазмы происходит лишь в настоящее время. Часто единственным источником информации, позволяющим судить о состоянии плазмы, является регистрируемое излучение. Так как спектральная линия несет достаточно полную информацию о процессах, происходящих в плазме, возникает задача обращения доплеровских спектральных измерений. В связи с выше указанной спецификой задача разработки методов малоракурсной томографии, учитывающих различного рода дополнительную априорную информацию [1], а также разработка схем измерения, обеспечивающих наилучшую реконструкцию, является актуальной.
Целью диссертационной работы являются: разработка методов и численных алгоритмов томографической диагностики с целью исследования объектов различной физической природы, в частности, приложения методов томографии к задачам астрофизики, физики плазмы, газодинамики и т.д.. Математическое моделирование с целью оптимизации физического эксперимента, совершенствования методики эксперимента и разработки томографической системы диагностики. Для этих целей в работе решены следующие задачи:
-
Разработаны двумерные и трёхмерные итерационные алгоритмы малоракурсной томографии для скалярных Радон и лучевого преобразований для пла-нарных схем измерения.
-
Развиты новые методы и алгоритмы спектральной доплеровской томографии с целью восстановления одномерных, двумерных и трёхмерных векторных полей для различных схем измерения (параллельной, веерной, конусной).
-
Разработаны оригинальные методы малоракурсной томографии на основе обобщения метода максимума энтропии для задач трёхмерной скалярной и векторной томографии.
-
Проведено математическое моделирование плазменного эксперимента с целью планирования и оптимизации томографических измерений: выбор минимально необходимого числа ракурсов, положения и числа приёмников.
-
Выполнена обработка реальных экспериментальных данных с использованием разработанных алгоритмов скалярной и векторной томографии.
-
Для тестирования и изучения развитых методов создан комплекс программ, включающий библиотеку скалярных и векторных фантомов, предобработку и визуализацию экспериментальных данных.
Методы исследования. Основным инструментом исследования являются методы интегральной геометрии. Используются также методы математического моделирования, методы фурье анализа, функционального анализа, теории программирования, методы оптимизации, численные методы.
Научная новизна состоит в следующем:
Разработаны методы и алгоритмы трёхмерной малоракурсной томографии на основе итерационных фурье методов. С использованием предложенных методов изучены различные планарные схемы регистрации данных. Методы использовались, в частности, для восстановления трёхмерной функции распределения частиц по скоростям по известным одномерным функциям распределения (скалярная томография в пространстве скоростей).
Созданы новые методы на основе обобщения метода максимума энтропии для двумерных и трёхмерных задач вычислительной томографии для скалярных Радон- и лучевого преобразований для различных схем измерения (параллельной, веерной, конусной). Методы применялись для исследования пересоединения магнитных полей в установках типа "сферомак" (сферический токамак).
Впервые на основе трёхмерной томографической реконструкции распределения коэффициентов эмиссии в плазме наблюдалась колебальная (twisting) неустойчивость на установках типа "сферомак", TS-3/TS-4.
Для восстановления одномерных и двумерных векторных полей получен ряд новых методов для поляризационной и доплеровской томографии. В частности, при наличии аксиальной симметрии, разработан метод одноракурсной векторной томографии для восстановления и исследования временной эволюции радиального распределения скорости частиц в плазме на установках типа "сферомак", TS-3/TS-4.
Разработаны новые методы трёхмерной векторной томографии на основе полиномиальных разложений с использованием скалярных и векторных сферических гармоник. Один из методов использовался для восстановления двумерного поля скоростей на установке "сферомак", TS-4.
На основе развитых методов и результатов численного моделирования спроектирована томографическая система диагностики на установках типа "сферомак", TS-3/TS-4.
Достоверность и эффективность развитых в работе методов подтверждена модельными расчётами а также физически непротиворечивыми результатами, полученными в результате обработки реальных экспериментальных данных.
Практическая значимость результатов исследований заключается в разработке методов и программ малоракурсной томографии для исследования скалярных и векторных полей. Некоторые из разработанных методов уже применялись для исследования плазмы. Результаты реконструкции помогли лучше понять физику процессов пересоединения магнитных полей и оптимизировать сам эксперимент. Разработанные методы могут также найти применение и в других областях исследования, где требуется томографическая диагностика.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Разработанные численные методы и алгоритмы скалярной трёхмерной малоракурсной томографии на основе итерационных фурье-методов для планарных схем измерения.
-
Численные методы и алгоритмы на основе обобщения метода максимума энтропии для двумерных и трёхмерных задач вычислительной томографии для скалярных Радон- и лучевого преобразований для различных схем измерения (параллельной, веерной, конусной).
-
Результаты применения разработанных методов скалярной томографии к исследованию процессов пересоединения магнитных полей в установках типа "сферомак": реконструкция трёхмерного распределения коэффициентов эмиссии, анализ плазменной неустойчивости.
-
Численные методы, алгоритмы и комплекс программ обращения спектральных доплеровских измерений для восстановления одномерных и двумерных векторных полей.
-
Результаты применения разработанных методов к реальным экспериментальным данным: восстановление временной эволюции радиального распределения скорости, восстановление двумерного полоидального поля скоростей в установках типа "сферомак".
-
Полиномиальные методы обращения в задачах трёхмерной векторной томографии с использованием скалярных и векторных сферических гармоник.
Личный вклад автора. Основные постановки задач, разработка методов и комплекса программ, рассматриваемых в диссертации, выполнены лично автором. Результаты, представленные в совместных публикациях, согласованы с
соавторами.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах Института динамики систем и теории управления, на семинаре Института математики им. С.Л. Соболева, на 3-ем Международном симпозиуме по томографии (IWPT-3) - (Токио,2009), на 50-й Годовой конференции американского физического общества (APS) по физике плазмы -(Dallas, США, 2008), на Международном симпозиуме США-Япония "Магнитное пересоединение 2008"- (Okinawa, Япония, 2008), на 5-ом Всемирном конгрессе по индустриальной томографии - (Bergen, Норвегия, 2007), на 4-ом Всемирном конгрессе по индустриальной томографии - (Aizu, Япония, 2005), на 47-ой Годовой конференции американского физического общества (APS) по физике плазмы - (Colorado, США, 2005), на 46-ой Годовой конференция американского физического общества (APS) по физике плазмы - (США, 2004), на Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2004), на Международном симпозиуме по обратным задачам в механике (ISIP 2003)- (Nagano, Япония, 2003), на 44-й Годовая конференция американского физического общества (APS) по физике плазмы - (Флорида, США, 2002), на 42-ой Годовой конференции американского физического общества (APS) по физике плазмы - (Канада, 2000), на Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) - (Новосибирск, 1998), на Конференции японского общества индустриальной и прикладной математики (JSIAM) - (Токийский университет, 1996), на Третьем международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике (ICIAM 95)- (Гамбург, 1995), на Международном симпозиуме " Вычислительная томография для промышленных приложений"- (Берлин, 1994), на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики"-(Новосибирск, 1992), на Симпозиумах по вычислительной томографии (Ташкент, 1989, Москва, 1991, Новосибирск, 1993).
Публикации. Основной материал диссертации опубликован более чем в 50 научных работах, среди которых 17 статей опубликованы в журналах, входящих в перечень рекомендованных ВАК для публикации основных результатов.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, приложения, списка литературы из 175 наименований, списка иллюстраций. Общий объём диссертации составляет 206 страниц, включая 72 рисунка.
