Исследование обратных задач восстановления электромагнитных параметров многосекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе по коэффициентам прохождения или отражения Деревянчук Екатерина Дмитриевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Обратные задачи восстановления электромагнитных параметров односекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе 18

1.1 Прямая задача 18

1.1.1 Постановка и решение прямой задачи 19

1.1.2 Рекуррентные формулы 27

1.1.3 Односекционная диафрагма 31

1.2 Постановка обратных задач 34

1.2.1 Изотропная односекционная диафрагма (класс I) 35

1.2.2 Анизотропная односекционная диафрагма (класс А) 36

1.2.3 Анизотропная многосекционная диафрагма (класс М) 36

1.3 Обратные задачи для изотропной односекцион

ной диафрагмы (класс I)

1.3.1 Восстановление комплексной диэлектрической проницаемости 37

1.3.2 Восстановление вещественной диэлектрической проницаемости и толщины диафрагмы 48

1.3.3 Восстановление комплексной диэлектрической проницаемости тонкой диафрагмы 50

1.4 Обратные задачи для анизотропной односекци онной диафрагмы (класс А) 51

1.4.1 Восстановление тензора диэлектрической проницаемости 51

1.4.2 Восстановление тензора магнитной проницаемости 58

1.4.3 Восстановление тензоров диэлектрической и магнитной проницаемости 63

2 Обратные задачи восстановления электромагнитных параметров многосекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе 66

2.1 Анизотропная многосекционная диафрагма (класс М) 66

2.1.1 Восстановление вещественной диэлектри ческой проницаемости

2.1.2 Восстановление вещественной диэлектрической проницаемости и толщины каждой секции 69

2.1.3 Восстановление комплексной диэлектрической проницаемости 70

2.1.4 Восстановление комплексной диэлектрической проницаемости тонкой многосекционной диафрагмы 75

2.1.5 Восстановление тензора диэлектрической проницаемости 77

3 Численные методы 80

3.1 Алгоритм Левенберга-Марквардта 80

3.2 Выбор начального приближения 82

4 Комплекс программ и численные результаты 84

4.1 Описание комплекса программ 84

4.2 Численные результаты

4.2.1 Обратные задачи класса I 92

4.2.2 Обратные задачи класса А 94

4.2.3 Обратные задачи класса М 96

4.2.4 Сравнение с экспериментом 108

Приложение 1 111

Приложение 2 115

Литература

• Односекционная диафрагма
• Восстановление комплексной диэлектрической проницаемости тонкой диафрагмы
• Восстановление вещественной диэлектрической проницаемости и толщины каждой секции
• Алгоритм Левенберга-Марквардта

Введение к работе

Актуальность работы

С развитием современных технологий и электроники стала актуальной задача определения электромагнитных параметров (анизотропных) образцов нанокомпозитных материалов и сложных наноструктур с различной геометрией . В силу композитного характера материала и неоднородности образца прямое определение его электромагнитных характеристик затруднительно с помощью экспериментальных установок.

Однако возможно использовать методы математического моделирования для определения характеристик образца материала, например, предложенный А. Н. Тихоновым метод регуляризации решения соответствующей обратной задачи . Аналогичные задачи изучались А. Н. Тихоновым, А. В. Тихонравовым, А. Г. Свешниковым, А. С. Ильинским, Д. А. Усановым и другими учеными . Вместе с тем практически не исследованы вопросы разрешимости, единственности решения обратной задачи, реализации и обоснования численных методов для ее решения, особенно

^1_Усанов Д. А., Скрипаль А. В., Романов А. В. Комплексная диэлектрическая проницаемость композитов на основе диэлектрических матриц и входящих в их состав углеродных нано-трубок // ЖТФ. - 2011. - Т. 81, вып. 1. - С. 106-110; Baena J. D., Marques J., Medina F. Near-perfect tunneling and amplification of evanescent electromagnetic waves in a waveguide filled by a metamaterial: Theory and experiment // Physical Review B. - 2005. - Vol. 72, - P. 075116-1-8; Smirnov Yu. G. Inverse boundary value problem for determination of permittivity of a dielectric body in a waveguide using the method of volume singular integral equation // IEEJ. Transactions Fundamentals and Materials. - 2009. - Vol. 129, N. 10. - P. 675-680.

²Гласко В. В., Тихонов А. Н., Тихонравов А. В. О синтезе многослойных покрытий // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1974. - Т. 14. -№ 1. - С. 135-144.

³Свешников А. Г., Тихонравов А. В. Математические методы в задачах анализа и синтеза слоистых сред // Матем. моделирование. - 1989. - Т. 1. -№ 7. - С. 13-38.

в анизотропном случае. Поэтому для решения данной задачи необходимо развивать методы математического моделирования, позволяющие определять искомые характеристики, используя результаты измерений.

Цели диссертационной работы

1. Исследование обратных задач восстановления электромагнитных характеристик многосекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод, по коэффициентам отражения или прохождения.

2. Разработка численных и аналитических методов решения обратных задач восстановления электромагнитных характеристик многосекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод, по коэффициентам отражения или прохождения; исследование разрешимости поставленных задач.

3. Разработка комплекса программ, реализующих численные методы восстановления электромагнитных характеристик многосекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод, по коэффициентам отражения или прохождения.

Методы исследования

Проведенные исследования опираются на методы решения краевых задач для уравнений Максвелла, методы теории функций комплексных переменных, численные методы исследования систем нелинейных уравнений.

Научная новизна

4. Рассмотрены обратные задачи восстановления электромагнитных характеристик многосекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод как обратные задачи электродинамики и впервые исследованы строгими математическими методами.

5. Доказаны теоремы существования и единственности решения обратных задач восстановления электромагнитных характеристик многосекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод.

6. Исследованы аналитические решения в ряде частных случаев обратных задач.

7. Предложены и разработаны численные методы для решения обратных задач, реализованные в виде комплекса программ.

Основные результаты диссертации

1. Проведено исследование обратных задач восстановления электромагнитных параметров многосекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе: получены аналитические формулы решения ряда обратных задач для изотропной и анизотропной односекционной диафрагм, а также аналитические формулы для приближенного решения обратных задач для тонкой односекционной диафрагмы; доказаны теоремы суще-

ствования и единственности решения ряда обратных задач в случае од-носекционной изотропной и анизотропной диафрагм, а также доказаны теоремы существования и единственности решения обратных задач в случае изотропной многосекционной диафрагмы.

2. Предложены и обоснованы численные методы решения постав
ленных обратных задач. Отдельным результатом диссертации является
предложенный метод поворота, с помощью которого были решены об
ратные задачи восстановления электромагнитных параметров односек-
ционной анизотропной диафрагмы.

3. Предложенные численные алгоритмы реализованы в виде комплек
са программ и тестированы на модельных задачах. В работе выполнено
сравнение решений модельных задач с решением задач, в которых ис
пользовались экспериментальные данные.

Теоретическая и практическая значимость

С теоретической точки зрения разработаны методы решения обратных задач восстановления электромагнитных характеристик (диэлектрической или магнитной проницаемости) многосекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод, по коэффициентам прохождения или отражения.

Предложенные в рассматриваемой работе методы могут быть использованы для практического нахождения диэлектрической (магнитной) проницаемости материала.

Метод эффективен и позволяет находить диэлектрическую и магнитную проницаемость.

Обоснованность и достоверность результатов

Представленные в диссертации результаты имеют строгое математическое обоснование; численный метод обоснован и тестирован на модельных задачах; проведено сравнение с экспериментом.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на конференциях и семинарах:

международном семинаре «Workshop on Large-Scale Modeling» (г. Сунна, Швеция, 2012);

международных симпозиумах «Progress in Electromagnetic Research Symposium» (PIERS) (г. Москва, Россия, 2009; г. Москва, Россия, 2012; г. Тайбей, Тайвань, март 2013; г. Стокгольм, Швеция, август 2013; г. Гуанчжоу, Китай, август 2014);

международных конференциях «Days on Diffraction» (г. Санкт-Петербург, Россия, май 2013, май 2014 и май 2015);

международной конференции «Donosita International Conference on Nanoscaled Magnetism and Applications» (г. Сан-Себастьян, Испания, сентябрь 2013);

международном семинаре «16th Seminar Computer Modeling in Microwave Power Engineering: Multiphysics Models and Material Properties» (г. Карлсруэ, Германия, май 2014);

57-й научной конференции МФТИ (г. Долгопрудный, Россия, ноябрь 2014).

Результаты, полученные в диссертации, включены в отчеты грантов РНФ № 14-11-00344, Госзадания РФ № 2.11.02.2014/К (проектная часть), программы Visby (2011-2013, Швеция). Работы автора по теме диссертации поддержаны стипендией Президента РФ для молодых ученых и аспирантов № СП-1311.2015.5.

Личный вклад автора

Постановка задачи принадлежит профессору, доктору физико-математических наук Смирнову Ю. Г.

Экспериментальные данные, с которыми проводилось сравнение численных результатов, были предоставлены профессором, доктором физико-математических наук Шестопаловым Ю. В.

Результаты, изложенные в главах 1-3, получены автором самостоятельно:

исследование задачи восстановления диэлектрической проницаемости многосекционной диафрагмы по коэффициенту прохождения (или по коэффициенту отражения);

формулировка и доказательство теоремы о существовании решения обратной задачи, записанного в явном виде, в случае односекционной диафрагмы;

исследование задачи восстановления диэлектрической проницаемости тонкой многосекционной диафрагмы по коэффициенту прохождения;

приближенные формулы решения обратной задачи восстановления диэлектрической проницаемости в случае тонкой односекционной диафрагмы.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 17 работах, в том числе 12 - в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации

Односекционная диафрагма

Пункт 1.1 посвящен задаче дифракции электромагнитной волны на многосекционной магнитно-диэлектрической анизотропной диафрагме в прямоугольном волноводе. Результаты решения прямой задачи описаны в частности в [37, 83]. В данном пункте эти результаты записаны в более удобном виде и используются в диссертации в том числе и для решения обратных задач.

Рассмотрим волновод Р := {х : 0 х\ а, 0 Х2 Ь, — оо Жз оо} с идеально проводящими стенками дР: расположенный в декартовой системе координат Oxyz . В волновод помещена многосекционная диафрагма Q := {(x,y,z) : 0 х а, 0 у 6,0 z 1} с секциями здесь Ij — lj_i - (известная) толщина j-той секции и IQ = 0, ln = I, I -полная длина диафрагмы. В P\Q среда изотропна и однородна с проницаемостями єо 0, /ІО 0, UQ = ш2eofio, ко - волновое число, ш 0 - круговая частота. Секция Qj заполнена анизотропной средой, характеризующаяся диагональным тензором магнитной проницаемости: /J (UJ) и диагональным тензором диэлектрической проницаемости:

В дальнейшем мы будем опускать индексы j, а также зависимость от частоты для краткости записи.

Электромагнитное поле Е, Н внутри волновода удовлетворяет уравнениям Максвелла: внутри диафрагмы, где Е - вектор напряженности электрического поля, Н - вектор напряженности магнитного поля, си 0 - круговая частота. Будем предполагать, что волновое число ко удовлетворяет неравенству 7г/а ко тг/Ь. В этом случае в волноводе будет распространяться только волна і ю, т.е. волновод работает в одномодовом режиме [1, 12, 20]; при этом высшие моды экспоненциально затухают. Представленное ниже решение является точным и не содержит затухающих мод.

Будем использовать систему СГС. Тогда круговая частота си измеряется в ГГц = 109 [сек-1]. Ниже представлены формулы, которые связывают между собой круговую частоту о;, линейную частоту / и волновое число ко . что соответствует волне типа Ню с известной амплитудой А: где 7о = 7о( ) 7 О, 7о постоянная распространения волны Ню, е2 - орт вдоль оси Оу. Вектор Н определяется из второго уравнения системы (1.3).

В прямоугольном волноводе основной волной является волна Ню, которая имеет поляризацию [1]: где Cj и Dj - константы, которые определяются ниже. Здесь 7n+i = 7о , А - амплитуда падающей волны, В /А и F /А - коэффициенты отражения и прохождения, подлежащие измерению. в ,Dl tD2 С з Ал Ц, ом=о - скачок предельных значений функции на границе раздела сред L, то есть: Ег и ii/r (j = 1,2,..., n)- тангенциальные составляющие векторов Е, Н соответственно. В силу поляризации (1.5) тангенциальными составляющими векторов Е, Н являются Ет = Еу Лт = Нх. Тогда граничные условия примут вид: вычисляются по формулам (1.10) и (1.12) соответственно. Система уравнений (1.14) относительно неизвестных , Cj: Dj представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, которую можно решить любым известным методом решения систем линейных алгебраических уравнений.

Постановка прямой задачи: требуется по известной амплитуде А падающего поля, известным диагональным тензорам магнитной р, и диэлектрической проницаемостям и известным длинам lj каждой секции диафрагмы найти электромагнитное поле в волноводе, т.е. решить систему (1.3) и (1.4) с поляризацией (1.5) и с условиями сопряжения (1.8).

В следующих пунктах рассмотрены обратные задачи восстановления диэлектрической (или магнитной) проницаемости по коэффициенту прохождения F/A или по коэффициенту В/А. С этой целью найдем зависимость коэффициента прохождения F/A (коэффициента отражения В /А) от компонент диагональных тензоров магнитной проницаемости р \ диэлектрической проницаемости є и длин L. 1.1.2 Рекуррентные формулы

Рассмотрим формулы (1.10) и (1.15)-(1.19). Поскольку компоненты тензоров магнитной проницаемости и диэлектрической проницаемости є входят в 7j, то необходимо найти зависимость коэффициента прохождения F/A (коэффициента отражения В/А) от коэффициентов 7j (l j n).

Следующее утверждение является следствием Предложения 1.1, доказанного в предыдущем подпункте.

Следствие 1.1. Выражение (1.15) для коэффициента F эквивалентно следующим рекуррентным формулам: Тогда решение прямой задачи имеет вид (1.6); (1.7); г е коэффициенты F, Cj, Dj (j = 1,...,п), В вычисляются по формулам: (1.16)-(1.19); (1.25).

Доказательство. Рассмотрим формулы (1.15)-(1.19), по которым вычисляются коэффициенты F, Cj, Dj (j = 1,...,п) и В. Для того, чтобы найти зависимость коэффициента прохождения F/A от 7j, выразим коэффициент Л через С і и L 2 (формула (1.21)). Используя формулы (1.23),

Восстановление комплексной диэлектрической проницаемости тонкой диафрагмы

Таким образом, если 71 удовлетворяет соотношению (1.77), 71 1 " тгп и в —1, то обратная задача имеет единственное решение (1.76). Выражая е\ через 7ь имеем явное выражение (1.71) для є\. П Рассмотрим теперь обратные задачи восстановления комплексной диэлектрической проницаемости є = є +іє" односекционной диафрагмы по коэффициенту прохождения F/A ( задача Рєс) или по коэффициенту отражения ( задача Qf). Примером среды, имеющей комплексную диэлектрическую проницаемость, являются диэлектрики с потерями. Мнимая часть є" комплексной проницаемости є отвечает за потери и называется коэффициентом потерь [23].

В отличие от рассмотренных в предыдущем случае задач получить явное решение обратных задач Рєс и Qf в случае комплексного є не удается.

Рассмотрим сначала обратную задачу Р . Будем предполагать, что магнитная проницаемость диафрагмы и магнитная проницаемость вне диафагмы совпадают, т.е /ІО = Мі- Тогда выражения (1.41), (1.43) будут иметь вид (1.48) - (1.50). Решая уравнение (1.48) численным методом решения нелинейных уравнений относительно неизвестного г, находим т. Выражая е\ из формулы (1.50), получим:

Тогда, подставляя найденное значение г в уравнение (1.78), находим значение комплексной диэлектрической проницаемости Є\. В случае обратной задачи Qf выражения (1.42)-(1.43) будут иметь вид (1.69), (1.49) - (1.50). Решая уравнение (1.69) численным методом решения нелинейных уравнений относительно неизвестного т, находим т. Подставляя найденное значение г в уравнение (1.78), находим значение комплексной диэлектрической проницаемости Єї.

Таким образом, решение обратных задач Рєс (Qf) в случае комплексного Єї сводятся к решению соотвествующего нелинейного уравнения.

В данном пункте рассмотрены задачи восстановления вещественной диэлектрической проницаемости и толщины односекционной диафрагмы по коэффициенту прохождения F/A (задача PeR t ) и по коэффициенту отражения В/А (задача Qf t ). Показано, что в случае обратной задачи восстановления диэлектрической проницаемости и длины по коэффициенту отражения (Qf / ) решение может быть представлено в явном виде. Рассмотрим задачу PeR t .

Рассмотрим уравнение (1.48), которое является комлексным нелинейным уравнением с двумя действительными неизвестными: диэлектриче-кой проницаемостью Єї и длиной її. Решая его численным методом решения нелинейных уравнений относительно переменных г и /і и с учетом формулы (1.50), находим Єї и її.

Доказательство. В п.1.3 была доказана справедливость формулы (1.71) в случае вещественного е. Докажем вторую часть теоремы.

Будем предполагать, что магнитная проницаемость диафрагмы и магнитная проницаемость вне диафагмы совпадают, т.е /ІО = Мі- В п. 1.3 было показано, что в случае вещественного є уравнение зависимости коэффициента отражения В /А от диэлектрической проницаемости и длины эквивалентно системе (1.73):

Подставляя выражение (1.71) для диэлектрической проницаемости в первое уравнение системы, получим: Таким образом, из системы (1.73) мы однозначно восстанавливаем диэлектрическую проницаемость Єї и с периодом Т = 7г/7і определяем толщину диафрагмы 1\. Если известен интервал {l\ \l\ ) значений толщин такой, что Т In n I 2Т и которому принадлежит искомая толщина /і, то толщина /і восстанавливается однозначно. Таким образом, в данной пункте представлены решения обратных задач PeR l (Qf / ), в случае обратной задачи Qf 1 показано, что решение может быть представлено в явном виде.

В данном пункте рассмотрены обратные задачи восстановления комплексной диэлектрической проницаемости тонкой диафрагмы по коэффициенту прохождения (задача P (h 1)) или п0 коэффициенту отражения В/A (Qf(h !)) Под "тонкой"диафрагмой понимается диафрагма, у которой толщина її « 1, т.е толщина диафрагмы во много раз меньше высоты и ширины диафрагмы. Ниже будет показано, что при її 1 решение задачи может быть записано в явном виде.

Восстановление вещественной диэлектрической проницаемости и толщины каждой секции

Сформулируем обратную задачу Qf, для n-секционной диафрагмы в следующей форме. Рассмотрим п различных частот Q = (ш\,... }шп) и функции G- (h) := G (h,uij), j = 1,... ,n. Необходимо найти решение нелинейной системы из п уравнений относительно неизвестных

Gf(h) = Hf\ Н = нЮ(ч), J = l,...,n. (2.16) Теорема 2.4. (Теорема существования и единственности решения обратной задачи Qf). Если (2.16) выполняется при h=h , и d(G{B) G{B) СІВ)Ч) если якобиан L "" Г Ф 0 в точке h , тогда функция G B (h) локально обратима в окрестности точки h , и обратная задача имеет единственное решение для каждого h из этой окрестности.

Замечание 2.1. Условия неравества нулю якобиана в Теоремах 2.3 и 2.4 можно проверить численно. Таким образом, Теорема 2.3 и Теорема 2.4 показывают возможность корректного решения рассматриваемых задач.

Восстановление комплексной диэлектрической проницаемости тонкой многосекционной диафрагмы

В данном пункте рассмотрены обратные задачи восстановления комплексной диэлектрической проницаемости тонкой многосекционной диафрагмы по коэффициенту прохождения (задача P .ilj 1)) или п0 к0 эффициенту отражения В/А (Qf.(h !)) Под "тонкой"многосекционной диафрагмой понимается диафрагма, у которой толщина lj С 1, j = 1,п, т.е толщина каждой секции диафрагмы во много раз меньше высоты и ширины диафрагмы. Рассмотрим обратную задачу P .(h !)

Коэффициент прохождения F/A известен из эксперимента. Рассмотрим задачу P .ilj С 1. Решение данной задачи так же, как и решение задачи Р.: рассмотренной в предыдущем пункте, сводится к решению системы нелинейных уравнений (2.4). Отличие состоит в том, что рекуррентые соотношения (2.2) для р- \q- имеют следующий вид при малых значениях толщин каждой секции диафрагмы (lj С l,j =

Таким образом, в случае тонкой многосекционной диафрагмы, решение обратной задачи сводится к решению следующей системы уравнений: Решая полученную систему методом Левенберга-Марквардта, находим искомые комплексные диэлектрические проницаемости каждой секции многосекционной диафрагмы.

Решение обратной задачи Qf.(h 1 сводится к решению системы уравнений (2.7). Отличие состоит в том, что рекуррентые соотношения (2.DJ для г- ,(Г- имеют следующий вид при малых значениях толщин каждой секции диафрагмы (lj С 1, j = 1, п):

Решая систему (2.20) методом Левенберга-Марквардта, находим искомые комплексные диэлектрические проницаемости каждой секции многосекционной диафрагмы.

В данном пункте представлена задача Р . Будем предполагать, что диафрагма Q разделена на п секций, каждая из которых представляет собой анизотропную среду с известным диагональным тензором магнитной проницаемости (1.1) и с диагональным тензором диэлектрической проницаемости в каждой секции диафрагмы:

Здесь Обратная задача Рєс состоит в том, чтобы найти все компоненты диагонального диэлектрического тензора е каждой секции диафрагмы по известному коэффициенту прохождения F/А.

Для тензоров (2.21) справедлива следующая формула зависимости коэффициента F/А от компонент диэлектрических и магнитных тензоров: Таким образом, (2.22) представляет собой комплексное уравнение с п комплексными неизвестными є22 (k ) или с 2п действительными неиз-вестными 22 , о"2 . Из уравнения (2.22) при п различных частотах UJS (s = 1,... , 2п), получаем следующую систему уравнений: F А [со я 2П j=0 п TnK) (+) /., л _,_ тоК) (+) л Ми u решая которую методом Левенберга-Макрвардта, находим все неизвест (Я J ) ные Для того, чтобы найти остальные компоненты диагонального тензора є \ рассмотрим поворот диафрагмы на угол (р = тт/2 относительно оси Oz: которому соответствует матрица:

Алгоритм Левенберга-Марквардта

Параметры волновода а = 2 см, b = 1 см, длины секций диафрагмы 1\ = 1.2 см, hi = 1.5 см и /2 = 1-9 см; частоты f\ = 11.94 ГГц, /2 = 8.12 ГГц и /з = 9.55 ГГц. В первом столбце - значения коэффициента отражения В /Л, во втором и третьем столбцах - вычисленные значения действительной и мнимой части диэлектрической проницаемости каждой секции диафрагмы соответственно, в четвертом столбце - точные значения комплексной диэлектрической проницаемости.

Численные результаты решения обратных задач в случае анизотропной двухсекционной диафрагмы

Гассмотрим численные результаты решения обратной задачи Р в случае двухсекционной диафрагмы на двух примерах.

Гассмотрим первый пример решения обратной задачи для анизотропной двухсекционной диафрагмы.

Предполагается, что параметры волновода: а = 2 см, 6=1 см, длина первой секции диафрагмы /і = 0.5 см, длина второй секции 12 = 1 см; частоты / = 11.93 ГГц, / = 8.12 ГГц, которые соответствуют значениям круговых частот (ш\ = 75.02 ГГц и UJ2 = 51.02 ГГц,бо = 27г/). Амплитуда падающей волны А = 1, тензоры магнитной проницаемости каждой секции диафрагмы имеют вид:

Вычисленные значения є Точные значения є (wi) = -0.3868 - г0.31049, (ш2) = 0.1618-г0.1429, М = —0.512 + г0.1588, (ш2) = 0.0843 -г0.125 Аз о о \0 28 0у 0 0 28уЛі.6 00 9.4v 0 0 9 о\0 Аз 0 0 \0 28 0у 0 0 28уЛі.6 00 9.4v 0 0 9 о\0ч В первом столбце представлены значения коэффициента прохождения F/A до поворота (F /A) и после поворота (F /A) на двух частотах бо 1, бо 2; во втором столбце представлены вычисленные значения тензора диэлектрической проницаемости; в третьем столбце точные значения диэлектрической проницаемости.

Гассмотрим второй пример для комлексного случая. Предполагается, что параметры волновода: а = 2 см, 6=1 см, длина первой секции диафрагмы l\ = 0.5 см, длина второй секции 1 = 1 см; частоты / = 11.93 ГГц, / = 8.12 ГГц, которые соответствуют значениям круговых частот (бо і = 75.02 ГГц и бо 2 = 51.02 ГГц,бо = 2nf). Амплитуда падающей волны А = 1, тензоры магнитной проницаемости каждой секции диафрагмы имеют вид:

Относительная погрешность вычислений не превышает о/о. Были рассмотрены вопросы устойчивости приближенных решений обратных задач предложенным численным методом. Для этого в в значения F/A (или В/А) вносилась погрешность 6 (порядка 10 5-10-1) и находились параметры диафрагмы (SJ: fij или Ц в зависимости от типа задачи). Вычисления проводились на различных частотах для образцов многосекционной диафрагмы для различных параметров.

В таблице 4.17 в первом стоблце записаны значения вносимой погрешности коэффициента прохождения F/A, во втором столбце вычисленные значения диэлектрических проницаемостей є\, Є2 двухсекционной диафрагмы, в третьем - точные значения диэлектрических проницаемостей каждой секции диафрагмы. При этом параметры волновода принимают значения: широта а = 2 см, высота Ъ = 1 см и толщины секций-/і = 0.5, /і = 0.8. Значения круговой частоты, на которых определяются значения коэффициента прохождения F/A: со = 75.0212 ГГц, со і = 51.0195 ГГц (со = 2тг/).

В таблице 4.18 в первом стоблце записаны значения вносимой погрешности коэффициента отражения В /А: во втором столбце вычисленные значения диэлектрических проницаемостей є\, є2 двухсекционной диафрагмы, в третьем столбце - вычисленные значения толщин /і, І2 двухсекционной диафрагмы, в четвертом и пятом столбцах - точные значения диэлектрических проницаемостей и толщин каждой секции диафрагмы. При этом параметры волновода принимают значения: широта а = 2.286 см, высота Ъ = 1.02 см. Значения круговой частоты, на которых определяются значения коэффициента прохождения В/А: иі\ = 75.0212 ГГц, и2 = 51.0195 ГГц (и = 2тг/).

В таблице 4.19 в первом стоблце записаны значения вносимой погрешности коэффициента прохождения F/A, во втором столбце вычисленные значения диэлектрических проницаемостей є\, Є2,з трехсекционной диафрагмы, в третьем столбце - точные значения диэлектрических проницаемостей каждой секции диафрагмы. При этом параметры волновода принимают значения: широта а = 2 см, высота Ъ = 1 см и толщины каждой секции 1.2 см, 0.3 см, 0.4 см. Значения круговой частоты, на которых определяются значения коэффициента прохождения F/A: иі\ = 75.0212 ГГц, и2 = 51.0195 ГГц и w3 = 60.0044(w = 2тг/).