Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Численное моделирование перемещений прямоугольных мембран при итерационных факторизациях на продолжениях 29
1.1. Математические модели перемещений прямоугольных мембран 30
1.2. Математические модели перемещений прямоугольных мембран в дискретном виде 32
1.3. Продолжения в дискретных моделях для прямоугольных мембран при построении численных методов 33
1.4. Численные методы итерационных факторизаций для прямоугольных мембран 35
1.5. Алгоритмы для программ вычислений перемещений прямоугольных мембран при итерационных факторизациях на продолжениях 40
1.6. Эксперименты по программе вычислений перемещений прямоугольной мембраны 42
Глава 2. Приближенное аналитическое и численное моделирования перемещений прямоугольной пластины 46
2.1. Математические модели перемещений прямоугольной пластины 46
2.2. Приближенный аналитический метод итерационных факторизаций для прямоугольной пластины 49
2.3. Математическая модель перемещений прямоугольной пластины в дискретном виде 52
2.4. Численный метод итерационных факторизаций для прямоугольной пластины 54
2.5. Алгоритм для программы вычислений перемещений прямоугольной пластины при итерационных факторизациях 61
2.6. Эксперименты по программе вычислений перемещений прямоугольной пластины 62
Глава 3. Численное моделирование перемещений прямоугольной пластины при итерационных факторизациях на продолжении 63
3.1. Математические модели перемещений прямоугольной пластины для применения продолжения 63
3.2. Математическая модель перемещений прямоугольной пластины в дискретном виде для применения продолжения 66
3.3. Продолжение в дискретной модели для прямоугольной пластины при построении численного метода 67
3.4. Численный метод итерационных факторизаций для прямоуголь ной пластины на продолжении 68
3.5. Алгоритм для программы вычислений перемещений прямоугольной пластины при итерационных факторизациях на продолжении 73
3.6. Вычисления перемещений прямоугольной пластины 74
Глава 4. Приближенное аналитическое и численное моделирования перемещений пластин на продолжениях 77
4.1. Математические модели перемещений пластин 78
4.2. Приближенные аналитические модифицированные методы фиктивных компонент для пластин 81
4.3. Численные модифицированные методы фиктивных компонент для пластин 94
4.4. Алгоритмы для программ вычислений перемещений пластин на продолжениях 98 Заключение 101
Список литературы
- Продолжения в дискретных моделях для прямоугольных мембран при построении численных методов
- Приближенный аналитический метод итерационных факторизаций для прямоугольной пластины
- Математическая модель перемещений прямоугольной пластины в дискретном виде для применения продолжения
- Приближенные аналитические модифицированные методы фиктивных компонент для пластин
Продолжения в дискретных моделях для прямоугольных мембран при построении численных методов
Данная глава посвящается математическому моделированию перемещений прямоугольных мембран без упругого основания и на упругом основании, при специально выбранных краевых условиях с применением фиктивных продолжений. Рассматриваются эллиптические дифференциальные уравнения второго порядка в прямоугольной области со сторонами параллельными осям координат. При этом на двух смежных сторонах прямоугольной области задано главное краевое условие, а на двух других сторонах выполняется естественное краевое условие. При достаточно гладких данных, гладких решениях эти дифференциальные уравнения сводятся к уравнению Пуассона, экранированному уравнению Пуассона. Для разностных аналогов этих уравнений в виде систем линейных алгебраических уравнений приводится факторизованный переобуславливатель попеременно треугольного вида при модификациях [101]. Эта методика в некотором смысле аналогична модификации метода фиктивных компонент, предложенной и изучаемой в [98]. Хотя в предлагаемых методах используются комплексные числа, а в методах фиктивных компонент они не применяются. Дискретные задачи такого вида могут быть также, и получены в методе типа фиктивных компонент при решении более сложных задач в [52, 98]. Решаемые в работе разностные уравнения получаются и при численном решении эллиптического дифференциального уравнения уже четвертого порядка в [102]. Из линейной теории изгибания мембран, используя, например, [60] энергии двух деформированных прямоугольных мембран каждая из которых закреплена на двух смежных сторонах могут быть записаны в следующем виде: Ёа(йа) = — Та \{й2ах + й2 )dQ. + — \Kau 2 dQ.- \PauadQ., а = 1, 2, где a = 1 соответствует отсутствию упругого основания, а = 2 его наличию, Ра давления, Ка - коэффициенты жёсткости упругих оснований К2 Кх = 0, Та -коэффициенты натяжения мембран, Q. = (0;bl)x(0;b2)- плоская область, йа-искомые перемещения. Если приравнять к нулю вариации энергий $Ёа (йа) = fa \{uaxvax + uayvay)dQ. + JKauavadn - jPavadQ = 0, Q Q Q где va = 8йа, то, при ка = Ka /Ta , fa=Pa /Ta получается, что (й v +й v +к й v )dQ = \ f v dQ. \\ ax ax ay ay a a a \ a a Q Q После интегрирования по частям устанавливается а а а а 1 J у J аУа Q s Q где dfl = J, s = Tl [jT2,Tl = {bl}x(0;b2)\J(0;bl)x{b2},T2 = {0}x(0;62)U(0;61)x{0},« внешняя нормаль к dQ., и а = 0, г2= Г, — сп Таким образом, получаются задачи при смешанных краевых условиях, а именно при главных и естественных краевых условиях г2 Айа + кайа = /а, иа г = 0, —- = 0, а = 1, 2. 1 дп Рассматриваются математические модели перемещений прямоугольных мембран в вариационном виде.
Это две вариационные задачи, обобщённые математические модели перемещений двух прямоугольных мембран без упругого основания а = 1 и на упругом основании а = 2 при смешанных краевых условиях Wa\Aa(ua,v) = ga(v)Vv&Wa, gaeK, (1.1.1) где Соболевские пространства функций К = Wa{Q) = va є W2\Q): vari = oj на прямоугольной области Q. = (0;bl)x(0;b2), с Tl ={Z?1}x(0;Z?2)U(0;Z)1)xZ)2}, билинейные формы А (й ,v )=\(й v +й v + к й v )dCl а\ а а / IV ах ах а а a a a Q и заданны константы Z?l5 b2 0, 2 кх = 0. Заметим, основываясь на [59, 60, 71], что решение каждой задачи из (1.1.1) существует и единственно. Если ga(v)= \favdQ, Г2 = {0}x(0; 2)U(0; 1)x0}, Q где fa - заданные, йа - искомые достаточно гладкие функции, то задачи из (1.1.1) представляются, как и ранее в следующем виде -Айа + кайа = /а, йа г = 0, —- г = 0, а = 1, 2, (1.1.2) 1 дп 2 где, как и ранее Я - внешняя нормаль к дО.. Можно отметить, что в (1.1.2) уравнения с точностью до знака совпадают с уравнением Пуассона, когда а = 1, экранированным уравнением Пуассона, когда а = 2. 1.2. Математические модели перемещений прямоугольных мембран в дискретном виде Рассматриваются СЛА У - системы линейных алгебраических уравнений, получающиеся при дискретизации задач из (1.1.1), (1.1.2) на основе метода сумматорных тождеств, численные модели перемещений прямоугольных мембран без упругого основания а = 1 и на упругом основании а = 2 при смешанных краевых условиях 1їаєШм: Ааїїа=/а,/аєШм, (1-2.1) где, вообще говоря, векторы таковы va є1№: va ={val,...,vaN) , N = m-n, m, WGN, при этом считается, что Vam(i-\)+j=Vaij- i = h---,m, І = \----,П-, a vaij являются значениями функций дискретных аргументов соответствующих узлам сетки (хг ,yj) = ((/ - 0,5)f\, (j - О,5)h2), шаги сетки hx = bx l(m + 0,5), h2 = b2 l(n + 0,5), состоящей из указанных выше узлов, а матрицы Аа размерности NxN, определяются следующим образом: т п + (Ua,i,j+l иа,г,№ ,г,]+1 "a l + KaUaj,?a ,j М» Uain+\=Vain+\=- i = h---,m, Uam+\j=Vam+\j=- І=\-- П Здесь (,) - скалярное произведение векторов следующего вида N {Ua Va) = CT,UakVak)KK Ма УаЄ к=\ Если функции fa непрерывны в области Q, то возможно положить faij=fa(xi,yj), i = \,...,m, j = \,...,п. Решение каждой задачи из (1.2.1) существует и единственно, т.к. Аа 0, а=1, 2, т.е. возникающие матрицы положительно определенные.
Можно отметить, что при достаточной гладкости решений задач из (1.1.2) они аппроксимируются соответствующими решениями задач из (1.2.1), как обычно в таких случаях, со вторым порядком. Можно сразу сказать, что выбор используемой сетки с соответствующими сдвигами у частей границы с естественным краевым условием удобен при совместном рассмотрении в дальнейшем уравнений второго и четвёртого порядков при условиях симметрии на это части границы у последних уравнений. Отметим, что при аппроксимации рассматриваемых задач используется обычный в таких случаях пятиточечный шаблон. Приведем значения ненулевых коэффициентов используемых разностных схем в узлах стандартного шаблона: j -1 j 7 + 1 i-1 -1h12 І -1/?2 2/h12 + 2/h22 -1/ 2 І + 1 -1/?12 Таким образом, ненулевые элементы возникающих матриц Аа а = 1,2 получаются из обычно используемых разностных схем уже с учетом заданных краевых условий.
Приближенный аналитический метод итерационных факторизаций для прямоугольной пластины
Из линейной теории изгибания пластин на упругом основании, используя, например, [36, 60] энергия деформированной прямоугольной пластины, у которой на двух смежных сторонах однородные условия шарнирного опирання, а на двух других сторонах однородные условия симметрии, может быть записана в виде: 1 1 W-N Х тЧГ / Л 2 7 -4 Х Г т 2 7 -4 Г - 7 -4 Е(и) = — D\ (Дм) dil + — Ки dil- \PudLl, J J J Q где P - давление, К- коэффициент жёсткости упругого основания (К = 0 в случае отсутствия упругого основания), D = Eh 3/(\2(\- j2)) - цилиндрическая жёсткость пластины, h - толщина пластины, Е - модуль Юнга (модуль растяжения), тє(0;1) - коэффициент Пуассона, Q. = (0;bl)x(0;b2) - плоская область, и - искомое перемещение. Если приравнять к нулю вариацию энергии 8Ё(и) = D \AuAvdQ. + \KuvdQ. - \PvdQ. = 0, Q где v = 8й, то, при а = K/D, f = P/D получается, что [(AMAV + auv)dQ. = \JvdQ.. Q Q Используем вторую формулу Грина Г Г— г dv dw wAvdQ = AwvdQ + \(w -v —z)ds. J J J г? Q Q s После интегрирования по частям устанавливается дп \ (А2й + au)vdQ. + lAU ds- \——vds= \fvdQ., дп Q Q где dfl = s, s = Tl \JT2,T1 = {bl}x(0;b2){J(0;bl)xb2},T2 = {0}x(0;b2){J(0;bl)x{0},n внешняя нормаль к dQ., дАй = 0. и Аи г2 г2 =0, Г] дп Г, / on Таким образом, получается задача при смешанных краевых условиях, а именно при однородных условиях шарнирного опирання и симметрии. А2й + ай = f, и Г] Аи Г] =0, — дп г дАй дп г2 = 0. Рассматривается математическая модель перемещений прямоугольной пластины в вариационном виде. Это вариационная задача, обобщённая математическая модель перемещений прямоугольной пластины на упругом основании при смешанных краевых условиях йє: Л(й,у) = g(v) Vv eV, geV , (2.1.1) где соболевское пространство функций V = V(Q) = \ v є W2{Q): vl = О, на области Q = (0; ) х (0;Ь2), с границей SQ = s, =,1 Ur2, Tl = {Z)1}x(0;Z)2)U(0;Z)1)xZ)2}, Г2 = {0}x(0;Z?2)U(0;Z)1)x0}, Я внешняя нормаль к дО., билинейная форма А(й, v) = J(OAMAV + (1 - crXuJ + Ій + uyyvyy) + auv)dQ., Q при этом a = ax на области Q.x, a = a2 на Q \ Сїх, области С1Х, Q2: Q = Qi U b, Qj П 2 = 0, dQj П SQ2 0, заданы константы, т є (0;1), bv,b2 є (0;+оо), аг,а2 є[0;+оо). Можно отметить [59, 60], что Зс,,с, є 0;+co: c, v A(v,v) cJv VveK, 1 z V / l Iff 2 (Q) z І№2 (Q) а, следовательно, решение задачи (2.1.1) существует и единственно [59, 60]. Если f - заданная, й- искомая достаточно гладкие функции и g(v) = (f,v I, где (f,v)= \fvdQ., Q то из задачи (2.1.1), как и ранее получается эллиптическое уравнение четвертого порядка при смешанных и однородных краевых условиях л 2- у- л дй дАй дп А и+аи= j , и г = Аи г=0, г =—— г =0 . (2.1.2) дп 2.2. Приближенный аналитический метод итерационных факторизаций для прямоугольной пластины
Основываясь, например, на [67] можно сформулировать следующее утверждение, которое будет использоваться в дальнейшем. Утверждение 2.2.1. Если рассмотреть спектральную задачу дфi \j : -Щ.j=\jФи Pu г =, г =, Фи 0, i,j Г2 ij Г] дn то находятся методом разделения переменных её собственные числа и функции соответственно (2i-\)2тг2 (2j-\)27г2 (2i-\)яx (2j-Х)лy Я. = -. v— , (О =ci cos cos =;, i,j AL AL i,j ,j Л 4b 4b, 2b 2bn 12 12 т т л л ТІ2 ТІ2 cijєК, i,j єМ, при этом 0 гшпЯi=Л11 =bj-\-bj, supAij=+oo. Введём билинейную форму M(u,v) = jMAvdo, u,veV. Q Утверждение 2.2.2. Имеют место неравенства fjM(v,v) A(v,v) f2M(v,v) \/v єV, YX = 1, f2 = (ЯД +a2) kfx {ax a2). Доказательство. Выполняется, что j— = Y\ vт її = SUP 2 = 2 i,j Яi j M(v,v) i, Л,j Лд Введём нормы v zz л/JVi( v v ) v V — \1 IY\ v v ) м v » v
Предлагается итерационный процесс, метод приближённого вычисления перемещений прямоугольной пластины на упругом основании при смешанных краевых условиях на непрерывном уровне: u k є V : М(u k -u k \v) = k(A(u k \v)-g(v)) VveV, (2.2.1) тk=т = 2/(f1 + f2) = 2Я1 2 1 /(2Я1 2 1 + a2), k є N \/u є V (a a2). Теорема 2.2.1. Для итерационного процесса из (2.2.1) имеют место оценки: где относительная ошибка сходимости uk к решению u следующая є = q k = ((f2 - У]) I {f2 + fi)) = {aiJQ-Kx + a2)) , k GN (al a2). Доказательство. Введём оператор R из V в V: M(Ru,v) = Л(u,v), Vu,v єV. Так как f1M(v,v) A(v,v) f2M(v,v), то ylM(v,v) M(Rv,v) y2M(v,v), т.е. yI R y2I. R- ограниченный и симметричный оператор. Заметим, что А(R u ,v) = M(u,v). Пусть u k =u + y/k , keNU{0}, тогда из итерационного процесса имеем k т;k-1 k-1 k-1 іт;k т;k_1 М(і// —і// ,v) = — тkА(у/ ,v) и Л(R (і// —І// ),v) = — тkА(і// ,v), отсюда k-\ R(Г -Г) = - V ,=(I-?kRW Пусть Tk=I - TkR, тогда можно перейти к доказательству первого неравенства. h(\j/\\j/k) = А(T kу/k-\T kу/k-1) sup{A(Tkip,Tkij/)/A(y/,ij/))A(ij/k-\ij/k-1) =
Производится дискретизация задачи из (2.1.1) по методу конечных элементов на параболических восполнениях [59], рассматривается вариационно-разностная модель перемещений прямоугольной пластины на упругом основании при смешанных краевых условиях: uєVсV: A(u,v) = g(v) \/v eV V. (2.3.1)
Рассматриваются СЛАУ- система линейных алгебраических уравнений соответствующая задаче из (2.3.1), численная модель перемещений прямоугольной пластины на упругом основании при смешанных краевых условиях: їїeMN: Аїї = g, g eMN, (2.3.2) где v eMN: v=(vl,...,vN) , N = m-n, m, /iN,a vn(i-\)+J =vi j = 1,...,7W, J = \---,n, и v. . являются значениями функций дискретных аргументов соответствующих узлам сетки (х. ,yj) = ((/ - 0,5)f\, (j - О,5)h2), шаги сетки hx = bx l(m + 0,5), h2 = b2 l(n + 0,5), состоящей из указанных выше узлов, а матрицы Л размерности NxN, определяются следующим образом: -z2 + 3z-\,5, ze[l;2], 0,5z2 -3z + 4,5, ге [2;3], (z) = 0, z (0;3), E(-) - функция целая часть числа, компоненты вектора g определяются следующим образом g„(i-\)+j = Sij = K1h21g( J (Х У)) І = 1,--;т, j = \--;n, т.е. \g,v) = g(v) VveF, Отметим, что решение задачи из (2.3.2), как и из (2.3.1) существует, единственно и известны оценки типа [59]:
Математическая модель перемещений прямоугольной пластины в дискретном виде для применения продолжения
Глава посвящается математическому моделированию перемещений прямоугольной пластины при наличии упругого основания с применением фиктивного продолжения. Рассматривается эллиптическое дифференциальное уравнение четвёртого порядка в прямоугольнике со сторонами параллельными осям координат, на двух смежных сторонах прямоугольника однородные условия шарнирного опирания, а на двух других сторонах однородные условия симметрии. Для дискретного аналога этого уравнения в виде системы линейных алгебраических уравнений приводится факторизованный переобуславливатель квадратно попеременно треугольного вида. Исходная задача может быть получена в методах типа фиктивных компонент при решении эллиптических дифференциальных уравнений четвёртого порядка в плоских областях достаточно произвольного вида при однородных главных или естественных краевых условиях.
Из линейной теории изгибания пластин на упругом основании, используя, например, [36, 60] энергия деформированной прямоугольной пластины, у которой на двух смежных сторонах однородные условия шарнирного опирання, а на двух других сторонах однородные условия симметрии, может быть записана в виде: W- 1 тЧ( /А 2 7 -4 lT 2, Г 7 -4 Ь{и1) = — D\ (Ащ) dil + — Кщ dil- хРщаіі, Q 2 , где Р- давление, і - коэффициент жёсткости упругого основания (К = 0 в случае отсутствия упругого основания), D = Eh 3/(\2(\- j2))- цилиндрическая жёсткость пластины, h- толщина пластины, Е- модуль Юнга (модуль растяжения), тє(0;1)- коэффициент Пуассона, Q. = (0;bl)x(0;b2)- плоская область, щ- искомое смещение. Если приравнять к нулю вариацию энергии 8Ё(йх) = D \ Au Av dQ. + iKu dQ - IP dQ. = 0, Q где Vj = дщ, то, при а = K/D, fx = P/D получается, что Г (AMJAVJ + au v dQ. = If dQ.. Q Q Используем вторую формулу Грина \wlAvldQ= \AwlvldQ.+ Г (Wj —=— vx—z )ds. Q После интегрирования по частям устанавливается [(А2 + au v dQ. + \ Ащ — ds - \— -vxds = If dQ., Q где dfl = s, s = Tl Ur2, Tj = {bl}x(0;b2)\J(0;bl)x{b2},T2 = {0}x(0;62)U(0;61)x{0}, внешняя нормаль к dQ., п и, Г] і г = 0 —" 1 дп г дАй, дп г2 = 0. Таким образом, получается задача при однородных смешанных краевых условиях Л и + пїї, = f, V Г] і г =0 — дп г дАй, дп г2 = 0. Рассматривается математическая модель перемещений прямоугольной пластины в вариационном виде для применения продолжения. Это вариационная задача, обобщённая математическая модель перемещений прямоугольной пластины на упругом основании при смешанных краевых условиях «j eZj: A(«1,v1) = g1(v1) Vvj eZl5 gxeZx, (3.1.1) где соболевское пространство функций = (j r2 Zl = Zj(Q) = Vj є W2 2 (Q): vJ = 0, на области Q = (0; ) x (0;b2), с границей SQ = s, s = Tl U Г2, Tl = {bl}x(0;b2)\J(0;bl)x{b2}, Г2 = {0}x(0;b2)\J(0;bl)x{0}, Л внешняя нормаль к дО., билинейная форма A(M15 Vj) = Г (OAMJAVJ + (1 - (uyjv + 2Ukyvky + uXyyvXyy) + ай у сЮ., Q при этом a = ax на области Q.x, з = з2 на Q \ С1Х, области Г , Q2: Q = Qi U b, Qj П 2 = 0, SQj П SQ2 Ф 0, заданы константы т є (0;1), ,,Ь2 є (0;+оо), яг,я2 є[0;+оо). Можно отметить, что 3cl5c2 є (0;+co): c v uKiv uc v Vv Zj, а, следовательно, решение задачи (3.1.1) существует и единственно. Если щ-искомая, a/j- заданная достаточно гладкие функции и Q то из задачи (3.1.1), как и ранее получается эллиптическое уравнение четвертого порядка при смешанных и однородных краевых условиях Aul+aul = fl, ul г =Ащ =0,- г =— г=0. (3.1.2) дп дп Г] Г] і 3.2. Математическая модель перемещений прямоугольной пластины в дискретном виде для применения продолжения
Производится дискретизация задачи из (3.1.1) по методу конечных элементов на параболических восполнениях, рассматривается вариационно-разностная модель перемещений прямоугольной пластины на упругом основании при смешанных краевых условиях: йх є Zx a Zx: A(ux,vx) = gj(Vj) \/vx &ZX ZX. (3.2.1) Рассматриваются СЛА У - система линейных алгебраических уравнений соответствующая задаче из (3.2.1), численная модель перемещений прямоугольной пластины на упругом основании при смешанных краевых условиях: щ є Жы: Айх = gx, gx є MN, (3.2.2) где і єМ : VJ =(vn,...,vlw) , N = m-n, m, WGN, a vXn(i_X)+j=vXij, i = \,...,m, j = \,...,n, и vb. . являются значениями функций дискретных аргументов соответствующих узлам сетки (л.,;/) = ((/-0,5)/ ,(/-0,5)/z2), шаги сетки hx = bx l(m + 0,5), h2 = b2 l(n + 0,5), состоящей из указанных выше узлов, а матрицы Л размерности NxN, определяются следующим образом: (Aux,vx)=A(ux,vx) \/ux,vx eZ Z здесь (,)- скалярное произведение векторов следующего вида N («j,vj) = (їїх,х)/\И2 = У]щkvxк/\И2 VMJ,VJ Є MN, k=i а подпространство Zx a Zx определяется так, что і m n г=1 7=1 где базисные функции Ф1 J (х, у) = Tj. (х)х2 . (у), Tj.(х) = E(l//)T(x//2j - / + 3) + (х/Д -і+ 2) -E(i/m)4J(x/hl - і), 4,2j(y) = E(\/j)4,(y/h2 - j + 3)+4 (y/h2 -і + 2)-E(j/n)4)(y/h2 - j), i = \,...,m, j = \,...,n, x(z) = 0,5z2, ze[0;l], -z2 + 3z-\,5, ze[l;2], 0,5z2 -3z + 4,5, ze [2;3], (z) = 0, z g (0;3), E(-) - функция целая часть числа, компоненты вектора gx определяются следующим образом т.е. \gi,Vi) = gi(v1) VVJGZJ, Отметим, что решение задачи из (3.2.1), как и из (3.2.2) существует, единственно и известны оценки типа [59]: — т —гпу ! Fl "lL»irm-C і l W2 (U) h 2. ІітІІм, -#,L2,n =0, /2 =max{/?1,/22}. AUO 3.3. Продолжение в дискретной модели для прямоугольной пластины при построении численного метода Предлагается фиктивное продолжение дискретной решаемой задачи из (3.2.2), фиктивно продолженная численная модель перемещений прямоугольной пластины на упругом основании при смешанных краевых условиях: и GR2N : DU =g, єМ2Л\ g2 = 0, (3.3.1) где векторы velM: v=(vx\v2) , блочная, нижнетреугольная матрица D размерности 2N х 2N такова, что Dn = Л, Dl2 = О, D2l = вА, D22 = Мв, т.е. А о D \РА Mej матрицы
Приближенные аналитические модифицированные методы фиктивных компонент для пластин
Из линейной теории изгибания пластин на упругих основаниях, основываясь на [36, 60] энергии двух деформированных пластин могут быть записаны в виде: Ёа«) = тA J (04J2 + 2(1 -аа)(й2 -йаххй ))daa + 2 j 2 +— [ Kau2dQa - \ PauadQa , а = 1, 2, Q„ Q„ где Ра - давления, Ка - коэффициенты жёсткости упругих оснований (Ка = 0 в случае отсутствия упругого основания a), Da = Eah 3/(\2(\- J2)) цилиндрические жёсткости пластин, h - толщина пластин, Еа - модули Юнга (модули растяжения), тає(0;1)- коэффициенты Пуассона, С1а- плоские ограниченные области с кусочно-гладкими границами класса С2 без самопересечений и самокасаний, дС1а = Ja, sa = Ya 0 U Га l U Га 2 U Га 3, Га i. ПГа = 0, если г 7 , /,7 = 0,1,2,3, Га ., / = 0,1,2,3 - объединения конечного числа непересекающихся, открытых подмножеств границ дС1а из дуг гладких кривых класса С2 , йа- искомые перемещения. Если приравнять к нулю вариации энергий + Г KauavadQ.a - \ PavadQa = 0, а а а а а а где v = 5и, то, при а„ = К„ ID„ , f„=P„ D получается, что J КА"аА + (1 - a)«Jaxx + 2К аХу + Uayy ayy) + aaK\)d a = j fa\d a После интегрирования по частям, применения второй фррмулы Грина устанавливается \ (АЧ + aaUa)Vad a + \la,lUa Т а \la,2UaVadSa = \faVad o Qa sa Па Sa Q где / и = а,2 а I п = Ли + (\—пЛпмм — пм — пм а,\ а а V а/ а,\ а,2 аху а,2 ахх а,\ ауу дАй . д , _ - ч / 2 2 ч + (1- )-(«аЛ,2(% -"«J + Кд -пал)иаху), а ds Яа- внешние нормали к 9Qa ,па\= cos(na nai= cos(na У) Если считать, что на Га 0 жёсткая заделка, на Га х условия шарнирного опирання, на Га 2 условие симметрии и на Га 3 условия свободного опирання, то получаются задачи при однородных смешанных краевых условиях {а = 1,2):
Рассматриваются математические модели перемещений пластин в вариационном виде. Это вариационные задачи, обобщённые математические модели перемещений пластин на упругих основаниях при однородных смешанных краевых условиях, т.е. однородных условиях жесткой заделки, шарнирного опирання, симметрии и свободного опирання йа є На : Ла(ua,va) = ga(va) Vva є Ha, ga є Н а, а = 1,2 (4.1.1) где соболевские пространства функций І 2 - dV На = На (Qa ) = \vaeW2 (Qa ) -v\ = 0, — ra,oUra на ограниченных плоских областях Qa с кусочно-гладкими границами класса С2 без самопересечений и самокасаний дС1а = Ja, sa = Та 0 U Га j U Га 2 U Га з, Га . ПГа = 0, если / 7 , О = 0,1,2,3, Га.,/ = 0,1,2,3- объединения конечного числа непересекающихся, открытых подмножеств границ дС1а из дуг гладких кривых класса С2 , па- внешние нормали к дС1а, билинейные формы с константами аа є [0;+ оо), ja є (0;1):
Для задач из (4.1.1) достаточно обычны предположения обеспечивающее каждой задаче существование и единственность её решения, т.е. ЗсІ5с2 є(0;+оо): с, а а 2 а } 1 а } W2 (Qa) а ( а) Л«( Л) С2ІУ Vv еЯ а = 1,2, см. [59, 60]. Как видно, данные условия естественно гарантируют единственность решения при наличии упругого основания при любой комбинации краевых условий. Если, например, йа - искомые функции достаточно гладкие, a fa заданные функции такие, что ёа{ а) = (fa а ) ГЛЄ \fa a)= \ fa a a то из задач в (4.1.1) как и ранее после интегрирования по частям, применения второй формулы Грина получаются эллиптические уравнения четвертого порядка при смешанных и однородных краевых условиях Па\ = C0S(na Х) Па2 = _C0S(Wa У) 4.2. Приближенные аналитические модифицированные методы фиктивных компонент для пластин
Предлагаются продолжения вариационных задач и их решений из (4.1.1), фиктивно продолженные обобщённые математические модели перемещений пластин на упругих основаниях при смешанных краевых условиях, следующего вида: и є V: Ах(и,/jV) + Л2(и,v) = gx(Ixv) + g2(v) Vv є F, g3-a(v)=0\/v eV3_a a = 1,2, (4.2.1) где соболевское пространство функций на области Q = 0 г0иг2 dv V = V(Q) = v є Ж, (Q): v ,, =0, Q, Q3-a ограниченные плоские области, с кусочно-гладкими границами класса С2 без самопересечений и самокасаний, такие, что Ql5 Q2cQ, Q = Qj U 2 Ц П 2 = 0 i H5Q2 = S, S=Tl0 ПГ23 0, 9Q = J, s = Г0 UГj U Г2 UГ3, Г. ПГ. = 0, если / Ф J , i,j = 0,1,2,3, Г., / = 0,1,2,3 - объединения конечного числа непересекающихся, открытых подмножеств границы дО. из дуг гладких кривых класса С2 , Я- внешняя нормаль к дО.. Подпространства К2 = v 2 є V: v 2 ПХПІ = 0J / = 1,2. Полагается, что A(u,v)=Al(u,v) + A2(u,v) \/ti,v eV, считается, что Au,v) =Ай о ,v ), gv) =gv а ) W,v Є V і = 1,2. Предполагается, что —1 t \ w2 ., A — w w2 x / — т ї Зс,,с, є 0;+co: c, v , A(v,v) cJv , Vv є к 1 z V / l ІЖ-, (Q) z ІЖ-, (Q) 1 Iff 2 (Q) z І№2 (Q) Пусть V0=Vl@V4 прямая сумма подпространств V2i = \,2 в скалярном произведении Л(-,-), подпространство V3 = {v3 є V: A(v3,v0) = 0 Vv0 є V0}, т.е. V = V0@V3 в скалярном произведении Л(-,-), a v0eV,v3eV обозначают проекции v на соответствующие подпространства. Вводятся следующие подпространства: V%_3i =V V2,i = 1,2, тогда имеет место V = Vx 0 V2. Считается, что Hi = Hi(Qi) = Vi(Qi), V(Qi) = V ni = 1,2. H2 = V(Q,2). Полагается, что Ii2 i = 1,2 - ограниченные операторы, отображающие пространство V на подпространства V2, т.е. Vi2 =imIi2, при этом Ii2 =Ii2 2 , т.е. Ii2 проекторы, но не обязательно ортопроекторы. Считается, что I0= IХ+I4. Здесь I0 - ограниченный оператор, отображающий пространство V на подпространство V0, т.е. V0=imI0, при этом I0=I0 2 , т.е. I0 проектор, но не обязательно ортопроектор. Можно отметить, что Al(u,I0v) = Al(u,Ilv), g1(I0v) = g1(I1v) Vu,veV. Основываясь на возможности продолжения функций с сохранением нормы в соответствующих Соболевских пространствах будем считать, что имеет место, следующее предположение о продолжении функций: