Введение к работе
Актуальность темы. Теория обратных задач для уравнений математической физики является одной из быстро развивающихся областей современной математики. Такие задачи возникают при обработке и интерпретации результатов экспериментов с целью исследования различных свойств физических объектов и процессов, недоступных для непосредственного наблюдения. Современная теория обратных задач и методов их решения создана и развита в фундаментальных трудах А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова и работах целого ряда других авторов.
Большое практическое значение имеют задачи, связанные с исследованием теплофизических процессов. В основе математических моделей таких процессов лежит уравнение теплопроводности. Важный класс обратных задач для уравнения теплопроводности образуют обратные граничные задачи теплопроводности (ОГЗТ), состоящие в определении граничных условий по данным температурных измерений в теле. Так, например, часто возникает необходимость оценивания нестационарных плотностей тепловых потоков на поверхности тела, удаленной от области, где проводятся непосредственные измерения.
Среди таких задач наиболее сложными с точки зрения численной реализации считаются многомерные (по пространственным переменным) задачи, заключающиеся в восстановлении непрерывных пространственно временных зависимостей граничных условий. Это связано с повышенной неустойчивостью многомерных ОГЗТ по сравнению с одномерными, а также со значительным увеличением объёма вычислений, возникающим при переходе от одномерных обратных задач к многомерным. В связи с этим большое значение приобретает разработка экономных методов численного решения многомерных ОГЗТ, обладающих возможностью достаточно эффективной стабилизации решений.
Цели диссертационной работы. Цель работы состояла в построении, а также теоретическом и практическом обосновании экономного ал^)ригма численного решения ОГЗТ на тонкой прямоугольной пластине и трехмерном брусе, учитывающего полу групповую симметрию таких задач. Для решения сеточных уравнений использовась методика численной факторизации, предложенная Р. П. Тарасовым для
одномерных ОГЗТ [1].
Научная новизна. Разработан экономный метод решения ОГЗТ на тонкой прямоугольной пластине и трехмерном брусе, обладающий возможностью достаточно эффективной стабилизации решений. В основе предлагаемого метода лежат сеточные уравнения, которые могут быть получены в результате разностно-аналитической аппроксимации интегральных уравнений или абстрактных задач, соответствующих указанным ОГЗТ, и допускающие решение при помощи экономных разностных схем. В отличие от известных методов решения ОГЗТ, использующих разностные схемы, при решении таких сеточных уравнений разностные схемы применяются для реализации только устойчивых блоков, соответствующих некоторым частным прямым задачам. Предлагаемый метсд, вообще говоря, не является прямым .и может быть отнесен к классу итерационных градиентных методов; но при этом существенной его особенностью является использование эффективного переобусловливания, которое позволяет значительно уменьшить число необходимых для получения решения итераций, а в случае достаточно хорошо обусловленных задач сразу приводит к решению. Еще одной особенностью данного метода является разделение процессов собственно решения сеточного уравнения и стабилизации решения. Здесь на этапе решения сеточного уравнения не используются никакие регуляризующие алгоритмы; стабилизация осуществляется на самом последнем этапе, когда решение сеточного уравнения уже получено, и заключается в сглаживании решения низкочастотными цифровыми фильтрами.
В качестве теоретического обоснования возможности использования полученных сеточных уравнений для решения указанных ОГЗТ показано, что аппроксимации регуляризованных решений соответствующих интегральных уравнений в пространстве L2 могут быть построены при помощи решений сеточных уравнений и некоторых спектральных проекторов в L3, связанных со спектральным разложенисм интегральных операторов и соответствующих компактным спектральным множествам.
Наряду с интегральной постановкой для построения сеточных уравнений может быть использована абстрактная постановка, где рассматриваемые ОГЗТ имеют вид обратных краевых задач для дифференциально-операторных уравнений. В абстрактной постановке до-
казана единственность решений ОГЗТ и продемонстрировано отсутствие непрерывной зависимости решений от входных данных. Доказана эквивалентность абстрактной и интегральной постановок ОГЗТ
в Z-2 -
Методы исследований. В работе широко применялись теория и методы функционального анализа, например, теория полугрупп и различные операторные методы. Кроме того, использовались сведения из области уравнений математической физики, теории аналитических функций, вычислительной математики.
Практическая ценность. Предлагаемый метод решения ОГЗТ на тонкой прямоугольной пластине и трехмерном брусе может быть использован на практике для идентификации и диагностики тепловых потоков, имеющих достаточно сложную пространственно-временную форму.
Апробация. Результаты работы докладывались на международной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, 1996 г.), посвященной памяти А. Н. Тихонова, на пятой конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, МГУ, фак-т ВМиК, 1999 г.) и на семинарах кафедры математической физики факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [і-], перечисленных в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3-х глав и заключения, содержит 132 страницы текста, в том числе 32 графика (по 4 на одной странице), список и указатель обозначений и список литературы из 101 наименования,