Идентификация параметров математических моделей динамики упругих объектов в одномерной постановке Утяшев Ильнур Мирзович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Обзор литературы 16

Глава 2. Задачи идентификации граничных условий 23

2.1 Идентификация граничных условий струны 23

2.1.1 Модель и постановка задачи для q(x) = 0 25

2.1.2 Разработка методов диагностирования основанного на численном моделирования 27

2.1.3 Постановка задачи для струны с потенциалом q(x) 41

2.1.4 Решение прямой задачи с учетом потенциала q(x) = 0 42

2.1.5 Оценка метода нахождения собственных значений 44

2.1.6 Идентификация граничных условий с учетом q(x)

2.2 Оценка погрешности метода идентификации 51

2.3 Применения метода диагностирования на примере кольцевой мембраны 56

2.4 Программная реализация метода идентификации граничных условий кольцевой мембраны 60

Глава 3. Обратная задача идентификации параметра силы натяжения 64

3.1 Модель и постановка задачи 64

3.2 Метод диагностирования параметра растягивающей силы 69

Глава 4. Задача о продольном ударе по стержню

4.1 Модель и постановка задачи для стержня 76

4.2 Решение задачи о продольном ударе по стержню 81

4.2.1 Ретроспективная задача о колебании струны 84

4.3 Программная реализация задачи идентификации параметров удара по стержню 90

Заключение 95

Литература

• Модель и постановка задачи для q(x) = 0
• Идентификация граничных условий с учетом q(x)
• Метод диагностирования параметра растягивающей силы
• Ретроспективная задача о колебании струны

Введение к работе

Актуальность темы. Математические модели физических объектов и процессов позволяет раскрыть суть явлений и предсказать дальнейшее поведение объекта исследования или процесса. В свою очередь, сутью обратных задач является определение причин, которые привели к данному результату. Методы обратных задач широко применяются в дефектоскопии и диагностике. В частности, определение свойств механических систем по собственным частотам колебаний применяется в вибродиагностике. Зная собственные частоты можно не только предсказать параметры закрепления объекта исследования, но и выявить дефекты в его структуре.

Приведенные в диссертационной работе методы моделирования и решения имеют приложения в диагностике закреплений струн, кольцевых мембран, канатов, проводов, тросов и т.д. Предлагаемый автором метод позволяет находить не только параметры закреплений, но и их вид. В частности, метод позволяет определить следующие виды закреплений: свободный край, упругое, жесткое закрепление и всевозможные комбинации этих закреплений. Также предложен метод нахождения параметра растягивающей силы в случае, когда струна колеблется под действием переменной силы натяжения. Результаты исследования обратной задачи динамики струны с переменным натяжением имеют приложения в исследовании динамики всевозможных растяжек, канатов, тросов, строп, шлангов и т.д. Кроме того, в диссертации рассмотрена задача о разрушении трубопровода. Предложена простейшая модель, основанная на моделировании трубопровода стрежнем, по свободному концу которого ударяют грузом. Получены соотношения позволяющие определить параметры удара, такие как длина стрежня, момент удара, масса ударяющего груза и его скорость. Для раннего диагностирования повреждений трубопроводов предложена схема использования систем глобального позиционирования и тензодатчиков, встроенных в трубопровод изначально.

Целью данной работы является идентификация видов краевых условий и переменного натяжения струн методами численного моделирования, а также определение этими методами времени удара по стержню, длины стержня, массы ударяющего груза и его скорости.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе сформулированы следующие задачи: 1. Математическое моделирование идентификации видов краевых условий и переменного натяжения струн, а также определение времени удара по стержню, длины стержня, массы ударяющего груза и его скорости с помощью краевых задач с дифференциальными уравнениями второго порядка

(п.1 паспорта специальности 05.13.18).

1. Развитие численных методов решения задач идентификации видов краевых условий и переменного натяжения струн, а также идентификации времени удара по стержню, длины стержня, массы ударяющего груза и его скорости (п.4 паспорта специальности 05.13.18).

2. Создание комплекса программ для решения этих задач идентификации (п.8 паспорта специальности 05.13.18).

Методы исследования. Предложены новые методы идентификации видов краевых условий, основанные на соотношениях Плюккера, методы исследования переменного натяжения струн, а также методы определения времени удара по стержню, длины стержня, массы ударяющего груза и его скорости.

Использованы методы спектральной теории дифференциальных уравнений, методы теории обратных и некорректных задач, асимптотические формулы бесселевых функций, многокомпонентный анализ для исследования сходимости. Для реализации построенных численно-аналитических алгоритмов использовалась среда программирования Lazarus и математический пакет Maple.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод моделирования граничных условий для задачи идентификации вида и параметров закрепления механических систем, основанный на представлении коэффициентов граничных условий в виде матрицы, определяемой с точностью до линейных преобразований строк.

2. Аналитический метод, позволяющий идентифицировать вид и параметры закреплений струн и кольцевых мембран по собственным частотам колебаний с использованием условий Плюккера.

3. Для задачи о колебании струны с переменным натяжением предложен новый метод идентификации закона изменения растягивающей силы по изменению амплитуды или длины волн.

4. Предложена простейшая математическая модель разрушения трубопровода (под водой), и на основе этой модели решена задача приближенного определения места, времени прорыва, а также его масштабов по показаниям тензодатчика, изначально встроенного в трубопровод. (В этой модели трубопровод моделируется стержнем, по торцу которого совершен удар. Колебания трубопровода моделируются продольными колебаниями стержня, место прорыва моделируется длиной стержня. «Масштабы разрушения» определяются массой и скоростью «груза», которым нанесен удар).

5. Комплекс программ для решения изучаемых задач идентификации.

Научная новизна:

1. Предложена математическая модель краевых условий в виде матрицы, определяемой с точностью до линейных преобразований строк. На основе предложенной модели решена задача идентификации закреплений струн

(с точностью до перестановок местами ее концов) и кольцевых мембран по двум (трем) собственным частотам колебаний, которая отличается от ранее решенных задач тем, что определяются не только параметры, но и вид краевых условий. Кроме того, впервые условие Плюккера используется непосредственно для нахождения самого решения, а не для доказательства корректности. Разработана программа для численных расчетов. Методами фильтрации численных результатов показана устойчивость и сходимость метода.

2. Решена задача идентификации краевых условий струны по двум собственным значениям. Найдены решения в случае, когда в задаче Штурма-Лиувилля потенциал () = 0 и в случае, когда () = 0 и симметричен. Показано, что если потенциал () симметричен ((1-) = ()), то метод решения задачи идентификации совпадает с методом решения без потенциала.

3. Предложена математическая модель колебания струны с переменным натяжением при больших временах. Получено решение задачи идентификации переменной силы натяжения по амплитудам колебания струны, которая ранее не была решена.

4. Предложена простейшая математическая модель разрушения трубопровода

(под водой), и на основе этой модели впервые решена задача приближенного определения места, времени прорыва, а также его масштабов по показаниям тензодатчика, изначально встроенного в трубопровод. (В этой модели трубопровод моделируется стержнем, по торцу которого совершен удар. Колебания трубопровода моделируются продольными колебаниями стержня, место прорыва моделируется длиной стержня. «Масштабы разрушения» определяются массой и скоростью «груза», которым нанесен удар).

5. На основе предложенных моделей реализованы эффективные численные
методы решения соответствующих задач идентификации, а также состав
лены соответствующие комплексы программ. Доказана сходимость полу
ченных решений методами многокомпонентного анализа. Фильтрация чис
ленных результатов экстраполяционной формулой Ричардсона показала хо
рошую сходимость решений.

Практическая и теоретическая значимость диссертационный работы. Решение задачи идентификации закреплений механических систем по собственным частотам колебаний имеет приложения в вибродиагностике. Применение предложенного метода дает возможность диагностирования недоступных для визуального осмотра закреплений струн, мембран, и т.д. Особенность решения заключается в том, что для идентификации используется не весь спектр собственных частот, а лишь его часть. Также полученные результаты имеют приложения в виброзащите для ухода от резонансных частот. Решение обратной

задачи о колебании струны с переменным натяжением имеет многочисленные применения, например, в изучении динамики всевозможных растяжек, тросов, канатов, строп, шлангов и т. д. Предложенная простейшая модель разрушения трубопровода может быть применима для раннего диагностирования прорыва трубопровода, проложенного под водой. Данная задача становиться особенно актуальной, когда труба проложена на большой глубине, и кроме этого присутствуют подводные течения, затрудняющие поиск места прорыва и его масштабы.

Достоверность изложенных в работе результатов обеспечивается строгостью их аналитических доказательств. Численные алгоритмы апробированы на известных решениях других авторов.

Апробация диссертационной работы.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Third Congress of the World Mathematical Society of Turkic Countries (Almaty: al-Farabi Kazakh National University, 2009), международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании"(г.Уфа, БашГУ, 2009, 2010, 2012, 2014), всероссийская научно-практическая конференция "Прикладная информатика и компьютерное моделирование"(г. Уфа, БГПУ им. М. Акмуллы, 2012), международная научно-практическая конференция с элементами научной школы для молодых ученых "48-е Евсевьевские чтения посвященная 50-летию института «Математика. Физика. Информатика» (г. Саранск, Мордов. гос. пед. инт., 2012), V Российская конференция с международным участием «Многофазные системы: теория и приложение», посвященной 20-летию со дня основания Института механики им. Р.Р. Мавлютова УНЦ РАН (г. Уфа, 2012), международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные про-блемы"(г. Стерлитамак, 2013), всероссийская молодежная научно-практическая конференция "Актуальные вопросы науки и образования"(г. Уфа, 2013), II всероссийская научно-практическая конференция с международным участием "Математическое моделирование процессов и систем"(г. Стерлитамак, 2013), всероссийская научная конференция "Инновационный потенциал молодежной на-уки"(г.Уфа, 2013), международная конференция «Спектральная теория и дифференциальные уравнения», посвящённая 100-летию Б. М. Левитана (г.Москва, 2014), II международная научно-практическая конференция «Современные проблемы науки и образования в техническом вузе» (г. Стерлитамак,2015 г.), XI всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015 г.).

Диссертационная работа была выполнена при поддержке грантов № 14-01-00740-а (РФФИ) «Взаимодействие упругой и гидродинамической неустойчи-востей», 2014 г.; № 14-01-97013-р_поволжье_а (РФФИ) «Динамические модели

стержней, балок, валов с локальными повреждениями: прямые и обратные задачи», 2014 г.; № 14-01-97010-р_поволжье_а (РФФИ) «Обратные спектральные задачи и акустическая диагностика механических систем и неоднородных сред», 2014 г.

Личный вклад. В совместных публикациях А.М. Ахтямову принадлежит постановка задач, а И.М. Утяшеву - построение математических моделей; разработка аналитических и численных методов решения поставленных задач, а также создание комплексов программ.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [] - [], 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 2 — зарегистрированные программные продукты, 17 — материалы конференций.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации 107 страниц текста с 31 рисунками и 6 таблицами. Список литературы содержит 104 наименования.

Модель и постановка задачи для q(x) = 0

Прямые задачи. Для этого класса задач известны причины, требуется найти следствия. В качестве причин могут фигурировать начальные условия, коэффициенты дифференциальных операторов, граничные условия, геометрия области.

В качестве следствий в механике используются обычно компоненты физических полей (перемещения, напряжения, деформации, температура, электрический потенциал).

Прямые задачи составляют суть современной математической физики [58], [101], которая формировалась как область математики на протяжении более двух столетий. Для таких задач детально разработаны методы решения, доказаны теоремы существования и единственности.

Обратные задачи и их классификация. Для этого класса задач известны следствия, требуется найти причины и определить их по некоторой дополнительной информации об ОИ. Эти задачи стали предметом исследований в математике относительно недавно, первые работы в этом направлении относятся к началу XX века, а более интенсивно разработки в этой области математического моделирования начали проводиться в 70-80-х годах прошлого века [29], [37], [51].

В книге Ватульяна А.О. [32] приведена следующая классификация обратных задач [10], [37], [42]: 1. Граничные обратные задачи (задачи об определении условий на границе). 2. Геометрические обратные задачи (задачи об определении области, занятой ОИ). Задачи данного типа получили широкое применение в компьютерной томографии [43,60,78]. 3. Коэффициентные обратные задачи – задачи определения коэффициентов дифференциальных уравнений и операторов. 4. Ретроспективные обратные задачи (задачи с обращенным временем) – задачи об определении начального состояния ОИ (начальных условий) по некоторым функционалам или операторам от решения. 5. Обратные задачи смешанных типов (неизвестными являются несколько факторов 1–4; например, граничные и начальные условия).

Следует отметить, что вышеприведенная классификация обратных задач является весьма условной и постановки задач легко трансформируются одна в другую. Например, задача об определении дефекта в упругом теле в общей постановке относится к геометрическим ОЗ; в том случае, когда геометрия тела такова, что для описания его поведения используется стержневая модель, задача сводится к коэффициентной ОЗ, которая, в свою очередь, в рамках линеаризованной постановки трансформируется в задачу об определении нагрузки, т. е. в граничную ОЗ.

К сожалению, решение многих обратных задач можно найти лишь приближенно, при помощи численных алгоритмов, и требуются достаточно тонкие математические средства анализа для обоснования сходимости и устойчивости решений таких задач [24], [37], [67,68,79,80]. Основной тезис в теории практического решения ОЗ состоит в следующем: прежде чем приступать к решению ОЗ , необходимо научиться эффективно решать прямые задачи. Как видно из классификации ОЗ, два их типа (ретроспективные и граничные) являются линейными, а два (коэффициентные и геометрические) — существенно нелинейными. В силу нелинейности ОЗ практически процедура решения ОЗ сводится к многократному решению прямой задачи и некоторой процедуре сравнения. При этом необходимо учитывать такие особенности ОЗ, как неединственность решения и неустойчивость по отношению к малым изменениям входной информации.

Как правило, для решения ОЗ необходимо построить решение некоторой прямой задачи в общем виде, а затем сформулировать операторное уравнение для нахождения неизвестной функции или системы функций исходя из некоторого дополнительного условия. Если дифференциальный оператор, фигурирующий в постановке прямой задачи, имеет переменные коэффициенты или область, занятая ОИ, имеет неканоническую форму, то возникают значительные математические трудности при формулировке операторного уравнения ОЗ, поскольку прямая задача в этом случае может быть решена, как правило, только численно.

Если речь идет о линейных ОЗ, то очень часто можно выписать решение прямой задачи в виде некоторого интеграла или ряда, которые порождают некоторый линейный вполне непрерывный оператор. В других ситуациях для линейных ОЗ возможно понижение размерности исследуемой задачи путем перехода к граничным интегральным уравнениям.

Обратные задачи обладают рядом неприятных с точки зрения обработки информации свойств. Во-первых, как правило, ОЗ являются нелинейными (линейными являются ретроспективные задачи и ряд граничных задач). Во-вторых, возможна неединственность при решении ОЗ, и, в-третьих, наиболее неприятным свойством ОЗ является их неустойчивость по отношению к малым изменениям входной информации. Для обратных задач погрешность, присущая всем измерениям, может оказывать очень сильное влияние на погрешность восстановления каких-либо свойств объекта. Это означает, что увеличение точности проведения эксперимента не может кардинально улучшить ситуацию в процедуре идентификации. Задачи, обладающие такими свойствами, принято называть некорректными; подобные ситуации являются весьма непривычными в инженерной практике и в технике эксперимента, требуют адекватных математических средств для описания и построения устойчивых вычислительных алгоритмов обработки. Исследованию таких задач посвящены многочисленные работы и монографии, среди которых отметим [24], [48,68,79,80].

Идентификация граничных условий с учетом q(x)

Рассмотрим задачу восстановления вида и параметров краевых условий для краевой задачи о колебаниях струны. В качестве данных восстановления используются две собственные частоты. Ранее в такой постановке задача не рассматривалась. Решалась задача идентификации параметров краевых условий Штурма по двум собственным частотам [22]. Однако в [22] вид краевых условий был известен - это условия Штурма (условия вида у (0) — hy(0) = 0, у (1) + Ну{1) = 0). Восстанавливались лишь неизвестные параметры h и Н, которые характеризуют жесткость закреплений на левом и правом концах струны. Аналогичные задачи рассматривались также в [3,9,12,30,55,70,100]. В работах [2,3,30,52,56,102] решались обратные спектральные задачи Штурма-Лиувилля. В этих работах коэффициенты краевых условий идентифицировались вместе с коэффициентами дифференциальных уравнений. Причем, в качестве данных восстановления в этих работах использовалась не не две собственные частоты, как в данной работе, а несколько спектров, или же спектр с дополнительными данными (функция Вейля, матрица Вейля, спектральная функция, весовые числа и т.п.). В [11,14,21,22] решались близкие задачи идентификации вида стержней и пластин по нескольким собственным частотам. Однако, соответствующая задача идентификации общих краевых условий в задаче о колебаниях струны не рассматривалась.

В [52] краевые условия представлены в виде условий Штурма у (0) — hy(0) = 0, у (1) + Ну(1) = 0, где предполагается, что значения /г и Н, могут принимать значения равные и бесконечности. Однако при решении задачи идентификации общих краевых условий такой подход не всегда приводит к верным результатам.

Действительно, для спектральной задачи о колебаниях струны с жестко закрепленными концами у" + Х2у = 0, у(0) = 0, у(1) = 0, первые собственные значения Лі и Л2 равны 7г и 27г соответственно. Предположим, что вид краевых условий неизвестен, требуется по двум собственным значениям определить их. Рассмотрим данную задачу, подразумевая, что краевые условия имеют вид Штурма. Подставив собственные значения в характеристический определитель . hH sin(A) А(Л) = Asm(A) — /icos(A) — Н cos(A) , А получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными: h + Н = О, —h — Н = 0. Отсюда следует, что h = —Н, т.е. система имеет бесконечное множество решений. Если исходить из физических соображений (h, Н относительные жесткости пружинок упругих закреплений) и положить что h 0 и Н 0, то следует что h = Н = 0. Тогда полученное решение соответствует граничным условиям для струны со свободными концами у (0) = 0, у (1) = 0. Найти же второе решение - задачу у" + Х2у = 0, у(0) = 0, у(1) = 0 этот метод не позволяет.

Таким образом, если учитывать только условия Штурма, то получаем только одно решение, что является неверным. Поэтому требуется теорема о количестве решений и другой метод идентификации. Ниже (п. 2.1.2) соответствующая теорема и метод приведены.

Постановка прямой и обратной задачи выглядит следующим образом: рассматриваются колебания струны, описываемые уравнением д2и од2и 7Г77 = О- ТГ1Т — Ч\Х)и1 (2.1) at1 ох1 где q(x)u - член, который характеризует упругость среды. Рассмотрим случай, когда характеристика внешней среды не учитываются, то есть q(x) = 0, тогда прямая задача представляется в виде: с краевыми условиями на левом и правом концах [46], [33]: bnux(0,t) — &i2w(0,) = 0 (2.3) b22,ux{l,t) + &24" (/,) = 0 (2.4) В таблице 2.1 представлены виды закреплений струны в зависимости от значений коэффициентов Ьц, Ъ\2, &23,&24. Прямой задачей будем называть задачу определения собственных частот колебаний струны, если известен вид краевого условия и параметры Ьц, Ъ\2, &2з,&24. А под обратной задачей будем понимать задачу идентификации вида краевых условий из таблицы 2.1 и параметров Ьц, Ьи, &2з,&24 по известным собственным частотам. Таблица 2.1 жесткое закрепление на обоих концах (b11 = 0, b12 = 0, b23 = 0, b24 = 0) свободные концы (b11 = 0, b12 = 0, b23 = 0, b24 = 0) упругое закрепление на обоих концах (b11 = 0, b12 = 0, b23 = 0, b24 = 0) жесткое закрепление на левом конце, свободный правый конец (b11 = 0, b12 = 0, b23 = 0, b24 = 0) жесткое закрепление на правом, свободное на левом концах (b11 = 0, b12 = 0, b23 = 0, b24 = 0) жесткое закрепление на правом конце, упругое на левом конце b11 = 0, b12 = 0, b23 = 0, b24 = 0 жесткое закрепление на левом, упругое на правом конце при (b11 = 0, b12 = 0, b23 = 0, b24 = 0) свободное закрепление на левом конце, упругое на правом конце (b11 = 0, b12 = 0, b23 = 0, b24 = 0) свободное закрепление на правом, упругое на левом конце (b11 = 0, b12 = 0, b23 = 0, b24 = 0)

Метод диагностирования параметра растягивающей силы

С помощью определенного выше множества корректности можно показать корректность по А.Н. Тихонову задачи поиска J13, Ju, J23, J24 по собственным значениям Ль Л2. Пусть V - это пространство Ш4 элементов v = (J13, Ju, J23, J24) с нормой \\v = max(\Ju\, \Ju\, 2з, ІЛ4І); Z - это пространство Ш2 элементов z = (Лі,Л2) с нормой \\z\\ = тах{\\\\ , А2І), образ множества М при отображении с помощью оператора R в пространстве Z есть множество А, т.е. А = RM. Отсюда следует, что задача Rv = z корректна по Тихонову, так как все три условия определения выполнены (третье условие вытекает из аналитичности по Л функций /із(A), /14(A), /24(A)). Что и требовалось доказать. Если Аь Аг являются точными собственными значениями соответствующей краевой задачи (2.8)-(2.10), то в множестве корректности М, задаваемого условиями 1-4, существует единственное решение задачи отыскания краевых условий. Оно дается представлениями (2.14), (2.16), (2.17), (2.18), где J13, J14, J23, J24 представляют собой пересечение прямых (2.23) с множеством корректности М. Вообще же, решений будет два. Вторым решением задачи отыскания краевых условий можно считать решение, получаемое из первого перестановкой Ju и J23.

В случае же если Аь А2 не являются точными собственными значениями соответствующей краевой задачи (2.8)-(2.10), то этот метод не годится и следует привлечь известные методы решения некорректных задач. Наиболее известны два метода решения корректных по А.Н. Тихонову задач - метод квазирешения и метод подбора. В настоящей статье предлагается метод решения задачи идентификации краевых условий, который по сути представляет собой метод подбора. Метод подбора состоит в том, что из класса возможных решений М с V подбирают элемент v для которого Rv приближает правую часть уравнения Rv = z с требуемой точностью. В качестве искомого приближенного решения берут элемент v. Этот метод применим, когда из неравенства г — v\\ 5 следует, что \\z — z\\ є(5), где є(5) — 0 при 5 — 0. Это имеет место при условии однозначной разрешимости уравнения Rv = z и при условии, что множество - компакт (см. [77]).

Метод идентификации краевых условий. Пусть Ль Л2 - собственные значения краевой задачи (2.8)–(2.10), найденные с некоторой погрешностью. Подставив эти два значения в уравнение (2.17), получим матрицу F и определители Fij, получаемые из F вычеркиванием столбца с элементом fij(Xk). Подставив эти определители в (2.23), получим определители Лз, Ju, J23, J24. Если J14, J23 являются комплексно сопряженными, то в качестве Ji4, Лз возьмем их реальные части. Явный вид матрицы А (а значит, и краевых условий) зависит от того, какое из чисел Ju, Ju, J22, J24 больше по модулю.

Случай 1. Если наибольшим по модулю является J13, то приближенным решением задачи будем считать следующую матрицу /1 2i2 0 0 \ А = , (2.24) \ 0 0 1 (224 / где 2i2 = max(0, Re(J23)/Ji3), й.24 = max(0, Re(Ji4)/Ji3), 24 = 0-12 &24. Таких матриц две. Для одной из матриц Ju J23. Именнно ее миноры лежат в множестве корректности, так как, во-первых, максимальный по модулю минор равен единице, во-вторых, все миноры неотрицательны, в третьих, Ju J23, в четвертых, выполнено соотношение Плюккера JQA = йі2-Й24 = Лз-Ju/Ju. При стремлении Ль Л2 к точным значениям, соответствующим физическому смыслу задачи, приближенное решение (2.24) стремится к точному /1 J22,/J 12, 0 0 \ \ 0 0 1 Ju/Jn I Случай 2. Если наибольшим по модулю является Re(Ji4) или Re(J23), то приближенным решением задачи будем считать следующую матрицу

Таких матриц две. Для одной из них ReJi4 больше, чем у другой. Для этой матрицы J14 J23. Именнно ее миноры лежат в множестве корректности, так как, во-первых, максимальный по модулю минор равен единице, во-вторых, все миноры неотрицательны, в третьих, Ju J23, в четвертых, выполнено соотношение Плюккера J23 = йі2 Й2з = 24 Jn/Ju. При стремлении Аь Аг к точным значениям, соответствующим физическому смыслу задачи, приближенное решение (2.25) стремится к точному /1 J24/J14 о о \ 0 0 Jn/Ju 1 Случай 3. Если наибольшим по модулю является J24, то приближенным решением задачи будем считать следующую матрицу

Таких матриц две. Для одной из матриц Ju J23. Именнно ее определители лежат в множестве корректности, так как, во-первых, максимальный по модулю определитель равен единице, во-вторых, все определители неотрицательны, в третьих, Ju J23, в четвертых, выполнено соотношение Плюккера Ji3 = йп Й23 = Лз Ju/ hi. При стремлении Аь А2к точным значениям, соответствующим физическому смыслу задачи, приближенное решение (2.26) стремится к точному

Пример 2.2 (случай 1). Требуется по двум собственным значениям Лі = 0.8019, Аг = 3.349 определить матрицу краевых условий. Из (2.23) находим два решения: J\% = 1.000, Ju = 0.205, J23 = 0.493, J24 = 0.101; J13 = 1.000, Ju = 0.493, J23 = 0.205, J24 = 0.100. Так как наибольшим по модулю является J13, то подставляем найденные решения в (2.24), получаем два решения. В множестве корректности лежит то решение, для которого Ju J23, т.е.

Ретроспективная задача о колебании струны

Для того, чтобы вычислить момент t удара груза и длину стержня / воспользуемся тем, что скорость распространения продольных волн стержня постоянна и равна а (см., например, [47], c. 76). До момента удара груза стержень находился в состоянии покоя. После удара о торец возникают продольные колебания, которые распространяются вдоль оси стержня и многократно отражаются от его концов. На начальном этапе вдоль стержня бежит только обратная волна (u(x,t) = —if {at — at + x)). В какой-то момент времени t\ она достигнет точки х = х\ (точка наблюдения) и будет зафиксирована датчиком. Момент t\ это момент перехода с u(x\,t) = 0 к u(x\,t) 0. При t = t + I/ возмущение достигнет левого конца и при t + /а-1 t t + 2la l к ней прибавится отраженная волна if {at — at — х), т. е. решение будет иметь вид u{x,t) = if {at — at — x) — ip {at — at + x). Далее, в некоторый момент 2 датчиком будет зафиксирован минимум функции u{x\,t) в интервале t + /a-1 t t + 2la l. При t = t + 2la l волна if {at — at — x) отразится от правого конца х = I, так что слагаемое ip{at — at + х) в представлении u{x,t) в интервале t + 2la l t t + З/а-1 будет иметь уже другое выражение. В какой-то момент з датчиком будет зафиксирован максимум функции u{x\,t) в интервале t + 2la l t t + 3/a-1.

За время T = ts — t волна пройдет расстояние К = 2{1 — х\). Так как скорость волны постоянна и равна а, имеем, а = К/Т. Откуда получаем / = х\ + a{ts — t i)l2. (4.5) Вычислим момент удара t . После удара груза по стержню (t = t ) распространяется только обратная волна (u{x,t) = —if {at — at + x)), которая достигнет точки х = х\ в момент t\. Датчик зафиксирует время за которое волна пройдет расстояние I — х\, оно будет равняться t\ — t . Отсюда получаем выражения для вычисления момента удара: в точке наблю Выбрав пару известных значений деформации дения x = x\ в различные моменты времени t = t\ и t = t\ (Ц,Ц e (t ,t +1/а)), получим нелинейную систему двух уравнений от т и v:

Следовательно, решение обратной задачи получено. Найдены соотношения для вычисления длины стержня /, времени удара , массы ударяющего груза т и его скорости v, которые вычисляются по формулам (4.5), (4.6), (4.9), (4.10).

Применение системы глобального позиционирования ГЛОНАСС в комплексе с встроенными в трубопровод тензодатчиками может решить задачу своевременного обнаружения мест утечек и повреждений трубопроводов. Метод позволяет определять время и место разрыва трубопровода и тем самым минимизировать последствия аварии для природы и финансовые издержки для компании. Эта же модель также применима для поиска и предотвращения незаконной врезки в трубопровод, так как в процессе сверления будут возникать акустические волны, которые могут быть зарегистрированы тензодатчиками. 4.2.1. Ретроспективная задача о колебании струны

Рассмотрим в качестве примера аналогичную ретроспективную задачу о свободных колебаниях струны. Иногда возникает необходимость в обнаружении некоторого объекта и момента его появления в определенном месте, а также локализации его местоположения на некоторой линии. Например, туристам в тайге необходимо охранять лагерь по периметру от диких животных. В этом случае можно использовать лазеры с определенными датчиками. Однако в некоторых условиях, например, в условиях тумана, этот метод оказывается неэффективным. В настоящей работе именно для таких условий предлагается метод обнаружения, основанный на установке струнных растяжек в требуемых местах.

Струнные растяжки ставятся вдоль контура, за который не должен проникнуть посторонний объект. При прохождении через контур происходит контакт с растяжкой. Если задачей является обнаружение объекта на данной линии, фиксация времени его появления и точного расположения на линии, то на струне в некоторой точке около места ее закрепления устанавливается датчик, который снимает поперечные смещения струны в любой момент времени. Ниже предлагается метод, который позволяет по показаниям датчика определять время и точное местоположение на одной из линий контура.

Математическая постановка модели задачи заключается в следующем. На бесконечной струне в точках х = а, х = (3 установлены датчики, которые фиксируют величины u(a,t), u((3,t) поперечных колебаний струны в любой момент времени t. В некоторый момент времени t между точками х = а, х = (3 в некоторой точке х происходит касание объекта и струны. Возникает возбуждение струны, которое распространятся в обе стороны. В некоторые моменты ta, tp возбуждение достигает точек х = а, х = (3 и фиксируются датчиками. Тогда обратную задачу можно сформулировать следующим образом: Требуется определить момент времени t возбуждения струны и место х касания объекта и струны по показаниям датчиков u(a,t), u((3,t).

Данная задача принадлежит к классу обратных ретроспективных задач [32]. Близкие по тематике задачи рассматривалась в работах [20], [17], где определялись масса и скорость объекта, а также момент времени удара по концу стержня с помощью показаний датчика фиксирующего продольные смещения стрежня в одной из его точек. В отличие от данных работ, в настоящей работе рассматривается не стержень конечной длины с одним датчиком, а бесконечная струна с двумя датчиками. Поэтому решение задачи имеет существенное отличие.