Введение к работе
Актуальность темы. В 19S0 - 1!)86 голах в журналах "Дифференциальные уравнения" и "Математические заметки" профессором Московского государственного университета В..М. Мнллионщнковым была опубликована серия статей, посвященных изложению моментов теории показателей Ляпунова на таком уровне общности:, что полученные результаты можно было применить к уравнениям различных типов: обыкновенным дифференциальным, дифференциальным уравнениям в частных прои-шолных. разностным уравнениям и так далее. Такая универсальность применения полученных автором результатов была обусловлена применением новою подхода к решению поставленной задачи. Суть этого подхода заключается в юм. что результаты работ формулировались не для конкретных уравнения, а для некоторых абстрактных
конструкций — семейств морфизмов векторных расслоений. А эти конструк-
пни строились уже для конкретных задач. То есть схема решения задачи при применении такого подхода следующая. Для данной задачи строим семейство морфизмов векторного расслоения. Применяем к этому семейству полученные результаты (которые не зависят от того, для задачи какого типа построено это семейство морфизмов), а затем спускаемся вниз по ступеням абстракции для интерпретации полученного результата в контексте нашей конкретной задачи.
Оказалось, что подход, предложенный В.М. Мидлионщиковым, можно применить для решения многих задач методом сравнения. В работах Е.В. Воскресенского такой подход был применен для построения общих теорем об асимптотической эквивалентности.
Цель работы. В настоящей работе решаются следующие задачи.
Первая задача — построение классов асимптотически эквивалентных в различных смыслах семейств морфизмов. Результаты, полученные при решении этой задачи, обобщают результаты работ Е.В. Воскресенского и АЛО. Павлова и применяются для решения второй задачи.
Вторая задача — это задача об управляемости для семейства морфизмов векторного расслоения за бесконечное время.
Задача об управляемости играет важную роль в математической теории управления. Для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений эта задача решалась многими исследователями. Здесь существенные результаты принадлежат Р.Е. Калману, В.П. Зубову, Н.Н. Красовскому, В.М. Ма-тросоиу н другим. Для дифференциальных уравнений в частных производных
задача об управляемости решалась, например, Ж.-.Л. Лионсом, К.А. Лурье, IO.B. Егоровым, й иасюящсЯ работе сделана попытка абстрагироваться от вида и природы уравнения, описывающего поведение системы в некотором фазовом пространстве (конечномерном или бесконечномерном), при помощи абстрактных векторных расслоений В.М. Миллионщикова.
Все реіу.тьіаіьі. полученные-при решении них двух задач, проинтерпретированы для дифференциальных уравнения в частных произподных математической фишки и для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.
Вюрая задача является основной. В рлГкмач It.II- іубопа, L.B. Воскресенского. Л.Ю. Павлова. П.П. Никитина. П. Г. Черникова и других решается задача об управляемости за бесконечное время для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Управляемость за бесконечное время обладает специфической особенностью. В зтом случае фиксированная точка переводится в сколь угодно малую окрестность другой точки, причем в дальнейшем из этой окрестности переводимая точка не выходит. Из управляемое!)] за конечный промежуток времени такая управляемость в общем случае не вытекает. И наоборот, из управляемости за бесконечное время не вытекает управляемость за конечное время.
В настоящей работе решается задача об управляемости за бесконечное время для семейства морфизмов векторного расслоения.
Общая методика исследования основана на применении принципа сравнения, который широко применяется, например, в теории диффсрепциальных уравнений. Суть этого метода в случае дифференциальных уравнений состоит в том, что решения одного уравнения
исследуются в зависимости от решений другого уравнения
причем главную роль здесь играет малость функции
В этом случае уравнение (2) называют уравнением сравнения. Этот принцип применялся многими авторами. Классические результаты здесь принадлежат Т. Важенскому. А.Ф. Филиппову и другим.
Основная идея решения поставленных в диссертационной работе задач методом сравнения была предложена профессором К. В. Воскресенским в его монографии "Методы сравнения в нелинейном анализе", где были впервые построены теоремы об асимптотической эквивалентности семейств сюръекций векторного расслоения, предложено использовать семейства сюръекцнй для построения общих теорем о приводимости уравнений. Именно и'л момої рафия лежи г в основе проведенных в диссертационной работе исследований.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, выносимые на защип.
-
Получены новые достаточные условия аснммюіИ'Кч кой жниваленгпости семейств морфи)М(Ш векторного расслоения.
-
Введено понятие семейств морфизмо» с управлением.
-
Получены достаточные условия управляемости нескольких классов семейств морфизмов с управлением.
-
Получены новые оценки для решений дифференциального уравнения в банаховом пространстве.
-
Получены теоремы об асимптотической эквивалентности дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве и поднрост ранстве этого пространства.
-
Получены новые достаточные условия управляемости дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.
Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический и прикладной характер. Полученные результаты могут быть использованы в математической физике, теории колебаний, асимптотическом интегрировании дифференциальных уравнений, исследовании управляемости нелинейных систем и других областях.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на II и III конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1996, 1998 гг.). на восьмой и девятой конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 199S, 1999 гг.), на научном семинаре Средневолжского математического общества под руководством профессора Е.В. Воскресенского (Саранск, 1997 1999 гг.).
Публикации. Основные результаты изложены в 9 публикациях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и библиографического списка. Общий объем диссертации 123 страницы. Библиографический список содержит 76 наименований.