Содержание к диссертации
Введение
1. Дискретное моделирование и оптимизация режимов функционирования многостадийных систем на основе клеточно-иерархического подхода 11
1.1 Определение этапов структурного моделирования дискретных пространственно-распределенных многостадийных систем и основных характеристик элементов исследуемой системы. 11
1.2 Разработка метода моделирования иерархической упорядоченной последовательности автоматов, как совокупности взаимосвязанных объектов и формирования алфавитов исследуемых случайных величин. 15
1.3 Разработка методов моделирования сложных многостадийных систем с использованием дискретно-детерминированных, дискретно-стохастических и дискретно-пространственных моделей, многочленов Жегалкина. 18
1.4 Разработка алгоритмов формирования оптимальных режимов функционирования сложных многостадийных систем на основе клеточно-иерархического подхода . 24
1.5 Анализ показателей, используемых для оценки качества 28
2 Формирование структуры сложных многостадийных систем 35
2.1. Структурная схема дискретного моделирования и оптимизации сложных многостадийных систем 35
2.2 Представление сложных пространственно-распределенных многостадийных систем в виде иерархии клеток . 39
2.3 Выбор алфавитов исследуемых случайных величин. 44
3 Методы клеточно-иерархического моделирования сложных многостадийных систем 50
3.1 Методы моделирования сложных многостадийных систем на основе вероятностных автоматов с применением дискретно-стохастических моделей 50
3.2 Методы моделирования сложных многостадийных систем с помощью конечных автоматов и применением дискретно-детерминированных моделей 62
3.3 Методы моделирования сложных многостадийных систем с использованием дискретно-пространственных моделей и формированием итеративных цепей 65
3.4. Моделирование сложных многостадийных систем с использованием многочлена Жегалкина 76
4 Численные методы поисковой оптимизации сочетаний алфавитов случайных величин и поиска оптимальных режимов сложных процессов с формированием деревьев оптимальных подмножеств . 85
4.1. Методы поисковой оптимизации сочетаний алфавитов случайных величин в сложных многостадийных системах 85
4.2 Формирование деревьев оптимальных подмножеств случайных величин различной степени детализации и выбор оптимального подмножества сложной формы. 92
5 Комплекс математических методов, алгоритмов и программ дискретного моделирования и поисковой оптимизации сложных многостадийных систем 110
5.1 Алгоритмы дискретного моделирования и поисковой оптимизации сложных многостадийных систем 110
5.2 Примеры использования комплекса программ 114
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 125
Список литературы 126
- Разработка методов моделирования сложных многостадийных систем с использованием дискретно-детерминированных, дискретно-стохастических и дискретно-пространственных моделей, многочленов Жегалкина.
- Разработка алгоритмов формирования оптимальных режимов функционирования сложных многостадийных систем на основе клеточно-иерархического подхода
- Представление сложных пространственно-распределенных многостадийных систем в виде иерархии клеток
- Методы моделирования сложных многостадийных систем с использованием дискретно-пространственных моделей и формированием итеративных цепей
Введение к работе
Актуальность темы. Сложные многостадийные системы характеризуются многоступенчатым процессом изменения своих внутренних состояний на каждой стадии обработки. Многие многомерные сложные системы характеризуются стохастическим характером протекания процесса, т.к. осуществляемые в них режимы обработки не позволяют достигать точечных значений для большинства реальных физических величин. В итоге актуальна задача формализации режимов функционирования системы в виде дискретных диапазонов, которые зависят от погрешности измерения приборов, инерционности и сложности агрегатов, на которых происходит процесс обработки. В пользу дискретной формализации аргументов, а также формируемых алфавитов – величин, отражающих состояние сложных систем, говорит использование современных компьютерных технологий, оперирующих дискретными массивами информации.
Актуальна задача формирования иерархической структуры системы управления. Большинство областей, в которых возникают задачи построения оптимальных иерархий, имеют много общего. Во-первых, задается некоторое множество элементов нижнего уровня, над которыми необходимо надстроить иерархию. Во-вторых, задается множество допустимых иерархий, из которых необходимо выбрать одну.
Многостадийный процесс можно представить в виде подсистем, сформированных иерархией клеток, каждая из которых соответствует отдельной стадии обработки. Описав в виде входов, состояний и выходов характеристики реальных физических величин, можно моделировать процесс обработки любых видов продукции.
В итоге формируется клеточно-иерархическая структура системы, глубина детализации которой определяется сложностью описываемых процессов, количеством стадий обработки и операций, а также числом состояний каждой формируемой клетки (подсистемы).
Моделирование таких систем можно выполнять с использованием конечных и вероятностных автоматов и формируемых на их основе итеративных цепей. Набор всех возможных для моделируемых автоматов элементарных символов называется структурным алфавитом автомата. Функционирование сложных многостадийных систем определяется выбором оптимальных сочетаний алфавитов случайных величин. Это делает актуальной задачу реализации численных методов поиска оптимальных режимов обработки.
Теоретико-методологической основой исследований, проведенных в диссертационной работе, послужили труды Т. Саати , Н. П. Бусленко, С.А. Яковлева, С.Л. Блюмина, А.М. Корнеева, А.Г. Бутковского, Р. Г. Фараджева, Р.Г. Бу-хараева, Д.А. Поспелова, А.М. Трахтмана, М. Месаровича; И.М. Соболя, А.Г. Жилинскаса, М.М. Ковалева, Г. Реклейтиса, А.С. Рыкова, В.А. Перепелицы, Л.А. Растригина.
Целью работы является разработка методов и алгоритмов дискретного моделирования и поисковой оптимизации сложных объектов, позволяющих формировать оптимальные режимы функционирования и отслеживать динамику их изменения в многостадийных системах с большой размерностью фактор-
ного пространства с учетом их структурных особенностей, и создание программного продукта.
Задачи исследования. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе сформулированы следующие задачи:
-
Определение этапов структурного моделирования дискретных пространственно-распределенных многостадийных систем и основных характеристик элементов исследуемой системы.
-
Разработка метода моделирования иерархической упорядоченной последовательности автоматов, как совокупности взаимосвязанных объектов и формирования алфавитов исследуемых случайных величин.
-
Разработка методов моделирования сложных многостадийных систем с использованием дискретно-детерминированных, дискретно-стохастических и дискретно-пространственных моделей, многочленов Жегалкина.
-
Разработка алгоритмов формирования оптимальных режимов функционирования сложных многостадийных систем на основе клеточно-иерархического подхода.
-
Разработка численных методов формирования деревьев оптимальных подмножеств случайных величин различной степени детализации и нахождения замкнутых множеств параметров сложной формы для обеспечения корректировки сочетаний алфавитов на последующих этапах процесса в зависимости от динамики его протекания на предыдущих стадиях.
-
Разработка программного комплекса, включающего реализацию численных методов дискретного моделирования и оптимизации применительно к сложным многостадийным системам.
Методы исследования. В работе использованы методы теории систем, системного анализа, теории автоматов, теории графов, математического моделирования, теории оптимизации, теории вероятностей и математической статистики, математической логики.
Тематика работы соответствует следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18: п.1. «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений», п.5. «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента», п.8. «Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования».
Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:
1. Методы описания и структурного моделирования сложных многоста
дийных систем, отличающиеся выявлением структурных элементов этих систем
применением клеточной интерпретации процессов, заключающиеся в форми
ровании клеточных конфигураций, и позволяющие моделировать систему в ви
де иерархии клеток и формировать алфавиты исследуемых случайных величин.
2. Методы моделирования сложных многостадийных систем, отличаю
щиеся их формализацией с помощью конечных и вероятностных автоматов и
применением дискретно-детерминированных, дискретно-стохастических и дис
кретно-пространственных моделей, позволяющие описывать динамику проте-
2
кания физических процессов.
-
Алгоритмы формирования оптимальных режимов функционирования сложных многостадийных систем на основе автоматного подхода, позволяющие представлять режимы в виде оптимальных сочетаний алфавитов случайных величин иерархической упорядоченной последовательностью автоматов.
-
Численные методы дискретной оптимизации сложных систем, отличающиеся возможностью формирования деревьев оптимальных подмножеств случайных величин различной степени детализации, позволяющие корректировать сочетания алфавитов на последующих этапах процесса в зависимости от динамики его протекания на предыдущих стадиях.
-
Структура программного комплекса дискретного моделирования и поисковой оптимизации сложных многостадийных систем, имеющих клеточно-иерархическую структуру, особенностью которого является использование автоматной интерпретации процессов, и позволяющего применять весь комплекс для формирования оптимальных режимов функционирования и отслеживать динамику их изменения в многостадийных системах с большой размерностью факторного пространства с учетом их структурных особенностей.
Практическая значимость работы состоит в разработке комплекса программ дискретного моделирования, многофункционального анализа и оптимизации сложных многостадийных систем, который может использоваться в разных областях науки и техники.
На модули комплекса программ получены свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.
Реализация и внедрение результатов работы
Результаты теоретических и практических исследований диссертации прошли промышленную апробацию и внедрены в виде: системы клеточно-иерархической идентификации и оптимизации производственных систем в ОАО «Компания Росинка», системы исследования экономических и технологических показателей производства металлопродукции и системы автоматизированного проектирования технологии производства в ОАО «Новолипецкий металлургический комбинат».
По результатам исследований одержана победа в программе «Участник молодежного научно-инновационного конкурса» («УМНИК»).
Результаты диссертационной работы используются в Липецком государственном техническом университете при подготовке магистрантов по направлению 09.04.01 «Информатика и вычислительная техника», профиль подготовки «Информационное и программное обеспечение автоматизированных систем».
Апробация работы. Полученные результаты исследований докладывались и обсуждались: на IX всероссийской школе-конференции молодых ученых «Управление большими системами» (Тамбов, 2012), на областной научно-практической конференции «Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания» (Липецк, 2013), на научной конференции по проблемам технических наук (Липецк, 2014), на международных научно-практических конференциях «Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире» (Санкт-Петербург, 2015), «Современная металлургия нового тысячелетия» (Ли-3
пецк, 2015), на международных конференциях: «European Science and Technol-ogy» (Мюнхен, Германия, 2013), "Science, Technology and Higher Education" (Вествуд, Канада, 2013), «Proceedings of the 3rd International Academic Confer-ence» (Ст-Луис, Миссури, США, 2013), «Computer Science and Information Technogies CSIT'2013» (Вена-Будапешт-Братислава, 2013).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 33 научных работы, в том числе: 6 статей в ведущих реферируемых научных журналах, рекомендованных в Перечне ВАК, 2 статьи в журналах SCOPUS, 3 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ, из которых в автореферат включено 14 работ.
В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, автору принадлежит: [1,13] – математическое описание иерархии клеток многостадийных систем, отличающееся применением итеративных цепей, состоящих из сложных автоматов; [2] – метод формирования иерархического дерева, отличающийся использованием в качестве узлов деревьев с различной значностью алфавитов случайных величин; [3] – реализация алгоритмов моделирования сложных систем, отличающихся наличием линейных и нелинейных связей между величинами; [4,7] – моделирование функционирования вероятностного конечного автомата, отличающееся описанием любой стадии обработки для всех сочетаний входов и состояний предыдущих стадий; [5,6] – алгоритмы поиска оптимальных режимов, отличающиеся формированием оптимальных сочетанием алфавитов случайных величин; [8] – исследование отличий формируемого критерия оценки эффективности функционирования систем; [9-11] – описание и реализация функций моделирования оптимальных режимов автоматизированных систем; [12] – описание функции выбора структурных элементов сложной системы и определение их основных характеристик; [14] – алгоритм оценки эффективности режимов функционирования сложных систем.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы (130 источников), приложений. Общий объем 148 страниц, включая 45 рисунков и 43 таблицы.
Разработка методов моделирования сложных многостадийных систем с использованием дискретно-детерминированных, дискретно-стохастических и дискретно-пространственных моделей, многочленов Жегалкина.
Метод идентификации глобальной технологии, основанный на выявлении связи технологии и выходных свойств, представлен в работах [59-63]. В этом случае технология и свойства представлены в виде разрешнных диапазонов факторов и выходных характеристик.
Одним из основных направлений повышения качества продукции является автоматизированное управление процессом формирования свойств по переделам . Оно должно базироваться как на математических моделях, построенных с помощью статистических методов в сочетании с инженерно-технологическим анализом, так и на использовании методов распознания образов или пороговой логики. Однако, в основном используется точечная идентификация, основанная на построении математических моделей
Перспективными для нахождения решений в условиях неопределенности являются интервальные методы. Применение интервальных методов в вычислительных процессах позволяет находить интервалы, содержащие решения (множество решений) рассматриваемых задач [60,64]. Метод идентификации глобальной технологии позволяет формировать оптимальные диапазоны изменения факторов технологии для любых условий производства. Практически, в этом блоке формируются технологические инструкции по технологии обработки любого вида продукции на основных агрегатах. В блоке осуществляется анализ и выбор критериев связи технологии и свойств, исследуются рациональные технологические режимы. Технологические режимы представляются в виде многомерных подпространств, сгустков, квадродеревьев [59] (рис. 1.7). Формирование оптимальных технологических режимов
Идентификация технологического процесса Способ исследования технологии, использующий разбиение области, предлагается в работах [59-63] и предназначен для выбора рациональных технологических режимов. Методика предполагает поиск и отбор технологических ситуаций, обеспечивающих с максимальной вероятностью получение продукции задаваемого качества. Технологическая ситуация - это совокупность ячеек исходной области. Разбиение в простейшем случае производится на равные интервалы по каждой из координатных осей факторов, либо размеры ячеек выбираются исследователем. В любом случае не предлагается процедуры автоматического выбора оптимального размера ячеек. Для достижения результатов процедура потребует многократного повторения с изменением размера ячеек исследователем. Задачей, которую необходимо решать является выбор такой технологии, (таких границ технологических факторов), выполнение которой позволит с максимальной вероятностью получать выходные параметры, отвечающие требованиям стандарта.
Наиболее часто эту область задают в виде N-мерного параллелепипеда. В то же время такое представление не всегда является достаточным, т.к. область пространства, определяющая допустимый технологический режим, может иметь более сложную форму и вписываться в параллелепипед. В общем случае эта область может иметь любую форму. Если разбить диапазон изменения каждого технологического фактора на К участков, то в сумме будет получено T=KN «N-мерных параллелепипедов» (технологических подпространств), в каждое из которых могут, попадать или не попадать опыты. Причем, число технологических подпространств, для которых ns О, изменяется от 1 до М [59].
Параллелепипед является ее самой грубой аппроксимацией. Использование для описания всевозможных кривых, очевидно, приведет к большим вычислительным затратам без существенного улучшения результатов. В то же время можно применить метод, который позволит со сколь угодно высокой точностью описать оптимальную технологию.
Предлагается использовать 2 -деревья, где N - размерность технологического пространства. Для двумерного случая 2 -дepeвo называется квадротомическим. До настоящего времени квадродеревья [65,66] в основном использовались для обработки изображений: расчетов площадей, центроидных определений, распознавания образов, классификации, оверлейных операций, выявления связных компонент, определения соседства. Идеология квадродеревьев применяется не только для представления растровых изображений, но и используется для эффективной организации больших баз любых пространственных данных, состоящих как из растровых, так и векторных изображений, что позволяет использовать их для описания области оптимальной технологии. Использование 2N - деревьев позволяет отбрасывать непригодные с точки зрения критерия отбора области и продолжать обработку пригодных с использованием автоматической, не зависящей от исследователя процедуры. Например, исключить из рассмотрения области N-мерного пространства, в которые не попадают опыты или их количество незначительно. Очевидно, что при анализе пространственных данных необходимо всячески стараться ограничить размер исходной области. Для этой цели критерием отбора квадрантов может служить наличие экспериментов. Применив процедуру построения квадродерева к исходному прямоугольнику с критерием отсева пустот, получим область сложной формы, образованную экспериментальными данными. Этот этап будем считать предварительной обработкой пространственных данных. Он позволит уменьшить объем исследуемой области, что упростит поиск оптимальной технологии.
Для анализа структуры сложных систем и определения их параметров можно применять методы теории графов [67-78]. Для определения глобальной технологии, т. е. границ х , х подпространства ГсГ, разработан ряд алгоритмов [59,79-81]. Алгоритм поиска оптимальных границ случайных величин реализуется в два этапа. Первый этап позволяет найти базисные границы рассматриваемых факторов, которые формируют технологическое подпространство, попадание в которое позволяет достичь требуемого уровня выходных свойств. Второй этап выполняет сдвиг границ факторов, позволяющий получить оптимальные границы факторов. Приращение необходимо определить по всем границам хктк хктк факторов технологии хктк . Они могут быть как положительными (раздвигающими границы T+ подпространства), так и отрицательными (границы подпространства сжимают).
Разработка алгоритмов формирования оптимальных режимов функционирования сложных многостадийных систем на основе клеточно-иерархического подхода
В итоге реализация процесса описывается как набор клеток, соответствующих рассматриваемым стадиям обработки или агрегатам . Дискретная клеточно-иерархическая система представляет собой многоуровневую структуру, как композицию сложных подсистем, относящихся к отдельным агрегатам и создающих внутренние итеративные цепи. Синтез внутренних цепей иерархии клеток представлен на рис. 2.5. Рис. 2.5. Синтез внутренних цепей иерархии клеток
В сложных производственных системах можно использовать различные варианты осуществления декомпозиции системы (формирования иерархической структуры). Пример структуры системы с тремя переделами по два агрегата приведен на рис. 2.6. Рис. 2.6. Иерархическое представление структуры производства с тремя переделами по два агрегата. Пример структуры системы с двумя переделами по три агрегата приведен на рис. 2.7. Рис. 2.7. Иерархическое представление структуры производства с двумя переделами по три агрегата. Внутри клеток состояния автоматов реализуются одновременно или последовательно [104]. Структура внутренней итеративной цепи приведена на рис. 2.8. В каждой клетки цепи количество внутренних входов и выходов может колебаться от одного до ms .
Варианты входов и выходов элементарных автоматов цепи. Входы и выходы каждой клетки содержат 3 индекса: первый - номер клетки внешней цепи, второй - номер клетки внутренней цепи, третий - номер случайной величины. 2.3. Выбор алфавитов исследуемых случайных величин.
Сложные многостадийные системы рассматриваются как дискретные, т.к. состоят из набора этапов обработки. В общем случае процесс имеет различное количество входов, состояний (физических факторов), разделенных по этапам обработки. Сложная система моделируется в виде сложного конечного автомата. Формируется структурный алфавит автомата, состоящий из множества возможных элементарных символов. Последовательность символов такого алфавита формирует вектор алфавита. Число элементов вектора определяет его значность (размерность).
Алфавиты исследуемых входов, состояний и выходов имеют разную значность и описываются (кодируются) в виде (рис.2.10) [106]: к = 1,...,К - номер этапа в исследуемом процессе, a klkjlk - элемент алфавитов входов, где Ji = 1,...,Jj , где J і - размерность алфавита / -го входа к -й клетки l k-1,...,L k - номер входа к -й клетки b k,mkj - элемент алфавитов состояний к-й клетки , где J m - размерность алфавита т -го физического фактора к -й клетки тк = 1,..., Мк - номера состояний к -й клетки. ri - элемент алфавита г -го выхода Jr jr =1,...,Jr - размерность алфавита р -го выхода r = 1,...,R - номер выхода Рис. 2.10. Представление алфавитов сложных многостадийных систем.
Каждая случайная величина имеет свою значность - количество непересекающихся диапазонов. Для выбора размерности алфавитов случайных величин, необходимо проанализировать их законы [106]. Если случайная величина представляется в виде вариационного ряда, то размерность ее алфавита соответствует размерности вариационного ряда. Если случайная величина описана в виде гистограммы, то алфавит формируется по этой гистограмме. При этом частоты попаданий в каждый диапазон могут значительно различаться. Создается алфавит с неравномерными частотами появления его элементов.
Для получения равномерного алфавита, частоты появления элементов которого близки, диапазон алфавита случайной величины делится на неодинаковые полуинтервалы.
Для формирования оптимальных алфавитов bkmk1,bkmk 2,...,bkmk jmk ,...,bkmk Jmk случайных величин применяется ряд методов [59]: 1. Разбиение диапазона значений случайной величины на интервалы одинаковой длины. Значность алфавита будет равна количеству интервалов, на которые разбит диапазон значений этой величины. J 2. Значность алфавита случайной величины mk выбирается заранее. Разделив объем выборки на заданное количество интервалов, получим среднее число опытов, приходящееся на один интервал. Двигаясь от нижней границы диапазона значений фактора к верхней, суммируем встречающиеся опыты и фиксируем границы интервала при достижении среднего числа опытов в интервале. В результате диапазон значений случайной величины разбивается на интервалы, характеризующиеся примерно одинаковой частотой попадания опытов. 3. Для каждой выходной величины определяются минимальная и максимальная границы, а затем получившийся диапазон значений показателя качества разбивается три (в частном случае) интервала: 1) Интервал, регламентированный стандартами.
Представление сложных пространственно-распределенных многостадийных систем в виде иерархии клеток
Для каждого варианта сочетаний алфавитов входов стщ, представленного в таблице выходов вероятностного конечного автомата, находится одна или несколько строк таблицы, отражающих сочетания алфавитов состояний рассматриваемой клетки цепи д,.., ,.., и определяются частоты появления сочетаний алфавитов выходов ту . Таким образом, вероятностный конечный автомат определяет данный элемент сочетания алфавитов.
Учитывая, что алфавиты входов и состояний рассматриваемых клеток итеративной цепи конечны, формируемая таблица выходов вероятностного конечного автомата также конечна. Таблица фиксирует все реализуемые элементы сочетаний алфавитов исследуемых входов ста1, а также алфавитов состояний случайных величин отдельных клеток цепи д,..,д,.., . Полное конечное множество сочетаний д,..,д ,.., . каждого сочетания входных алфавитов сга , описывающее многостадийную пространственно-распределенную систему, соответствует одному из сочетаний алфавитов выходов тп . Таким образом, вероятностный конечный автомат, моделирует многостадийную пространственно-распределенную систему, состоящую из k клеток.
Ниже приведен пример переходной матрицы, сформированной двумя случайными величинами на каждом агрегате и алфавитом каждой из них равным 3. В таблице 3.4 представлены абсолютные значения переходов из каждого состояния (сочетания алфавитов) (К-1) -го агрегата в К-й.
Последовательность переходов от одной стадии обработки к другой, представленной в виде итеративной цепи, может быть описана в виде единой таблицы, учитывающей сочетания алфавитов всех случайных величин. В итоге информацию можно представить в виде таблицы 3.7. Строки таблицы 3.7 д,.., ,.., отражают выполнение отдельных режимов обработки (цепочку сочетаний алфавитов случайных величин). С помощью данной таблицы можно определить оптимальные сочетания алфавитов, формирующие необходимое сочетание алфавитов выходов, регламентируемое стандартами =с(А:+1)1
Анализируется R выходов многостадийной системы. В любом рассматриваемом опыте количество выходов, соответствующих оптимальному элементу алфавита с 2 (совместная частота vR) неодинаково. Частота vR изменяется в пределах 0 vR R и показывает, сколько выходных величин отвечает требованиям стандартов. Представим как r+/S - количество опытов, равное vR, т.е. опыты, соответствующие подмножеству т+7 для исследуемого подмножества 5 . Опыты, соответствующие подмножеству 5 , но не попадающие в выходное подмножество х+ представляются как (т:/Е ) . Причем, (Т;/Е ) количество опытов, соответствующих v0 1т /Н I - V1 и т.д. vk=0 в том случае, если все выходные величины не отвечают требованиям стандарта. VR=R, если для всех выходных величин поставленные требования выполняются. В реальных условиях часто VR R, т.к. некоторые выходные величины не соответствуют требованиям стандартов. Для любого сочетания (аа , %р ) R 7=0 Информация о сочетаниях алфавитов случайных величин, реализованных на практике, заносится в таблицу 3.8 [110].
Цепочка сочетаний алфавитов случайных величин Ну, обеспечивающая максимальное значение критерия оценки эффективности [111], выбирается в качестве оптимального режимов функционирования сложных многостадийных систем. На следующем этапе можно оценить вероятности переходов в состояние %в(к) "й клетки цепи при условии, что в (&-1)-й клетке получено состояние %в(к-1) и сформировать переходные матрицы (табл. 3.9), в которых строки матрицы занумерованы предыдущими состояниями, а столбцы -последующими.
Для любого вероятностного конечного автомата, описывающего многостадийную пространственно-распределенную систему, состоящую из k клеток, существует один или несколько эквивалентных ему конечных автоматов или итеративных цепей. Функционирование или поведение конечного автомата детерминировано, представляется с помощью дискретно-детерминированных моделей, и моделируется соответствующими функциями переходов и выходов. При этом функция переходов моделирует зависимость текущих состояний автомата от его предыдущих состояний и входных величин. В этом случае предшествующими считаются состояния (физические параметры), полученные для предшествующих клеток цепи. В связи с тем, что число значений исследуемых входов, состояний и выходов, а также размерность их алфавитов конечны, то моделируемые функции переходов представляются в виде конечной таблицы [112].
При описании технологии формируются матрицы соединений. Такая матрица представляет собой квадратную матрицу, порядок которой (В), равен числу сочетаний алфавитов рассматриваемого процесса, представленного в виде автомата. Т.к. не все сочетания алфавитов могут быть реализованы, размерность матрицы соединений будет снижена. Элементами матрицы соединений служат дроби, в числителе которых – значения входов и сочетаний алфавитов предыдущих переделов, моделирующие соответствующий переход состояний случайных величин, а в знаменателе – формируемые значения выходных величин (табл. 3.11).
Методы моделирования сложных многостадийных систем с использованием дискретно-пространственных моделей и формированием итеративных цепей
Для оптимизации режимов функционирования в сложных многостадийных системах применяются поисковые методы, формирующие последовательность подмножеств (альтернатив) случайных величин H0 H1 H2 ... HiV H , где каждая последующая альтернатива лучше предыдущей относительно критерия оптимальности [116-119]. Алгоритм поиска формирует способ перехода от одного подпространства к другому. EN=Fv[EN_l,Q(ZN_l),WN_l,v\, (4.1) где Fv- оператор, осуществляющий переход на каждом этапе поиска, V -элемент случайного шага, WN_X -вектор, отражающий предысторию поиска глубиной q: _1 = [s/,e(S/),z = (7V-2)1 ,...,(7V-2)J. (4.2) Задача дискретной оптимизации заключается в поиске подмножества S 2 = ,..., ,..., )), (4.3) имеющего максимальное значение целевой функции Qg =(4,..„4—4) = йпах- (4-4) Границы случайных величин формируют подмножество Н , соответствующее режиму функционирования Е : Е ={Е/х Е х"} (4.5) Соответственно подмножество, не соответствующее требованиям 5 = 5\5 (4.6)
Подмножества Е иЁ являются несовместными: ns = 0, S US = S, (4.7) где Е- многомерное замкнутое множество, объединяющее множество альтернатив « , исследуемых при решении задач оптимизации. Аналогично, формируется подмножество выходов Ту, соответствующее показателям стандартов T = {zls z sn} (4.8) S и S - минимальное и максимальное значения выходной величины.
Из-за отсутствия детерминированных функциональных зависимостей между случайными величинами и выходными свойствами и присутствия стохастической составляющей в описании процессов, использование оптимального сочетания алфавитов состояний Е обеспечивает различные исходы (рис.4.1). случайных величин и выходов [59]. Х2 X”2 Возможны два варианта: попадание в регламентируемое подпространство выходных свойств т1 (событие \Ту 1"Е )), и в подпространство, выходящее за рамки стандартов т Вероятность Р(Е } = Р(Т+/Е } + Р(Т-/Е У (4.9) События м Ту I5 ), (т1 I5), (г / 5 ), (г / S)) формируют полную группу событий: Р(г;/Н ) + Р(г;/Н) + Р(г-/Н ) + Р(г-/Н) = 1. (4.10)
Для сравнения возможных альтернатив и поиска наилучшей выбран критерии оптимальности. Цель, которую необходимо достичь, связана с выбором режимов функционирования, для которых вероятность Р(т+у /Н ) будет стремиться к вероятности Pity). При этом, Р(т+Л \. Событие считается неприемлемым, т.к. не обеспечивает попадание в подпространство выходных свойств Ту Необходимо, чтобы РІт / Е ) - 0. Вид критерия (целевой функции) Q[Z] - max, где Z - вектор оптимизируемых параметров: Z = {Е\(т+у I Щт+7 I S),(r" / S ),(r- / Щ) . (3.7) Для формирования критерия используется количество информации по Шеннону: 1Ет=НЕ+Нт-НЕт , (4.11) где НЕ Нт НЕт - энтропии подмножеств [59,93]. Энтропия определяется формулой Больцмана: (4.12) #=-ЕД)1пД) Энтропия множества случайных величин: НЕ=-Р(Е )ЫР(Е )-Р(2)ЫР(Ё) энтропия множества выходов:
Проектирование режимов функционирования в сложных многостадийных системах является эвристическим итерационным процессом. Для формирования оптимальных сочетаний алфавитов случайных величин используется метод формирования сетки подмножеств и формирования деревьев перспективных подмножеств. Поиск подмножеств состоит в построении сетки множества альтернатив Е исследуемого множества параметров S: S = US . (4.18) Реализация численных методов поиска оптимальных режимов обработки выполняется за несколько этапов.
На первом этапе выбираются исходные алфавиты случайных величин, формирующие базовое подмножество случайных величин, которое обеспечивает максимальную частоту достижения требуемых выходных свойств.
Выбор исходного подмножества начинается с формирования сетки, которое состоит в разложении замкнутого множества случайных величин S на множество альтернатив Н При выборе исходного подмножества формируются сетки в множествах простой структуры (куб, параллелепипед). Оптимальный поиск стартует с выбора равномерно распределенных в исследуемом замкнутом множестве подмножеств. Чтобы подмножество могло стать базовым для оптимизации, необходимо и достаточно, чтобы частота события (г+/Е ) была больше нуля. Число ju подмножеств варьируется в зависимости от глубины детализации алфавитов исследуемых случайных величин. Общее количество подмножеств: к мк "=nn-V (419) к=\ тк=\
В итоге, поиск оптимального подмножества берет начало с мультистарта на формируемом множестве сеток. Выполняется локальный спуск из различных начальных подмножеств и осуществляется представление лучшего найденного подпространства в качестве исходного (базового) решения.
При изменении значности алфавитов случайных величин Зщ в цикле от 1 до параметра, при котором критерий достигает максимального значения, моделируется иерархическое дерево. Формируемое иерархическое дерево, узлами которого выступают деревья с изменяемой максимальной размерностью алфавитов случайных величин представлено на рис. 4.2.