Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Групповые эталоны времени и частоты как недоопределённые системы 12
1.1. Структура, принцип действия и основные задачи группового эталона времени и частоты. Вторичный эталон ВЭТ 1-5 12
1.2. Измерения, выполняемые в эталоне времени и частоты 21
1.3. Эталоны времени и частоты как недоопределённые системы 26
1.4. Выводы 34
Глава 2. Использование динамических стохастических моделей и численных методов в задачах оценивания вектора состояния групповых эталонов 35
2.1. Модели динамических систем. Задача оценивание состояния 35
2.2. Использование прогнозирующих моделей при оценивании вектора состояния динамических объектов 43
2.3. Модели авторегрессии - скользящего среднего (АРСС). Построение моделей АРСС по результатам косвенных измерений 48
2.4. Оценивание вектора состояния группового эталона с использованием моделей АРСС как процедура субоптимальной фильтрации 62
2.5. Оценивание вектора состояния группового эталона с учётом детерминированных трендов 74
2.6. Выводы 80
Глава 3. Программный комплекс оценивания вектора состояния групповых эталонов по результатам взаимных измерений 81
3.1. Архитектура приложения и применяемые технологии 81
3.2. Структура специализированной системы моделирования 85
3.3. Алгоритм и особенности его программной реализации 89
3.4. Результаты разработки программного комплекса 98
3.5. Выводы 103
Глава 4. Экспериментальная проверка алгоритма в режиме моделирования и при работе с реальными данными эталона ВЭТ 1-5 104
4.1. Моделирование процесса оценивания линейных трендов 104
4.2. Моделирование процесса структурной идентификации моделей АРСС в системах с неполной матрицей наблюдений 111
4.3. Моделирование процесса параметрической идентификации моделей и оценивания вектора состояния эталона 121
4.4. Удаление трендов из реальных рядов наблюдений 130
4.5. Структурная идентификация моделей водородных генераторов частоты по реальным данным 139
4.6. Оценивание вектора состояния эталона времени и частоты 143
4.7. Выводы 149
Заключение 152
Список литературы 154
- Измерения, выполняемые в эталоне времени и частоты
- Модели авторегрессии - скользящего среднего (АРСС). Построение моделей АРСС по результатам косвенных измерений
- Структура специализированной системы моделирования
- Моделирование процесса параметрической идентификации моделей и оценивания вектора состояния эталона
Введение к работе
Актуальность темы. В целях обеспечения единства время-частотных измерений на территории Российской Федерации функционирует Государственная служба времени, частоты и определения параметров вращения Земли (ГСВЧ РФ), отвечающая за воспроизведение и хранение единиц времени и частоты, а также доведение их до потребителей. Технической основой деятельности ГСВЧ является Государственный эталон единиц времени и частоты и вторичные эталоны. Растущие потребности различных отраслей экономики, связанные, в частности, с развитием отечественной навигационной системы ГЛОНАСС, создают необходимость дальнейшего улучшения точностных характеристик эталонов ГСВЧ РФ.
Повышение точности эталонов времени и частоты связано как с созданием новой аппаратуры, так и с совершенствованием средств автоматизации измерений, выполняемых в процессе функционирования эталона, в том числе - применением более совершенных алгоритмов обработки измерительной информации.
Основной составной частью эталонов времени и частоты является подсистема воспроизведения и хранения физических единиц, состоящая из нескольких хранителей (высокостабильных генераторов периодических сигналов). Один из этих хранителей является опорным. Периодически производятся взаимные измерения относительно опорного генератора. Получаемая измерительная информация представляет собой разности частоты хранителей. На практике чаще используют безразмерную величину - относительное отклонение частоты от приписанного (номинального) значения. В таком случае при функционировании эталона в нём формируются ряды разностей относительных отклонений частоты. Их количество на единицу меньше числа хранителей. Задача обработки таких данных состоит в том, чтобы по имеющимся разностным рядам наблюдений определить относительные отклонения частоты каждого из генераторов от номинального значения. На основании этих результатов формируются поправки к показаниям часов эталона.
Число взаимных измерений, выполняемых в групповом эталоне на каждом такте, меньше количества его элементов, следовательно, речь идёт о линейной недоопределённой системе (системе с неполной матрицей наблюдений).
В работах отечественных и зарубежных авторов (Д.А. Безуглов, А.С. Толстиков, Ю.П. Хрусталёв, С. A. Greenhall, D. W. Allan, D. В. Percival, J.A. Barnes, L. A. Breakiron и др.) проблема вычисления оценок относительных отклонений частоты в групповых эталонах решалась преимущественно на основе усреднения результатов измерений, также имели место исследования, основанные на использовании прогнозирующих моделей, в частности, моделей авторегрессии - скользящего среднего (АРСС). В таких работах не рассматривались многие возникающие проблемы, в том числе задачи идентификации временных рядов и построения прогнозирующих моделей по результатам косвенных измерений (при отсутствии в распоряжении исследователя исходных временных рядов).
Актуальность настоящей работы обусловлена тем, что совершенствование методик обработки измерительной информации позволяет снизить алгоритмическую погрешность эталона и повысить точность хранения единиц времени и частоты. Погрешность оценивания относительных отклонений частоты
может быть снижена при реализации эффективного вычислительного алгоритма, основанного на применении адекватных математических моделей эталона, позволяющих прогнозировать колебания частоты. Прогнозы служат дополнительной информацией при вычислении оценок. В современных условиях успешная реализация такого алгоритма возможна только в форме специализированного программного комплекса для ЭВМ.
Целью работы является снижение погрешности оценивания относительных отклонений частоты групповых эталонов путём разработки алгоритма оценивания, основанного на применении динамических стохастических моделей.
Достижение указанной цели предполагает решение следующих задач:
разработать математическую модель подсистемы хранения и воспроизведения физических единиц группового эталона, позволяющую вычислять прогнозы относительных отклонений частоты;
разработать методику и основанный на применении численных методов алгоритм, позволяющий проводить структурную и параметрическую идентификацию прогнозирующих моделей при отсутствии исходных временных рядов (на основе измерительной информации, представленной рядами разностей относительных отклонений частоты генераторов);
разработать вычислительный алгоритм для получения оценок относительных отклонений частоты в групповых эталонах, основанный на применении прогнозирующих моделей;
создать программный комплекс, реализующий предложенные алгоритмы;
оценить погрешность предлагаемых методов с помощью имитационного моделирования и апробировать созданный программный комплекс на реальных данных, полученных в процессе функционирования вторичного эталона времени и частоты ВЭТ 1-5.
Предметом исследования являются методики и алгоритмы оценивания относительных отклонений частоты групповых эталонов времени.
Объектом исследования является подсистема хранения и воспроизведения физических единиц группового эталона времени и частоты.
Теоретические и методические основы исследования. Теоретической основной исследования являлись труды по обработке измерительной информации, анализу и моделированию временных рядов, методам построения математических моделей таких отечественных и зарубежных авторов, как Гамм А.З., Эльясберг П.Е., Бокс Д., Дженкинс Г., Крамер Г., Острем К. и др.
Исследования базировались на использовании методов математической статистики, теории вероятностей, методов оценивания состояния объектов по результатам измерений, анализа временных рядов, вычислительной математики, численных методов поиска экстремума функции многих переменных.
Теоретической основой работы в специальной предметной области служили работы специалистов в области метрологии времени и навигационных систем (Толстиков А.С., Percival D., Rutman J., Breakiron L.A.).
Диссертационное исследование опирается на нормативные акты и государственные стандарты РФ, регламентирующие деятельность в сфере обеспечения единства измерений.
Научную новизну работы составляют следующие результаты, выносимые на защиту:
методика идентификации структуры математических моделей авторегрессии
- скользящего среднего (АРСС) в линейных недоопределённых системах при
отсутствии исходных временных рядов;
способ применения численных методов оптимизации для нахождения оценок вектора состояния в линейных недоопределённых системах (групповых эталонах);
алгоритм параметрической идентификации моделей АРСС в недоопределённых системах, основанный на использовании численных методов минимизации целевой функции и позволяющий находить оценки коэффициентов авторегрессии и скользящего среднего для каждого из элементов эталона;
программный комплекс, реализующий разработанные методики и алгоритмы.
Практическая значимость состоит в том, что:
-
Разработанный в диссертации программный комплекс позволяет получать оценки относительных отклонений частоты водородных генераторов, входящих в групповой эталон времени и частоты, в режиме накопления данных, а также в режиме динамической обработки результатов измерений, получаемых на суточных интервалах. На основе полученных рядов оценок относительных отклонений частоты строится автономная шкала времени вторичного эталона.
-
Предложенная методика структурной идентификации моделей авторегрессии
- скользящего среднего в системах с неполной матрицей наблюдений
позволяет строить математические модели эталона времени и частоты
(подсистемы хранения и воспроизведения единиц) без привлечения
информации, получаемой по каналу внешних сличений эталона.
3. Результаты диссертационной работы используются в процессе эксплуатации
вторичного эталона ВЭТ 1-5, что позволяет уменьшить погрешность
получаемых оценок относительных отклонений частоты водородных
стандартов на 8-^10%, повышая тем самым точность воспроизведения единиц
времени и частоты.
Личный вклад. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5] и являются оригинальными. Автор принимал непосредственное участие в написании статей и подготовке докладов. Численные эксперименты и обработка их результатов выполнены автором, включая определение методов и средств решения задач, непосредственные вычисления и анализ полученных данных. Программное обеспечение полностью самостоятельно разработано автором, включая планирование структуры приложения, написание кода, его отладку и тестирование.
Достоверность научных положений и результатов диссертации обоснована теоретически и подтверждена проведёнными экспериментами. Исследована адекватность построенных моделей, выполнено сопоставление полученных рядов оценок с данными внешних сличений вторичного эталона.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:
XV Байкальской Всероссийской конференции "Информационные и математические технологии в науке и управлении" (доклад "Субоптимальная фильтрация в системах с неполной матрицей наблюдений") - Иркутск, 2010;
IV Всероссийской конференции "Винеровские чтения" (доклад "Построение стохастических моделей динамических систем при неизвестной их структуре") -Иркутск, 2011;
Конкурсе научно-инновационных проектов Всероссийского Фестиваля Науки -Иркутск, 2011 г.
Публикации. По результатам настоящей диссертации опубликовано 6 научных работ, из них 4 - в журналах, рекомендованных ВАК РФ для опубликования научных результатов диссертаций на соискание учёной степени кандидата технических наук; получено 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. При этом одна работа опубликована соискателем в журнале из списка ВАК без соавторов.
Объём и структура диссертации. Диссертационная работа содержит 165 страниц текста, 49 рисунков, 13 таблиц и состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы из 104 названий, а также 5 приложений.
Измерения, выполняемые в эталоне времени и частоты
Использование выражения (1.24) для вычисления оценки относительного отклонения опорного элемента приводит к алгоритму простого усреднения. Возможно использовать также различные веса элементов, получая алгоритм среднего взвешенного.
Алгоритмы, основанные на выражениях (1.24), (1.25) достаточно широко распространены в деятельности служб времени различных государств, в т.ч. и ГСВЧ РФ [5]. Подробный анализ погрешностей, возникающих при таком подходе, приводится в следующей главе. Следует сказать, что погрешность оценивания будет тем меньше, чем ближе сумма истинных значений на данном такте к нулю. Такое требование является весьма жёстким, поскольку в полной мере может быть обеспечено лишь при наращивании количества дорогостоящих высокостабильных генераторов, включенных в эталон.
Повысить точность оценивания можно за счет использования в процессе обработки большего числа измерений, то есть учитывать не только результаты текущего цикла, но и предшествующих. При этом применение формулы (1.20) связано с ростом размерности обращаемых матриц по мере увеличения числа циклов. Кроме того, проблема нахождения корреляционной матрицы R порождает такие трудности, преодоление которых требует решения более сложных задач, нежели исходная, то есть задача нахождения оценки вектора состояния. Возникают и технические ограничения, не позволяющие применить такой подход. Выход из сложившейся ситуации заключается в использовании динамических методов оценивания вектора состояния. Рассмотренные выше методы соответствуют статической обработке информации, когда считается, что все результаты измерений поступают для обработки одновременно [15]. При динамической обработке предыстория исследуемых процессов описывается их математическими моделями. Использование адекватных математических моделей позволяет представить состояние процесса как сумму двух составляющих: прогноза вектора состояния процесса и случайной составляющей (ошибки прогноза). Для правильно построенных моделей ошибки прогнозов некоррелированы и имеют нулевое математическое ожидание.
Снижение погрешности в таком случае может достигаться как улучшением качества прогнозирующих моделей, так и повышением предсказуемости поведения самих прогнозируемых объектов (водородных хранителей частоты). Как известно [91, 97], стабильность частоты может определяться степенью её предсказуемости, и, если возможно описать сколь угодно сложные колебания частот генераторов адекватными моделями, то можно считать, что частота на выходе этих генераторов стабильна.
Подход, основанный на использовании прогнозирования в процедуре оценивания вектора состояния недоопределённых систем ведёт к смягчению требований, предъявляемых к поступающей измерительной информации. Погрешность оценивания в этом случае зависит от качества прогнозов, то есть от адекватности математической модели системы. Это, в свою очередь, открывает перспективу снижения погрешности оценивания и, как следствие, повышения точности хранения физических единиц. Таким образом, можно улучшить характеристики групповых эталонов времени и частоты, совершенствуя алгоритмы обработки информации и не прибегая к дорогостоящим техническим мерам.
Метрология отвечает за обеспечение единства измерений в различных отраслях экономики. Её деятельность опирается на использование различных технических средств измерения, важнейшее место среди которых занимают эталоны физических величин. За единство измерений времени и частоты на территории РФ отвечает Государственная служба времени, частоты и определения параметров вращения Земли, чья деятельность опирается на эталонную базу, включающую Государственный эталон и ряд вторичных эталонов, в том числе эталон ВЭТ 1-5.
Эталоны времени и частоты представляют собой сложные аппаратно-программные комплексы, включающие в себя группу высокостабильных генераторов гармонических колебаний, объединённых измерительной системой. В этой системе регулярно производятся взаимные измерения, в ходе которых относительные отклонения частоты опорного хранителя сличаются с таковыми для всех прочих генераторов. Измерения носят характер косвенных.
Количество наблюдений в системе меньше количества генераторов, т.е. имеет место недоопределённая система. Определить состояние такой системы точно невозможно, можно лишь найти его оптимальную по заданному критерию оценку. Таким образом, возникает задача оценивания вектора состояния системы с неполной матрицей наблюдения - эталона времени и частоты.
Оценки вектора состояния могут быть построены с использованием метода наименьших квадратов, приводящего к алгоритму усреднения. Алгоритмы оценивания такого типа в настоящее время широко применяются на практике, но обладают целым рядом существенных в силу специфики эталонов времени и частоты недостатков. Использование оценок, построенных на основе применения прогнозирующих моделей, открывает возможность повышения точности оценивания
Модели авторегрессии - скользящего среднего (АРСС). Построение моделей АРСС по результатам косвенных измерений
Улучшение качества идентификации может достигаться как изменением структуры модели, так и настройкой её параметров. Критерий качества идентификации в большинстве случаев выбирается квадратичным - в виде среднего значения квадрата невязкиF[ \ = Е,1. Минимизация такого критерия соответствует методу наименьших квадратов (МНК). Популярность квадратичного критерия точности идентификации обусловлена возможностью получения теоретически точного результата. Можно показать, что решение удовлетворяет условию оптимальности при любых чётных (в наиболее простом случае - квадратичных) функционалах потерь.
Статистическая обработка экспериментальных данных может рассматриваться как задача оценивания состояния, сущность которой состоит в следующем. Фактическое состояние любой реальной системы может быть в полной мере описано лишь бесконечным (или практически бесконечным) числом параметров. В распоряжении исследователя при этом имеется лишь конечное число независимых измерений, искажённых неизбежными погрешностями. Вследствие этого точное определение состояния реальной системы по результатам измерений практически невозможно. Возможно лишь получение некоторой его оценки, при этом реальная система заменяется на свою математическую модель, включающую конечное число параметров. Задача обработки данных, получаемых в процессе функционирования групповых эталонов, заключается в получении оценок вектора состояния эталона по результатам выполняемых между его элементами взаимных измерений.
Применительно к задаче оценивания, система также описывается конечным числом параметров, совокупность которых называется вектором состояния Y = {y1,y2,...yN]. В эталонах времени и частоты в качестве вектора состояния можно рассматривать значения относительных отклонений частоты каждой из мер (хранителей) от приписанного ей значения.
Для определения вектора Y используются результаты измерений, совокупность которых называется вектором наблюдений Z = \zl, z2,... zn}.
Зависимость вектора измерений от действительного вектора состояния для выбранной модели описывается некоторой зависимостью:
Данное уравнение называется уравнением измерений. По характеру связи измеряемых параметров с параметрами внутреннего состояния объекта такие уравнения можно разделить на непосредственные и косвенные, соответственно, можно вести речь о прямых и косвенных измерениях.
В действительности, зависимость (2.9) относится к модели системы, а измерения производятся над реальной системой. Вектор погрешностей модели (методических погрешностей) обозначим К = { , к2,... KN }, а истинные значения векторов Z и Y - обозначим Zu и Yu, тогда [61, 62]:
Точные значения векторов погрешностей модели и погрешностей измерения остаются неизвестными, их обычно рассматривают как случайные векторы с некоторыми вероятностными характеристиками. При этом зависимость (2.12) заменяется системой условных уравнений: H(Y) = Z, (2.13) представляющей собой систему из п уравнений относительно N неизвестных yx,y2,...yN. Система условных уравнений является неточной и из неё нельзя получить истинное значение Yu вектора состояния. Может быть найдена лишь некоторая оценка Y этого вектора. Она должна, по возможности, быть близка к Yu. Задача оценивания состояния, таким образом, сводится к отысканию алгоритма вида [61]: позволяющего находить оценку состояния объекта Y по измеренному значению Z. Такой алгоритм называется алгоритмом фильтрации, поскольку его задачей является уменьшение влияния на результат (фильтрация) методической погрешности и погрешности измерения. Задача построения алгоритма фильтрации является неоднозначной.
Полученная оценка Y чаще всего не удовлетворяет системе условных уравнений (2.13), зависимость приобретает при этом вид
В дальнейшем в настоящей работе принимается Z = Z, поскольку применяемая схема измерений на суточных интервалах позволяет пренебречь сравнительно малыми шумами измерительной системы. Также, в силу специфики системы, пренебрегаем разницей между YnYu. Задача нахождения оценок вектора состояния такой системы заключается в нахождении несмещённых оценок вектора Y для моментов t=0,l,2,...n, имеющих минимальные дисперсии. Если шумы, возбуждающие систему, белые Гауссовы, то задача может быть сведена к минимизации функционала [37]
Структура специализированной системы моделирования
Специфика выполнения исследований в таких системах, как эталоны времени и частоты состоит в том, что возможность непосредственного контроля точности получаемых результатов отсутствует. Действительно, прямые измерения оцениваемых величин невозможны: сущность эталона такова, что он хранит физическую величину с точностью, превосходящей точность любых других приборов. Для вторичных эталонов возможно использование результатов внешних сличений с Государственным эталоном [19], однако они сами по себе также содержат существенные погрешности и шумы, неизбежно возникающие в подсистеме сличения.
Получить от реального эталона исходные временные ряды, соответствующие подаваемым на вход алгоритма обработки измерительной информации разностным рядам, таким образом, невозможно. Единственным приемлемым способом исследования алгоритма является математическое моделирование [48]. Необходимо заменить реальный эталон (его подсистему хранения, включающую водородные генераторы и измерительную систему) математической моделью, реализовав её в составе создаваемого программного комплекса и обеспечив необходимыми средствами проведения исследований. После этого можно выполнить исследования с использованием сгенерированных этой моделью данных так, как если бы эти данные поступали от эталона. Сформулируем требования к модели.
Реальный эталон времени и частоты включает в себя 7V 7 водородных стандартов частоты, один из которых является опорным. Измерительной системой эталона попарно производятся взаимные измерения, при которых хранимые генераторами значения частоты сличаются между собой, полученные ряды разностей относительных отклонений частоты в количестве N-1 являются исходной информацией для оценивания. Требуемая математическая модель должна позволять получить на её выходе N рядов "истинных" значений величин, а также построить на их основе N-1 разностных рядов - результатов "взаимных измерений". После обработки данных полученные оценки могут быть сопоставлены с исходными рядами и таким образом определена точность алгоритма оценивания. Кроме того, должна обеспечиваться возможность наложения линейного тренда с заданным постоянным уровнем и углом наклона на полученные исходные ряды, с целью моделирования процесса оценивания при наличии в данных линейных трендов. В связи с отсутствием корреляции между частотами различных хранителей, модель эталона времени и частоты может быть разделена на N моделей генераторов и модель объединяющей их измерительной системы.
При выборе класса моделей, описывающих водородные стандарты, следует исходить из следующих соображений. Во-первых, имевшие место ранее исследования [56, 59], говорят о том, что реальные водородные стандарты частоты удовлетворительно описываются моделями авторегрессии -проинтегрированного скользящего среднего. Во-вторых, используемый математический аппарат опирается на применение моделей АРСС. Таким образом, в идеальном случае и при отсутствии детерминированного тренда наиболее точная оценка будет получена в случае, если при оценивании будет использоваться точно такая же модель хранителя, как и при генерации синтетических данных. Исходя из всего сказанного, логично использовать для отладки методики оценивания вектора состояния, основанной на авторегрессионных моделях, в качестве моделей стохастической составляющей выходного сигнала генераторов модели АРСС вида:
Структура модели задаётся для каждого /-го генератора индивидуально путём задания параметров pt и qt. Также задаются значения коэффициентов авторегрессии щ и скользящего среднего 0!. .. В (3.1) соответствующие индексы для простоты опущены. Генерация рядов выполняется в порядке возрастания номера члена, на каждом шаге t генерируется нормально распределённая случайная величина at с заданными характеристиками (нулевым математическим ожиданием и заданным с.к.о.), которая запоминается для следующих шагов (в зависимости от выбранного количества членов скользящего среднего).
Для моделирования детерминированного тренда можно использовать модели АРПСС, в которых порядок разности больше нуля. Однако наиболее просто детерминированный тренд каждого ряда может быть смоделирован при помощи линейных моделей: Член Ь в таком случае описывает постоянную составляющую ряда, соответствующую начальному значению относительного отклонения частоты в момент "привязки" эталона (её можно было бы включить и в модели АРСС, однако это менее удобно с точки зрения дальнейшей интерпретации результатов).
Наложение тренда в таком случае производится простым суммированием детерминированной и стохастической составляющей: УГ = У:Р+УГ (з.з) Измерительная система, которая не вносит собственных шумов и формирует разностные ряды, моделируется для у-го хранителя в каждый момент времени простым вычитанием: 2г;=Уг-уТ (3.4)
Сгенерированные моделью измерения поступают на вход алгоритма оценивания так, как будто это - реальные данные. Алгоритм осуществляет построение оценок вектора состояния элементов модели эталона времени и частоты yt для каждого момента времени t. На выходе алгоритма, таким образом, имеется N рядов оценок. Имея N рядов исходных наблюдений у е" и столько же рядов оценок у. t, подаём эти ряды на элемент сравнения. Сравнение может выполняться различными способами - как путём непосредственного сравнения значений рядов между собой (в т.ч. с вычислением рядов остатков и их последующим анализом), так и путём вычисления и последующего сравнения тех или иных статистик по рядам.
Моделирование процесса параметрической идентификации моделей и оценивания вектора состояния эталона
ЧАКФ и АКФ ряда №5 (ВС221) демонстрируют не столь однозначную картину. И та, и другая функция являются в некоторой мере "смазанными", имеющими небольшой спад после первой задержки. Можно предположить как структуру (1,0,0), так и (0,0,1). При этом ЧАКФ всё же спадает несколько более резко, в то время, как АКФ уменьшается более плавно на протяжении первых трёх задержек. Ввиду более выраженного спада ЧАКФ, авторегрессионный характер процесса следует считать более вероятным, и следует остановиться также на структуре вида (1,0,0).
Таким образом, анализ АКФ и ЧАКФ показал, что процессы, порождающие данные ряды, имеют автокорреляционный характер: ЧАКФ всех рядов претерпевает обрыв, тогда как АКФ медленно затухает. В результате, все модели являются моделями авторегрессии 1-2 порядков. Основываясь на полученных структурах моделей, были построены ряды уточнённых оценок. Следует особенно отметить, что при анализе реальных временных рядов оценивание по предложенной методике дало даже лучшие результаты, чем при анализе сгенерированных данных: АКФ и ЧАКФ реальных генераторов являются гораздо более "чёткими", функции имеют гораздо более резкие спады, чем соответствующие функции искусственно усложнённых моделей, использовавшихся для первоначальной отработки алгоритма.
В контексте проверки работоспособности предложенного подхода к структурной идентификации моделей АРСС было также проведено сравнение выборочных АКФ и ЧАКФ рядов внешних сличений (по которым, с известной долей осторожности, можно судить об истинных значениях рядов) и рядов предварительных оценок. Как и предполагалось, коррелограммы показали достаточно высокую степень сходства, несмотря на имеющиеся частные различия (в размахе значений, динамике затухания функций и т.п.), демонстрируемая ими картина вела к сходным структурам моделей, за исключением генератора ВС221, у которого порядок процесса увеличился на 1 (2,0,0).
Таким образом, испытание алгоритма на реальных данных, равно как и его моделирование с использованием искусственно сгенерированных "наблюдений", показало состоятельность разработанной методики построения моделей АРСС в отсутствие исходных рядов наблюдений. Ещё раз подтверждается вывод о том, что результаты структурной идентификации моделей АРСС предложенным способом могут быть неоднозначны и отчасти -субъективны. Вместе с тем, указанная неоднозначность и субъективность процедуры идентификации представляют собой неотъемлемую особенность самой методики Бокса-Дженкинса и не могут являться препятствием для успешного построения авторегрессионных моделей.
В предыдущих разделах были продемонстрированы на практическом примере такие этапы получения оценок состояния вторичного эталона времени и частоты ВЭТ1-5, как исключение детерминированных трендов из рядов взаимных измерений и структурная идентификация моделей АРСС, описывающих динамику элементов системы - водородных генераторов. В результате были получены ряды измерений, очищенных от детерминированных составляющих, информация о порядках моделей АРСС, а также ряды предварительных МНК-оценок состояния. Всё это составляет необходимый набор данных для выполнения собственно процедуры оценивания и дальнейшего сравнения результатов.
Методика получения оценок вектора состояния систем с неполной матрицей наблюдений проверялась на тех же трёхмесячных данных вторичного эталона ВЭТ1-5 ВСФ ВНИИФТРИ, что и описанные ранее методики исключения детерминированных трендов и структурной идентификации моделей АРСС, использовались полученные на выходе этих процедур данные.
В результате выполнения процедуры компенсации детерминированных трендов (в наиболее эффективном варианте с использованием 60 первых значений рядов внешних сличений для оценивания угла наклона тренда), были получены ряды значений, лежащих в окрестности нуля (см. рис. 4.30). Эти ряды непосредственно являются входной информацией для алгоритма оценивания. В процессе работы программы на этапе структурной идентификации были получены временные ряды предварительных оценок значений частот (оценок среднего), по которым строились выборочные автокорреляционные и частные автокорреляционные функции (рис. 4.31-4.34). Из анализа АКФ и ЧАКФ был сделан вывод о том, что процессы, порождающие данные ряды, являются автокорреляционными и имеют порядки 1-2: (2,0,0); (1,0,0); (1,0,0); (1,0,0); (1,0,0). С использованием моделей выбранной структуры были построены уточнённые оценки (рис. 4.35).
Оценки строились как с использованием нулевых начальных приближений коэффициентов в моделях АРСС, так и с использованием в качестве начальных приближений результатов подгонки моделей к рядам предварительных оценок. Результаты в обоих случаях оказались полностью идентичны, однако суммарное время вычислений в случае использования начальных приближений, полученных через предварительные оценки, было существенно ниже (1,44 секунды против 4,08 секунды, при этом время, затраченное собственно на процедуру оценивания снизилось ориентировочно в 10 раз). 15 30 45 60 75 90
Для получения окончательного результата, требуется наложить на ряды оценок ранее удалённые детерминированные тренды, т.е. выполнить последовательное суммирование результатов оценивания со значением функции тренда в каждый момент времени: jX = ур + у.
Рассмотрим ряды для случая обработки измерений без привлечения данных внешних сличений. Приводятся для сравнения между собой ряды внешних сличений эталона, а также ряды предварительных и уточнённых оценок частот на примере опорного хранителя ВС226 (рис. 4.36), а также хранителей ВС227 (рис. 4.37) и ВС228 (рис. 4.38).