Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ. 8
Введение. 8
Методы построения адаптивных сеток в стационарных задачах. 10
Методы построения адаптивных сеток в нестационарных 13 задачах.
3. Методы решения задач Стефана. 15
ГЛАВА 2. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ МНОГОФРОНТОВОЙ 20
ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКОЙ АДАПТАЦИИ.
Введение. 20
Постановка задачи. 21 1.1. Начальные и граничные условия. 23
Теплофизические характеристики и параметры. 25
Алгоритм решения. 28
Нестационарная произвольная система координат 29 3.1.1. Начальные и граничные условия. 30
Функция преобразованияС). 32
Выбор коэффициента D. 33
3.4. Разностная аппроксимация дифференциальной модели в 35
расчетном пространстве
4. Результаты моделирования. 38
5. Заключение 47
ГЛАВА 3. ГЕНЕРАЦИЯ НЕПОДВИЖНЫХ СЕТОК В 49
ПРОИЗВОЛЬНЫХ ДВУМЕРНЫХ ОБЛАСТЯХ
Общие положения 49
Распределение узлов сетки на границе dQxy физической 52 области
Построение расчетной сетки на этапе предиктор 56
Построение расчетной сетки на этапе корректор 58
Примеры построения сеток в областях сложной формы 59 ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ ЛАЗЕРНЫМ 70
ИЗЛУЧЕНИЕМ ГЛУБОКИХ ДВУМЕРНЫХ КАНАЛОВ В МЕТАЛЛИЧЕСКИХ МИШЕНЯХ.
Введение 70
Постановка задачи 71
Постановка задачи в произвольной нестационарной системе 74 координат
Функция преобразования Q. 78
Разностная схема. 80
Алгоритм решения 82
Задача о промерзании 84
7. Вычислительный эксперимент. 87
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 93
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 94
Введение к работе
Новой универсальной технологией научных исследований в настоящее время является математическое моделирование [1], обладающее рядом несомненных преимуществ. Используемые для исследований математические модели не требуют столь сильных допущений и позволяют получить качественную и количественную информацию о любой стороне моделируемого явления при различных условиях проведения вычислительного эксперимента. Организация и проведение вычислительного эксперимента, по сути, заключается в разработке математических моделей, численных алгоритмов решения нелинейных систем и в создании соответствующего программного обеспечения. Одним из показателей вычислительной эффективности алгоритма является число узлов сетки, необходимое для проведения расчетов. Значительную экономию количества узлов, а соответственно и увеличение эффективности позволяет получать метод динамической адаптации расчетной сетки к решению поставленной задачи.
Целью данной диссертации является развитие и применение метода динамической адаптации к решению задач о быстрых фазовых переходах в многослойных материалах и двумерных постановках многофронтовой задачи Стефана.
Основным элементом научной новизны является способ определения функции преобразования при переходе к нестационарной системе координат в методе динамической адаптации, позволяющей полностью автоматизировать процесс построения квазиравномерных сеток независимо от линейных размеров области определения и скорости движения границ. Разработаны и проанализированы алгоритмы решения многофронтовых одномерных и двумерных задач Стефана.
Научная и практическая значимость работы заключается в возможности использования разработанного подхода для многофронтового варианта
задачи Стефана, с явным выделением контактных и межфазных границ. Метод динамической адаптации применялся для моделирования процессов лазерного нагрева, плавления и испарения двумерной мишени произвольной геометрии и многослойной мишени в одномерной постановке при различных режимах воздействия. Проведенные исследования расширили представления об особенностях поведения процессов при лазерном воздействии на конденсированные среды.
Материалы диссертации докладывались на Международной конференции "Laser Processing of Advanced Materials and Laser Microtechnologies", (Москва, 22-27 июня 2002); на Международном научном семинаре "4th International Workshop on Fundamentals of Ablation with Short Pulsed Solid State Lasers 2004", (Hirschegg, Austria), Stuttgart, Germany: Forschungsgesellschaft fur Strahlwerkzeuge FGSW, 4-6 February 2004; на Первом, втором и третьем Международных научных семинарах "Математические модели и моделирование в лазерно-плазменных процессах" (Москва, 28 января - 1 февраля 2004; 25 - 29 января 2005; 31 января - 4
февраля 2006).
Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [112
-118].
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка
литературы.
В первой главе обсуждаются основные проблемы, возникающие при построении, генерации и адаптации расчетных сеток для задач математической физики. Отмечается, что в последнее время область вычислительной математики, связанная с конструированием расчетных сеток, выделилась в самостоятельный раздел науки со своими методологией, понятиями, определениями, методами и классификацией. Выделены основные классы задач, требующие применения адаптивных сеток. Выделены основные направления расчета, генерации и перестройки расчетных сеток. Проводится краткий обзор существующих в настоящее
время методов генерации и адаптации расчетных сеток для стационарных и нестационарных задач математической физики. Рассмотрена проблема согласования движения узлов разностной сетки и с этой точки зрения показано место метода динамической адаптации в ряду существующих методов построения адаптирующихся к решению сеток. В заключительной части главы рассматриваются методы решения задач типа Стефана, основной особенностью которых является отсутствие явного выражения для скорости движения фазовых границ. Поэтому большинство задач Стефана являются нелинейными и аналитическое решение их известно только для некоторых случаев. Обсуждаются преимущества и недостатки существующих в настоящее время методов численного решения задач Стефана: методов с явным выделением фазовых границ и методов сквозного счета. Отмечается высокая эффективность метода динамической адаптации в таких задачах.
Вторая глава посвящена построению алгоритма численного решения многофронтовой одномерной задачи Стефана, описывающей процессы плавления-затвердевания и испарения в вакуум многослойной металлической мишени методом динамической адаптации. В этой главе предлагается способ определения функции преобразования в нестационарной системе координат для метода динамической адаптации.
В третьей главе излагается способ формирования сеток с фиксированными узлами, построенных до начала расчетов. Построение расчетных сеток, осуществлялось с помощью генератора сеток, действующего по двухэтапной схеме предиктор - корректор. Результаты работы двухэтапного генератора сеток предиктор - корректор анализируются на примерах ряда связных областей сложной геометрии со сгущением узлов в предполагаемой области воздействия источника энергии.
В четвертой главе рассматривается метод численного решения многофронтовых нестационарных двумерных задач Стефана с явным выделением межфазных границ в произвольных областях. Решение осуществляется с помощью метода динамической адаптации. Разработанная
методика использовалась для моделирования процессов быстрого плавления и испарения в двумерных постановках. Рассматривались различные режимы воздействия на мишени сложной геометрии из различного материала.
