Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Численные методы и алгоритмы ультразвуковой диагностики материалов с непрерывными переменными механическими свойствами 9
1.1 Алгоритмы ультразвуковой реконструктивной томографии для слабых отражателей 9
1.1.1 Лучевая и дифракционная томографии 10
1.2 Алгоритмы ультразвуковой томографии, для средних и сильных отражателей 11
1.2.1 Итерационные алгоритмы восстановления неоднородностей 14
1.2.2 Функционально-аналитические алгоритмы восстановления неоднородностей 28
1.3 Полноволновая инверсия и алгоритмы, основанные на прямом вычислении
градиента функционала невязки 44
1.4 Метод граничного управления 53
1.5 Постановка цели и задач исследования 65
ГЛАВА 2. Численный метод определения функции профиля модуля упругости акустической среды 68
2.1 Постановка обратной коэффициентной задачи 68
2.2 Основной измерительный алгоритм 73
2.2.1 Основные соотношения и этапы измерительного алгоритма 73
2.2.2Математическая модель одномерной неоднородной акустической среды.
Вычисление акустического адмиттанса и ядра интегрального уравнения 76
2.2.3 Модификации ядра и правой части интегрального уравнения 78
2.2.4 Метод оценивания начального приближения основного измерительного
2.2.5 Регуляризация и численный алгоритм решения интегрального уравнения 92
2.3 Численная реализация алгоритма определения распределения модуля
упругости неоднородной акустической среды 100
2.3.1 Программная реализация измерительного алгоритма 100
2.3.2 Результаты численного моделирования измерительного алгоритма 104
2.4 Выводы і
ГЛАВА 3. Экспериментальное исследование численного метода определения функции профиля модуля упругости неоднородной акустической среды 112
3.1 Цели и задачи эксперимента 112
3.2 Экспериментальное оборудование
3.2.1 Ультразвуковой дефектоскоп TomoScan FOCUS LT 112
3.2.2 Датчик на основе ультразвуковой фазированной решетки
3.3 Измерение акустического адмиттанса неоднородной акустической среды 123
3.4 Экспериментальное исследование измерительного алгоритма
3.4.1 Схема и методика эксперимента 127
3.4.2 Результаты экспериментального исследования измерительного алгоритма на
3.4.3 Результаты экспериментального исследования измерительного алгоритма на втором образце 140
3.5 Выводы 146
ГЛАВА 4. Анализ и выбор оптимальных параметров численного метода определения функции профиля модуля упругости неоднородной акустической среды 148
4.2 Основные барьеры на пути достижения высокой точности работы измерительного алгоритма 151
4.3 Многомерный алгоритм определения распределения модуля упругости неоднородной акустической среды 155
4.4 Оценка пространственной разрешающей способности измерительного
4.5 Выводы 167
Заключение 168
Список литературы 172
- Функционально-аналитические алгоритмы восстановления неоднородностей
- Модификации ядра и правой части интегрального уравнения
- Датчик на основе ультразвуковой фазированной решетки
- Основные барьеры на пути достижения высокой точности работы измерительного алгоритма
Введение к работе
Актуальность проблемы. В настоящее время в ультразвуковой дефектоскопии широкое распространение получили методы обнаружения дефектов в виде нарушений непрерывности механических свойств зондируемых сред. Такие дефекты получили название несплошностей и ими могут быть трещины, газовая пористость, различные включения, усадочные раковины и т. п. Основой таких методов является регистрация отраженных или рассеянных волн от неоднородностей.
Однако в последнее время все более широкое распространение получают материалы, механические свойства которых изменяются непрерывно и без разрывов. Такими материалами являются функционально-градиентные материалы, градиентные метаматериалы, композитные материалы и т.д. Измерять распределенные параметры, изменяющиеся непрерывно, также необходимо, но традиционные методы ультразвуковой дефектоскопии этого сделать не позволяют.
Выход в подобной ситуации может быть связан с применением численных методов ультразвуковой реконструктивной томографии, где восстанавливаются распределения неизвестных параметров в заданной ограниченной подобласти изучаемого материала. Позиции реконструктивной томографии особенно сильны в методах ультразвукового исследования биологических объектов. Однако существует ряд ограничений для подобных численных методов, связанные с низкой контрастностью рассматриваемых объектов исследования. В ультразвуковой реконструктивной томографии широко применяются приближение Борна и Рытова, которые справедливы только для слабоконтрастных объектов. Поэтому задача восстановления распределенных параметров различных, особенно сильноконтрастных объектов в ультразвуковой дефектоскопии остается актуальной.
В последнее время появились численные методы решения обратных задач акустики, имеющие непосредственное отношение к ультразвуковой дефектоскопии, позволяющие преодолевать ограничения связанные с применением приближений Борна и Рытова. Большинство данных методов можно разделить на три группы, одна из которых основана на применении итерационных методов, а вторая - основана на применении методов функционального анализа, третья основана на методах граничного управления. Численные методы, входящие в каждую группу, имеют свои преимущества и недостатки. В тоже время совершенно очевидно, что для реконструкции распределенных параметров новых материалов, необходимо использовать основные их свойства - непрерывность и даже гладкость. В данном случае целесообразно совместить в создаваемом численном методе приближение Рытова, известное как приближение плавных возмущений, и итерационную процедуру последовательного уточнения восстанавливаемых параметров.
В настоящей работе рассматривается численный метод, предложенный и изученный в работах Евдокимова Ю.К. и его ученика Храмова Л.Д.. Данный метод был рассмотрен для уравнений параболического типа и применялся для интерпретации результатов измерений, проведенных с помощью распределенных измерительных сред (РИС). Рассматриваемый численный метод идеально подходит для реконструкции непрерывных переменных механических свойств, так как он органично совмещает итерационную структуру с обобщением приближения Рытова.
Указанный численный метод рассматривается в данной работе в применении к уравнениям гиперболического типа для решения обратных задач акустики. Отличительной особенностью этого метода является использование в качестве
источника информации об объекте измерения граничного акустического адмиттанса, который непосредственно связан с фазой акустического давления, являющейся основным источником информации в приближении Рытова.
Объектом исследования являются численные методы решения обратных задач акустики.
Предметом исследования численный метод и алгоритм реконструкции непрерывных переменных механических свойств акустической среды.
Цель исследования - создание численного метода и алгоритма решения обратной задачи для восстановления профиля механических свойств функционально-градиентных материалов с непрерывно изменяющимися по глубине параметрами.
Методы исследований. При решении поставленных задач использовались методы математического моделирования, численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, теория цепей с распределенными параметрами, методы решения некорректных и обратных задач.
Научная проблема - разработка алгоритма решения обратной задачи акустики для сред с непрерывными, переменными по одной пространственной координате (глубине) механическими свойствами во всем объекте зондирования.
Для достижения поставленной цели и решения научной задачи необходимо решение следующих задач:
1. Разработка численного метода и алгоритма восстановления функции профиля
модуля упругости зондируемой среды с непрерывной неоднородностью по глубине.
-
Программная реализация предложенного алгоритма и его исследование. Выявление диагностических возможностей алгоритма.
-
Рассмотрение и выбор экспериментальной аппаратуры. Экспериментальная апробация предложенного численного метода и алгоритма.
4. Подбор оптимальных значений параметров измерительного алгоритма.
Получение основных соотношений для численного метода реконструкции
непрерывных механических свойств в многомерной постановке. Вывод и анализ
пространственной разрешающей способности метода.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1. Предложен и разработан итерационный алгоритм восстановления функции
профиля модуля упругости зондируемой среды, основанный на интегральном
уравнении связи малых возмущений входного акустического адмиттанса и функции
профиля модуля упругости.
2. На основе предложенного итерационного алгоритма разработан
измерительный алгоритм восстановления функции профиля модуль упругости
зондируемой среды по измеренному входному акустическому адмиттансу.
Положения, выносимые на защиту:
1. Численный метод и алгоритм восстановления функции характеризующей
модуль объемной упругости с неоднородностью по одной пространственной
координате (глубине).
-
Измерительный алгоритм, реализующий предложенный численный метод.
-
Результаты численного и экспериментального исследований разработанного алгоритма восстановления.
Практическая ценность
Разработанные численный метод и алгоритм могут послужить основой для построения систем ультразвукового неразрушающего контроля материалов с
непрерывно изменяющимися по одной координате (глубине) механическими свойствами. Новый алгоритм вычисления эффективного значения модуля объемной упругости Ке может применяться в уже существующих ультразвуковых дефектоскопах
для оценивания значений модуля упругости и скорости звука в однородных материалах.
Достоверность и обоснованность выводов обеспечивается корректностью использования методов решения интегральных и дифференциальных уравнений, методов решения некорректных задач, совпадением расчетных и экспериментальных значений функции неоднородности в пределах допустимой погрешности, применением современных сертифицированного программного комплекса LabVIEW8.5 и аппаратно-программного комплекса ультразвукового исследования Tomoscan FOCUS LT.
Апробация работы
Результаты работы докладывались и обсуждались на международных, всероссийских и республиканских научно-технических (НТК) и научно-практических конференциях (НІЖ): на двух международных НПК «Инженерные, научные и образовательные приложения на базе технологий National Instruments» (Москва, 2011, 2012гг.); на двух международных НТК «Проблемы техники и технологий телекоммуникаций» (Казань, 2011, 2014 гг.); на региональной НПК «Современные методы электрофизической диагностики» (Казань, 2013г.); на международной НТК «Нигматуллинские чтения» (Казань, 2013 г.); на Всероссийской НТК «Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике» (Чебоксары, 2012 г.); на трех Всероссийских НТК «Динамика нелинейных дискретных динамических систем» (Чебоксары, 2013, 2015, 2017 гг.); на международной НТК «Прикладная электродинамика, фотоника и живые системы» (Казань, 2015 г.).
Публикации
Основные научные и практические результаты диссертационной работы опубликованы в 20 работах, в том числе в 3 статьях (в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК), 2 статьях в реферативной базе данных Scopus, 15 тезисов докладов в сборниках материалов международных и всероссийских конференций.
Внедрение результатов исследования
Результаты диссертационной работы использовались:
1. В научно-исследовательской работе, проведенной на кафедре
Технологического оборудования медицинской и легкой промышленности ФГБОУ ВО
«Казанский национальный исследовательский технологический университет» в рамках
федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры
инновационной России» по теме: «Современная высокотехнологическая
ультразвуковая аппаратура для медицинских исследований» (шифр заявки «2010-1.1-
235-073-015) по Государственному контракту от «11» июня 2010 г. №02.740.11.0844.
2. В учебном процессе кафедры Радиоэлектроники и информационно-
измерительной техники (РИИТ) ФГБОУ ВО «Казанский национальный
исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ» в рамках
дисциплины «Программные комплексы» при подготовке магистров по направлению
11.04.01 «Радиотехника»
Соответствие содержания диссертации паспорту научной специальности Диссертация соответствует паспорту специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»:
П.3 Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.
П.4 Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.
П.7 Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели.
Структура и объем работы
Диссертационная работа содержит введение, четыре главы, заключение, список литературы из 118 наименований. Материал изложен на 260 страницах с 81 рисунком и 4 таблицами в тексте.
Функционально-аналитические алгоритмы восстановления неоднородностей
В настоящем разделе рассматриваются алгоритмы позволяющие преодолеть ограничения связанные с первыми приближениями Борна и Рытова. Рассмотрим в качестве отправной точки уравнение Гельмгольца, включив в него функцию її внешнего источника /0(к,г)и опустив при этом зависимость всех функций от волнового числа к: V2g(r)+k2g(r) = s(r)g(r) + f0(r), (1.2.1) где g(r) - акустическое давление, є(г) - функция неоднородности. Применяя к уравнению (1.2.1) функцию Грина G0 (г, г ) получим следующие уравнения g(r) = gin(r)+\G0(r,r )s(r )g(r )dr , (1.2.2) R g.(r)=\G0 (r,r )f0 (r), (1.2.3) S где R- область, содержащая неоднородности, S- поверхность на которой находятся источники излучения. Уравнение (1.3.2) в теории рассеяния известно как уравнение Липпмана - Швингера [44]. Как отмечено в [44] полное поле g(r) известно лишь на приемной апертуре гєУ, в противном случае, если бы поле было известно всюду, то уравнение (1.2.2) представляло бы собой уравнение Фредгольма первого рода, что упростило бы его решение. Учитывая, что g(r) зависит от є(г), задача их нахождения из уравнения (1.2.2) является нелинейной. Уравнение (1.2.2) можно более наглядно представить системой следующего вида [44] (у)= 8ІП(У) + \G0(y,г )є(г )g(r )dr , у єУ, (1.2.4) R g(r) = gin(r) + \G0(r,r )s(r )g(r )dr , r&R. (1.2.5) R
Система (1.2.4) - (1.2.5) является наиболее общей формой записи обратной задачи рассеяния [44]. Для упрощения дальнейших рассуждений, введем три интегральных оператора Р0, Q0, R0 как было сделано в [44]. Оператор Р0 переводит источники поля /0(г) в первичное излучаемое поле g0(r) g0(r) = P0f0(r ) = \G0(r,r )f0(r )dr , reR. (1.2.6) Оператор R0 переводит вторичные источники поля (г)вполе g(r) g(r) = R0F(r ) = \G0(r,r )F(r )dr , reR. (1.2.7) R Оператор б0 переводит источники, возникающие в области R, в рассеянное поле g(y), уєУ на приемной апертуре g(y) = S0F(r ) =\G0(у,r )F(r )dr , у є Y. (1.2.8) R Выражения (1.2.4), (1.2.5) с использованием введенных операторов могут быть записаны в компактной форме g-о. =S0sg, (1.2.9) g-g. =R0sg, (1.2.10) при этом Р и g. в левой части (1.2.9) зависят от у є У, а в левой части уравнения (1.2.10) зависят от г є R. В правой части обоих уравнений є и g зависят отгєЛ. Используя введенный способ обозначений систему (1.2.9) - (1.2.10) можно записать в альтернативной форме [44] g = S0s[E-R0sYPJ0, (1.2.11) где Е- единичный оператор. Как видно из (1.2.11), выражение в квадратных скобках при jsR01 1 можно разложить в ряд по итерированным ядрам g = S0sgin +S0sR0s gin +... = iS0s(R0s)n 1gin. (1.2.12) n=1 Такой ряд также называется рядом Борна - Неймана [8,44,45]. В случае слабых рассеивателей, то есть если fiR0«1, достаточно удержать только первый член.
Алгоритмы восстановления в таком случае сводятся к уже рассмотренным алгоритмам дифракционной томографии. В случае рассеивателей средней силы одного члена в разложении уже недостаточно, задача становится нелинейной и решать ее нужно с помощью других подходов, если же рассеиватель сильный, то есть fiR0 1, то ряд Борна - Неймана расходится. В таком случае приходится расширять область применимости алгоритмов для рассеивателей средней силы [44] или создавать алгоритмы на новых принципах. 1.2.1 Итерационные алгоритмы восстановления неоднородностей
При рассмотрении рассеивателей средней силы необходимо учитывать многократные рассеяния. Одним из возможных подходов их учета является применение итерационных методов. В работах [44,46-48] приводится итерационный метод нахождения функции неоднородности на основе попеременных решений уравнений (1.2.9), (1.2.10). Перепишем их в более подходящей форме с учетом изменения частоты со и вариации апертуры датчика gs(a,j8,co) = S0(j8,a))sg(a,a)), (1.2.13) g(a,oj) = R0(oj)sg(a,oj) + g0(a,(D), (1.2.14) где а и Р - конфигурационные параметры, ответственные за пространственные изменения апертур в процессе зондирования [441, a g (г) = g(r) - g. (г) при г є Y. Алгоритм в данном случае заключается в следующем: на каждой итерации выражение (1.2.14) разрешается относительно g{a,oo) при фиксированном є, после этого решается (1.2.13), то есть находится є при найденном g{a,oo). В работе [44,47] предлагаются также и модификации этого алгоритма. Уравнение (1.2.2) можно также переписать в терминах операторов T(k,kQs )переводящих плоскую падающую волну с волновым вектором k0s" в рассеянную плоскую волну с волновым вектором к=(к,к ): .г J J J г l \ х у / + СО T(kx,k0sl) = є(кх -k0s")+ G k JTik k Dsi -k[)dk[, (1.2.15) — CO где fi & n G0( )- пространственные спектры функций є(г) и G0(r) соответственно, s" =s0(a) = (cosa, sin a) - единичный вектор, характеризующий направление распространения падающей волны, к0- волновое число падающей волны. В таком случае итерационный процесс решения обратной задачи сводится к оценке є к из экспериментальных данных и данных о Тік к ), а затем к оценке Тік к )из уже найденных значений є{кх), в соответствии со следующими выражениями [49]
Модификации ядра и правой части интегрального уравнения
В [66,67] показывается, что « линеаризация» задачи достигается благодаря свойствам симметрии предельных значений обобщенных функций Грина Фаддеева G (r,k) относительно направления вектора кє9ї2 и интегрированию по всем углам падения плоской волны (р. При этом пространственный спектр r( ,k)=JF+(r,k)exp(- kVr классических внутренних источников F+(r,k) = s(r)g+(r,к) должен быть локализован внутри круга радиуса Ik Г(к) = 0 при-к 2. (1.2.85) Особенности алгоритма Новикова - Гриневича заключаются в следующем: 1. Учитываются эффекты многократного рассеяния волн, однако алгоритм остается линейным относительно искомой функции неоднородности; 2. Алгоритм имеет существенное специфическое ограничение - требование отсутствия рассеяния назад. Данное условие есть требование на устойчивость решения двумерной монохроматической задачи рассеяния; 3. Для медицинских приложений диапазон приемлемых частот лежит в пределах от десятков кГц до нескольких МГц; 4. Функция неоднородности может быть найдена в любой фиксированной точке пространства независимо от ее значений в остальных точках, что удобно для применения на практике; 5. Существенная экономия вычислительных затрат по сравнению с традиционными итерационными методами. Для восстановления функции неоднородности требуется порядка N4a операций, где Na - количество направлений приема рассеянного поля для каждого из Na направлений зондирования. В то же время алгоритм не лишен и недостатков: 1. Алгоритм не допускает простого обобщения на трехмерное пространство; 2.Прямое обобщение алгоритма на импульсный режим зондирования приводит к существенному возрастанию количества вычислительных операций;
В работе [70] представлен монохроматический модифицированный двумерный алгоритм Новикова являющийся серьезной переработкой алгоритма Новикова - Гриневича, а также его многочастотное обобщение. Рассмотрим его этапы. 1.Первый этап модифицированного алгоритма Новикова такой же, как и у алгоритма Новикова - Гриневича и заключается в нахождении предельных значений обобщенной амплитуды рассеяния h±((p,(p ;coj),j = \J согласно уравнению 2л ± h4 P, p ;co.)-m[h4 P, p ;co.)-eH[±sm((p -(p)]x о J . (1.2.86) Отличием данного уравнения от аналогичного уравнения (1.2.77) является введение частотной зависимости, которое понадобится при его многочастотном (полихроматическом) обобщении. 2. Нахождение классического запаздывающего волнового поля [70,71] gd (г,k,со.) , а точнее модулирующей функции //(г,к; со.) = exp(-/kr)gd (г,к;со.) . Для этого последовательно находят вспомогательные функции Г (г,ф,(р ;со]) = /г1 (ср,(p ;coj)&xp[ikj {x(coscp - coscp) + y(smф - sinq?)}] (1.2.87) e±(r y) = /z±(r y) [±sin( - )], (1.2.88) B(r, (p, cp ; co}) = j Q (r, cp\ cp ; co})%+ {cp - qf)dqf 2 , (1.2.89) - \Q+(r,(p",(p ;co.)x-((p-(p")d(p" 2 і где z± ( P) = l/[l - (l + 0)exp(i )]. Далее решается система линейных уравнений 2л / ы(г, р;щ) + т\В(г, р, р ;щ)/ ы(г, р ;щ)с1 р = 1. (1.2.90) о 3. Расчет предельного значения обобщенного поля /л (г, ;ю.)по выражению 2л ju{r,cp\m]) = ju\r,(p\m]) + m\Q-{r,(p,(p \Q)])jLicl{r,(p \Q)])d(p . (1.2.91) о 4. Вычисление искомой функции неоднородности д д к 2л є(г,а).) = -і і— + — \и (r,(p,co.)Qxp(i(p)d(p. (1.2.92) 2л 0 V Зх ду;
Модифицированный алгоритм Новикова сохраняет все достоинства алгоритма Новикова - Гриневича: локальность по пространственным координатам, возможность получения решения безытерационным путем, учет многократных рассеяний. В тоже время модифицированный алгоритм обладает и рядом других преимуществ, таких как меньшее количество вычислений, возможность вычисления классического поля gcl(r,k,a .), позволяющего рассчитать пространственный спектр вторичных источников Fd(r,k;co.) = s(r,co )gd(r,k;co )и оценить размеры области его локализации.
Численное испытание алгоритма показало, что эффекты перерассеяния приводят к увеличению области расположения пространственного спектра вторичных источников по сравнению с Борновской оценкой. Еще одним преимуществом данного алгоритма является возможность обобщения на многочастотный случай. В соответствии с этим обобщением в расчет алгоритма вводились уравнения связи, вытекающие из общности рассеивателя для различных частот. В простейшем случае одинаковой частотной зависимости Re (r, .) и 1т (г,ю.) уравнение связи имеет вид: є(г,со})1к]-є(г,со}+1)1к]+1=0, 7 = 1,7-1. (1.2.93)
Датчик на основе ультразвуковой фазированной решетки
Мы будем рассматривать одномерный случай как базовый вариант, на основе которого можно обобщать разрабатываемый алгоритм и на многомерный вариант. Учитывая одномерный характер алгоритма, опишем ограничения, налагаемые на разрабатываемые алгоритм и численный метод: 1.Ограничения по пространственным координатам: 1) объект измерения должен иметь толщину /существенно меньшую, чем поперечные размеры акустического излучателя I1 и I2 Z1 »/, Z2 »/; 2) Длина LS1K ширина LS2 объекта измерения должны быть значительно большими, чем его толщина /: LS1»I, LS2 »I. и значительно большими, чем поперечные размеры акустического излучателя: LS1»I1, LS1» L2» , LS2 »l2; 2.0граничения на функцию щ(х) характеризующую неоднородность модуля упругости: 1) Функция неоднородности щ(х) должна быть переменной только по одной координате х, перпендикулярной плоскости рабочей поверхности ду/ дцг излучателя, то есть = 0, = 0, где у и z - остальные координаты ду dz выбранной декартовой системы координат; 2) Модуль упругости К(х) и функция неоднородности у/(х) должны быть скалярными величинами; 3) Рассматриваемый объект измерения, характеризуемый функцией неоднородности (х) должен обладать либо аморфной структурой (например, стекло, аморфные металлы) либо поликристаллической структурой, с размерами поликристаллитов меньшими, чем разрешающая способность разрабатываемого численного метода.
Первое из ограничений по пространственным координатам связано с тем, что ультразвуковой луч по мере своего распространения расходится, поэтому необходимо зарегистрировать всю совокупность переотраженных от границ объекта измерения импульсов несущих информацию о его строении, до того момента времени, когда начинает сказываться расходимость луча.
Второе из ограничений по пространственным координатам связано с необходимостью устранения краевых эффектов, заключающихся в появлении отраженных от боковых стенок сигналов.
Первое из граничении на функцию неоднородности связано с тем, что рассматривается одномерное приближение алгоритма. Также у многих функционально-градиентных материалов градиент свойств наблюдается по одной координате (глубине).
Второе из ограничений на функцию неоднородности связано с рассматриваемым одномерным приближением алгоритма.
Третье из ограничений на функцию неоднородности связано с присутствием структурных шумов, которые могут сказаться на работе алгоритма, понизив точность реконструкции.
Приведем полный вывод исходных уравнений алгоритма и формулировку обратной коэффициентной задачи.
Деформированное состояние упругой среды можно описать вектором смещений u(r,t) = (u1(r,t),u2(r,t),u3(r,t)) равным смещению частицы относительно положения равновесия, характеризуемого радиус-вектором r = (x,y,z) = (x1,x2,x3) [101]. Возникающие при деформациях упругие силы характеризуются тензором напряжений т , i, j = 1,3. Связь между напряжениями и деформациями в случае локально-изотропного твердого тела в линейном приближении по амплитуде деформаций дается законом Гука [101]: ди ди + (2.1.1) дх дх „. ди, „ . т = A(r)—д.. + u(r) дх ч И У У J В этом выражении и в дальнейшем по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование, также Sv = 1 при і = j, в противном случае З,- =0, параметры Л(г) и //(г) - постоянные Ламе [101]. Второй закон Ньютона для частицы твердого тела с учетом физического смысла тензора напряжений имеет вид: (2.1.2) р(г) д2и дет.. — дх —, г,j = 1,3, дґ где р(г)- плотность среды.
В одномерном случае, когда у нас имеется одна компонента u(r,t) вектора смещений, учитывая то, что колебательная скорость есть v(r,t) = du(r,t)/dt, а давление p(r,t) выражается через тензор напряжений сг..=-рд.., имеем г г г г IJ г IJ следующее соотношение: , 5v(x,) dp(x,t) р(г) + 0. (2.1.3) dt дх Подставим выражение (2.1.1) в (2.1.2), запишем получающееся уравнение упругих волн в локально-изотропном твердом теле: (ди. ди I Э2 p(r)—Uj(r,t) д дх Mr) ди к J дх + д дх /и(г) + дх дх і J , i,j,k = 1,3 (2.1.4) В одномерном случае, когда i, j,k = 1 выражение (2.1.4) принимает вид: р(х)—u(x,t) = — К(х) dt 2 ЭД дх (2.1.5) где К(х) = Я(х) + 2ju(x). Величину К(х) будем называть модулем упругости. Дифференцируя (2.1.2) получим уравнение для колебательной скорости v(x) = du(x,t)/dt: р(х)—v(x,t) = — К(х) dt 2 ЭД дх (2.1.6) Дифференцируя (2.1.3) по времени, и подставляя в (2.1.6) получим соотношение: (2.1.7) dp(x,t) „, ,dv(x,t) - К(х) dt дх В итоге получим систему уравнений, составленную из (2.1.3) и (2.1.7). Переходя к спектральному представлению, получим следующую систему уравнений: dx dv(xjco) jco dp(x, jco) + jwp v j = Q + (2.1.8) p(x, jco) = 0, dx K(x) где со - частота. Из системы (2.1.8) выводится также следующее уравнение: (2.1.9) d2p(x,jco) р (х)х dp(x, jco) 2 Р(х) . dx 2 р(х) dx К(х) Как мы уже отмечали в подразделе (1.1.3) в приближении Рытова основным источником информации является фаза W(r) акустического давления, измеренная на границе объекта измерения и удовлетворяющая уравнению, аналогичному уравнению (1.1.30): /?(r) = /?0exp(W(r)). (2.1.10) Известно [102], что любое решение дифференциального уравнения типа (2.1.9) можно представить в форме: р{х) = р{ ехр - \ jcop(x)Y(x, jco)dx (2.1.11) где функция Y(x, jco) удовлетворяет следующему соотношению: (2.1.12) ч 1 P (xjco) v(xjco) Y(x, jco) = = . jcop(x) p(xjco) p(xjco) Из (2.1.12) видно, что данная функция есть не что иное, как комплексная акустическая проводимость или адмиттанс одномерной акустической среды [93,103-105]. Непосредственной подстановкой (2.1.11) в (2.1.9) проверяется, что акустический адмиттанс Y(x,ja) подчиняется уравнению Риккати [102]: dY(x,jco) 2 jco jcop(x)Y\x,jco) + = 0. (2.1.13) dx K(x) Становится ясно, что фаза акустического давления W(x, jco) в одномерном случае, измеренная на границе объекта зондирования в точке х = 0, удовлетворяет соотношению: W(0,jco) = -\jcop{x)Y{x,jco)dx, (2.1.14) где точка с координатой / определяется заданием на ней граничного условия для уравнения (2.1.12). Ограничим наше рассмотрение одним лишь переменным модулем упругости К{х), величину плотности р{х) будем считать известной, постоянной и равной р0. Во многих случаях модуль упругости К{х) изменяется значительно сильнее плотности р{х). В таком случае данные рассеяния то есть фаза W(0,jco), с учетом (2.1.13), определяется значениями акустического адмитгансаУ(д:,уй?), то есть последний может служить источником информации. В последующих рассуждениях мы перейдем от рассмотрения фазы акустического давления к рассмотрению граничного акустического адмиттанса в качестве основного источника информации о неоднородностях единственного неизвестного параметра - модуля упругости К{х). Сформулируем теперь обратную коэффициентную задачу его нахождения.
Основные барьеры на пути достижения высокой точности работы измерительного алгоритма
Функциональная схема эксперимента приведена на рисунке 27 а). В состав схемы входят: исследуемый образец, зондируемый акустическими волнами с ультразвуковой фазированной решетки (УФР), электрические сигналы с которой поступают на дефектоскоп Tomoscan FOCUS LT, связанный посредством интерфейса передачи данных Ethernet стандарта 10BASE с компьютером, на котором установлено программное обеспечение (ПО) для работы с дефектоскопом - Tomoview 2.9, а также программное обеспечение, реализующее основной измерительный алгоритм, созданный в среде программирования Lab VIEW 2014. Лабораторная установка с образцами изображена на рисунке 27 б). Схема измерения приведена на рисунке 27в).
Методика эксперимента состояла в следующем: исследуемый образец вводится в контакт с рабочей поверхностью датчика, причем местоположение контакта должно быть достаточно удаленным от краев образца для того, чтобы избежать влияния последних на отраженный сигнал. После этого проводится зондирование изучаемого материала акустическими импульсами УФР настроенной при помощи подпрограммы Advanced Calculator 2.9 входящей в состав ПО Tomoview2.9. Производится регистрация с помощью Tomoview 2.9 принятого сигнала в форме одного А-скана полученного при облучении образца под углом 90. Полученный файл с помощью библиотеки NDT Data Access Library конвертируется в файл, формат которого подходит для работы с ним в среде Lab VIEW 2014. После этого проводится непосредственная реконструкция профиля функции неоднородности с помощью основного измерительного алгоритма.
Следует отметить, что условия поверхностного контакта существенно влияют на точность реконструкции. Искажения, вносимые в сигнал при несовершенных условиях контакта, имеют вид задержки импульсов и изменения их амплитуды. Задержка и амплитуда сигнала при каждом измерении отлична от задержек и амплитуд, полученных при других измерениях. Для устранения нежелательных задержек была создано несколько подпрограмм, наиболее совершенной из которых являетя подпрограмма Former of inputs 3 parallel со встроенными подпрограммами Former of inputs, Fitting VI parallel, Minimal residual 2 parallel, Interpolator, Source VI, Allocate VI. Все подпрограммы приведены в приложении 2.
в) Схема измерения: 1 - ультразвуковой датчик, 2 - объект измерения, 3 -уравнение неоднородной среды, Ys(0,ja)) - входной акустический адмиттанс, измеренный на границе среды, / - толщина объекта, \р(х) - искомый профиль (функция неоднородности)
Основная идея, реализуемая данными подпрограммами, заключается в следующем: первый импульс, отраженный от объекта измерения, имеет форму близкую, к форме импульса отраженного от свободной среды. Для того чтобы максимизировать близость форм необходимо пронормировать оба импульса, причем импульс пришедший от свободной среды нужно взять с обратным знаком, так как коэффициент отражения в данном случае равен -1. Учитывая это, скорректировать задержки можно путем сдвига пронормированного сигнала пришедшего от объекта измерения до совмещения с опорным сигналом, которым является пронормированный, взятый с обратным знаком импульс, отраженный от свободной среды. Таким образом, оптимальной коррекцией задержки можно считать сдвиг минимизирующий невязку разности между первым импульсом сигнала от исследуемого объекта и опорным импульсом. Учитывая также, что корректируемая задержка существенно меньше длительности импульсов, в пределах которой и нужно осуществлять сдвиг, то можно сдвигать весь сигнал, отраженный от объекта измерения, а не отдельный его участок, соответствующий первому принятому импульсу.
Следует отметить, что из-за малости задержки, коррекции путем сдвига первоначальных сигналов недостаточно, их необходимо интерполировать на большее количество точек с меньшим шагом и осуществлять сдвиг на новой сетке. Точность реконструкции при данной коррекции существенно возрастает, так что ее проведение носит принципиальный характер.
Основная последовательность процедур выполняемых приведенными выше подпрограммами следующая: подпрограмма Former of inputs считывает реализации сигналов отраженных от объекта и от свободной среды, приготовленных с помощью NDT Data Access Library. Сигналы, отраженные от свободной среды, усредняются, полученная таким образом и проинвертированная реализация в виде одиночного импульса является опорным сигналом. После этого данные дополняются значениями, полученными интерполяцией с помощью подпрограммы Interpolator в составе подпрограммы Fitting VI. В последней, производится нормировка данных и опорного сигнала, после чего они поступают на вход подпрограммы Minimal residual 2 parallel. Последняя сдвигает все сигналы, отраженные от объекта измерения, одновремено на один отсчет, после чего вычисляется одновременно невязка разности между опорным и каждым принятым сигналом в подпрограмме Parallel rms. Затем Minimal residual 2 parallel сдвигает все сигналы на два отсчета и также производит вычисление невязки, далее на три отсчета и так далее. Из полученных сдвинутых реализаций выбирается та группа сигналов, невязка которых с опорным сигналом была наименьшей. Далее полученная группа сигналов уже в подпрограмме Fitting VI parallel, подвергается операции обратной к нормировке, затем все сигналы в пределах данной группы суммируются и усредняются. Из полученного сигнала выбираются отсчеты, соответствующие отсчетам сигналов до проведения интерполяции. Подготовленная таким образом реализация дополняется нулями до первоначального размера и используется далее при вычислении входного акустического адмиттанса Ys(ja ). Блок схема алгоритма выполняющего приведенную выше подготовку принятого сигнала приведена на рисунке 28. На данном рисунке массивы sl(kAt), S (kAt) при n = l,N,m = l,M,k = l,K обозначают наборы из п реализаций сигнала, отраженного от объекта измерения, и т реализаций сигнала отраженного от свободной среды соответственно, причем количество отсчетов в каждой реализации равно к.
Для экспериментального исследования численный код, реализующий основной измерительный алгоритм, был модифицирован. В состав модифицированной программы Experimental freq alg for admittance 2.1 вошла подпрограмма измерения акустического адмиттанса в граничных точках при х = 0 и х = 1 Complex of admittances 3. Были также модифицированы подпрограмма оценивания начального приближения - Initial estimate research 2, подпрограмма для выбора модельного примера и нормировки Generator of model examples 7, комплекс подпрограмм для решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода -Intequat 03 for admittance. Все остальные компоненты остались неизменными. Данные обновленные подпрограммы представлены в приложении 2. В целом структура основного алгоритма приведенного в подразделе 3.2.1 изменилась незначительно, поэтому его блок-диаграмма практически полностью соответствует обновленному алгоритму, приспособленному для эксперимента. Учитывая это, блок-диаграмма обновленного алгоритма не приводится.