Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Аналитический обзор современных подходов к решению задач оптимизации пространственных металлических конструкций 13
1.1. Общая характеристика пространственных металлических конструкций 13
1.2. Обзор основных направлений в задачах оптимального проектирования конструкций 14
1.3. Решения пространственной задачи КЭ анализа 20
1.4. Основные численные алгоритмы для решения задач оптимизации пространственных конструкций
1.4.1. Алгоритм, основанный на методах нелинейного программирования 23
1.4.2. Алгоритм, основанный на методах стохастического поиска 27
1.4.3. Алгоритм, основанный на нейронной динамической модели 28
1.5. Программные комплексы, содержащие модуль оптимизации пространственных конструкций 29
1.5.1. Программный комплекс SOLIDWORKS 29
1.5.2. Программный комплекс MSC NASTRAN 30
1.5.3. Программный комплекс ANSYS 30
1.6. Основные выводы по главе 1 35
ГЛАВА 2. Алгоритмы численной оптимизации пространственных металлических конструкций по критерию минимального объёма 38
2.1. Постановка задачи оптимизации 38
2.2. Алгоритмы решения задачи 39
2.2.1. Алгоритм оптимизации ПМК при прямом вычислении 39
2.2.2. Алгоритм оптимизации ПМК на основе аппроксимаций 40
2.3. Алгоритм решения задачи нелинейного программирования с использованием модифицированной функции Лагранжа 41
2.4. Варианты параметров, варьируемых в процессе оптимизации 46
2.5. Алгоритм формирования функций ограничений 49
2.6. Исследование влияния коэффициентов нормировки на сходимость алгоритма 55
2.7. Анализ чувствительности параметров стальных конструкций 65
2.8. Основные выводы по главе 2 78
ГЛАВА 3. Программный комплекс расчёта и оптимизации пространственных металлических конструкций РОПМК 79
3.1. Структура программного комплекса РОПМК 79
3.2. Блок решения задачи нелинейного программирования NMPack 86
3.2.1. Структура блока NMPack 87
3.2.2. Обращение к блоку NMPack
3.3. Программа формирования целевой функции FUNFX 90
3.4. Программа формирования функции ограничений FUNRS. 3.6. Блок решения задачи статического анализа Statics 92
3.7. Блок конструктивного расчета Steel 94
3.8. Блок формирования приближенной задачи оптимизации Approx 95
ГЛАВА 4. Апробация и исследование эффективности программного комплекса оптимального проектирования пространственных металлических конструкций 99
4.1. Оптимизация 25-ти стержневой пространственной металлической конструкции 99
4.1.1. Варьирование параметров сечений элементов (Вариант 1) 101
4.1.2. Варьирование параметрами сечений элементов и координатами группы узлов (Вариант 2) 106
4.2. Оптимизация 4-х стержневой пространственной металлической конструкции 111
4.2.1. Использование алгоритма прямого вычисления функции цели и ограничений (вариант 1) 113
4.2.2. Использование алгоритма на основе аппроксимации 2-го порядка (вариант 2) 113
4.3. Оптимизация пространственного каркаса двухэтажного здания 116
4.3.1. Непрерывное изменение варьируемых параметров (использование алгоритма прямого вычисления функции цели и ограничений) 119
4.3.2. Дискретное изменение параметров (использование алгоритма прямого вычисления функции цели и ограничений) 124
4.3.3. Использование алгоритма на основе аппроксимации функции ограничений 1-го порядка 126
4.1. Основные выводы по главе 4 128
ГЛАВА 5. Оптимизация опоры линии электропередачи напряжением 35 кв с использованием программного комплекса РОМПК 130
5.1. Исходные данные опоры 130
5.2. Постановка задачи оптимизации и методы решения 134
5.3. Решение задачи оптимизации опоры с использованием ПК РОПМК 135
5.3.1. Непрерывное изменение параметров сечений (Вариант 1) 135
5.3.2. Дискретное изменение параметров сечений (Вариант 2) 139
5.3. Сравнение полученных результатов оптимизации 143
5.4. Основные выводы по главе 5 144
Основные результаты и выводы 145
Библиографический список
- Основные численные алгоритмы для решения задач оптимизации пространственных конструкций
- Алгоритм решения задачи нелинейного программирования с использованием модифицированной функции Лагранжа
- Программа формирования функции ограничений FUNRS. 3.6. Блок решения задачи статического анализа Statics
- Решение задачи оптимизации опоры с использованием ПК РОПМК
Введение к работе
Актуальность темы. Пространственные металлические конструкции (ПМК) по сравнению с плоскими обладают такими достоинствами как высокая архитектурная выразительность, надёжность, малая металлоёмкость и т.д., что позволяет им широко применяться в современном строительстве. Проблема поиска оптимальных решений в проектировании ПМК охватывает широкий спектр направлений, связанных с всесторонним исследованием их напряженно-деформированного состояния. В определенном смысле задачу оптимального проектирования можно рассматривать как задачу проектировочного расчета, когда при заданных группах геометрических и физических параметров и известных внешних воздействиях требуется подобрать (согласно заданному критерию оптимальности) другую группу параметров (называемых варьируемыми параметрами, или переменными проекта). Поведение конструкции при этом ограничивается нормативными требованиями по прочности, жесткости и устойчивости. Математическая модель задачи оптимизации ПМК в данной работе представлена в форме задачи нелинейного программирования (НЛП), где критерием оптимальности является минимальный вес или объём конструкции. Ограничения задаются с учётом нормативных требований в соответствии СП 16.13330.2011 «Стальные конструкции». Параметры состояния конструкций (внутренние усилия, узловые перемещения и т.д.) определяются путем решения задачи статического анализа на основе метода конечных элементов.
Проблема оптимизации ПМК усложняется тем, что, во-первых, итерационный алгоритм оптимизации выполняет многократное обращение к задаче конечно-элементного (КЭ) анализа, которая сама по себе требует больших вычислительных ресурсов. Во-вторых, число переменных проекта и ограничений, входящих в расчетную модель, может быть значительным. Таким образом, существенную роль в разработке алгоритмов оптимизации играет выбор поисковых методов, позволяющих, с одной стороны, давать устойчивую сходимость при заданной точности вычислений, а с другой, минимальное число решений задачи КЭ анализа.
Современные программные комплексы (ПК), такие как: ЛИРА-САРП, SCAD, MicroFE, реализующие модули КЭ анализа, а также конструктивный расчет в соответствии с российскими нормами, находят широкое применение в практике современного проектирования, позволяя инженеру решать задачи поверочного расчета при заданных физических и геометрических параметрах конструкций, однако в них отсутствует модули оптимизации. Зарубежные ПК (MSC NASTRAN, ANSYS) помимо развитого аппарата КЭ анализа, содержат модули оптимизации. Однако главное препятствие в эффективном применении зарубежных ПК для задач оптимизации состоит в том, что в них отсутствует модуль проверок на основе российских норм в области проектирования, нет возможности варьировать сечениями согласно сортаментам. Поэтому разработка эффективных алгоритмов и программных комплексов оптимизации ПМК является одной из актуальных проблем современного проектирования.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются пространственные металлические конструкции (каркасы зданий, опоры линий электропередач и др.), подверженные статическим воздействиям. Предмет исследования – математическая модель задачи оптимизации ПМК, численные методы и алгоритмы оптимизации; настройка коэффициентов, влияющих на сходимость алгоритмов.
Цель и задачи исследования. Целью исследования является создание эффективного математического аппарата для совершенствования и автоматизации проектировочного расчета пространственных металлических конструкций, работающих в условиях статических воздействий.
Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:
-
Разработка математической модели и алгоритма решения задачи оптимизации пространственных металлических конструкций, подверженных статическим воздействиям.
-
Исследование методики поиска оптимальных решений на основе модифицированной функции Лагранжа (МФЛ), где реализована автоматическая настройка коэффициентов на сходимость алгоритма оптимизации пространственных металлических конструкций.
-
Создание программного комплекса (ПК) расчета и оптимизации пространственных металлических конструкций путем разработки и добавления блоков конечно-элементного анализа и конструктивного расчета, верификации ПК на основе решения тестовых задач.
-
Решение задачи оптимизации ПМК на основе аппроксимаций функций ограничений полиномами первого и второго порядка, сравнительный анализ сходимости и результативности такого подхода.
-
Решение практических задач оптимизации ПМК на непрерывном и дискретном пространстве изменения варьируемых параметров, исследование результатов на единственность.
Методология и методы исследования. Для задания основных свойств объекта и его взаимодействия с внешней средой использовался принцип математического моделирования. Исследование принятой модели выполнялось на основе численных методов статического анализа, численных методов нелинейного программирования, где условно-экстремальная задача сведена к задаче на безусловный экстремум с помощью модифицированной функции Лагранжа. Задача на безусловной оптимизации решалась прямыми методами. Разработка авторских комплексов программ проводилась в среде Visual Studio. При проведении верификационных исследований использовался ПК ANSYS.
Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов подтверждена применением корректных математических подходов, использующих численные методы конечно-элементного анализа и методы решения условно-экстремальных задач, а также сравнением с результатами тестовых задач оптимизации с помощью других ПК.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1. Разработана новая математическая модель, на основе которой реализо-4
ван алгоритм автоматизированного проектировочного расчета пространственных металлических конструкций с оптимизацией их геометрических параметров согласно заданному критерию.
-
Усовершенствована методика оптимизации с использованием модифицированной функции Лагранжа путем автоматической настройки коэффициентов нормировки целевой функции и функций ограничений.
-
Предложен оригинальный подход к решению задачи оптимизации пространственных металлических конструкций, где заложена возможность варьирования, как параметрами поперечного сечения, так и координатами узлов на непрерывном и дискретном диапазоне.
-
Разработан алгоритм оптимизации ПМК на основе аппроксимаций, для чего в программный комплекс оптимизации встроен модуль анализа чувствительности параметров стальных конструкций.
-
В программный комплекс оптимизации пространственных металлических конструкций встроены блоки конечно-элементного анализа и блок конструктивного расчёта, которые функционируют независимо, что даёт возможность их автономного редактирования.
Практическая значимость работы.
-
Разработаны методы и алгоритмы оптимизации, на основе которых создан программный комплекс РОПМК, позволяющий решать практические задачи оптимизации ПМК с включением нормативных требований по прочности, устойчивости и жесткости.
-
Для тестирования функций ограничений, включающих нормативные требования к ПМК, разработан программный модуль АНаСК, реализующий анализ чувствительности параметров стальных конструкций.
-
Результаты диссертационного исследования могут быть использованы в учебном процессе при проведении занятий по дисциплинам «Металлические конструкции» и «Строительная механика», а также аспирантами, научными работниками, которые занимаются вопросами оптимизации конструкций.
Апробация работы. Работа выполнялась на кафедры сопротивления материалов и строительной механики ИРНИТУ. Основные положения исследований докладывались на конференциях и симпозиумах, среди которых: XVIII Байкальская всероссийская конференция «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (ИСЭМ СО РАН, г. Иркутск. 2013); III Всероссийская конференция «Проблемы оптимального проектирования сооружений», НГАСУ, СО РААСН (Новосибирск, 2014), V Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (ИрГТУ, г. Иркутск. 2014), XV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (ИВТ СО РАН, г. Тюмень. 2014).
Результаты диссертационного исследования неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры сопротивления материалов и строительной механики Иркутского национального исследовательского технического университета.
Результаты диссертационного исследования опубликованы в 13 научных работах, из них 5 статьей в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ, и одна монография. Получены свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 181 наименования. Объём работы составляет 173 страницы, 70 рисунков и 30 таблиц.
Основные численные алгоритмы для решения задач оптимизации пространственных конструкций
Вопросу оптимального проектирования конструкций посвящено значительное число работ российских и зарубежных ученых. Перечислим лишь некоторых авторов, которые внесли существенный вклад в теорию оптимизации конструкций: Н.П. Абовский, Н.В. Баничук, А.И. Виноградов, Г.И. Гребенюк, Т.Л. Дмитриева, В.А. Киселев, В.А. Комаров, И.Б. Лазарев, Л.С. Ляхович, В.П. Малков, Д.А. Мацюлявичюс, Ю.М. Почтман, И.М. Рабинович, Ю.А. Радциг, А.Р. Ржаницын, Н.Д. Сергеев, Н.Н. Складнев, А.Ф. Смирнов, А.П. Фипиппов, А.А. Чирас, Я. Арора, Н. Адели, З. Васютинский, Д. Келлер, М. Леви, З. Мруз, Ф. Ниордсон, Н. Ольхофф, В. Прагер, Д. Рожваны, Д. Тейлор, М. Тернер, Э. Хог, Р. Шилд и другие.
В данном обзоре ограничимся рассмотрением задач оптимизации физических и геометрических параметров металлических пространственных конструкций в статической постановке [1, 2, 18, 11, 12, 26, 41, 43, 48, 54, 58, 59, 60, 99, 103, 107, 111, 112, 139, 143, 144, 157, 174].
Оптимальное проектирование конструкций (ОПК) в своей основе является многоуровневой задачей [61, 133, 134, 137]. Для сложных крупногабаритных конструкций применяют принцип декомпозиции, когда различают глобальный и детальный уровень оптимизации. На глобальном уровне проектирования предусмотрен расчет сооружений в целом с первоначально принятыми физическими и геометрическими характеристиками с учетом ограничений по прочности, жесткости и общей устойчивости и т.д. На детальном уровне объектами оптимизации являются физические и геометрические свойства отдельных элементов. Задачи оптимизации на этом уровне характеризуются небольшим числом проектных переменных с ограничениями по широкому диапазону при различных случаях загружений.
Интенсивные исследования в области ОПК начались во второй половине XX в. Очевидно, что развитие численных методов оптимизации шло в ногу с появлением вычислительной техники [7, 70, 119, 120, 170], т. к. каждая ступень исследований сопровождалась программной реализацией. Эффективность поисковых алгоритмов, заложенных в ту или иную программу, определялась скоростью сходимости, точностью полученных результатов, временными затратами. В связи с тем, что вычислительные ресурсы ЭВМ были ограничены, требовалось, с одной стороны, минимизировать вычислительные операции, а с другой – сократить объем рабочих данных, хранящихся в памяти ЭВМ. В настоящее время, в связи с применением вычислительной техники нового поколения эти проблемы во многом перестали быть актуальными, хотя, с другой стороны, сами объекты проектирования стали более сложными, что выдвигает требования по использованию более эффективных расчетных схем и методов оптимизации конструкций.
При оценке трудоемкости решения той или иной задачи необходимо учесть, что поиск оптимальных геометрических и физических параметров конструкций выполняется комбинацией численных методов анализа и синтеза (оптимизации) [22, 61, 169], что требует выбора расчетной и проектной модели.
Расчетная модель формализуется в виде конечно-элементной (КЭ) модели, отображающей степени свободы в узлах, типы элементов и топологию системы, её физические характеристики. Так как трудоемкость решения задачи КЭ анализа определяется числом степеней свободы системы в целом, то для реальных ПМК эта задача требует существенных вычислительных ресурсов.
Проектная модель характеризует выбор числа переменных проектирования и характер ограничений в виде требований к состоянию объекта оптимизации. Таким образом, эффективность проектной модели оценивается количеством независимых переменных проекта и числом ограничений. Некоторого сокращения объема вычислений при решении задач оптимизации можно добиться путем группировки элементов по типоразмерам и материалу. Кроме того, существенную роль в разработке алгоритмов оптимизации играет выбор того или иного поискового метода, позволяющего, с одной стороны, давать устойчивую сходимость при заданной точности вычислений, а с другой – минимальное число обращений к решению задачи КЭ анализа.
Успешные подходы к решению этой проблемы основываются на методике аппроксимации параметров состояния системы. Разработка этой концепции привела к появлению эффективных вычислительных методов оптимизации на основе разложения исходной задачи в ряд Тейлора. Коэффициенты аппроксимации при этом определяются с использованием аппарата анализа чувствительности [10, 61, 64, 170]. Следует отметить, что сама по себе задача чувствительности состояния системы к изменению её геометрических и физических параметров несет важную информацию, т.к. позволяет проектировщику оценить влияние этих параметров на поведение конструкции. Актуальность этой задачи подтверждается тем, что большинство современных программных комплексов КЭ анализа включают модуль анализа чувствительности (АЧ), как неотъемлемую часть.
Алгоритм решения задачи нелинейного программирования с использованием модифицированной функции Лагранжа
Блок оптимизации разработан на основе многометодных алгоритмов условной и безусловной минимизации, где использованы эвристические процедуры переключения поисковых методов оптимизации различных классов.
Алгоритм решения задачи статического анализа реализован для пространственных стержневых конструкций.
Конструктивный расчет включает проверки по прочности, устойчивости, согласно нормативному документу СП 16.13330.2011 «Стальные конструкции».
В библиотеке сечений вычисляются геометрические характеристики простых и сложных сечений, которые приведены в разделе 2.4.
Для решения задачи (2.1-2.2) формируется приближенная модель путём построения в окрестности текущей точки аппроксимаций целевой и ограничительных функций, либо параметров состояния, входящих в эти функции. Аппроксимации выполняются путем разложения исходных функций в ряд Тейлора с удержанием членов первого (линейные аппроксимации) либо второго (квадратичные аппроксимации) порядка. Коэффициенты аппроксимации формируются в блоке анализа чувствительности. Решение задачи конечно-элементного анализа выполняется именно на этом этапе. Преимущество такого похода состоит в том, что он требует существенно меньшего числа обращений к блоку КЭ расчета по сравнению с первым. Поиск оптимального решения (задача НЛП) реализуется для приближенной модели. На рис. 2.2 показан взаимосвязь основных блоков этого алгоритма.
Аппроксимация целевой функции и функции ограничений может быть выполнена путем разложения их в ряд Тейлора первого (2.19) или второго порядка (2.20) в окрестности точки х:
Алгоритм решения задачи нелинейного программирования с использованием модифицированной функции Лагранжа
Основным блоком в каждом из этих алгоритмов является блок оптимизации, который рассмотрен наиболее подробно. Здесь реализовано решение стандартной задачи НЛП: найти тin /(х),хєЕпх, (2.6) при ограничениях g (х) 0, j = 1,2,..., ш; (2.7) Поисковые алгоритмы оптимизации, заложенные в этом блоке, основаны на сведении условно-экстремальной задачи (2.6-2.8) к задаче на безуслов-41 ный экстремум. Такой переход возможен с помощью стандартной функции Лагранжа: FL(x) = J {x)+{Yf[8]\g l (2.9) где {Y} -множители Лагранжа (двойственные переменные); [S] - диагональная матрица, элементы которой 8 = 1, если соответствующее ограничение являет-ся активным, иначе, 8 =0.
Однако отмечено, что область применения функции Лагранжа (2.9) ограничивается задачами выпуклого программирования, что не всегда имеет место в задачах оптимизации конструкций. Для построения алгоритмов, обладающих более широкой областью сходимости, в работе предлагается модифицировать функции Лагранжа путем добавления к ней штрафа за невыполнение условий (2.7). Кроме того, для повышения скорости сходимости в функции ограничений, которые изначально заданы в безразмерной форме и нормированы к единице, добавлен коэффициент нормировки ограничений kg:
Отметим, что основным отличием МФЛ Fp от функций, заложенных в современных программных комплексах (в том числе ПК ANSYS), является присутствие величины сдвига AZ, обеспечивающей гладкость этой функции в окрестности оптимума. Исследования сходимости задачи оптимизации с использованием МФЛ Fp выполнены в работах [105, 106].
Использование функции (2.12) позволяет получать решения условно-экстремальных задач в невыпуклых областях.
Трудоёмкость алгоритма определяется эффективностью решения задачи (2.13-2.14). При этом необходимо, чтобы точность вычисления прямых и двойственных переменных была соизмерима. Для решения задачи (2.13-2.14) в алгоритме реализованы прямые поисковые методы (метод покоординатного спуска и метод деформируемого многогранника). Исходные данные
Этот метод реализован в алгоритме в виде симплекс-метода [50].Здесь минимизируется функция n независимых переменных с использованием n+1 вершин деформируемого многогранника в n-мерном пространстве En. Для простоты записи фигурные скобки при обозначении векторов будем опускать. Каждая вершина может быть идентифицирована вектором X. Вычисляются значения функции цели в вершинах многогранника и определяется максимум из этих значений, которому соответствует вершина Xnt . Определяется центр тяжести X0t усечённого многогранника, из которого исключена вершина с наибольшим значением Xnt . Приводится проецирующая прямая через вершину Xnt и центр тяжести X0t , на которой находится точка XIt с меньшим, чем в вершине Xnt значением функции цели. Затем исключается вершина Xnt . Из оставшихся вершин и новой точки XIt строится новый многогранник, с которым повторяется описанная процедура. Отметим, что новая вершина многогранника не должна нарушать параметрические ограничения (2.16).
Программа формирования функции ограничений FUNRS. 3.6. Блок решения задачи статического анализа Statics
Программный комплекс РОПМК представляет собой совокупность проблемно-ориентированных программ расчета, обеспечивающих решение задачи оптимизации ПМК, исследование напряжённо-деформируемого состояния этих конструкций в статической постановке.
Программный комплекс РОПМК реализует расчет и оптимизацию пространственных металлических конструкций. Этот ПК может работать в двух режимах. В первом режиме (рис. 3.1), нахождение значений усилий и перемещений осуществляется прямым расчётом при каждом обращении к функциям цели и функциям ограничений. Основные его модули перечислены в главе 2.
Во втором режиме для решения задачи оптимизации строится приближенная задача путём аппроксимации функций ограничений либо функции цели. В случае если аппроксимации строятся для параметров состояния системы (усилий, напряжений, перемещений и др.), возможно получение более качественных приближений к исходной задаче. Взаимосвязь основных блоков ПК в режиме аппроксимаций показана на рис. 3.2.
Блок ввода и вывода данных Удобство работы с ПК РОПМК обеспечивает блок ввода и вывода данных (рис. 3.3, 3.4), включающий следующие основные модули: S Модуль «Подготовка данных» позволяет пользователю добавлять, редактировать, удалять и сохранять данные (рис. 3.5-3.10). Ввод данных возможен также с использованием некоторых готовых шаблонов (рис. 3.11). S Модуль «функции», включающий режим «Диагностика данных», который проверяет исходные данные конструкции перед сохранением их в текстовый файл. Ошибки при диагностике появятся на окне сообщения (рис. 3.12); S Модуль «Настройка», в котором определяются: типы напряженно-деформируемого состояния (НДС) оптимизационной конструкции (рис. 3.13). начальные значения варьируемых параметров (рис. 3.14); свойства групп элементов (рис. 3.15); параметры, используемые в процессе оптимизации (рис. 3.16). Предусмотрено 2 режима настройки: по умолчанию задаются значения параметров на основе авторских рекомендаций и пользовательский режим, позволяющий вводить произвольные значения параметров на рекомендуемых диапазонах их изменений.
Приведем описание основных из них: - текстовый файл, куда выводятся параметры настройки поискового ал горитма оптимизации (предельное число итераций, используемые методы, точ ность вычисления варьируемых параметров, коэффициент нормировки ограни чения, невязок ограничений, штрафные коэффициенты и т.д.); - текстовый файл, где сохранены исходные и оптимальные геометриче ские и физические параметры конструкции (признак задания сечений, учет элементов в группах, величина ограничения на перемещение, координаты узлов и т.д.); - текстовый файл, где приведены ошибки при диагностике данных; - графический файл, где дана схема расположения исходной конструкции.
Блок NMPack разработан Т.Л Дмитриевой и В.В. Безделевым [97, 100]. Этот блок реализует многометодные алгоритмы решения задачи НМП, где использованы эвристические процедуры переключения поисковых методов оптимизации различных классов. Обмен данными между блоками осуществляется при помощи модуля Global Control (рис. 3.19), в котором хранятся необходимые константы и адреса рабочих массивов.
Как уже отмечалось, задача оптимизации ПМК моделируется в виде задачи нелинейного математического программирования, для решения которой используется широкий набор методов условной и безусловной минимизации. Алгоритм, разработанный на основе этой методики, имеет многоуровневую структуру, где каждый уровень работает автономно и реализует решение определенной задачи. Перечислим основные уровни, входящие в блок NMPack.
Уровень С: на этом уровне производится распределение памяти под массивы блока оптимизации, а также контроль исходных данных;
Уровень R: приводит исходную условно-экстремальную задачу к задаче на безусловный экстремум при помощи методов модифицированных функций Лагранжа. Здесь же производится пересчет двойственных переменных (множителей Лагранжа) и проверка сходимости алгоритма.
Как уже отмечалось, задача оптимизации моделируется в форме задачи НЛП (2.1-2.3). Общий алгоритм решения задачи приведен выше (рис. 2.1). С ис-88 пользованием модифицированной функции Лагранжа Fp (2.12) задача на условной экстремум приводится к задаче безусловной минимизации. Для решения которой используются как прямые методы и метод оптимизации на основе аппроксимации целевой функции и функции ограничений.
Прямые методы (метод деформируемого многогранника и метод покоординатного спуска) позволяют работать с функциями, которые имеют сложный характер, разрывы, негладкости, что затрудняет вычисление их производных.
Поисковый процесс оптимизации можно регулировать путем переключения методов безусловной минимизации. Последовательность этих методов может задаваться пользователем на этапе подготовки данных (рис. 3.16), на основе чего формируется массив Method. Если этот массив не задан, в процессе оптимизации происходит его настройка по умолчанию. Массив Method содержит 3 элемента: Method (1) - метод безусловной минимизации, используемый на 1-й итерации; Method (2) - метод безусловной минимизации, используемый до стабилизации множества потенциально активных ограничений; Method (3) - метод безусловной минимизации, используемый после стабилизации множества потенциально активных ограничений.
Решение задачи оптимизации опоры с использованием ПК РОПМК
Параметры сечений менялись дискретно согласно сортаментам. Для каждого типа сечений назначен 1 варьируемый параметр, который меняется в пределах от 1 до N_sort, где Nsort - число позиций сортамента. Позиции сортамента выбраны так, что они обеспечивают монотонное возрастание площадей сечения.
Таким образом, варьировались 5 параметров сечений и ещё 1 параметр -высота группы узлов (всего 6 параметров). Общее число ограничений - 52. Задача решена при различных начальных проектах. Для обеспечения сходимости точность в невязках ограничений ослаблена до 10 . В качестве методов решения задачи на безусловный экстремум использован метод покоординатного спуска. Результаты решения задачи оптимизации: - оптимальный объём каркаса (х)= 1022080,527 см ; - число обращений к функциям ограничений 4986; - число итераций 10; - оптимальный угол наклона - 18. Получены следующие потенциально активные ограничения по жесткости
Выполнено исследование сходимости в задачах дискретной оптимизации. В результате получено 3 локальных оптимума, дающих значения целевой функции с разбросом в 5,7%. В этом случае проектировщик может выбрать проект, который имеет лучшие показатели (наименьшее значение целевой функции при большей точности в невязках ограничений). На рис. 4.15 показаны графики изменения целевых функций на итерациях при различных начальных
Изменение целевой функции на итерациях при различных начальных спусках (дискретного варьирования)
Задача решалась с заданием различных начальных позиций сортамента, поэтому ниже приведены результаты, имеющие наилучшие показатели.
В связи с сокращением числа вычислений задачи КЭ анализа, выполнен еще один вариант оптимизации пространственного каркаса, где решение задачи (4.8 - 4.16) базировалось на основе аппроксимаций (рис. 2.2). Для формирования приближенной задачи на высших итерациях в окрестности текущей точки {X} строились линейные аппроксимации функций ограничений (4.9 - 4.16).
В данном случае для формирования приближенной задачи требовалось парг =2пх+1 обращений к прямому вычислению функций ограничений на каждой высшей итерации (пх- число варьируемых).
Получены следующие потенциально активные ограничения по жесткости: g41= 0,4710 . Общее число прямых вычислений функции ограничений сократилось до 346, таким образом, дает существенное снижение времени расчёта. Задача была решена с помощью аппроксимаций 2-го порядка функций ограничений, сходимость алгоритма достигнута только на внутренних итерациях. Отметим, что в этом примере, функции ограничений имеют сложный характер.
Из табл. 4.11 видно, что решение задачи оптимизации с использованием алгоритма на основе аппроксимаций требует существенно меньшего числа прямого вычислению функций ограничений, чем алгоритм, где функции ограничений вычисляются напрямую. Оптимальный объём конструкции в первом варианте имеет отличие по сравнению с третьим на 20,31% (при непрерывном варьировании параметров).
1. Решена тестовая задача оптимизации 25-ти стержневой пространственной металлической конструкции с применением ПК РОПМК. Полученные результаты показали, что алгоритмы на основе МФЛ Fp дают лучшую сходимость и результативность чем алгоритмы, заложенные в других источниках.
2. Рассмотренные практические примеры оптимизации ПМК с варьированием параметров поперечных сечений и координат узлов продемонстрировали эффективную работу ПК РОПМК. Проекты близкие к оптимальным получены на 2-3 внешней итерации с корректировкой на следующих итерациях до требуемой точности.
3. На основе исследования влияния параметров, входящих в МФЛ (2.12), во всех примерах принята их автоматическая настройка, обеспечивающая сходимость алгоритмов. Применение алгоритма прямого вычисления функции цели и ограничений показало результативность и устойчивость работы с высокой точностью в невязках ограничений. Для сокращения вычислений, связанных с решением задачи КЭ анализа применен алгоритм на основе аппроксимаций. Такой подход позволяет сократить число обращений к решению задачи конечно-элементного анализа, когда проектная модель содержит большое число переменных и множество ограничений.
4. Выполнено исследование полученных решений на единственность при различных начальных спусках. В случае непрерывного варьирования параметров сечений получено практическое совпадение оптимальных значений целевой функции. Рассмотрены особенности решения задач дискретной оптимизации с варьированием параметров сечений согласно сортаментам, где получено несколько локальных оптимумов. В этом случае оптимальный проект может быть выбран с точки зрения таких показателей, как наименьшее значение целевой функции, высокая точность в невязках ограничений и т.д.
В России в электросетевом строительстве широко применяются металлические опоры линии электропередачи (ЛЭП) из стального уголка. Конструкции опор представляют собой пространственный каркас из стального проката, собираемый на болтовых соединениях или при помощи сварки. Металлические опоры ЛЭП экономичны при транспортировке за счет компактности пакетов деталей, а также пригодны для горячего оцинкования, что повышает их эксплуатационные характеристики, и расширяет область применения. Такие опоры обладают относительно небольшим весом и высокой механической прочностью. Они в два раза легче, чем деревянные, и в восемь раз легче, чем железобетонные опоры той же высоты. На опоры ЛЭП можно производить двухцеп-ные и многоцепные траверсы с большим числом проводов и значительной высотой. Главным недостатком металлических опор ЛЭП является большое количество сборочных элементов, и как следствие, увеличенные трудозатраты при монтаже. Металлические опоры ЛЭП решетчатого типа применяются для строительства воздушных линий электропередачи и эксплуатируются в районах с температурой воздуха до -65С, которые производятся из низколегированного стального проката марки 09Г2С или углеродистой стали марки Ст3 в соответствии с требованиями ГОСТ 27772-88. Антикоррозионная защита выполняется при помощи горячего оцинкования, цинконаполненного композитного покрытия, или грунтовки. Закрепление стальных опор в грунте производится путем их установки на фундамент.