Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор методов численного статистического моделирования кинетических процессов и способов их распараллеливания 25
1.1. Численное статистическое моделирование при решении диффузионных задач, связанных с оценкой функционалов от маловероятных событий 25
1.2. Численное статистическое моделирование кинетических процессов коагуляции и переноса заряженных частиц 28
1.3. Параллельная реализация численного статистического моделирования и генераторов псевдослучайных чисел, оценка масштабируемости параллельных алгоритмов 31
Глава 2. Численное статистическое моделирование при решении диффузионных задач с использованием распределенных вычислений 37
2.1. Задачи оценки функционалов на траекториях диффузионных процессов и применение распределенных вычислений 37
2.2. Оценка вероятности недостижения границы области траекториями диффузионного процесса за заданное время
2.2.1. Аналоговая оценка вероятности 41
2.2.2. Расщепленная оценка вероятности 42
2.2.3. Весовая оценка вероятности с использованием приближения к функции ценности 46
2.2.4. Результаты расчетов с использованием распределенных вычислений 51
2.3. Оценка полной концентрации траекторий диффузионного процесса в точке за заданное время 56
2.3.1. Аналоговая оценка концентрации 56
2.3.2. Весовая оценка концентрации с использованием приближения к функции ценности 59
2.3.3. Комбинирование аналоговой, расщепленной и весовой оценок 62
2.3.4. Результаты расчетов с использованием распределенных вычислений 64
Глава 3. Численное статистическое моделирование процесса пространственно неоднородной коагуляции с использованием распределенных вычислений 69
3.1. Вероятностная модель для численного моделирования процесса пространственно неоднородной коагуляции 69
3.2. Интегральное уравнение для плотности столкновений 72
3.3. Параллельный алгоритм, реализующий вероятностную модель 77
3.4. Исследование эффективности параллельного алгоритма 80
3.5. Результаты расчетов с использованием распределенных вычислений 85
Глава 4. Численное статистическое моделирование процесса переноса заряженных частиц с использованием распределенных вычислений 93
4.1. Вероятностная модель для численного моделирования процесса развития электронных лавин в газе 93
4.2. Особенности моделирования элементов траектории и выбор параметров алгоритма 98
4.3. Параллельный алгоритм, реализующий вероятностную модель 104
4.4. Результаты расчетов с использованием распределенных вычислений 113
Глава 5. Распределительный способ получения псевдослучайных чисел и методика распределенного численного статистического моделирования 117
5.1. Распределительный способ получения псевдослучайных чисел 117
5.2. Тестирование и сравнительный анализ распределительного способа получения псевдослучайных чисел 127
5.3. Методика распределенного численного статистического моделирования для высокопроизводительных вычислительных систем 137
5.4. Типичные приложения распределенного численного статистического моделирования 140
5.5. Организация связей между процессорами при распределенных вычислениях 146
5.6. Имитационная модель исполнения программ распределенного численного статистического моделирования и оценка масштабируемости 149
Глава 6. Библиотеки PARMONC, PARMONC-PC и MONC для реализации распределенного численного статистического моделирования и параллельная программа AMIKS 162
6.1. Библиотека PARMONC для высокопроизводительных вычисли тельных систем с массивно-параллельной и гибридной архитек турами 162
6.1.1. Описание библиотеки 162
6.1.2. Реализация параллельного генератора псевдослучайных чисел и методики распределенного численного статистического моделирования 163
6.1.3. Стандартная методика реализации программ распределенного численного статистического моделирования
6.2. Библиотека PARMONC-PC для персональных компьютеров с многоядерными процессорами 172
6.3. Библиотека MONC для высокопроизводительных грид-систем 6.3.1. Описание библиотеки 173
6.3.2. Реализация распределительного способа получения псевдослучайных чисел 174
6.3.3. Совместное использование библиотек MONC и PARMONC-PC 176
6.4. Параллельная программа AMIKS для численного анализа стохастических осцилляторов на высокопроизводительных вычисли тельных системах 177
6.4.1. Описание программы 177
6.4.2. Оцениваемые функционалы 180
6.4.3. Пример решения задачи 182
Заключение
- Численное статистическое моделирование кинетических процессов коагуляции и переноса заряженных частиц
- Оценка вероятности недостижения границы области траекториями диффузионного процесса за заданное время
- Интегральное уравнение для плотности столкновений
- Тестирование и сравнительный анализ распределительного способа получения псевдослучайных чисел
Численное статистическое моделирование кинетических процессов коагуляции и переноса заряженных частиц
1. При моделировании процессов переноса заряженных частиц [113, 114] важно использовать апробированные математические модели и методы, разработанные для задач численного решения уравнения переноса излучения. Этой теме посвящено значительное число публикаций, наиболее полный обзор методов представлен в работах [115–118]. Для решения многомерных задач переноса излучения, которые адекватнее и ближе натурным условиям, разрабатываются специализированные информационно-математические суперкомпьютерные системы, включающие модули для решения соответствующих прямых и обратных задач [119, 120].
С развитием компьютерной техники стало ясно, что требуются программы, корректно работающие в шестимерном фазовом пространстве координат и скоростей (, , , , , ), в частности, для моделировании пробоя в газе [121, 122]. Основой таких расчетов является базовый алгоритм, в котором не вычисляется собственное поле электронов, а учитывается только внешнее поле. Такая модель применима в начале развития пробоя, когда число электронов еще невелико, и их собственное поле мало по сравнению с внешним.
Для моделирования движения электронов (электронной лавины) в газе необходимо решать уравнение Больцмана с силовой компонентой, с этой целью в ряде работ предлагается использовать метод численного статистического моделирования [121, 122]. Для моделирования процессов переноса заряженных частиц в различных средах и геометрических постановках в коллективе профессора П.А. Андросенко разработан пакет программ BRAND, который отличает широкая сфера применимости, адекватность примененных вероятностных моделей и алгоритмов численного статистического моделирования [123–127]. От-28 метим также, что для распараллеливания алгоритмов пакета была применена разработанная в настоящей диссертации библиотека PARMONC [126, 127]. С другой стороны, существуют другие методы решения уравнение Больц-мана [122, 128]. Наиболее интересен для сравнения алгоритм, представленный в работе [129], который отличается другим набором сечений и применением метода максимального сечения для моделирования пробега; похожий алгоритм для аргона и кислорода в сочетании с PIC-методом предложен в [130]. Однако, метод численного статистического моделирования позволяет естественным образом моделировать сложные процессы, например, непрерывное ускорение электронов в газе или маловероятные процессы, которые трудно учитывать в других подходах.
При всех достоинствах метода численного статистического моделирования нужно обратить особое внимание на то, что приходится держать в памяти ЭВМ все параметры модельных частиц, число которых растет экспоненциально со временем [113]. Частично эту проблему решает известная лексикографическая схема «ветвления» траекторий и метод «русской рулетки» [99], но получить практический выигрыш в трудоемкости расчетов позволяет только использование технологий распараллеливания [131].
При численной имитации процессов размножения и гибели частиц в электронных лавинах используются методы численного статистического моделирования траекторий ветвящихся процессов. Аналогичные методы применяются во многих других приложениях, например, в задачах популяционной биологии, эпидемиологии и др.: см. работы [132–134].
2. Нелинейное кинетическое уравнение коагуляции (называемое также уравнением Смолуховского), а точнее система уравнений коагуляции, описывает широкий класс процессов агрегации частиц в дисперсных системах. Примерами являются процессы полимеризации, спекания и роста частиц сажи, диоксида титана, диоксида кремния и др. в промышленных горелках, свертываемости крови при порезах, створаживания молока, роста капель в облаках, группирования автомобилей в пробках и многие другие [135–147]. Для каждого конкретного случая коэффициенты коагуляции, входящие в правую часть эволюционного уравнения и определяемые физической моделью, различаются, их выбор неоднозначен. При этом вид уравнения остается неизменным: квадратичная нелинейность в правой части, неограниченное количество уравнений, входящих в систему.
Методы прямого статистического моделирования (методы ПСМ) для решения уравнения коагуляции по структуре и обоснованию аналогичны методам для решения нелинейного уравнения Больцмана. В основе такого рода алго-29 ритмов – моделирования эволюции ансамбля взаимодействующих модельных (тестовых) частиц. Такие многочастичные алгоритмы и вопросы численного статистического моделирования представлены, например, в работах [148–159]. Их общей чертой является то, что они основаны на эвристических представлениях о процессах протекающих в газах и процессах коагуляции. Вероятностные модели, основанные на применении многочастичных алгоритмов, имеют широкий круг приложений. Решению уравнения коагуляции с использованием многочастичных алгоритмов численного статистического моделирования посвящено большое число работ, см. например, [160–181].
Серьезной проблемой методов ПСМ является их высокая трудоемкость: известно, что они имеют квадратичную зависимость от числа модельных частиц [182–184]. Настоящим прорывом в этой области стало построение, обоснование и апробация экономичного метода решения пространственно однородного и неоднородного уравнения Больцмана, называемого методом «мажорантной частоты», который изложен в работах М.С. Иванова и С.В. Рогазинского [182, 185].
Исследование погрешности метода ПСМ при решении уравнений Больц-мана и Смолуховского – актуальная на сегодняшний день задача. Среди работ известных специалистов стоит упомянуть исследования Г. Берда и М. Галлиса [149–153]. При оценке погрешности общепринятым в методе ПСМ является использование асимптотически несмещенных оценок макропараметров. Однако, большое распространение получил «грубый» подход к оценке статистической погрешности: статистическая погрешность оценок метода ПСМ обратно пропорциональна корню из числа реализаций. Тем не менее, в последнее время появилось ряд работ по исследованию дисперсии оценок метода ПСМ [155, 156]. В [156] приводятся приближенные формулы для статистической погрешностей метода ПСМ, полученные на основе теории равновесной статистической физики. Привлекательным преимуществом этого подхода является то, что при этом не требуется в процессе расчета проводить вычисления дополнительных величин.
3. Процитированные работы показывают актуальность применения методов численного статистического моделирования для решения задач моделирования кинетических процессов, а также использования методов распараллеливания. Однако, в этих работах фактически не поднимается вопрос о том, как с наибольшей эффективностью распараллелить численное статистическое моделирование процессов коагуляции и переноса заряженных частиц. Т.е. распараллеливание применяется лишь после того, как построен «последовательный» алгоритм для одного процессора. Однако, постановки такого рода задач должны изначально ставиться в «параллельном виде», причем непременно должен быть задан вопрос, как «ведет себя» параллельный алгоритм при одновремен- ном увеличении числа процессоров и изменении его параметров с целью увеличения точности вычислений. Здесь, как и для задач диффузии, требуют особого внимания разработка эффективной методики реализации распределенных расчетов и параллельной генерации псевдослучайных чисел. Поэтому в перечень задач диссертационной работы включены соответствующие пункты.
Оценка вероятности недостижения границы области траекториями диффузионного процесса за заданное время
Если это условие выполнялось, то \ принималось в качестве очередного элемента цепи Маркова с переходной плотностью ( — \); иначе, необходимо было повторять описанную процедуру моделирования \ и т.д. [1]. 2.) Значения функции а, необходимой для вычисления весовых множителей, предварительно табулировались в узлах сетки и в процессе моделирования определялись путем линейной интерполяции. Расчеты показали, что интерполяционная сетка должна быть достаточно мелкой при больших или малых A. Эта необходимость обусловлена тем, что при перемножении большого числа весовых множителей при неточной табуляции возникает большая погрешность. Понятно, что предварительная табуляция на мелкой сетке увеличивают трудоемкость оценки. Однако в приведенных результатах затраты на предварительную табуляцию не учитывались, т.к. асимптотически при — +оо эти затраты несущественны.
В рамках непрерывной постановки положим = 1. В табл. 2.1 приведены результаты расчетов для СДУ (2.20). Для расщепленной оценки рядом с трудоемкостью в скобках указано число точек расщепления.
Как видно из таблицы, при малом шаге интегрирования весовая оценка эффективнее аналоговой и расщепленной оценок. На рис. 2.2, часть а), приведены графики величин трудоемкости статистических оценок. Из рисунка видно, что величины трудоемкости аналоговой и расщепленной оценок ведут себя как 1/Л, а величина трудоемкости весовой оценки мало изменяется.
В рамках дискретной постановки положим A = 10-3. В табл. 2.2 приведены результаты расчетов для СДУ (2.20), в табл. 2.3 приведены результаты расчетов для СДУ (2.21).
Интересно сравнить результаты расчетов координат оптимального вектора (0) согласно (2.7) на основе прямого моделирования величин i,i для предварительно оцененного . Например, для СДУ (2.20) при = 2 величина = 5 а на основе прямого моделирования (0) = (2.48; 2.5; 2.6; 2.46; 2.66); при = 3 величина = 7 и (0) = (2.79; 2.93; 2.81; 2.97; 2.74; 3.2; 3.1). Таким образом, предложенная в работе методика оценки величин и дает результаты, близкие к оптимальным.
Из таблиц видно, что увеличение вектора сноса существенно увеличивает Таблица 2.4. Дискретная постановка задачи для СДУ (2.21) и (2.21); весовая оценка, соответствующая увеличенной области . СДУ Т EС С(() (2.20) 1 34 4.27 10-2 1.51 10-4 9.12 10-6 3.8 10-3 1.4 -10-2 2.3 10-2 (2.21) 3 9.57 10-7 45.8 а) б) Рис. 2.2. Исследование трудоемкости оценок: a) - непрерывная постановка задачи для СДУ (2.20); график с квадратиками - трудоемкость аналоговой оценки, с кружками - трудоем-кость расщепленной оценки, с ромбиками - трудоемкость весовой оценки; б) - дискретная постановка задачи для СДУ (2.20), трудоемкость расщепленной оценки. трудоемкость весовой оценки и расщепленная оценка в этом случае особенно эффективна. Можно также заметить, что с ростом Т трудоемкость весовой оценки становится меньше трудоемкости аналоговой оценки. На рис. 2.2, часть б), показан график трудоемкости расщепленной оценки для СДУ (2.20). Из рисунка видно, что трудоемкость ведет себя как Т2, что также подтверждает теоретические выводы.
Приведем теперь результаты расчетов в рамках дискретной постановки задачи с использованием весовой оценки и приближения к вероятности, соответствующей увеличенной области .
Положим / = 10At. В табл. 2.4 приведены результаты расчетов для двух СДУ. Из таблицы видно, что с увеличением вектора сноса трудоемкость весовой оценки резко увеличивается. Однако можно сделать вывод, что при малых значениях вектора сноса и больших значениях Т построенная таким образом весовая оценка вполне может конкурировать с расщепленной оценкой. Сделаем следующие выводы: в рамках непрерывной постановки задачи для небольших по значению векторов сноса весовая оценка особенно эффективна, в рамках дискретной постановки задачи для СДУ с большими по значению векторами сноса предпочтительно применять расщепленную оценку в рамках дискретной постановки задачи для СДУ с небольшими по значению векторами сноса весовая оценка, соответствующая увеличенной области Г2, эффективнее расщепленной.
Рассмотрим задачу вычисления полной концентрации Ф(Т, ус) диффузионных траекторий решения СДУ (2.1) во временном интервале от 0 до Т в некоторой заданной удаленной от источника точке ус. Полная концентрация, таким образом, определяется маловероятными событиями - попаданием траекторий в заданную точку.
Отметим, что в работе [100] речь идет о процессах с поглощением и верхний предел в интеграле равен min(T,г), где г есть время поглощения траектории. Оценка по времени имеет конечную дисперсию, так как
Для фиксированной приближенной траектории СДУ (2.1), моделируемой с помощью метода Эйлера, в выражении (2.23) интеграл можно заменить его приближенным значением, вычисляемым, к примеру, с помощью метода прямоугольников: т w(y(t))dt У w(yi)At, г=0 где уі, і = 0,..., п - значения приближенной траектории в узлах временной сетки, т.е. функционал Ф(Т, ус) от точных диффузионных траекторий приблизим функционалом ір(Т,ус) от приближенных траекторий - математическим ожиданием от аналоговой оценки (и(0,уо):
Интегральное уравнение для плотности столкновений
Рассмотрим задачу Коши для системы нелинейных уравнений, описывающих процесс пространственно неоднородной коагуляции частиц [135, 146, 277]: = — \ У (;l,)j, Уравнение коагуляции рассматривается в пространственно-временной области Q х (0,], где Q С 3, оо. В уравнении функция = i(,), = 1,2,... есть концентрация -меров в момент времени в пространственной точке , i = i() - пространственно неоднородное поле скоростей, (] ,) - ядро коагуляции в точке для частиц с размерами и , \ (), = 1,2,... - концентрация -меров при = 0. Считается, что начальная концентрация нормирована на единицу в области Q: / у \ {) = 1. п г=1 Будем для краткости называть систему (3.1) уравнением коагуляции; область Q назовем вычислительной областью. Рассмотрим следующие функционалы от решения уравнения коагуляции: (fi(T) = Ci(T,x)dx, Gel]. (3.2) G 2. Назовем тестовой или модельной частицей пару чисел pk = (4, Xk); здесь 4 - размер тестовой частицы (целая неотрицательная величина), Xk Є Л3 - координата частицы. Будем моделировать независимые выборочные значения ансамбля тестовых частиц = С ) = \piiP2-, -, Обозначим через Щ начальное значение тестовых частиц: Щ = N(0). Отметим, что скорость тестовой частицы не включается в ее фазовое состояние. Этим предлагаемый алгоритм отличается от алгоритма решения пространственно неоднородного уравнения Больцмана [185]. В нашем случае поле скоростей Vi(x) для частиц определено заранее.
Функционал (fii(T) оценивается по формуле: где выборочное значение Q есть функция от , т.е. Q = CKs ( )). Функция (І при этом определяется следующим образом: Q{c{T)j = , (3.3) No где щ(Т,і,Є) есть число тестовых частиц р = (1,х) при t = Т, для которых / = і и х Є G. Далее будет показано, что математическое ожидание EQ и дисперсия D(i существуют и конечны.
Произведем пространственную регуляризацию ядра коагуляции с це лью замены взаимодействия частиц в точке (которое невозможно реализовать в алгоритме) их взаимодействием в малой области [6, 185]; это можно сделать перечисленными ниже способами.
Разобьем область Q на малые непересекающиеся подобласти Г2і, Г ,..., Qs - области взаимодействия; тогда регуляризованное ядро коагуляции запишется следующим образом: Кр{р\1р2) = У р Xtts(xi)Xtts(x2)K(x s ih,h), (3.4) s=l где Xfis(x) - индикаторная функция области QS, x s - некоторая точка из QS, ps - объем Qs. 2. Будем считать, что взаимодействие происходит при попадании пары частиц внутрь шара заданного радиуса г; в таком случае
Разобьем интервал [0,Т] на подынтервалы длиной At. На каждом интервале ( (і — 1)А, iAt ), і = 1,2,..., Т/А/; разделим моделирование актов коагуляции и пространственного перемещения частиц, т.е. будем использовать метод расщепления по физическим процессам [278].
В соответствии с методом мажорантной частоты [6, 185], алгоритм метода прямого статистического моделирования (ПСМ) одного выборочного значения = (Т), который определяет вероятностную модель пространственно неоднородной коагуляции, осуществляется в соответствии с изложенными ниже шагами. 1. Моделирование начального распределения частиц согласно плотности распределения с\ (х). Тем самым мы получим начальное состояние ансамбля тестовых частиц (0) = {pi,P2, ,Рм0}. Установим значение переменных t = 0, tc = 0, N = No. 2. Моделирование случайной величины г - времени между двумя коагуля-ционными актами. Случайная величина г экспоненциально распределена с параметром —v N(N — 1)К v = — у Kp{pi}pj) = — . (3.7) 2NQ 2-— 2iVoP Установим c = c + . Если c A, то происходит переход к п. 6. 3. Выбор пары частиц (i,j) равновероятно из множества всех пар, т.е. с / г/ — 1 вероятностью 2 [ [ — 1)) 4. Моделирование реального или фиктивного коагуляционного актов для вы бранной пары. Вероятность реального коагуляционного акта равна Таким образом, для первого способа регуляризации f = 1, если частицы находятся в разных областях взаимодействия; для второго способа f = 1, если расстояние между частицами больше . Когда происходит реальный коагуляционный акт, выбранная пара (i,j) образует одну частицу и состояние ансамбля меняется следующим образом (с учетом перестановки «некоагулирующих» частиц): Здесь для определенности . Когда происходит фиктивный коагуляционный акт, состояние ансамбля не изменяется.
Далее будет записано интегральное уравнение второго рода для плотности столкновений (актов коагуляции), вероятностная интерпретация ядра и свободного члена которого соответствует однопроцессорному алгоритму метода ПСМ. С его использованием мы выведем соотношения для дисперсии статистических оценок функционалов cfi.
Формально модифицируем моделирование ансамбля тестовых частиц следующим образом. Введем в рассмотрение частицы с нулевыми размерами: р = (О, ж). Доопределим ядро коагуляции следующим образом:
Тестирование и сравнительный анализ распределительного способа получения псевдослучайных чисел
На одном вычислительном узле сравнивались методики крупноблочного и комбинированного распараллеливания; для каждого сочетания методики распараллеливания и величины max оценивались значения функции = (), где () - среднее число реализаций лавины частиц, полученных к моменту машинного времени . При крупноблочном распараллеливании использовались только 16 ядер двух основных процессоров: = 16; при комбинированном распараллеливании помимо основного процессора использовались два сопроцессора: 1 = 14, 2 = 2, = 61.
В таблице 4.2 представлены данные расчетов для двух значений max. Приводится среднее число частиц в лавине к моменту времени max; среднее время моделирования одной реализации: 1 - для крупноблочной методики распарал (сотЪ) леливания, ц - для комбинированной. Для каждой методики распараллеливания величина 1 рассчитывалась по формуле 1 = ((max))/(max), где () - машинное время, затраченное на моделирование реализаций.
На рис. 4.4 представлено сравнение двух методик распараллеливания. По Сравнение среднего числа смоделированных реализаций лавины частиц в зависимости от величины машинного времени для разных методик распараллеливания: а) max = 4 10-11 нс; б) max = 6 10-10 нс. горизонтальной оси отложено машинное время в часах, по вертикальной оси - соответствующее число реализаций . Линии с кружками соответствуют методике крупноблочного распараллеливания, линии с квадратиками - методике комбинированного распараллеливания; для части а), max = 4 10-11 нс; для части б), max = 6 10-10.
Как видно из рис. 4.4, для всех величин max в течение заданного машинного времени при использовании методики комбинированного распараллеливания по сравнению с крупноблочной можно смоделировать примерно в 4.4 раза большее число реализаций, т.е. трудоемкость моделирования уменьшилась в 4.4 раза. Таким образом, ускорение при использовании комбинированного распараллеливания определяется функцией () 4.4.
Отметим, что для рассматриваемой задачи оценка констант в формуле (4.6) дает 1 10-3, 2 2.6 1011; и, например, для max = 8 10-11 нс, величина 1 325 часов, что практически «неподъемно» для используемой вычислительной системы. Выходом при расчете задачи в такой или аналогичной постановке может служить применение техники «русской рулетки» на многих шагах по времени, несмотря на потерю точности в оценке функционалов, а также использование более производительной гибридной вычислительной системы с большим числом ядер у сопроцессора.
Результаты проведенного сравнения показывают целесообразность применения методики комбинированного распараллеливания при решении задач численного статистического моделирования лавин заряженных частиц.
Архитектура кластера является массивно-параллельной, поэтому в программе использовался вариант распределительного способа получения псевдослучайных чисел для случая, когда моделирование каждой реализации осуществляется независимо на вычислительных ядрах основного процессора; для этого в программе вызывалась процедура tparmonc1d. При численном анализе использовалась возможность проведения коррелированных расчетов для разных значений параметров задачи.
Отметим, что в некоторых вариантах задачи среднее время на моделирование одной реализации доходило до десятков часов, потребности в оперативной памяти на каждом ядре составляли несколько гигабайт. Таким образом, только использование массивно-параллельных вычислений позволяет проводить расчеты для разработанной «подробной» вероятностной модели.
При Ez/p 150 В/(см Торр) скорость дрейфа 14г = 14 хорошо совпадает с экспериментальными данными (см. рис. 4.6, часть а)). Используемая при этом работа [294] содержит в себе результаты экспериментов большого числа авторов (на графике обозначены ромбиками). При больших Ez/p экспериментальных данных мало и они имеют большой разброс из-за использования в качестве 14г разных скоростей. Из рис. 4.6, часть а), видно, что скорость центра масс 14 и величина 14 близки при малых Ez/p, а с ростом Ez/p различие увеличивается; максимальная статистическая погрешность вычисления указанных скоростей с использованием программы ELSHOW составила 2.6%.
Заметим, что средняя энергия, скорость дрейфа, частота ионизации и поперечный коэффициент диффузии DT, полученные с помощью программы ELSHOW, практически совпадают с расчетами с использованием программы BOLSIG+ [128]. Это связано, главным образом, с тем, что используется один и тот же набор сечений. При вычислении оцоп с использованием программы BOLSIG+ используется другая формула, поэтому результаты отличаются (4.6, часть б)). Из графика видно, что вычисленный нами коэффициент ударной ионизации близок к экспериментальным результатам, и разница между формулой (4.4) и специальным расчетом появляется после 300 В/(см Торр).
Особый интерес представляет сравнение с работой [129] (см.табл. 4.3), так как в ней результаты получены методом численного статистического моделирования, но с другим набором сечений. Из таблицы видно неплохое совпадение средней энергии и скорости центра масс; значения Vion и оцоп в наших расчетах получились выше. Из рис. 4.6, часть б) видно, что они, возможно, завышены, но не сильно. Коэффициенты диффузии тоже отличаются из-за разного подхода к их вычислению; в [129] для этого используется выборочная дисперсия.
Численные расчеты показывают хорошее совпадение результатов, получен 114 ных программой ELSHOW, с экспериментальными данными. Стоит отметить, что различие с теоретическими результатами связано, главным образом, с разницей подходов к определению некоторых величин.
Расчеты показали, что увеличение величины напряжения приводит к образованию «хвостов» высокоэнергетичных электронов – «убегающих» электронов [114, 295, 296] (выделены прямоугольником на рис. 4.7, часть б)). На наш взгляд, такого рода «хвосты» наиболее эффективно моделировать именно с использованием разработанного нами подхода.
Выводы главы 4: разработанные вероятностная модель и параллельный алгоритм рекомендуется применять для решения практических задач переноса заряженных частиц; исполнение параллельных алгоритмов следует производить на гибридных вычислительных системах; важно также применять разработанную в диссертации методику распределенного численного статистического моделирования, необходимую, в частности, для проведения параметрического анализа вероятностных моделей.