Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор математических моделей интегрально-оптических волноводов и методов решения волноводных задач 17
1.1.Общие принципы создания моделей электромагнитных явлений 17
Уравнения Максвелла 17
Уравнение Гельмгольца 22
1.2. Регулярные диэлектрические волноводы 25
Планарный закрытый волновод 26
Планарный открытый волновод 28
Решение задачи на собственные значения 33
Непрерывный спектр оператора второго порядка на оси 36
Сдвиги Гуса-Хенхена 42
1.3.Нерегулярные диэлектрические волноводы 44
Задача дифракции в нерегулярных диэлектрических закрытых волноводах 44
Задача дифракции в нерегулярных диэлектрических открытых волноводах 59
Глава 2. Постановка задачи дифракции для интегрально-оптических волноводов в рамках модели объемлющего закрытого волновода 68
2.1.Описание приближенной математической модели 71
Границы применимости модели 74
О выборе граничных условий на ящике 75
2.2. Дифракция на неоднородности в форме линзы на волноводном слое 76
Постановка задачи для TE-моды 77
Алгоритм численного решения задачи для TE-моды 80
2.3. Дифракция на неоднородности в форме линзы внутри волноводного слоя 82
Постановка задачи для TE-моды 82
Алгоритм численного решения задачи для TE-моды 83
2.4. Дифракция на плавном волноводном переходе 84
Постановка задачи для TE-моды 84 Алгоритм численного решения задачи для TE-моды 86
Глава 3. Численный эксперимент 88
3.1.Алгоритм численного решения задачи на собственные значения и собственные функции регулярного волновода 88
3.2.Численное решение задачи на собственные значения и собственные функции регулярного волновода 89
3.3. Численное решение третьей краевой задачи 96
Алгоритм матричной прогонки 96
Решение системы с блочно-трехдиагональной матрицей 97
3.4.Численное решение задачи дифракции на неоднородности в форме линзы на волноводном слое 98
3.5.Численное решение задачи дифракции на неоднородности в форме линзы внутри волноводного слоя 102
3.6. Численное решение задачи дифракции на плавном волноводном переходе 106
3.7.Оценки погрешностей 108
3.8. Дифракция на линзе 114
Вычисление локализованных собственных функций 114
Волноводная линза 117
Заключение 123
Литература 125
- Регулярные диэлектрические волноводы
- Дифракция на неоднородности в форме линзы на волноводном слое
- Численное решение третьей краевой задачи
- Численное решение задачи дифракции на плавном волноводном переходе
Введение к работе
Актуальность темы
Развитие векторной теории волноводного распространения света в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе является одной из актуальных задач современной интегральной оптики и волноводной оптоэлектроники. Использование скалярной теории приближенно справедливо только для слабо направляющих структур и не подходит для описания волноводов, у которых сильно варьируется диэлектрическая проницаемость. В разнообразных устройствах сопряжения, связывающих различные элементы единой оптической интегральной схемы, ключевую роль играет согласование частот и синхронизация фаз электромагнитного поля в сопрягаемых элементах. Эффективность сопряжения существенно зависит от согласования между полями падающей волны и волноводной моды. Следовательно, чем точнее
известен вид согласуемых полей, тем успешнее будет решена задача эффективной передачи энергии через устройство сопряжения. Более того, при переходе в субмикронный диапазон линейных размеров элементов интегральных оптических устройств необходимо рассматривать задачу в векторной постановке. Требование к точности расчета параметров волноводной линзы и подобных элементов интегральных оптических структур при переходе в нанометровый диапазон сильно возрастает в связи с существованием ограничений, обусловленных дифракционными эффектами.
В этой связи проблема создания адекватных моделей волноводной дифракции поляризованного электромагнитного излучения в закрытых и открытых волоконно-оптических и интегрально-оптических нерегулярных и неоднородных волноводах является весьма востребованной проблемой. А формулировка корректных математических задач волноводной дифракции является необходимым условием реализации устойчивых численных методов решения задач волноводной дифракции поляризованного электромагнитного излучения.
Открытые и закрытые волноводные системы используются при решении
различных практически важных задач весьма часто, но только для закрытых
была предложена универсальная модель, учитывающая сложный векторный
характер электромагнитного поля и парциальные условия излучения, ведущая
к математически корректным постановкам задач анализа и синтеза
(проектирование), и по этой причине вызвали теоретический интерес у
специалистов по математической физике. Это обусловлено тем
обстоятельством, что соответствующие спектральные задачи в закрытых системах имеют чисто дискретный спектр, а в открытых системах к нему добавляет еще и непрерывная составляющая. Открытые волноводные системы возникают на практике не менее часто, чем закрытые, более того, в некоторых предметных областях радиофизики и оптики им следовало бы отдать предпочтение, например, планарные волноводы используются только в оптическом диапазоне и только открытые. Практически реализованные
волноводы с компактным поперечным сечением бывают закрытыми (с металлическими стенками) в радиодиапазоне (дециметровом, сантиметровым и др.) и открытыми в оптическом диапазоне.
Постановка корректной задачи дифракции волн на неоднородности в
закрытом волноводе использует парциальные условия излучения,
предложенные в работах А.Г. Свешникова, обоснованию существования решения у этой задачи в различных волноведущих системах посвящена серия работ А.Н. Боголюбова, А.Л. Делицына и М.Д. Малых. Первый численный метод решения задач прохождения и дифракции волн вдоль закрытых нерегулярных волноводов был предложен в работах Б.З. Каценеленбаума и получил название метода поперечных сечений, работам Каценеленбаума предшествовали работы Краснушкина, Боровикова, Кисунько, Щелгунова, Стивенсона и др. Перечисленные модели не описывали деполяризацию направляемых мод на нерегулярных участках волноводов. Метод Каценеленбаума был модифицирован и осмыслен А.Г. Свешниковым как своеобразная реализация метода Галеркина и назван неполным методом Галеркина. Этот метод хорошо зарекомендовал себя при решении задач дифракции в волноведущих систем со сложной геометрией и не менее сложным заполнением, в том числе киральным, что было показано в серии работ, выполненных под руководством А.Г. Свешникова на физическом факультете МГУ Боголюбовым А.Н., Быковым А.А., Ерохиным А.И., Делицыным А.Л., Могилевским И.Е., Моденовым В.П. и др.
Схожая конструкция, известная как метод Канторовича, используется при решении задач рассеяния частиц в квантовой механике в работах, выполненных под руководством С.И. Винницкого в ОИЯИ в Дубне А.А. Гусевым, О. Чулуунбаатаром и др. В скалярных задачах неполный метод Галеркина можно считать вариантом метода Канторовича.
Метод Б.З. Каценеленбаума был обобщен на открытые плавно нерегулярные волноводы В.В. Шевченко. Этот метод пока не получил математического обоснования из-за наличия непрерывных частей спектра,
которые необходимо дискретизировать, прежде чем получить задачу, пригодную для численного решения. В работах В.С. Мележика и др. квантовомеханическая многоканальная задача рассеяния (в области непрерывного спектра на полуоси) численно решалась методом сведения к задаче на собственные значения.
Поэтому реализация идеи помещения открытой волноведущей системы в закрытую является весьма актуальной. Сформулированная нами на этой основе математическая модель реализует одну из таких дискретизаций и позволяет сформулировать корректную математическую задачу волноводной дифракции в плавно-нерегулярных интегрально-оптических волноводах.
Объект моделирования
Объектом теоретического рассмотрения и численного моделирования является класс интегрально-оптических волноводов на планарной регулярной диэлектрической подложке. Для определенности ограничимся рассмотрением тонкопленочных волноводов с плавной нерегулярностью.
В предположении, что поляризованное электромагнитное
монохроматическое излучение распространяется в продольном
горизонтальном направлении оси Oz декартовой системы координат, связанной
с геометрией подложки, в большинстве примеров предполагаем
нерегулярность волноводных слоев в вертикальном направлении Ox и регулярность в поперечном горизонтальном направлении Oy. В качестве
отступления будет рассмотрен класс тонкопленочных волноводных линз с нерегулярностью и в направлении Оу.
Такого рода структуры изготавливают несколькими технологическими
процессами. Одни из них обеспечивают прочное удержание изготовленной
волноводной пленки на подложке, другие - нет, их закрепляют покровным
слоем для прочности изготовленной структуры. Способы изготовления
интегрально-оптических элементов и устройств и возможные пути их использования в оптико-технических процессах обработки информации описаны в большом количестве источников во второй половине 20-го века. Ряд технологий приводят к созданию интегрально-оптических структур с диффузионными волноводными слоями, их называют градиентными волноводными структурами. Методы, развиваемые здесь, довольно легко обобщаются и на них.
Предмет исследования - математические модели распространения поляризованного света в плавно-нерегулярных интегрально-оптических волноводах.
В классе интегрально-оптических волноводных структур нерегулярных и в направлении Оу, и в направлении Oz, то есть двумерно-нерегулярных, необходимо рассматривать систему уравнений Максвелла, описывающую векторный характер распространяющегося света. В случае «очень слабой нерегулярности по у» можно использовать пару слабосвязанных уравнений Гельмгольца для описания слабо-гибридных волноводных мод со слабой деполяризацией.
Цель диссертационной работы
исследование модели волноводной дифракции электромагнитного излучения в интегрально-оптическом волноводе, помещенном в объемлющий закрытый волновод;
реализация символьно-численных алгоритмов решения задач волноводного распространения поляризованного света в рамках модели
волноводной дифракции электромагнитного излучения в интегрально-оптическом волноводе, помещенном в объемлющий закрытый волновод;
верификация полученных результатов путем их сравнения с
результатами, полученными в рамках более грубых моделей.
Задачи диссертационной работы
постановка корректной математической задачи расчета электромагнитного поля в рамках модели волноводной дифракции электромагнитного излучения в интегрально-оптическом волноводе, помещенном в объемлющий закрытый волновод;
адаптация численных методов и алгоритмов к решению сформулированной задачи;
программная реализация численных методов и алгоритмов решения сформулированной задачи и проведение численных экспериментов в системах Maple, Sage;
верификация результатов и оценка применимости исследуемой модели для решения задач волноводного распространения поляризованного света в рамках исследуемой модели.
Методы исследований
неполный метод Галеркина решения задачи дифракции волноводной моды, падающей на двумерный неоднородный или нерегулярный закрытый волновод или волноводный переход между двумя закрытыми волноводами;
конечно-разностный метод решения третьей краевой задачи с комплексными коэффициентами для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка;
асимптотический метод решения дифференциальных уравнений с малым параметром, в приближении по которому векторная волноводная задача редуцируется к скалярной.
Научная новизна
Предложена новая постановка математической задачи, описывающей волноводное распространение поляризованного света в рамках модели волноводной дифракции электромагнитного излучения в интегрально-оптическом волноводе, помещенном в объемлющий закрытый волновод.
В диссертационной работе результаты и методы, обоснованные в теории закрытых волноводов, адаптируются к открытым волноведущим системам в рамках исследуемой модели.
Методы решения задач расчета электромагнитного поля реализованы в символьно-численном виде.
Практическая значимость
Модель, задачи дифракции, методы их решения и алгоритмы используются в учебном процессе при подготовке магистров направлений «Прикладная математика и информатика» и «Фундаментальная информатика и информационные технологии» в рамках курса «Вариационные методы в математическом моделировании». Программы, реализующие численные методы решения волноводных задач для двумерных волноводных структур можно использовать для верификации результатов расчета аналогичных структур в рамках других моделей и для решения прикладных задач.
Программы размещены в открытом доступе по адресу:
Основные положения, выносимые на защиту
Предложена реализация идеи А.Г. Свешникова, указавшего на одну из возможных корректных постановок задач дифракции на неоднородностях в открытых волноведущих системах. Подробно описана приближенная математическая модель открытого волновода, теоремы существования, известные для закрытых систем, адаптированы к этой модели. Указан способ дискретизации парциальных условий излучения в задачах с непрерывным спектром. В частности, поставлены
задачи дифракции на микролинзе Люнеберга и ее плоском аналоге, а также задача о согласовании открытого волноводного перехода.
Разработаны адаптированные символьно-численные алгоритмы расчета электромагнитных полей в рамках используемой модели.
Разработанные алгоритмы реализованы в виде программ в системах Maple, Sage, которые могут быть использованы для верификации результатов расчета аналогичных структур в рамках других моделей и для решения прикладных задач.
Используемая модели открытого волновода и основанные на ней методы расчета электромагнитных полей верифицированы путем сравнения с результатами, полученными в рамках известных моделей интегрально-оптических волноводов, обоснованных на физическом уровне строгости.
Обоснованность и достоверность полученных результатов
Обоснованность результатов опирается на использование модели, учитывающей векторный характер распространения электромагнитного поля, показавшей свою эффективность при исследовании закрытых волноводов. Полученные математические задачи являются корректными. Системы линейных алгебраических уравнений, получаемые в результате конечно-разностной аппроксимации краевых задач, имеют блочно-трехдиагональную структуру матриц коэффициентов, блоки матриц коэффициентов обусловлены хорошо. Погрешность решения систем уравнений сравнима с компьютерной точностью. Достоверность вытекает из совпадения полученных результатов с результатами вычислений в рамках моделей, обоснованных на физическом уровне строгости.
Апробация результатов
Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:
Научная сессия НИЯУ МИФИ-2014. Москва, МИФИ, 27 января - 01
февраля 2014 г.
Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и информатики» (MPAMCS’2014). Дубна, 25 - 29 августа 2014 г.
Всероссийской конференции «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем». Москва, РУДН, 22-25 апреля 2014 г.
Научная сессия НИЯУ МИФИ-2015. Москва, МИФИ, 16-20 февраля 2015г.
Всероссийская конференции «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем». Москва, РУДН, 20-24 апреля 2015 г.
Международная конференция «International Conference on Mathematical Modeling and Computational Physics» (MMCP’2015). StaraLesna, Словакия, 13-17 июля 2015 г.
Всероссийская конференции «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем». Москва, РУДН, 18-22 апреля 2016 г.
IV Международная конференция «Проблемы математической и теоретической физики и математическое моделирование». Москва, НИЯУ МИФИ, 5-7 апреля 2016 г.
Симпозиум международных научных конференций «Оптика и биофотоника IV» (SFM’2016). Саратов, СГУ, 27-30 сентября 2016 г.
Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах:
Московский научный семинар «Интегральная оптика и волноводная оптоэлектроника» Московского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. А.С. Попова, 7 декабря 2016г.
Научный семинар «Проблемы современной математики», МИФИ, 2 марта 2017 г.
Научный семинар «Математическое моделирование», РУДН, 15 марта 2017 г.
Публикации
Основные результаты по теме диссертационного исследования изложены в 4 статьях в журналах, рекомендованных ВАК РФ [1-4]. Всего по теме диссертационного исследования опубликовано 10 работ [1-10].
Личный вклад автора
Представленные в диссертационной работе результаты получены лично автором и состоят в следующем: автор диссертации, работая в коллективе соавторов, участвовал в разработке математической модели и корректной постановке задачи, включая парциальные условия излучения, и самостоятельно разработал все вычислительные схемы, алгоритмы, программы и тесты, представленные в диссертации.
Структура и объем диссертации
Регулярные диэлектрические волноводы
Задача дифракции на диэлектрическом теле в полом закрытом волноводе неоднократно была предметом математического моделирования, в том числе с привлечением современных вычислительных средств [81-83], однако программных реализаций в общественном доступе не имеется. Хорошо изучен и другой важный для практических задач случай нерегулярного волновода – сочленение двух волноводов разного сечения [84-86].
Корректность математической модели закрытого волновода притягивала к ней внимание мат. физиков в ущерб исследованию открытых волноведущих систем. Математическое исследование закрытых и открытых волноводов электромагнитного излучения в оптическом диапазоне было продолжено в работах радиофизиков [16-20]. По теории и применениям открытых планарных волноводов опубликован ряд монографий, содержащих большие разделы по теории регулярных вдоль оси распространения оптического излучения волноводов [21-29].
Работы по моделированию распространения оптического излучения в волноводах с продольной нерегулярностью можно разделить на следующие группы: волноводы с уединенными резкими нерегулярностями, волноводы со статистическими нерегулярностями и волноводы с плавными нерегулярностями. В последнем направлении следует особо отметить работы [30-31] Б.З. Каценеленбаума, обобщенные в работах по плавно-нерегулярным закрытым волноводам и работы [32-33] В.В. Шевченко по плавным переходам в открытых волноводах. Плавным переходом указанные авторы называют такой переход между продольно регулярными участками волновода с различными параметрами, который осуществляется путем непрерывного (без скачков) изменения этих параметров.
В волноводах с продольной нерегулярностью характерной особенностью является то, что при прохождении волн через неоднородности происходит излучение в открытое пространство. Задачу описания трансформации электромагнитного поля в таких переходах Б.З. Каценеленбаум [31] решил с помощью построенного им метода поперечных сечений. Плавный переход в планарном волноводе может представлять неоднородный вдоль горизонтальной плоскости участок волновода. В.В. Шевченко [32] ограничился рассмотрением неоднородных вдоль оси участков волновода.
Авторы работ [34-43] рассматривают частный случай открытых линий – многослойный тонкопленочный плавно нерегулярный интегрально оптический волновод. Но плавные нерегулярности, рассмотренные ими, не ограничиваются частным случаем изменения «вдоль линии», рассмотренным авторами работ [31] и [32], а включают в себя произвольные плавные изменения вертикальных параметров многослойного интегрально оптического волновода «вдоль горизонтальной плоскости». широкого класса плавно нерегулярных волноводов. Именно таким методом Саутвелл [44, 45] вычислил переменную толщину дополнительного волноводного слоя на несимметричном регулярном трехслойном волноводе, обеспечивающую фокусировку падающей TE0 моды на заданном фокусном расстоянии от центра тонкопленочной волноводной обобщенной линзы Люнеберга Описанные приближения приводят к удовлетворительным результатам вычислений для [46-48].
Направляемые моды при распространении вдоль регулярного участка интегрально-оптического волновода являются независимыми, они не обмениваются энергией между собой и с окружающей волновод средой [16, 24]. На участке волновода с плавными нерегулярностями показателей преломления слоев или их толщин направляемая волноводная мода испытывает возмущение [55-58]. Эту слабо возмущенную моду можно рассматривать как «квазиволноводную» моду. Эта мода характеризуется тем, что в поперечном сечении волновода волна является стоячей, и количество узлов (нулей) напряженности электромагнитного поля остается неизменным при волноводном распространении моды. Квазиволноводные моды могут
обмениваться энергией между собой и с окружающей средой [19-26, 31,32, 34-43, 50-54]. Эта энергия составляет малую часть мощности, переносимой отдельными модами, что позволяет использовать для исследования плавно-нерегулярных волноводов приближенные методы (см. [34-43, 50-54]).
Для решения задачи эффективной передачи энергии через различные элементы сопряжения (линзы, разветвители, призмы, мультиплексоры) необходимо учесть векторный характер полей на всех этапах решения электродинамической задачи распространения плоской монохроматической световой волны в многослойной интегрально-оптической структуре [19-32, 34-43].
Моды плавно-нерегулярного участка волновода являются слабо гибридными квази-ТЕ и квази-ТМ модами [19-32, 34-43]. Удержание в граничных условиях и в решении квазиволновых уравнений слагаемых, пропорциональных градиенту диэлектрической проницаемости, позволяет учесть векторный характер распространения монохроматического электромагнитного излучения [50-58]. Векторное рассеяние волноводной моды в статистически нерегулярном волноводе рассмотрено в работах [51-58]. Нелинейные волновые задачи, в частности в приложении к полупроводниковым переходам в микроэлектронных структурах, изучались в работах [59-64], вопросам электромагнитных волновых процессов в плазме посвящены работы [65-69], в работах [70-74] изучаются многомерные структуры.
Дифракция на неоднородности в форме линзы на волноводном слое
Наиболее важной и востребованной с практической точки зрения задачей математической теории волноводов является задача о распространении и дифракции волн на нерегулярностях в волноводах.
Определение [91]. Нерегулярным волноводом называют область, которая вне некоторого шара совпадает с объединением нескольких полуцилиндров (рукавов). При этом предполагается, что материальное заполнение может как угодно менять внутри шара, но вне него в каждом из полуцилиндров є, ju имеют постоянные значения, хоты бы и различающиеся от одного полуцилиндра к другому. Нерегулярным плоским интегрально-оптическим волноводом называют область пространства, которая вне некоторого цилиндра совпадает с объединением нескольких полупластин.
В названных полуцилиндрах решение уравнений Максвелла можно представить в виде суперпозиции нормальных мод, бегущих вдоль оси цилиндров от шара или к шару. Задача о распространении и дифракции на нерегулярностях волн в волноводах состоит в следующем.
В каждом из рукавов задано электромагнитное поле, представляющее собой суперпозицию нормальных волн, распространяющихся к шару. Требуется отыскать поле, 1. удовлетворяющее уравнениям Максвелла во всем волноводе, 2. граничным условиям идеальной проводимости на границе волновода, 3. представляющее собой суперпозицию нормальных волн бегущих от шара и заданного поля во всех рукавах. Последнее условие известно как парциальные условия излучения, они были предложены А.Г. Свешниковым в 1955 году и заменяют в волноводных задачах условия Зоммерфельда, употребляемые в теории дифракции на компактных частицах. В том случае, если система имеет всего два рукава, амплитуды нормальных мод, бегущих от шара, называют коэффициентами прохождения и отражения.
В вычислительных экспериментах обычно рассматривают не суперпозицию волн, падающих на шар, а одну моду в одном рукаве.
Теорема. Сформулированная задача, как в скалярной, так и в общей электромагнитной постановке имеет и притом единственное решение.
Доказательства этой теоремы разняться степенью использования функциональных пространств и общностью итоговой формулировки [87-91]. Численные методы решения сформулированной задачи основаны на полноте системы нормальных мод, на которую в том или ином смысле проектируется система уравнений Максвелла или уравнение Гельмгольца. Все эти методы могут быть рассмотрены как модификации метода Канторовича или неполного метода Галеркина. Сравним известные подходы на примере задачи о волноводном переходе.
Рисунок 8. Двумерный локально-нерегулярный закрытый волновод Рассмотрим задачу численного моделирования распространения волны в закрытом двумерном локально-неоднородном волноводе (см. Рисунок 8).
Ищем приближенное решение уравнения (98) в виде частичной суммы ряда по системе функций (94), удовлетворяющих граничным условиям [75] N ( ,z) = 2X(zKM (101) и=1 где V„(z)- искомые коэффициентные функции Канторовича[130,146]. и Проектируя уравнение Гельмгольца (98) на функции{р (x))N , получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка вида й] Axz+k02n2(x,z))uN(pndx = 0, n = 1,N (102) которую удобно записать в матричном виде v" + Q(z)v = 0, (103) где v =(F1(Z), V2(Z), ... VN(z)) - вектор искомых коэффициентных функций, матрица коэффициентов системы дифференциальных уравнений Q(z) = [ .(z)J"_i имеет вид Q(z) = ifc02D2+Jfc02P(z), (104) где D = diag{p}} а коэффициенты матрицы P(z) = [p..(z)] определены следующим образом: й pv(z) = (n2-n2f) \ф)(Р](х)сіх h{z) (105) Из условия непрерывности решения вместе со своей первой производной следует, что и z=0 А ер (х)е к0 z+ У R ер (x)e-lk z и=1 А=0 (106) ди dz z=0 гКРпАщ(Рщ (х)е -YjKPr&fPn ( К и=1 А=0 (107) Применяя проекционную схему метода Галеркина к условиям непрерывности (106),( 107) получим: v(0W + 5„ (108) у (0) = -ік0D(г-ап0) (109) где г = fa, R2,... ,RN j - вектор неизвестных коэффициентов, аП0 - вектор с единственной ненулевой компонентой с номером n п0 An Краевые условия(108),(109) можно сформулировать в виде одного краевого условия третьего рода, исключив из них неизвестный вектор г : v (0) + ik0Dv(0) = 2к0DП0 (110) Из условия непрерывности решения вместе со своей первой производной на границе z = L следует uN 4Tn Pn(X)e kMZ L)\ (111) z=L "=1 Jz=L ди (bwMxyMz-L)\ (112) dz v»-1 j r z=L v n_1 y z=L Применяя проекционную схему метода Галеркина к этим условиям получим: v(L) = t (113) v (L) = ik0Dt (114) где 1 = (T1, Т2,... ,TN)T - вектор неизвестных коэффициентов. Краевые условия (113),(114)можно сформулировать в виде краевого условия третьего рода, исключив из них неизвестный вектор 1: v (L)-ik0Dv(L) = 0 (115) Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений (103) и краевые условия (110) и (115) формируют третью краевую задачу для системы N дифференциальных уравнений относительно искомых коэффициентных функций v=(V1(z),V2(z), ... VN(z)) [v" + Q(z)v=0 v (0) + ik0Dv(0) = 2ik0D5n0 (116) [v (L)-ik0Dv(L) = 0 Задача (116) решается численно - методом конечных разностей[148]. Задача о волноводном переходе
Рассмотрим в качестве примера задачу о распространении волны через волноводный переход. Пусть дан плавно-нерегулярный по z закрытый волноводный переход между закрытыми планарными регулярными волноводами. Формы верхней и нижней границ волноводного перехода заданы уравнениями JC = 0 и x = h(z). Условие плавной нерегулярности волноводного перехода означает непрерывность h{z) и /z (z) для всех z.
Волноводный переход между двумя плоскими волноводами постоянного поперечного сечения Функция h(z) описывает переменную высоту нерегулярного волноводного перехода, причем для выполнения условий плавной нерегулярности необходимо, чтобы h(0) = h1, h(d) = h2 и h (0) = h (d) = . Рассмотрим задачу о распространении электромагнитного поля внутри описанной структуры из материала с показателем преломления «,.
Численное решение третьей краевой задачи
В работе Люнеберга предложено решение идеального оптического прибора (в рамках геометрической оптики), впоследствии названного линзой Люнеберга[100]. Позднее классическую линзу Люнеберга включили в семейство идеальных оптических приборов - обобщенных линз Люнеберга. Кеплер и Морган [46] предложили альтернативные выводы решений задачи синтеза таких линз, в работе Котляра [48] доказана их эквивалентность.
Обобщенная линза Люнеберга (обладающая сферической симметрией в трехмерном случае или круговой симметрией в двумерном случае) с фокусным расстоянием / описывается соотношениями: p(r) = rn(r,f), и(г,/) = ехр{ю(г,/)} (158) где co[r,f) определена как cQ(rj) = -\WC m(Xlf dx (159) я" І УІр2+х2 Параллельный пучок лучей (с плоским волновым фронтом), падающий на линзу Люнеберга, фокусируется на оси за линзой на расстоянии F = R/, где R - радиус линзы. Если f = 1, пучок фокусируется в точке на поверхности линзы, а она называется классической. Профиль показателя преломления классической линзы Люнеберга, найденный еще имеет вид n(r,l) = l/yJ2-(r/R)2 . (160) Тонкопленочная обобщенная волноводная линза Люнеберга
В работе Цернике [162] было показано, что локальное увеличение толщины волноводного слоя приводит к локальному замедлению фазовой скорости распространяющейся волноводной моды. Этот эффект привел к идее изготовления волноводных (двумерных) линз Люнеберга взамен объемных (трехмерных). Предположим, что слева на локальное утолщение волноводного слоя набежала направляемая ТЕ- (или ТМ-) мода, разрешенная регулярным трехслойным планарным диэлектрическим волноводом с показателями преломления ns,nf,nc с толщиной d/A волноводного слоя и коэффициентом фазового замедления $Е (/?/м ). Обобщенная линза Люнеберга (объемная) с фокусным расстоянием / = F/R обладает распределением показателя преломления п(r,f), r R. Тонкопленочную обобщенную волноводную линзу Люнеберга проектируем в виде дополнительного утолщения волноводного слоя h (г), обеспечивающего деформацию набежавшей волноводной моды, а значит и фокусирование плоского (на регулярном участке) волнового фронта и семейства локально ортогональных ему лучей посредством сформированного утолщением распределения эффективного коэффициента преломления neff(r,f) = n(r,f), r R распространяющейся деформированной волноводной моды, так что распределение эффективного коэффициента фазового замедления моды равно p3TE(rJ) = (i3TEneff{rJ), г R \РтМ (r,f) = PrMneff (r,f), г R). Дополнительное утолщение волноводного слоя может быть сформировано как из материала основного волноводного слоя, так и из другого материала с показателем преломления п{.
Задача проектирования заключается в математическом синтезе профиля толщины дополнительного волноводного слоя h(г), обеспечивающего «фокусировку» набегающей на ТОВЛ ТЕ- (ТМ-) моды с «плоским» (прямолинейным в плоскости yOz) волновым фронтом. Под фокусировкой мы понимаем формирование «в плоскости» (на линии в плоскости yOz), отстоящей на расстоянии F от центра линзы радиуса R (в плоскости yOz), дифракционной картины «бесконечно тонкой линзы сравнения» с угловой апертурой Q = 2arctg(R/F). Направляемая мода регулярного трехслойного волновода с толщиной волноведущего слоя d/A обладает коэффициентом фазового замедления $Е (#м). При набегании на линзу волноводная мода деформируется дополнительным волноводным слоем, изменяющим толщину от h(R) = 0 на краю линзы до hmax =/2(0) в ее центре, а затем снова до о на противоположном краю линзы. При этом р3Е (г, /) = Р Еп (r,f), г R изменяется от J33E (d,0) до pJTE{d ) = pJTEneff{bj). Функции p (d,h{z)) и fi3E(r,f) непрерывны, монотонно возрастающие и при / (0,/) pJTE{d,h[z \ pJTE(R,f} уравнение Р3ТЕ{d,h{z \- Р3ТЕ(r,f) = 0 однозначно разрешимо относительно искомого профиля толщины ЦЕ [г). Аналогичным образом по Р1М (d,h(z)) и P3M(rJ) = p3Mneff(rJ), r R мы устанавливаем искомый профиль толщины Ути{У). Профили толщины дополнительного волноводного слоя ЦЕ{г) и Цм{/) для различных волноводных мод приведены ниже (см. Рисунок 13 и Рисунок 14).
Численное решение задачи дифракции на плавном волноводном переходе
На нерегулярность падает одна первая мода, амплитуда которой убывает заметным образом при распространении вдоль нерегулярного участка (см. Рисунок 39, Рисунок 40). В результате перераспределения энергии возбуждается вторая мода, амплитуда которой близка по своему значению с амплитудой первой моды, что говорит о значительном перераспределении энергии (см. Рисунок 39) между модами, аналогичными направляемым модам открытого волновода. Часть энергии перераспределяется между модами, аналогичными излучательным (подложечным) модам открытого волновода (см. Рисунок 40). По сравнению с аналогичной структурой, дополнительный волноводный слой в которой нанесен на основной волноводный слой (Рисунок 32) амплитуды мод рассматриваемой структуры, соответствующих подложечным модам открытого волновода, имеют на порядок большие значения. Перераспределение энергии между модами, аналогичными направляемым модам открытого волновода, также более значительно, чем в случае аналогичной структуры (Рисунок 32), где амплитуда падающей моды практически неизменна.
Старшие моды с номерами п 7, аналогичным излучательным (подложечным) модам открытого волновода также возбуждаются с амплитудами, большими на порядок, чем в аналогичной структуре (Рисунок 32) – см. Рисунок 41. Коэффициентные функции, определяющие моды, аналогичные подложечным модам открытого волновода (J32 є (п2;п2)). Сплошная линия соответствует действительной части, штрихованная - мнимой, п0 = 1,АП0 = 1.0 Старшие моды с номерами п 23, аналогичным излучательным (покровным) модам открытого волновода возбуждаются с амплитудами, сравнимыми с амплитудами в аналогичной структуре (Рисунок 32) - см.
Коэффициентные функции, определяющие моды, аналогичные покровным модам открытого волновода (/З2 п2с). Сплошная линия соответствует действительной части, штрихованная - мнимой, п0 = 1,АП0 = 1.0 Замечание. Сравнивая результаты расчета полей для двух эквивалентных в одномодовом приближении метода поперечных сечений структур видно, что одномодовое приближение адекватно описывает распространение поля в неоднородности, нанесенной на волноводный слой. Неоднородность, расположенная внутри волноводного слоя и реализующая такой же эффективный показатель преломления, как и расположенная на волноводном слое, возбуждает направляемые и излучательные моды значительно сильнее.
Тем самым в рамках модели объемлющего закрытого волновода показано, что результаты моделирования двумерного разреза линзы хорошо согласуются с аналогичными результатами одномодового приближения метода поперечных сечений в случае линзы, помещенной на волноводный слой. Однако заметны сильные отличия в случае линзы, расположенной внутри волноводного слоя.
Рассмотрим задачу дифракции волноводных мод на однородном волноводном переходе, представленном ниже – см. Рисунок 43. Рисунок 43. Плавный однородный волноводный переход Будем решать задачу дифракции волноводных мод на описанной структуре. Численный расчет будем проводить для следующих входных даных: пс =1.000, п =1.510, nf = 2.100. Функция h(z), описывающая переменную высоту волноводного перехода - полином третьей степени, значение которого плавно меняется от \ =0,80// до h2 =0,92// на участке протяженностью Й? = 2,00//. Толщинам /г1=0,80// и /г2=0,92// соответствуют 5 направляемых мод. На нерегулярный участок падает мода ТЕ о О0=1) с единичной амплитудой ( =1.0). Объемлющий закрытый волновод имеет границы x = ±R , где R = 8Я, в нем присутствует N = 41 неэванесцентная мода, в разложении приближенного решения удерживаем N собственных функций. При численной реализации решения краевой задачи конечно-разностным методом введем сетку с М +1 узлом, где М = 2048. Получившуюся систему линейных алгебраических уравнений с блочно-трехдиагональной матрицей решаем методом матричной прогонки, реализованным в численном виде в системе компьютерной алгебры Maple. Выходными данными выступают численные значения амплитудных коэффициентов на введенной сетке. Приведем ниже численные значения амплитудных коэффициентов.
Коэффициентные функции, определяющие моды, аналогичные направляемым модам открытого волновода. Сплошная линия соответствует действительной части, штрихованная - мнимой, п0 = 1,Ащ = 1.0 В соответствии с рисунком выше (Рисунок 44) падающая на переход первая направляемая волноводная мода продолжает распространяться внутри перехода практически не теряя энергии - амплитуда убывает незначительно. Направляемые моды с номерами « = 2,3,4,5 возбуждаются при распространении первой моды через переход.