Введение к работе
Актуальность темы исследования. Диссертационная работа посвящена разработке аналитических и численных методов анализа нелинейных математических моделей полиномиальной структуры и исследованию разработанных моделей механических систем с помощью созданного комплекса программ.
Объектами исследования диссертационной работы являются аналитические и численные методы анализа нелинейных динамических систем полиномиальной структуры в условиях внешнего периодического воздействия, виброзащитных систем, механических систем для автоматизации производства. Исследуемые нелинейные математические модели представлены системами обыкновенных дифференциальных уравнений, которые содержат полиномиальные и периодические функции.
Предметом исследования являются методы анализа нелинейных математических моделей полиномиальной структуры. В проблеме анализа математических моделей полиномиальной структуры основным инструментом исследования до недавнего времени было приведение моделей к линейному виду посредством отбрасывания малых нелинейных частей. Для многих задач линейная модель недостаточно точно описывает исследуемую систему и не учитывает особые случаи влияния нелинейных составляющих. Также линейного приближения недостаточно вследствие значительной погрешности в решении упрощенной математической модели. Возможности классической линейной теории ограничены, в ее рамки не укладывается широкий круг физических, механических и технических задач.
Задача разработки оптимальных высокопроизводительных алгоритмов методов исследования более точных нелинейных математических моделей полиномиальной структуры является актуальной.
Рассматриваются задачи разработки и модификации аналитических и численных методов с целью повышения точности и производительности вычислений исследуемых нелинейных математических моделей полиномиальной структуры.
При эксплуатации устройств и механизмов в режиме реального времени необходимо применять эффективные методы для расчета возникающих экстремальных режимов и своевременного их устранения. Также для промышленной эксплуатации используют процессоры с низкой производительностью. Поэтому следует использовать методы, позволяющие эффективно выполнять расчет режимов при применении оптимальных вычислительных ресурсов.
При эксплуатации рассмотренных в диссертации объектов исследования часто возникают экстремальные режимы, которые характеризуются нелинейными эффектами. Например, эффект мгновенного скачка не определяется стандартными численными методами с фиксированным шагом. Предложенный в диссертации метод позволяет определять такие экстремальные режимы, исследовать субгармонические, полигармонические,
ультрагармонические режимы, определять автопараметрический резонанс и релаксационные колебания. Например, при возрастании малого параметра в уравнении Ван дер Поля до десяти возникают релаксационные (разрывные) режимы.
Степень разработанности темы. Проблемами разработки методов анализа нелинейных математических моделей полиномиальной структуры занимаются многие выдающиеся ученые в ведущих университетах России, в современных научных школах, например творческие коллективы под руководством академика Е.Е.Тыртышникова института вычислительной математики РАН, в институте прикладной математики РАН, в национальном исследовательском центре "Курчатовский институт", в институте проблем машиноведения РАН, в И1111И РАН. В последних работах научного коллектива института прикладной математики РАН им. М.В. Келдыша под руководством А.И.Аптекарева представлены современные работы по математическому моделированию (Сходимость лучевых последовательностей аппроксимаций Фробениуса-Паде / Аптекарев А.И., Боголюбский А.И., Ятцелев М.Л. // Математический сборник. 2017. Т. 208. № 3. С. 4-27). В научных работах профессора Ю.Я.Болдырева рассматриваются прикладные задачи анализа математических моделей (Antonova О.V., Borovkov A.I., Boldyrev Yu.Ya., Voynov LB., Variational problem for hydrogenerator thrust bearing Materials Physics and Mechanics. 2017. T. 34. № 1. с 97-102.)
Основы по теории нелинейных динамических систем были определены в трудах по нелинейной механике А.Пуанкаре, A.M. Ляпунова. В последующих работах Н.М.Крылова, Н.Н.Боголюбова, А.А.Андронова, Ван дер Поля и др. были предложены основные методы исследования нелинейных математических моделей.
В теории нелинейных динамических систем применяются различные численные и аналитические методы исследования. Среди приближенных аналитических методов исследования нелинейных моделей широко применяются методы: малого параметра, линеаризации, усреднения, Крылова-Боголюбова, Ван дер Поля, гармонического баланса, возмущений Пуанкаре. Применяются асимптотические методы растянутых параметров, многих масштабов. Для метода многочленных преобразований, рассматриваемого в работах Г.И. Мельникова, решение строится посредством многочленных преобразований исходных дифференциальных уравнений.
Однако, в каждом методе присутствуют свои ограничения, определяемые классом решаемых задач.
В методе усреднения рассматриваю укороченные уравнения и получают значительные погрешности при отыскании приближенного решения, поскольку не учитываются нелинейные слагаемые высоких степеней полинома. Например, не учитывается вязкое трение, которое пропорционально квадрату скорости или сила сопротивления, пропорциональная при больших скоростях квадрату скорости.
Для метода гармонического баланса при построении приближенного решения рассматриваются только компоненты основной частоты. Решение находят в
периодическом виде, которое представляют равномерным сходящимся рядом Фурье при предположении, что коэффициенты сходящегося ряда убывают и сохраняют только первые периодические члены ряда. Применение метода гармонического баланса возможно при выполнении предположения о малости отбрасываемых членов ряда.
Для метода малого параметра и возмущений решение находится в форме степенного ряда с малым параметром при условии сходимости ряда. В этих методах точность решения зависит от числа полученных приближений.
Для метода Ван дер Поля решается укороченное уравнение, поэтому решение не учитывает все нелинейные составляющие полинома. В методе Ван дер Поля и методе линеаризации не учитываются кубические степени. Например, не учитывается нелинейная жесткость в механических системах или кубическая зависимость упругой силы от деформации. Другой пример - осциллятор Дуффинга с кубической нелинейностью. В методе Крылова-Боголюбова, основанном на принципе усреднения, заменяется точное решение дифференциального уравнения усредненным.
В приближенных методах существенное значение имеет правильное определение начального приближения, что исключает последующие трудоемкие уточнения решения.
Другим недостатком приближенных методов, помимо невысокой точности, является значительная трудоемкость вычислительных алгоритмов.
В диссертации предложены методы на основе модификации численных и аналитических методов исследования нелинейных математических моделей полиномиальной структуры.
Цели и задачи. Целью диссертационной работы является: разработка, обоснование и имплементация семейства численно-аналитических методов анализа нелинейных математических моделей полиномиальной структуры, позволяющих кардинально сократить ресурсоемкость вычислений в экстремальных режимах по сравнению с существующими аналогичными методами.
Для достижения поставленных целей необходимо решить задачи:
-
определение и обоснование требований к разрабатываемому методу на основе аналитического обзора и анализа преимуществ и недостатков традиционных методов,
-
развитие теоретических основ аналитического метода многочленных преобразований для анализа нелинейных математических моделей полиномиальной структуры,
-
разработка итерационной схемы алгоритма на основе численного метода Рунге-Кутта третьего порядка для повышения на порядок точности метода,
-
имплементация разрабатываемых методов в программный комплекс, создаваемый на современном объектно-ориентированном языке программирования С# для построения аналитических решений и численных расчетов нелинейных математических моделей,
5. демонстрация применимости методов и программного комплекса на примерах различных нелинейных моделей полиномиальной структуры. Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты: впервые предложено семейство методов для анализа нелинейных математических моделей общей полиномиальной структуры, позволяющее исследовать системы с заданной точностью при сокращении ресурсоемкости вычислений.
Личный вклад автора. Автором предложены новые методы на основе модификации аналитических и численных методов с целью повышения точности и производительности вычислений для анализа нелинейных математических моделей полиномиальной структуры. Представлен метод многочленных преобразований с применением для решения преобразованной автономной системы уточненного численного метода Рунге-Кутта третьего порядка.
Автором предложен метод на основе модификации численного метода Рунге-Кутта третьего порядка, в котором для увеличения точности применены три оценки функции за один шаг, разработана итерационная схема метода, на порядок повышающая точность. Разработаны и исследованы уточненные нелинейные математические модели полиномиальной структуры для виброзащитных систем спутниковой антенны, для подвесных моторов катеров. Для автоматизации производства разработаны уточненные нелинейные модели: промышленного робота, мостового автокрана, механического устройства для подъёма.
Автором предложен метод на основе модификации метода малого параметра Пуанкаре для сокращения количества приближений метода посредством понижения полиномов высших степеней до пятой с помощью аппроксимаций по Чебышеву.
Автором создан программный комплекс на современном объектно-ориентированном языке программирования С# для построения аналитических решений и численных расчетов разработанных математических моделей с помощью представленных методов. Разработана библиотека нелинейных математических моделей для СУБД Oracle. Все положения, выносимые на защиту, получены автором. Теоретическая и практическая значимость.
Теоретическая значимость диссертационной работы состоит в том, что метод может использоваться для обширного класса нелинейных математических моделей общего полиномиального вида.
Практическая значимость диссертационной работы заключается в следующем: 1) на основе представленного метода исследован ряд нелинейных математических моделей практических систем: системы спутниковой антенны, виброзащитная система для подвесных моторов катеров, система трубопровода под внешним воздействием, виброзащитная система буровой вышки, система позиционирования мостовых автокранов, система промышленного робота, станка-качалки для
буровой установки, система автоматизированного подъемника и
мостового автокрана, 2) разработаны программы и библиотеки моделей в СУБД Oracle, которые
можно использовать для создания и исследования новых
математических моделей полиномиальной структуры. Методология и методы исследования.
В диссертационной работе применялись методы теории систем и системного анализа, исследования дифференциальных уравнений и функционального анализа, вычислительной математики, аналитической механики, нелинейной динамики, методы теории нелинейных колебаний, а также обработки и анализа результатов экспериментов и инженерии программного обеспечения.
Соответствие диссертации паспорту по специальности. Диссертационная работа соответствует паспорту по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»: в части формулы специальности:
«...разработка фундаментальных основ и применение математического моделирования, численных методов и комплексов программ для решения научных и технических, фундаментальных и прикладных проблем», «должны присутствовать оригинальные результаты одновременно из трех областей: математического моделирования, численных методов и комплексов программ» в части областей исследования:
- п. 1. «Разработка новых математических методов моделирования объектов и
явлений»;
-п. 2. «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей»;
п. 3. «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий»;
п. 4. «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента»;
-п. 5. «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента». На защиту выносятся:
-
метод многочленных преобразований для исследования более точных нелинейных математических моделей общей полиномиальной структуры,
-
алгоритм реализации метода преобразований, позволяющий учитывать нелинейные составляющие высших степеней, и полученные формулы для расчета коэффициентов преобразования и преобразованной системы,
-
численный метод с гарантированной точностью на порядок выше базового метода Рунге-Кутта третьего порядка и алгоритм итерационной схемы численного метода, в котором применены три оценки функции за один шаг,
4) выполнение процедуры поэтапного совместного применения аналитического и численного методов для анализа нелинейных математических моделей полиномиальной структуры. Степень достоверности и апробация результатов.
Достоверность обеспечивается строгостью постановок задач, корректным использованием математического аппарата, а также сопоставлением результатов применения методов с точными решениями, известными для отдельных классов задач.
Выполнены доклады и проведены обсуждения основных результатов диссертационной работы на международных и Всероссийских конференциях: Научно-технические конференции профессорско-преподавательского состава Университета ИТМО, 2007-2018; IEEE Computing Conference, 8-20 July 2017, London, United Kingdom; International Conference on Current Trends in Compute, Electrical, Electronics and Communication, 8-9 September 2017, India; International Conference Electronic Governance and Open Society: Challenges in Eurasia, September 4-6, 2017, St. Petersburg, Russia; IEEE International Conference on Electrical, Electronics, Materials and Applied Science, 2017, India; International Conference Internet and Modern Society 2017, St.Petersburg, Russia; International Conference on Mechanical Engineering, Automation and Control Systems 2017, Tomsk, Russia; International Conference on Materials, Applied Physics and Engineering (ICMAE) 3-4 June 2018, India; конгресс «Нелинейный динамический анализ 2007» СПбГУ; Всероссийская научная конференция по механике «Поляховские чтения», СПбГУ, 2003; VI международная научная конференция «Проблемы пространства, времени, движения», СПбГУ. 2000; VIII Всероссийская научная конференция по теоретической прикладной механике, 2001; Всероссийская научная конференция по механике «Вторые Поляховские чтения» СПбГУ, 2000; Международная конференция «Нелинейные науки на рубеже тысячелетий» ГИТМО (ТУ), 1999.
В 2018 году выполнено внедрение разработанного программного комплекса для ООО "БИФРИ".
Результаты диссертационной работы были применены в гранте РФФИ №16-08-00997 (2016-2018) и в онлайн-курсе ведущих вузов России «Модели и методы аналитической механики», разработанном автором в 2017 г. на платформе OpenEdu открытого образования.
Публикации. Результаты диссертационной работы были опубликованы в 44 печатных работах [1-43], из которых 13 статей - в ведущих научных журналах и рецензируемых изданиях ВАК [1-13], а 16 статей [14-29] - в международных изданиях, индексируемых в SCOPUS, Web of Science и имеют 111 международных ссылок, высокий индекс цитирования Хирша равный семи. Кроме того, автором получены три Свидетельства РФ о регистрации программ для ЭВМ.
В [4-8] автору принадлежат постановка задачи и применение метода, в [9-13] автору принадлежат формульные части, в [15-18] автору принадлежит разработка математических моделей, в [19-25] автору принадлежит вывод
расчетных формул, в [26-29] автору принадлежит разработка разделов методов анализа нелинейных моделей.
Поддержка. Работа над диссертацией была поддержана следующими грантами РФФИ (№10-08-01046, №16-08-00997) "Исследование нелинейных многочленных управляемых механических систем методами математического и компьютерного моделирования".
Структура и объем диссертации. Диссертация представлена на 265 страницах и включает введение, шесть глав, заключение, список литературы, который состоит из 116 наименований, и двух приложений. Диссертационная работа содержит 7 таблиц и 138 рисунков.