Аналитико-численные методы исследования скрытых колебаний Кузнецов Николай Владимирович

Введение к работе

Актуальность темы.

Колебание в динамической системе может быть легко вычислено, если траектории с начальными данными из его открытой окрестности в фазовом пространстве притягиваются к рассматриваемому колебанию при возрастании времени. С вычислительной точки зрения такое колебание (или множество таких колебаний) называется аттрактором, а область его притяжения — бассейном притяжения. Для визуализации такого аттрактора достаточно выбрать начальную точку и численно наблюдать за переходным процессом притяжения траектории из выбранной точки к аттрактору с возрастанием времени. Изучение динамических систем обычно начинается с анализа состояний равновесия, которые могут быть легко найдены численно или аналитически. Поэтому с вычислительной точки зрения естественно предложить следующую классификацию аттракторов, которая основана на связи их областей притяжения и состояний равновесия: аттрактор называется самовозбуждающимся (self-excited attractor), если любая окрестность одного из состояний равновесия пересекается с областью притяжения аттрактора, в противном случае аттрактор называется скрытым (hidden attractor). Термины"self-excited attractor¹¹ n^uhidden attractor" были введены автором в работах ,,,,] и за последние годы получили широкое распространение. Статья ] о локализации скрытого аттрактора в цепи Чуа, опубликованная в журнале Physics Letters А в 2011 году, стала в 2016 году самой цитируемой статьей журнала за пять лет, обзорная статья ] 2013 года, подготовленная по материалам данной диссертационной работы для журнала International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering за прошедшее время стала самой читаемой статьей журнала и вошла в список самых цитируемых работ журнала за все годы, а в 2016 году обзорная статья "Hidden attractors in Dynamical system^ [] была принята в один из ведущих международных журналов .

Предложенная классификация аттракторов оказалась естественной не только для исследования таких фундаментальных проблем, как 16-ая проблема Гильберта и гипотезы Айзермана и Калмана, но и отразила трудности инженерного анализа различных мультиустойчивых прикладных нелинейных моделей (в компьютерных архитектурах и телекоммуникации, системах управле-

¹ согласно информации на официальном сайте журнала на 31.08.2016:

²согласно информации на официальном сайте журнала на 31.08.2016: ,

³, Impact Factor 16.240 (JCR 2016, Web of Science)

ния летательными аппаратами, электромеханических моделях и т.д.). Предложенная классификация явилась катализатором открытия новых скрытых аттракторов в различных системах. В настоящее время по тематике скрытых аттракторов опубликовано более 100 работ известных российских и зарубежных авторов, среди которых Erik Mosekilde (Дания), Luigi Fortuna (Италия), Tomasz Kapitaniak (Польша), Ivan Zelinka (Чехия), Christos Volos (Греция), William Heath (Великобритания), Manuel de la Sen (Испания), Awadhesh Prasad (Индия), Guanrong Chen (Китай), Viet Pham (Вьетнам), Sajad Jafari (Iran), Ihsan Pehlivan (Турция), Sifeu Kingni (Камерун), Julien Clinton Sprott (США), Ж.Т. Жусубалиев (Курск), B.C. Анищенко (Саратов), И.М. Буркни (Тула), А.Н. Чурилов (Санкт-Петербург), СП. Кузнецов и А.П. Кузнецов (Саратов) и других, где предложенная классификация аттракторов используется со ссылками на работы в этом направлении автора диссертации ,]; в том числе в библиометрической базе данных Scopus (Elsevier) проиндексировано более 40 работ зарубежных авторов, в названиях которых содержится hidden attractor. В 2015 году был опубликован специальный выпуск журнала (Springer), в котором приняли участие авторы из 14 стран. В 2015 году на международной конференции (Japan, 2015) Guanrong Chen выступил с пленарным докладом, посвященном тематике скрытых аттракторов: ^u".

Понятие " самовозбуждающихся колебаний" (self-excited oscillations) или "автоколебаний" использовалось в работах H.G. Barkhausen, Л.И. Мандельштама, Н.Д. Папалекси и А.А. Андронова для описания возникновения колебаний в механических и электрических системах под влиянием внешних воздействий неколебательного характера. Использование этого термина в данной работе характеризует наличие в рассматриваемой автономной системе дифференциальных уравнений аналогичного естественного переходного процесса из малой окрестности одного из неустойчивых состояний равновесия к аттрактору. Понятие " скрытых колебаний" (hidden oscillations) появилось при обсуждении в работах [9,,30] визуализации предельных циклов в двумерных полиномиальных системах для исследования 16-ой проблемы Гильберта. В первых примерах двумерных полиномиальных квадратичных систем с четырьмя предельны-

^{4 5}City University of Hong-Kong, China, ; IEEE Fellow, Highly Cited Researchers 2015 in Engineering and Mathematics (. ^e

ми циклами, которые стали контрпримерами к утверждению И.Г. Петровского и Е.М. Ландис о возможности существования только трех предельных циклов в таких системах, численно можно увидеть только один предельный цикл (нормальной амплитуды), тогда как три остальных цикла (малой амплитуды) строятся теоретически при помощи последовательно малых возмущений и поэтому не могут быть визуализированы стандартными средствами. Другим мотивом использования термина "скрытые" стало описание В.И. Арнольдом эксперимента А.Н. Колмогорова, который раздавал студентам МГУ в качестве практикума двумерные квадратичные системы с различными коэффициентами для исследования существования в них предельных циклов — в нескольких сотнях таких примеров студенты не нашли ни одного предельного цикла. Математическая формализация этого понятия была связана с примером построения хаотического скрытого аттрактора (hidden attractor) в электронной цепи Чуа (Chua circuit) с искусственно стабилизированным нулевым состоянием равновесия, который был построен автором диссертации и представлен на пленарном докладе 4th International Scientific Conference on Physics and Control в 2009 году и затем опубликован в ].

Цели работы. Создание концепции скрытых и самовозбуждающихся аттракторов. Развитие эффективных аналитико-численных методов локализации скрытых аттракторов в фундаментальных проблемах и физических моделях. Развитие эффективных аналитико-численных методов анализа размерности скрытых и самовозбуждающихся аттракторов для получения оценок и точных формул ляпуновской размерности. Построение нелинейных моделей систем фазовой автоподстройки сигналов для анализа устойчивости и существования в них скрытых колебаний.

Методы исследования. Методы локализации скрытых колебаний включают в себя метод вычисления ляпуновских величин во временном пространстве, специальный аналог метода гармонического баланса для критического случая, метод синтеза сценариев рождения скрытых колебаний, основанный на продолжимости по параметру.

Для оценки размерности самовозбуждающихся и скрытых аттракторов применялся подход, основанный на инвариантности ляпуновской размерности относительно диффеоморфизмов и на использовании при оценке размерности функций Ляпунова.

⁷S. Shi, A concrete example of the existence of four limit cycles for plane quadratic systems, Sci. Sinica, 23, 1980, 153-158.

⁸В.И. Арнольд, Экспериментальная математика. М.: Фазис. 2005.

Для построения моделей фазовой автоподстройки, анализа их устойчивости и поиска скрытых колебаний использовались специальный метод усреднения и анализ фазовой плоскости.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Концепция скрытых и самовозбуждающихся аттракторов динамических систем.

2. Аналитико-численные методы локализации скрытых аттракторов в фундаментальных проблемах и физических моделях.

3. Методы оценки и вычисления ляпуновской размерности аттракторов динамических систем.

4. Математические модели систем фазовой автоподстройки в пространстве фаз сигналов.

5. Решение проблемы Гарднера определения полосы захвата без проскальзывания для математических моделей систем фазовой автоподстройки в пространстве фаз сигналов.

6. Комплекс программ для анализа скрытых и самовозбуждающихся аттракторов.

Научная новизна. Пункты 1-6, перечисленные в положениях, выносимых на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая и практическая значимость заключается в создании математических моделей систем фазовой автоподстройки в пространстве фаз сигналов; в разработке аналитико-численных методов, позволяющих эффективно исследовать скрытые колебания как при решении фундаментальных проблем, так и при анализе прикладных динамических моделей.

Достоверность полученных в работе теоретических результатов обеспечивается строгим использованием математического аппарата и подтверждается сравнением с ранее известными результатами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на приглашенных пленарных и обзорных докладах российских и международных конференций: X Int. Workshop on Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Russia, 2008), Physics and Control (Italy, 2009), 3rd Int. Conference on Dynamics, Vibration and Control (China, 2010), IFAC 18th World Congress (Italy, 2011), IEEE 5th Int. Workshop on Chaos-Fractals Theories and Applications (China, 2012), Int. Conference on Dynamical Systems and Applications (Ukraine, 2012),

Nostradamus (Czech Republic, 2013), 19th IFAC World Congress (South Africa, 2014), 2nd Int. Conference on Advanced Engineering - Theory and Applications (Vietnam, 2015) и другие.

Методы, предложенные автором в настоящей работе, были использованы для решения конкретных теоретических и прикладных задач в диссертациях Е. Кудряшовой, В. Вагайцева, В. Брагина, М. Юлдашева, Р. Юлдашева, М. Киселевой, Т. Мокаева, К. Александрова, научным руководителем которых был автор и которые защищались в Санкт-Петербургском государственном университете и University of Jyvaskyla, Финляндия (2009-2016 гг). Также по тематике скрытых колебаний в многомерных системах управления в 2016 году защитил диссертацию Нгуен Нгон Хиен в Тульском государственном университете (специальность 05.13.18, научный руководитель И.М. Буркин).

Результатам работы автора по скрытым аттракторам в цепи Чуа была дана положительная оценка Леоном Чуа (Leon Chua, University of California); на результаты по построению контрпримеров со скрытыми колебаниями к гипотезе Калмана об абсолютной устойчивости систем управления был получен положительный отклик от Рудольфа Калмана (Rudolf Kalman, Swiss Federal Institute of Technology), по скрытым аттракторам в системе Глуховского-Должанского — положительный отзыв от профессора Александра Должанского (Purdue University). В 2012 году по приглашению академика РАН В.Г. Пешехонова результаты работы были представлены автором в докладе "" на .

Работа над диссертацией была поддержана следующими грантами: postdoctoral researcher's project Max-Planck-Institut fur Physik komplexer Systeme (2004); грант №MK-162.2007.1 Совета по грантам Президента Российской Федерации для поддержки молодых российских ученых (2007-2008, руководитель); postdoctoral researcher's project №138488 Academy of Finland (2011-2013); проект №6.38.72.2012 Санкт-Петербургского государственного университета, мероприятие 2 (2012-2014, руководитель); проект №12-01-31335 РФФИ, мол_а (2012-2013, руководитель); проекты №8218 (2012-2013, руководитель), №14.740.11.0998 (2011-2013, руководитель), №14.740.11.0589 (2010-2012, руководитель) ФЦП Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы, мероприятие 1.2.2; гранты Правительства Санкт-Петербурга для молодых ученых (2007, 2008, 2010, 2011, 2012, персональные гранты); грант №14-21-00041 Российского Научного Фонда для поддержки существующих кафедр (2014-2016, основной исполнитель).

Публикации. Всего по теме диссертации автором опубликовано более 100 статей в изданиях, индексируемых Scopus, 2 монографии [30,], получено 3 свидетельства об интеллектуальной собственности (патенты) -] и 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ ]. Основные результаты диссертации представлены в работах ,,,9,,,], ,,,] и [,19-,].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Полный объем диссертации 187 страниц текста. Список литературы содержит 301 наименование.