Аналитико-численные методы исследования аттракторов многомерных систем управления Нгуен Нгок Хиен

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1 Известные методы поиска скрытых аттракторов. обзор результатов . 11

1.1 Основные определения 11

1.2 Трехмерные системы с квадратичными нелинейностями, обладающие скрытыми аттракторами. 22

1.3 Поиск скрытых аттракторов многомерных моделей систем автоматического управления. Метод Леонова - Кузнецова . 30

1.4 Вспомогательные утверждения и теоремы о разрешимости и свойствах специальных матричных неравенств. 55

Глава 2. Новые методы поиска скрытых аттракторов . 63

2.1 Условия существования самовозбуждающихся циклов у многомерных моделей систем управления. 64

2.2 Алгоритм поиска скрытых аттракторов. Примеры . 72

2.3 Проблема Калмана 81

2.4 Скрытые аттракторы системы Чуа 82

2.5 Скрытые аттракторы систем управления летательными аппаратами 89

Глава 3 Поиск минимального глобального аттрактора многомерных систем уравления 95

3.1Минимальный глобальный аттрактор 95

3.2 Метод стрельбы 98

3.3 Минимальный глобальный аттрактор классической и обобщенной системы Чуа. 102

3.4 Глобальный аттрактор трехмерной системы с полиномиальной нелинейностью 110

Заключение 126

Приложение А. Реализация алгоритма поиска скрытых аттракторов методом Г.А. Леонова. 127

Приложение Б. Реализация нового метода поиска скрытых аттракторов многомерных систем управления 129

Приложение В. Поиск неустойчивых циклов методом стрельбы. 132

Литература 1

• Поиск скрытых аттракторов многомерных моделей систем автоматического управления. Метод Леонова - Кузнецова
• Алгоритм поиска скрытых аттракторов. Примеры
• Скрытые аттракторы систем управления летательными аппаратами
• Глобальный аттрактор трехмерной системы с полиномиальной нелинейностью

Введение к работе

Актуальность работы.

Теория нелинейных колебаний динамических систем, созданная в тридцатых годах ХХ века, первоначально была настолько прозрачна и понятна, что поколения исследователей могли успешно применять ее для решения задач из различных областей науки. При этом структура большинства изучаемых систем была такой, что факт существования колебательных режимов в них не вызывал сомнений, поэтому основные усилия исследователей были сосредоточены на анализе свойств и формы таких колебаний. В семидесятых годах стало понятно, что кроме орбитально устойчивых циклов и торов, имеющих единую природу, динамические системы могут обладать странными аттракторами, имеющими сложную топологическую структуру. В последующие десятилетия усилия многих математиков были сосредоточены на исследовании структуры странных аттракторов, их размерности, условий их возникновения и локализации в фазовом пространстве (Ильяшенко Ю.С., Нейман А.Б, Анищенко В.С., Магницкий Н.А., Сидоров С.В, Леонов Г.А., Feigenbaum M.J., Douady A., Oesterl J., Temam K., Kaplan H., Yorke J.A. и др.). Впечатляющих результатов здесь удалось достичь благодаря тому, что аттракторы классических систем Лоренца, Рёсслера, Чуа, Чена, Лу, также как аттракторы моделей классических систем автоматического управления, содержат в своей области притяжения сколь угодно малые окрестности неустойчивых состояний равновесия. Такие аттракторы являются "самовозбуждающимися" в том смысле, что вычислительная процедура, "стартующая" из любой точки неустойчивого многообразия в окрестности состояния равновесия, "выходит" на аттрактор и рассчитывает его.

Однако самовозбуждающиеся аттракторы не исчерпывают все типы возможных аттракторов. Феномен существования аттракторов другого типа, не содержащих в своей области притяжения состояний равновесия – вложенных ор-битально асимптотически устойчивых циклов, хорошо известен для случая двухмерных систем. Такие аттракторы называют "скрытыми". Хорошо известными примерами скрытых аттракторов у многомерных моделей систем автоматического управления являются построенные во второй половине XX века контрпримеры к гипотезам Айзермана и Калмана, демонстрирующие, что единственное устойчивое в малом состояние равновесия многомерной системы может сосуществовать с орбитально устойчивым циклом.

Проблемы обнаружения и локализации скрытых аттракторов оказываются чрезвычайно важными при моделировании сложных технических систем, подверженных внешним возмущениям. Наличие таких аттракторов может привести к тому, что наряду с желаемым устойчивым режимом работы в такой системе могут возникнуть другие нежелательные устойчивые и неустойчивые режимы, способные привести к авариям. Так, например, известно (Г.А.Леонов, Н.В.Кузнецов, Б.Р.Андриевский, А.Ю.Погромский, S. Jafari, J. Sprott), что именно наличие скрытых аттракторов в системах управления летательными аппаратами приводит к возникновению флаттера по тангажу у самолета или неуправляемому вращению ракеты. Скрытые аттракторы обнаруживаются также

при нелинейном анализе систем фазовой автоподстройки частоты (Г.А.Леонов, Н.В.Кузнецов, М.В.Юлдашев, Р.В.Юлдашев), а также при моделировании буровых установок (Г.А.Леонов, Н.В.Кузнецов, Л.А.Киселева).

В 2010 году Г.А.Леоновым был предложен метод поиска скрытых аттракторов в многомерных моделях систем автоматического управления с одним нелинейным блоком, основанный на использовании метода гармонической линеаризации, метода малого параметра и метода описывающих функций. Дальнейшее развитие этого метода (Г.А.Леонов, Н.В.Кузнецов, Б.Р.Андриевский, В.О.Брагин), позволило впервые обнаружить хаотический скрытый аттрактор в контуре Чуа. Упомянутые работы вызвали волну интереса к исследованию многомерных динамических систем, которые либо не имеют состояний равновесия, либо имеют устойчивые в малом состояния равновесия и одновременно обладают орбитально устойчивыми циклами или странными аттракторами (S. Jafari, J. Sprott, M. Molaie, G. A. Chen, Z.Wei, X. Wang, Seng-Kin Lao, Y. Shekofteh, X.Wangand, С.Li, H.Zeng et al.).

Актуальной является задача разработки новых эффективных аналитико-численных методов локализации скрытых аттракторов систем автоматического управления, охватывающих модели многосвязных систем, а также методов поиска минимального глобального аттрактора таких систем, в котором сосуществуют несколько локальных скрытых аттракторов.

Цель и задачи работы. Целью настоящей работы является разработка новых аналитико-численных методов поиска скрытых аттракторов многомерных моделей систем автоматического управления, а также методов поиска и локализации в фазовом пространстве минимального глобального аттрактора таких систем, которые могут быть использованы при математическом моделировании колебательных процессов в многомерных динамических системах.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать новые аналитико-численные методы локализации и эффективного поиска скрытых аттракторов математических моделей многосвязных систем автоматического управления.

2. Разработать методы локализации неустойчивых многообразий многомерных систем управления, а также аналитико-численные методы поиска неустойчивых циклов.

3. Построить математическую модель многомерного аналога системы Льенара, обладающую скрытыми аттракторами.

4. Создать программный комплекс, позволяющий реализовать алгоритмы поиска скрытых аттракторов и минимального глобального аттрактора многомерных систем управления.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы теории матриц, матричных уравнений и неравенств, теории устойчивости, второй метод Ляпунова, частотные методы; при разработке вычислительных алгоритмов использовалась система компьютерной математики Matlab.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту. В диссертационной работе предложен аналитико-численный метод поиска скрытых аттрак-4

торов многомерных моделей систем управления, позволяющий исследовать системы, обладающие одновременно несколькими скрытыми аттракторами, а также находить минимальный глобальный аттрактор таких систем.

Научную новизну составляют следующие результаты, выносимые на защиту:

1. Предложен новый аналитико-численный метод поиска скрытых аттракторов математических моделей многосвязных систем автоматического управления, являющийся существенно "менее затратным" на этапе подготовки к реализации численного алгоритма поиска скрытого аттрактора, чем методы, используемые другими авторами и позволяющий исследовать системы, обладающие одновременно несколькими скрытыми аттракторами.

2. На базе системы компьютерной математики Matlab разработан комплекс программ для поиска скрытых аттракторов многомерных моделей систем автоматического управления.

3. С помощью разработанных методов и комплекса программ найдены скрытые аттракторы классической и обобщенной систем Чуа, построен контрпример к гипотезе Калмана, обнаружены скрытые колебания в системах управления летательными аппаратами.

4. На базе системы компьютерной математики Matlab разработан комплекс программ для эффективного поиска неустойчивых циклов многомерных моделей систем автоматического управления, использующий "метод стрельбы".

5. Построена математическая модель многомерного аналога системы Льенара. Предложен аналитико-численный метод поиска минимального глобального аттрактора многомерных аналогов систем Льенара, позволивший найти минимальный глобальный аттрактор классической и обобщенной систем Чуа, а также трехмерной системы с полиномиальной нелинейностью.

Достоверность полученных результатов. Все положения, выносимые на защиту, математически строго доказаны и подтверждаются численными экспериментами.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы заключается в развитии новых методов исследования структуры аттракторов многомерных динамических систем и, в частности, многомерных моделей систем автоматического управления.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы специалистами в области теории нелинейных колебаний при анализе многомерных моделей динамических систем, а также при анализе и синтезе систем автоматического управления.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на Международных научных конференциях "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Россия, Тула, 2014), "Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы" (Россия, Москва, РУДН, 2014), а также на всероссийских конференциях " XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ 2014." (Россия, Москва, ИПУ, 2014). "Всероссийская конференция по истории мате-5

матики и математического образования, посвященная 130-летию со дня рождения Н.Н. Лузина" (Россия, Елец, 2013 г).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ [1-7], в том числе две статьи [1,2] опубликованы в журналах из перечня ВАК.

В работе [1] И.М. Буркину принадлежат постановки задач и идеи методов исследования. Соискателю принадлежат доказательства теорем, разработка численных алгоритмов, программного комплекса и реализация процедуры поиска скрытых аттракторов. В работе [2] соискателю принадлежит разработка алгоритма поиска минимального глобального аттрактора многомерного аналога системы Льенара с полиномиальной нелинейностью с использованием "метода стрельбы". Соавторам принадлежит модель исследуемой системы и постановка задачи исследования.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка используемой литературы из 87 наименований, и 3 приложений; общий объем - 143 страниц машинописного текста, включая 123 рисунки и 7 таблиц.

Поиск скрытых аттракторов многомерных моделей систем автоматического управления. Метод Леонова - Кузнецова

Типичным примером аттракторов являются устойчивые точки покоя, орбитально устойчивые циклы, странные хаотические аттракторы. Все фазо-вое пространство представляет собой простейшим пример аттрактора, ес-ли при всех значениях в нем определены траектории. Этот пример де-монстрирует, что имеет смысл ввести понятие минимального аттрактора - наименьшего инвариантного множества, обладающего свойством притяги-ваемости (свойством 1, или свойством 2). Далее под аттракторами (и глобальными аттракторами) будут пониматься именно минимальные аттракторы (минимальные глобальные аттракторы). Глобальный аттрактор может иметь сложную структуру и представ-лять собой объединение нескольких вложенных друг в друга локальных ат-тракторов. Наименьший («неделимый») глобальный аттрактор и называют минимальным глобальным аттрактором. Так, например, минимальным гло-бальным аттрактором динамической системы, имеющей неустойчивое со-стояние равновесия и устойчивый предельный цикл, является множество, состоящее из точки покоя и предельного цикла. Если двумерная динамиче-ская система имеет единственное стояние равновесия и несколько вложен-ных друг в друга устойчивых и неустойчивых циклов, то минимальным гло-бальным аттрактором является множество, состоящее из точки покоя и всех предельных циклов системы (рис. 1.1).

С точки зрения вычислительных процедур, аттракторы нелинейных динамических систем можно разделить на самовозбуждающиеся и скрытые. Определение 1.9 [54]. Аттрактор называется “скрытым”, если его об-ласть притяжения не содержит малых окрестностей положений равновесия, в противном случае он называется “самовозбуждающимся”.

Самовозбуждающиеся аттракторы можно локализовать численно при помощи стандартной вычислительной процедуры, в которой после переход-ного процесса траектория, начинающаяся в точке неустойчивого многообра-зия в малой окрестности неустойчивого равновесия, достигает аттрактора и рассчитывает его. Стартуя из любой точки такой окрестности, после пере-ходного процесса вычислительная процедура “выходит” на притягивающий колебательный режим (аттрактор). Именно такие аттракторы присутствуют в большинстве систем автоматического регулирования, а также в системах Ло-ренца, Ресслера, Чуа. На рисунке 1.1 "самый маленький цикл" – самовозбуж-дающийся аттрактор, а "самый большой" – скрытый.

Пример 1.1. Система трех нелинейных обыкновенных дифференци-альных уравнений (1.1.2) названная системой уравнений Лоренца, описывает динамику нескольких физических систем – конвекцию в слое, конвекцию в кольцевой трубке, од-номодовый лазер. Она является исторически первой динамической системой, в которой был обнаружен нерегулярный аттрактор. Найдем особые точки си-стемы уравнений Лоренца: (1.1.3) Из первого уравнения имеем и второе есть две возможности . Тогда, из третьего уравнения получаем если то , ес-ли то , так что это решение существует лишь при . Итак, система (1.1.3) имеет одно состояние равновесия при , распо-ложенное в начале координат, а при имеется три состояния равновесия: Проанализируем найденные особые точки на устойчивость, следуя рассуждениям из книги [19]. Пусть - интересующая нас особая точка. Характеристический полином системы (1.1.3), линеаризованной в этой точке, имеет вид (1.1.4) Для особой точки имеем Это уравнение имеет три корня Собственное число всегда отрицательно. Собственные числа являются отрицательными лишь при ; если же одно из них стано-вится положительным. Значит, точка устойчива при и неус-тойчива при . Особые точки и существуют, как было показано, при . То-гда уравнений (1.1.4) принимает вид (1.1.5) Исследование уравнения (1.1.5) показывает, что при лишь немного превышающих 1, все три собственных числа отрицательны. Следователь-но, неподвижные точки и являются устойчивыми узлами. При увели-чении с некоторого момента они становятся устойчивыми фокусами – одно собственное число действительное и отрицательное, а два других комплекс-но-сопряженные с отрицательной действительной частью. При и дальнейшем увеличении действительная часть меня-ет знак, и это момент потери устойчивости состояниями и (в силу симметрии это происходит одновременно).

Если взять выбранные Лоренцем в исходной работе значения пара-метров , получаем координаты трех состояний равновесия: Для состояний равновесия собственные значения . Для особых точек и , собственные значе-ния . Теперь все три осо-бые точки неустойчивы. Если провести численное решение уравнений (1.1.2) на компьютере, например, взять в качестве начального условия точку , близкую к состоянию равновесия , то обнаружи-вается, что в системе устанавливается хаотический автоколебательный ре-жим - самовозбуждающиеся странный аттрактор. На рис.1.2 показан стран-ный аттрактор системы Лоренца. Рис.1.2. Фазовый портрет аттрактора Лоренца.

Пример 1.2. Система Чуа моделирует некоторую электрическую цепь, предложенную Леоном Чуа для генерации хаотических колебаний [23]. Сис-темы дифференциальных уравнений, описывающих поведение цепей Чуа, являются трехмерными динамическими системами с одной скалярной нели-нейностью. В безразмерных координатах система Чуа может быть записана в виде [23]: (1.1.6) где функция характеризует нелинейный элемент системы, - параметры сис-темы Чуа. Следуя работе [23], рассмотрим систему (1.1.6) с параметрами , Запишем систему (1.1.6) в виде: (1.1.7) где операция обозначает транспонирование, Система (1.1.6) при имеет три стационар-ных состояния: . Для положения равновесия собственные значения . Для особых точек и , соб-ственные значения: . То есть нуле-вое состояние равновесия устойчиво в малом, а два других состоя-ния равновесия и являются седлами.

Проведём линейный анализ системы (1.1.6), полагая в (1.1.7) , то есть выделим секторы устойчивости и неустойчивости линей-ной системы при различных значениях . При матрица является гурвицевой, т.е система имеет секторы устойчивости . При матрица имеет два комплексно-сопряженных соб-ственных значения и одно положительное собственное значение ( сектор не-устойчивость степени 1). При матрица имеет одно отрицательное собственное значение и два комплексно-сопряженных собственных значения с положительными вещественными частями (сектор неустойчивость степени 2).

Алгоритм поиска скрытых аттракторов. Примеры

Рассмотрим систему вида , (2.1.2) где , , – вещественные постоянные матрицы порядков, соответственно, , и , где , . Везде далее предполагается, что , , где – непрерывные, дифференцируемые при функции. Ниже, для формулировки утверждений, нам удобно будет использо-вать передаточную -матрицу системы (2.1.2). Бу-дем предполагать, что ранги матриц и равны , то есть предполагать систему (2.1.2) управляемой и наблюдаемой. Согласно теореме 1.6, управляемость и наблюдаемость системы (2.1.2) экви-валентна невырожденности ее передаточной матрицы . Последнее, на-помним, означает, что для любого корня многочлена существует такой минор матрицы , что .

Предположения (2.1.3), очевидно, означают, что система (2.1.2) имеет решение (точку покоя) . Если – какая-либо точка покоя системы (2.1.2), то для нее справедливо соотношение , кото-рое можно записать в виде , (2.1.4) где , . Все формулируемые далее критерии существования циклов у системы (2.1.2) используют предположение о том, что – единственная точка по-коя системы. Для этого необходимо и достаточно, чтобы система (2.1.4) име-ла только тривиальное решение . Положим . Лемма 2.1. Пусть в какой-либо строке с номером матрицы равны нулю все элементы, кроме элемента , расположенного на главной диагонали. Пусть выполнено неравенство . Тогда .

Лемма 2.2. Пусть в строках с номерами и матрицы равны нулю все элементы , для которых по крайней мере один из индексов или отличен от или . Если выполнены условия , , , (2.1.5) тогда система (2.1.4) имеет только тривиальное решение. Приведем доказательство леммы 2.2. Лемма 2.1 доказывается анало-гично. Доказательство. Пусть, для определенности, . Тогда первые два уравнения системы (2.1.4) имеют вид

При прямая не пересекает сектор на плоскости . Из условий (2.1.3) вытекают соотношения , . Поэтому, предполагая, что система (2.1.6) имеет решение , и, используя условие , сразу приходим к противоречию с первым уравнением системы. Аналогично, предполагая что , из второ-го уравнения системы и условия выводим, что . Предпола-гая теперь, что система (2.1.6) имеет решение , , получаем . В силу (2.1.5), оба сомножителя в левой части последнего равенства строго положительны, а его правая часть неположительна. Это противоречие и доказывает лемму.

Будем говорить, что матрица "допускает редуцирование по ва-рианту 1", если все элементы -ой строки этой матрицы, кроме элемента равны нулю. Будем говорить, что матрица "допускает редуцирование по варианту 2", если все элементы в каких-либо строках и этой матрицы, кроме элементов , , и равны нулю. Редуцированием матрицы по варианту 1 будем называть матрицу, в которой все элементы в строке и столбце с номером заменены нулями. Редуцированием матрицы по вариан-ту 2 будем называть матрицу, в которой все элементы в столбцах с номерами и заменены нулями.

Лемма 2.3. Пусть матрица допускает последовательные реду-цирования по вариантам 1 или 2 до тех пор, пока она не станет нулевой -матрицей. Если при редуцировании по варианту 1 всякий раз выпол-нено условие , а при редуцировании по варианту 2 выполняются условия (2.1.5), то система (2.1.4) имеет только тривиальное решение (система (2.1.2) имеет единственное состояние равнове-сия ).

Справедливость утверждения леммы 2.3 вытекает из лемм 2.1 и 2.2. Замечание 2.1. Если функции удовлетворяют соотношениям для всех , , , то система (2.1.2) будет иметь единственное состояние равновесия , если условия леммы 2.3 выполнены для матрицы , где . В скалярном случае ( ), как хорошо известно, условие существования только тривиального состояния равновесия у системы (2.1.2) сводится к требованию существования единственной точки пересечения графика нелинейности с "характеристической прямой" .

Теорема 2.1. Пусть нелинейности в системе (2.1.2) удовлетво-ряют соотношениям (2.1.3 ). Пусть существует число такое, что выпол-нены следующие условия. 1) Матрица , где , имеет ровно два собственных значения с положительными вещественными частями и не имеет их в полосе . 2) Матрица , где является гурвицевой и . 3) При всех справедливо неравенство (2.1.7) Тогда система (2.1.2) имеет по крайней мере один орбитально устой-чивый цикл, области притяжения которого принадлежат почти все точки ок-рестности состояния равновесия . Доказательство. Пусть , где – вектор-строка, а – какие-либо два решения системы (2.1.2) Положим . Очевидно, является решением системы , (2.1.8) где при и при . Учитывая (2.1.3 ) для функции получим, . (2.1.9) Введем в рассмотрение функцию . Матрицу под-берем так, чтобы выполнялось неравенство (2.1.10) с каким либо , где производная функции вычислена в силу системы (2.1.8). Для выполнения соотношения (2.1.10) достаточно, чтобы для любых и любых , удовлетворяющих соотношениям (2.1.9), было спра-ведливо неравенство . (2.1.11) По частотной теореме 1.10 для существования матрицы , удо-влетворяющей неравенству (2.11), необходимо и достаточно, чтобы при всех выполнялось условие . Последнее неравенство эквивалентно условию (2.1.7). Полагая в (2.1.11) и учитывая соотношения (2.1.9), при-ходим к матричному неравенству . (2.1.12) Из этого неравенства, условия 1) теоремы и леммы 1.5 вытекает, что матри-ца неособая и имеет ровно 2 отрицательных и положительных соб-ственных значения. Из приведенных рассуждений следует, что для функции с най-денной матрицей и для любых двух решений и системы (2.1.2) справедливо соотношение

Скрытые аттракторы систем управления летательными аппаратами

В данном разделе основное внимание уделено исследованию струк-туры минимальных глобальных аттракторов многомерных систем.

Напомним, что аттрактором динамической системы называется инва-риантное замкнутое множество в ее фазовом пространстве, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящим-ся к бесконечности. Типичным примером аттракторов являются устойчивые точки покоя, орбитально устойчивые циклы, странные хаотические аттракто-ры. Если аттрактор обладает свойством глобальной притягиваемости для всех траекторий динамической системы, то его называют глобальным ат-трактором. Глобальный аттрактор может иметь сложную структуру и пред-ставлять собой объединение нескольких вложенных друг в друга локальных аттракторов (см.1.1). Наименьший ("неделимый") глобальный аттрактор на-зывают минимальным глобальным аттрактором. Минимальный глобальный аттрактор двумерной системы, фазовый портрет которой представлен на рис.1.1, представляет собой совокупность точки покоя, одного устойчивого и одного орбитально неустойчивого цикла. Хорошо известно асимптотическое поведение траекторий решений системы уравнений движения маятника где и - положительные числа: траектория любого решения этой си-стемы стремится при к некоторому состоянию равновесия.

Приведем результат, связанный с поиском минимального глобального аттрактора многомерный системы [34]. Рассмотрим систему (3.1.4) с , , и В работе [28] доказано, что система (3.1.4) имеет не менее трех циклов, не менее, чем два из которых орбитально устойчивы. Результаты численного интегрирования системы (3.1.4) подтверждают, что она имеет два орбиталь-но устойчивых цикла - “малый” и “большой”.

Наконец, приведем ещё один результат, связанный с поиском мини-мального глобального аттрактора системы с полиномиальной нелинейно-стью. В работе [10], рассмотрена система (3.1.5)

Доказано, что система (3.1.5) имеет одно устойчивое состояние равно-весия, 4 неустойчивых состояний равновесия типа седло-фокус, пять орби-тально устойчивых циклов (три из которых являются скрытыми аттрактора-ми) и один орбитально неустойчивый цикл, составляющие ее минимальный глобальный аттрактор. Самовозбуждающиеся и скрытые аттракторы в работе [10] были нами найдены с использованием методов, изложенных в главе 2, в то время как не-устойчивый цикл был найден методом "целенаправленного поиска" его на-чальных условий в трехмерном фазовом пространстве. Понятно, что проце-дура такого поиска является весьма трудоемкой. В настоящей главе внимание будет сосредоточено на специальных методах поиска неустойчивых циклов многомерных систем и иследовании структуры минимального глобального аттрактора систем с полиномиальными нелинейностями.

3Устойчивые периодические решения автономной системы можно най-ти численным интегрированием при условии, что найдена какая-либо точка из области притяжения такого решения. Вычислительная процедура, стар-тующая из такой точки, "выходит" на устойчивую траекторию и рассчитыва-ет ее. Для поиска неустойчивых периодических решений необходима разра-ботка специальных вычислительных процедур. Такие процедуры разрабаты-вались, например, в работах [4] и [31]. В данной работе для поиска неустой-чивых циклов автономных систем использован алгоритм, предложенный в книге [31] – "метод стрельбы", поскольку он кажется автору более простым с точки зрения компьютерной реализации.

Глобальный аттрактор трехмерной системы с полиномиальной нелинейностью

В настоящем разделе мы будем рассматривать так называемую обоб-щённую системы Льенара [10] то есть систему , (3.4.1)

Многомерным аналогом системы Льенара будем называть систему (3.4.1) с матрицей размером такой, что для некоторого матрица имеет пару чисто мнимых собственных значений и собст-венных значения с отрицательными вещественными частями. Соответствен-но – -мерные векторы.

Нас будет интересовать вопрос возможной структуры минимального глобального аттрактора такой системы. Для многомерных систем вида (3.4.1) возникают две проблемы: 1. Необходимо построить математическую модель вида (1), являю-щуюся многомерным аналогом системы Льенара и обладающую скрытыми аттракторами 2. Указать возможную структуру минимального глобального аттрак-тора такой модели и визуализировать его. Первая из этих проблем была решена в работах [10]. Для простоты рассмотрим систему (3.4.1) с нечетной функцией , имеющую единст-венное состояние равновесия . Предположим, что сектор устойчивости и неустойчивости этой системы такие, как представлено на рис. 3.21. Пусть нелинейность при ведет себя так, как показано на этом рисунке, то есть она поочередно пребывает в секторах устойчивости и неустойчиво-сти. Тогда, опираясь на результаты робот [6, 8] можно ожидать, что у рас-сматриваемой системы существует два устойчивых и два неустойчивых цик-ла.

Система имеет устойчивое в малом состояние равновесия и 4 неус-тойчивых состояния равновесия типа седло-фокус: , . При этом матрица линеаризации в со-стояниях равновесия имеет два комплексных собственных значения с отрицательными вещественными частями и одно положительное, а матрица линеаризации в состояниях равновесия имеет два ком-плексных собственных значения с положительными вещественными частями и одно отрицательное.

Нетрудно убедиться в том, что для рассматриваемой системы спра-ведливо неравенство с . При этом матрица при имеет два комплексно-сопряженных собственных значения с положительными вещественными частями, одно отрицательное собственное значение и не имеет собственных значений в полосе . Матрица явля-ется гурвицевой, также как и матрица . Таким образом, здесь выпол-нены условия теоремы 2.1 для указанных значений . График нели-нейности при представлен на рис. 3.22.

При этом система сконструирована так, что можно ожидать [6, 8] су-ществование 2-х скрытых и 2-х самовозбуждающихся аттракторов.

График нелинейности Для реализации описанной в главе 2 процедуры численного поиска скрытого аттрактора поступим следующим образом: пользуясь теоремой 2.1, сконструируем кусочно-дифференцируемую непрерывную функцию , удовлетворяющую условиям (2.1.3 ) так, чтобы система (3.4.1) с такой нели-нейностью имела по крайней мере один орбитально асимптотически устой-чивый цикл, область притяжения которого содержит все точки малой окрест-ности состояния равновесия системы. Сначала заменим нелинейность в системе (3.4.2) на функцию Из приведенных выше рассуждений и теоремы 2.1 следует, что при этом сис-тема будет иметь самовозбуждающийся из окрестности состояния равнове-сия орбитально устойчивый цикл. "Стартуя" от этого цикла мы реали-зуем описанную выше процедуру поиска скрытого аттрактора исходной сис-темы.

Результат работы алгоритма поиска аттрактора системы (3.4.2) пред-ставлен на рис. 3.23–3.26 (проекции на плоскость )

График выхода Пользуясь этой оценкой и теоремой 2.2, построим еще одну вспомога-тельную нелинейность так, чтобы система (3.4.2) с такой нелинейно-стью имела самовозбуждающийся из окрестности состояния равновесия цикл, заведомо отличный от цикла, "породившего" найденный выше хаотический аттрактор. Положим В силу теоремы 2.1, система с такой нелинейностью будет иметь цикл , область притяжения которого содержит точки сколь угодно малой окрест-ности состояния равновесия . Этот цикл заведомо не содержится в найденном хаотическом аттракторе системы (3.4.1) и не совпадает с циклом, его "породившим". В самом деле, он содержится в конусе . Если для него выполнено условие при всех . Но тогда есть траектория линейной системы с . Матрица не имеет собственных значений в полосе . Поэтому все решения такой линейной системы с начальными условиями в , согласно теореме 2.2, являются неограниченными при .

Теперь повторим процедуру поиска скрытого аттрактора, описанную выше, стартуя из какой-либо точки цикла . То есть рассмотрим семейство систем (3.4.2) с нелинейностями вида , имеющее при самовозбуждающийся цикл . Результат работы алгоритма поиска аттрактора системы (3.4.2), отличного от найденного хаотического аттракто-ра, представлен на рис. 3.28–3.31. На всех рисунках эволюция цикла пред-ставлена на фоне найденного ранее аттрактора.

Поскольку при всех достаточно больших по абсолютной величине значениях выполняется соотношение , то из (3.4.3) и теоремы 1.13 следует, что рассматриваемая система диссипативна по Левинсону. Но тогда, из результатов работы [35, теорема 1.1] следует, что любое ее реше-ние либо стремится к состоянию равновесия либо является автоко-лебанием в смысле В.А. Якубовича [40]. Численный анализ системы (3.4.2) показывает, "почти все" ее решения, начинающиеся в малой окрестности со-стояний равновесия в самом деле являются автоколеба-ниями и, более того, в окрестности этих состояний равновесия существуют самовозбуждающиеся хаотические аттракторы этой системы (рис.3.32- 3.34) Рис.3.32 Рис.3.33 Рис.3.34

В то же время траектории решений, начинающиеся в окрестности состояний равновесия , притягиваются либо к хаотическому аттрак-тору, представленному на рис.3.26 (рис.3.35, начальное условие ), либо к одному из аттракторов, представленных на рис.3.32 и 3.33, (рис.3.36, начальное условие ), либо, наконец, к состоянию равновесия (рис.3.37, начальное условие ).

Устойчивое состояние равновесия также как и "большой" хаотический аттрактор, "малые" хаотические аттракторы и "большой устой-чивый цикл имеют открытые области притяжения, границы которых могут содержать орбитально неустойчивые циклы. Ниже описана процедура поиска этих неустойчивых циклов, использующая "метод стрельбы", описанный в разделе 3.2.