Аналитическое и численное исследование математических моделей эволюционных процессов термо- и гидродинамики Аль Исави Джавад Кадим Тахир

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Математические модели эволюционных процессов 28

1.1. Математическая модель Дзекцера 28

1.2. Математическая модель Фишера – Колмогорова и математическая модель диффузии четвертого порядка 33

1.3. Математическая модель Кана – Хилларда 36

1.4. Квазибанаховы пространства и линейные операторы 40

1.5. Квазисоболевы пространства и квазиоператоры Лапласа. Редукция математических моделей 44

Глава 2. Аналитические методы исследования класса эволюционных моделей в квазисоболевых пространствах 51

2.1. Относительно секториальные операторы 51

2.2. Вырожденные голоморфные разрешающие полугруппы 54

2.3. Обобщенная задача Шоуолтера – Сидорова и фазовое пространство эволюционной модели соболевского типа 63

2.4. Задача Коши для неоднородного уравнения 69

2.5. Аналитическое исследование аналога математической модели Дзекцера 75

2.6. Аналитическое исследование аналогов математических моделей Фишера – Колмогорова, Кана – Хилларда и диффузии четвертого порядка 78

Глава 3. Численное исследование класса эволюционных моделей в квазисоболевых пространствах 80

3.1. Качественное исследование математических моделей: инвариантные пространства и экспоненциальные дихотомии 80

3.2. Свойства решений моделей Дзекцера, Фишера – Колмогорова, Кана – Хилларда и диффузии четвертого порядка в квазисоболевых пространствах 85

3.3. Алгоритм численного метода 89

3.4. Описание программ 92

3.5. Вычислительные эксперименты для аналогов моделей в квазисоболевых пространствах 99

3.6. Вычислительные эксперименты для математическихмоделей Дзекцера и Фишера – Колмогорова 102

Заключение 108

Список литеpатуpы

• Математическая модель Кана – Хилларда
• Обобщенная задача Шоуолтера – Сидорова и фазовое пространство эволюционной модели соболевского типа
• Аналитическое исследование аналога математической модели Дзекцера
• Свойства решений моделей Дзекцера, Фишера – Колмогорова, Кана – Хилларда и диффузии четвертого порядка в квазисоболевых пространствах

Введение к работе

Актуальность темы. В настоящее время большое число работ посвящено изучению эволюционных математических моделей в различных прикладных задачах, в частности, в области гидродинамики, теории фазовых переходов, а также при описании процессов распада фаз вещества. Примерами таких моделей являются:

Математическая модель Дзекцера¹

л \^^U л 2\

(Л — А) — = (рА — &А )и + jit) (1)

и = Аи = О на dQ х [0, т],

описывающая эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости, представляющая большой практический интерес в теории движения грунтовых вод. Обобщенная модель Фишера - Колмогорова², основанная на уравнении вида

Эй л 2 л 14 гл

тг = —^А ^и + Аи + j(и), (х, t) Є il х (0, тІ, (2)

ди дАи с граничным условием — =— = 0 на oil х 10, тI,

on on

где f(u) = и — м³,г > 0 и 7 > 0 - коэффициент гипердиффузии. Уравнение (2) является обобщением классического уравнения Фишера - Колмогорова при 7 = 0.

Модель диффузии четвертого порядка3 с постоянным коэффициентом диффузии, основанная на уравнении

ди 2

— = —А и (3)

с граничным условием и = Аи = 0 на dQ х [0,т]. Математическая модель Кана - Хилларда⁴

ди _г . л

— = А [г (и) — ₂ Аи\_} (4)

и = Аи = 0 на dQ х [0,г],

¹Дзекцер, Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е.С. Дзек-цер // ДАН СССР. - 1972. - Т. 202, № 5. - С. 1031-1033.

²Collet, P. Instabilities and Fronts in Extended Systems / P. Collet, J.P. Eckmann. - Princeton; N.-Y: Princeton University Press, 1980.

³Allen, S.M. A microscopic theory for antiphase boundary motion and its application to antiphase domain coarsening / S.M. Allen, J.W. Cahn // Acta Metall. - 1979. - № 27. - P. 1085-1095.

⁴Cahn, J.W. Free energy of a nonuniform system / J.W. Cahn, J.E. Hilliard // Journal of Chemical Physics. -1958. - V. 28, № 2. - P. 258-267.

которая описывает процесс разделения фаз, т.е. механизм с помощью которого смесь двух или более веществ, разделяется на отдельные области с различным химическим составом и физическими свойствами.

Все математические модели, основанные на уравнениях (1), (2), (3) и (4), могут быть представлены как граничные задачи для уравнения вида

Q_n()ut = R_s()u + /, (5)

где Q_n(), R_S() многочлены степени n,s Є N от оператора Лапласа : W⁺²() —> W(), а W() - пространства Соболева, q>1, тє{0} UN. Здесь ограниченная область вR^с бесконечно гладкой границей 0. Вектор-функция / описывает внешнее воздействие на систему. Отметим, что во всех приведенных моделях п < S.

Одним из наиболее часто используемых подходов исследования уравнений вида (5) является метод, который опирается на разложение искомой функции по собственным функциям оператора Лапласа и ее представлении с помощью коэффициентов этого разложения. В силу чего можно рассматривать аналог уравнения (5) в пространствах последовательностей (из коэффициентов ряда Фурье). Более того, для таких пространств возможно расширить множества значений параметров. Например, для пространств последовательностей _q возможен случай 0 < q < 1 (когда пространство квазибанахово), который в пространствах функций рассматривать невозможно⁵. Преимущества использования квазинормированных пространств также отмечались при решении некоторых технических задач⁶. Исследованию математических моделей именно в квазибанаховых пространствах последовательностей посвящена диссертация, что отличает ее от предшествующих работ.

Самостоятельный интерес к таким пространствам, как к объекту исследования, появился сравнительно недавно, примером этого могут служить работы А.Б. Александрова⁷, В.Л. Крепкогорского⁸, Н. Кэлтона⁹, кроме того, такие пространства возникают при исследовании абелевых групп в работе Й. Берга, Й. Лефстрема², и при решении прикладных задач, как, например, в работах

⁵Rolewicz, S. Metric Linear Spaces / S. Rolewicz. — Warsaw: PWN, 1985.

⁶Вовк, CM. Постановка задач определения линейных параметров сигналов в квазиномированных пространствах / СМ. Вовк, В.Ф. Борулько // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. — 2010. — Т. 53, № 7. — С. 31-42.

⁷Александров, А.Б. Квазиномированные пространства в комплексном анализе: дис. .. .док. физ-мат. наук / А.Б. Александров. - Ленинград, 1983.

⁸Крепкогорский, В.Л. Квазиномированные пространства функций, рационально аппроксимируемых в норме ВМО / В.Л. Крепкогорский // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1990. — № 3.— С. 38-44.

⁹Kalton, N. Quasi-Banach Spaces / N. Kalton // Handbook of the Geometry of Banach Spaces, Vol. 2, Edit. by W. Johnson and J. Lindenstrauss. - Amsterdam: Elsevier, 2003. — P. 1099-1130.

С.Я. Новикова¹⁰ и Дж.Д. Хардке¹¹.

Таким образом, изучение указанных математических моделей в квазибанаховых пространствах последовательностей является актуальным.

Постановка задачи. Пусть {А&} С Ш₊ - монотонная последовательность такая, что lim А& = +00. Следуя Дж.К. Аль-Делфи¹², введем в рассмотре-

к—7>оо

ние квазисоболевы пространства последовательностей I. Пусть далее Q_n (А) =

п S

У С{Х^г и R_s (А) = у djX^J - многочлены с действительными коэффициентами,

г=0 j=0

не имеющие общих корней, степеней п и s, соответственно, причем п < S и d_sc_n < 0. Рассмотрим операторы Q_n(A)u = {Q_n(Xk)uk}, где {uk} Є ^+^2п и R_s(A)u = {R_s(Xk)uk}, п Є N, где {uk} Є ^+2s. Положим it = ⁺²ⁿ,^ = -С¹, m Є M, ^ Є M₊. По построению оператор Q_n(A) Є /2(11;^), а оператор R_S(A) є CZ(iX; -5^r), dom R_S(A) = ^+2а.

Рассмотрим класс эволюционных уравнений

Q_n(A)u = R_s(A)u (6)

в квазисоболевых пространствах. Отметим, что все описанные ранее математические модели в дальнейшем редуцируются к уравнению вида (6). Аналитическое исследование указанного класса математических моделей проводится в рамках операторной теории уравнений соболевского типа. Положив L = Q_n(A), М = it's (Л), редуцируем уравнение (6) к абстрактному уравнению соболевского типа

Ьй = Ми. (7)

Вектор-функция и Є С(М₊;ІІ) называется решением уравнения (7), если при подстановке она обращает (7) в тождество. Решение и = u(t) такого уравнения, удовлетворяющее условию

и(0) = щ, (8)

при заданном щ Є it, называется решением задачи Коши.

Известно, что задача Коши (8) для уравнения (7) не разрешима при произвольных начальных данных, поэтому для приложений целесообразным является рассмотрение также задачи Шоуолтера-Сидорова

Р(и(0) — щ) = 0, (9)

¹⁰Новиков, С.Я. Об особенностях оператора вложения симметричных функциональных пространств на [0,1] / С.Я. Новиков // Математические заметки. — 1997. — Т. 62, вып. 4. — С. 549-563.

¹¹Hardtke, J.D. A Remark on Condensation of Singularities / J.D. Hardtke // Journal of mathematical physics, analysis, Geometry. — 2013. — V. 9, № 4. — P. 448-454.

¹²Аль-Делфи, Дж.К. Квазисоболевы пространства і"¹ / Дж.К. Аль-Делфи // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2013. - Т. 5, № 1. - С. 107-109.

где Р - проектор на образ разрешающей группы операторов уравнения (7). Отметим, что задача Шоуолтера-Сидорова в невырожденном случае совпадает с задачей Коши, а в вырожденном — может быть решена при произвольных начальных данных.

В работе изучается разрешимость начальных задач (8) и (9) как для уравнения (7), так и для неоднородного уравнения вида

Ьй = Ми + /, (10)

где / : [0, г] —> $ отвечает внешнему воздействию на систему. Подчеркнем, что при решении задачи (8), (10) необходимо дополнительное условие «согласования начальных данных».

Целью работы является аналитическое и численное исследование класса эволюционных математических моделей в квазисоболевых пространствах при описании гидро- и термодинамических процессов, с разработкой методов и алгоритмов численного решения и реализацией их в виде комплекса программ. Достижение поставленной цели реализуется решением следующих задачи:

1. Разработать аналитический метод исследования класса эволюционных математических моделей на основе теории вырожденных голоморфных полугрупп в квазибанаховых пространствах последовательностей; изучить качественные свойства решений в виде условий существования дихотомий с построением инвариантных пространств.

2. Исследовать в квазисоболевых пространствах аналоги математической модели Дзекцера; обобщенной математической модели Фишера - Колмогорова; математической модели диффузии четвертого порядка; математической модели Кана - Хилларда с начальными условиями Шоуолтера - Сидорова или Коши.

3. Разработать численный метод исследования задачи Коши для класса эволюционных математических моделей в квазисоболевых пространствах.

4. Разработать комплекс программ нахождения численного решения задачи Коши для моделей, рассматриваемых в квазисоболевых пространствах.

5. Провести вычислительные эксперименты для исследуемых математических моделей.

Методы исследования. В основе аналитического исследования вырожденных эволюционных уравнений лежит построение вырожденных разрешающих полугрупп операторов, дающих классическое решение задачи (7), (8). При построении теории вырожденных голоморфных полугрупп операторов в квазибанаховых пространствах последовательностей в диссертации используются классические методы функционального анализа, теории линейных ограниченных операторов, спектральной теории. Для построения операторов разрешающих полугрупп, по аналогии с классическими результатами, используются преобра-

зование Лапласа операторнозначных функций в квазибанаховых пространствах последовательностей и свойство метризуемости квазибанаховых пространств.

При численном исследовании класса эволюционных математических моделей получены приближенные решения на основе модифицированного проекционного метода. Сходимость приближенного решения к точному теоретически обоснована сходимостью соответствующих рядов.

Научная новизна заключается в полученных результатах:

В области математического моделирования:

Впервые проведены аналитическое и численное исследования класса эволюционных математических моделей в квазисоболевых пространствах при описании процессов в области термо- и гидродинамики. Создана теоретическая основа для качественного и численного исследования изучаемых моделей: доказана однозначная разрешимость задачи Коши и задачи Шоуолтера – Сидорова для эволюционных операторно-дифференциальных уравнений, а также получены условия существования экспоненциальных дихотомий решений.

В области численных методов:

Разработаны новые алгоритмы численных методов, использующие идеи проекционных методов, позволяющие находить приближенные решения изучаемых математических моделей в квазисоболевых пространствах. Установлена сходимость приближенных решений к точному.

В области комплексов программ:

Разработан комплекс программ нахождения приближенного решения задачи Коши для класса эволюционных математических моделей в квазисоболевых пространствах. Разработанный комплекс программ позволяет: проводить вычислительные эксперименты для изучаемых моделей как в квазисоболевых пространствах, так и в стандартных пространствах.

Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором лично. Достоверность полученных результатов обеспечена полными доказательствами всех утверждений, соответствующими современному уровню математической строгости.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертационной работы, полученные при исследовании математических моделей, вносят вклад в теорию линейных эволюционных операторно-дифференциальных уравнений в квазисоболевых пространствах, получены достаточные условия однозначной разрешимости задач Коши и Шоултера – Сидорова для эволюционного линейного операторно-дифференциального уравнения в квазибанаховых пространствах, построены численные методы решения задачи Коши для таких уравнений, показана сходимость численных методов. Алгоритмы численных методов реализованы программно и позволяют получать численное решение и

наглядное представление о поведении приближенных решений эволюционных моделей термо- и гидродинамики с условием Коши в графическом виде. Результаты, полученные при исследовании математических моделей, применимы в гидродинамике, в термодинамике при изучении процессов фильтрации, плавления, кристаллизации, а также различных диффузионных процессов. Кроме того, полученные результаты создают основу для исследования других эволюционных математических моделей в квазисоболевых пространствах.

Апробация работы. Результаты работы апробированы на конференциях: Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2014), Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2015), Международной научной конференции «Спектральные задачи, нелинейный и комплексный анализ» (Уфа, 2015), Ежегодных конференциях аспирантов и докторантов ЮУрГУ (Челябинск, 2014, 2015), Зимних воронежских математических школах (Воронеж, 2014, 2016), Международной научно-практической конференции «Приоритетные научные исследования и разработки» (Саратов, 2016). Результаты докладывались на семинаре профессора Г.А. Свиридюка.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в научных работах [1 - 12], при этом статьи [1 - 3] опубликованы в ведущих российских рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК, 2 статьи [1, 2] - в издании, индексируемом базой данных Web os Science, 5 статей [1 - 3, 6, 7] - в изданиях, индексируемых базой данных Zentralblatt Math. Список работ приводится в конце автореферата. В совместных с научным руководителем работах научному руководителю принадлежит постановка задачи, в диссертацию вошли только результаты, полученные ее автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации составляет 125 страниц. Список литературы содержит 115 наименований.

Математическая модель Кана – Хилларда

В данной работе проведены аналитическое и численное исследования аналогов математических процессов гидродинамики и теории фазовых переходов термодинамики в квазисоболевых пространствах. При аналитическом исследовании вырожденных эволюционных уравнений за основу взят подход, суть которого заключается в построении вырожденных разрешающих полугрупп операторов, дающих классическое решение задачи (0.7), (0.8). Особенность разрешающих операторов вырожденного уравнения (0.7) заключается в том, что они обладают нетривиальными ядрами, содержащими ядро оператора при производной. Для построения теории вырожденных голоморфных полугрупп операторов в квазибанаховых пространствах последовательностей используются классические методы функционального анализа, теории линейных ограниченных операторов, спектральной теории. Для построения операторов разрешающих полугрупп, по аналогии с классическими результатами, используется преобразование Лапласа операторнозначных функций в квазибанаховых пространствах последовательностей, для чего необходимо обоснование аналитичности и интегрируемости таких отображений в квазибанаховых пространствах последовательностей. В основе этого обоснования лежит свойство метризуемости квазибанаховых пространств.

При численном исследовании класса эволюционных математических моделей получены приближенные решения, которые построены на основе модифицированного проекционного метода. Сходимость приближенного решения к точному обосновано теоретически за счет сходимости соответствующих рядов.

Новизна полученных результатов В области математического моделирования: В диссертационной работе впервые проведены аналитическое и численное исследования одного класса эволюционных математических моделей в квазисоболевых пространствах, описывающих процессы в области термо- и гидродинамики. Создана теоретическая основа для качественного и численного исследования изучаемых моделей: доказана однозначная разрешимость задачи Коши и задачи Шоуолтера – Сидорова для эволюционных операторно-дифференциальных уравнений, а также получены условия существования экспоненциальных дихотомий решений.

В области численных методов: Разработаны новые алгоритмы численных методов, использующие идеи проекционных методов, позволяющие находить приближенные решения изучаемых математических моделей в квазисоболевых пространствах. Установлена сходимость приближенных решений к точному. В области комплексов программ:

Разработан комплекс программ нахождения приближенного решения задачи Коши для класса эволюционных математических моделей в квазисоболевых пространствах. Разработанный комплекс программ позволяет: проводить вычислительные эксперименты для изучаемых моделей как в квазисоболевых пространствах, так и в стандартных пространствах.

Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором лично. Достоверность полученных результатов обеспечена полными доказательствами всех утверждений, соответствующими современному уровню математической строгости. Теоретическая и практическая значимость исследования Результаты диссертационной работы, полученные при исследовании математических моделей, вносят вклад в теорию линейных эволюционных операторно-дифференциальных уравнений первого порядка в квазисоболевых пространствах, получены достаточные условия однозначной разрешимости задач Коши и Шоултера – Сидорова для эволюционного линейного операторно-дифференциального уравнения в квазибанаховых пространствах, построены численные методы решения задачи Коши для таких уравнений, доказана сходимость численных методов. Алгоритмы численных методов реализованы программно и позволяют получать численное решение и наглядное представление о поведении приближенных решений эволюционных моделей термо- и гидродинамики с условием Ко-ши в графическом виде. Результаты, полученные при исследовании математических моделей, могут быть полезны в гидродинамике, в термодинамике при изучении процессов фильтрации, плавления, кристаллизации, а также различных диффузионных процессов. Кроме того, полученные результаты создают основу для исследования других эволюционных математических моделей в квазисоболевых пространствах.

Обобщенная задача Шоуолтера – Сидорова и фазовое пространство эволюционной модели соболевского типа

В [96, теорема 3.5.1] доказано, что интегрируемость непрерывной функции имеет место только в локально-выпуклых пространствах. Однако [96, теорема 3.5.2], если пространство $ - квазибанахово, тогда любая аналитическая функция, определенная на [0, г] со значениями в $, интегрируема по Риману.

Пусть D - некоторая область в С. Пусть вектор-функция f(z) определена на D и принимает значения в квазибанаховом пространстве $. Аналогично функции действительного аргумента, будем говорить, что f(z) аналитична в D, если для любого ZQ Є D существует окрестность Ozo, в которой функция f(z) может быть представлена как сумма степенного ряда f(z) = У fn(z — Zo)n, fn Є $. n=0 Степенной ряд вида У cn(z — а)п, п=—оо где а Є С, элементы сп Є $, будем называть рядом Лорана. Если вектор-функция представима сходящимся рядом Лорана в некоторой проколотой окрестности точки а Є С, то вычетом функции в этой точке назовем коэффициент с_і лорановского разложения. Классификацию изолированных особых точек будем понимать также, как в теории функций комплексного переменного.

Интеграл от вектор-функции f(z) по замкнутому гладкому контуру Г С С будем понимать как сумму вычетов в изолированных особых точках, лежащих внутри контура Г, умноженную на коэффициент 2т. Очевидно, что для аналитических вектор-функций справедлива классическая теорема Коши о равенстве нулю интеграла по замкнутому контуру. Пусть область D ограничена кусочно-гладкой кривой Г, проходящей через особую точку z = оо. Обозначим через К круг \z\ -. Через D обозначим область D, лежащую вне К: через Гє - часть Г, лежащую вне К: через 7є часть границы К: лежащую в Г. Пусть функция f(z) аналитична в области D, за исключением полюсов zi, z i,..., zn,..., и непрерывна вплоть до границы, за исключением точки z = а. Если / f(z)dz — 0 (є — 0), то несобственный интеграл от f(z) по Г определим следующим образом / f(z)dz = 2-7ГІ У Hesz=Zkf(z), р к=1 при условии, что ряд в правой части сходится в квазибанаховом пространстве последовательностей.

Квазисоболевы пространства о Пусть W 2 ) пространство Соболева, a W2 ($1) — сопряженное к нему относительно скалярного произведения (, ) в L2{Q) пространство с негативной нормой. Из теоремы вложения Соболева вытекает, что И ( ) L 2(i) "- W2 (Г2). (1.5.1) Также хорошо известно, что оператор Лапласа —А, определяемый формулой lb -(Au,v) = 2 uxmvXmdx, Ь L задает топлинейный изоморфизм : —A :И ( ) W2 (Г2). (1.5.2) Далее, пусть {Хк} С Ш+ — множество собственных значений оператора Лапласа —, занумерованное по неубыванию с учетом их кратности. Построим пространства: ( 00 2 = u = {uk} : У Xk\uk\ +00 , I к=\ ( 2 = и = {и :У \к \щ\ +оо к=1 и отметим топлинейные изоморфизмы \ =W 2()5 2 = 2 ()J а также плотность и непрерывность вложений 2 І2 2 і (1.5.3) вытекающие из (1.5.1). Отметим банаховость пространств \ и 2 с нор 00 00 мами \\и\\1 = У \к\щ\ и H?_i = У Хк \vk\ соответственно. к=\ к=\ Введем в рассмотрение квазиоператор Лапласа и = \XkUk\- (1.5.4) Поскольку м_1 = мі, то из (1.5.4) следует топлинейность изоморфизма : \ — 2 , который, впрочем, легко получить из (1.5.2), (1.5.3). Обратный к оператор (квазиоператор Грина -1) задается формулой v = {Хк Vk}. (1.5.5) Данная часть посвящена перенесению описанной выше идеологии на квазибанаховы пространства q: q Є (0,1). Построим квазисоболевы пространства: ( 00 = u = {uk} : У Хчк \щ\д +оо , I к=1 ( оо Ї = u = {uk} :У Хкч \uk\q +00 , к=\ где {Хк} С Ш+ — монотонно возрастающая последовательность такая, что lim Xk = +00, а q Є (0,1). к— оо По аналогии с пространствами Соболева И/Тг(Г2) введем в рассмотрение квазисоболевы пространства причем они тоже банаховы только если q Є [1, +оо). Если q Є (0,1), то константа С = 2(1-«)/«. Заметим еще, что если т = 0, то 0 = q.

Теорема 1.5.1. [22] При всех q Є Ш+, т Є К, I т, имеют место плотные и непрерывные вложения I - - 1. Теорема 1.5.2. [22] При всех q Є Ш+, т Є К. квазиоператор Лапласа Л : +2 — — топлинейный изоморфизм. Построим обратный оператор А 1и = Хк Uk (квазиоператор Грина). Очевидно, АА 1и = и при всех и Є l l, и А 1Аи = и при всех и Є . Далее, Пример 1.5.1. Пусть it = +2, $ = l; Qn(X) - многочлен степени п. Рассмотрим оператор Qn(A)u = {Qn{Xk)uk}, n G N, где {uk} С it, а монотонная последовательность {Хк} С Ш+ такова, что lim Хк = +00. к—т оо Как нетрудно видеть, оператор Qn(A) є C7(il;#), domQn(A) = +2n. Редукция математических моделей Все модели математической физики, рассмотренные в пп. 1.1 - 1.3, могут быть представлены в виде Qn(A)ut = Rs(A)u + /, (1.5.6) где Qn(A), RS(A) многочлены степени n,s Є N от оператора Лапласа А : W+2(f2) — W ), W(Q) - пространства Соболева, q 1, т Є {0} U N. Здесь Q ограниченная область в M.d с бесконечно гладкой границей dQ. Отметим, что во всех приведенных моделях п s. В качестве краевых условий для уравнения (1.5.6) можно рассматривать, например, условия и = Аи = ... = As и = 0 на 0Q (1.5.7) или условия ди дАи дАа 1и — = — = ... = = 0 на oil. (1.5.8) on on on Как известно, спектр оператора Лапласа с краевыми условиями (1.5.7) или (1.5.8) является действительнозначным, неположительным, дискретным, конечнократным и сгущается только к точке — оо. Обозначим спектр оператора —А через {А&} С Ш+, а соответствующие собственные функции обозначим через {(fk} С W(Q). Здесь точки спектра занумерованы по неубыванию с учетом их кратности. В силу того, что собственные функции оператора Лапласа образуют базис, то любая функция W{1) может быть представлена в виде U = Uk fk к=1 и в силу этого функция и Є W(f2) однозначно задается элементом и = (щ,и2,...) Є I. И действие оператора —А задается —Аи = У \kUktpk-, к=\ а, следовательно, в пространствах I может быть описано с помощью квазиоператора Лапласа Л : +2 —, действующего по правилу Таким образом, исследование задачи (1.5.6), (1.5.7) или (1.5.6), (1.5.8) можно проводить в пространствах последовательностей коэффициентов ряда Фурье. Более того, в таких пространствах возможно расширить множества значений параметров, характеризующие выбранные пространства, например, для пространств последовательностей возможно рассмотреть случай 0 q 1, который в пространствах функций рассматривать невозможно [96]. А преимущества такого подхода актуально в силу подходов решения некоторых технических задач (см. по этому поводу [8]).

Аналитическое исследование аналога математической модели Дзекцера

В силу того, что dorriMi = it , получим Уи Є Я1 3{щ}=1 С domMi : Uk — и при к — ею. По теореме 2.4.1 оператор L\ является сюръек-тивным, т.е. V/ Є $ Эй Є it / = L\U. Так как последовательность {Ьіщ} ! С Li[domMi], то в силу непрерывности оператора L\ получим Vf = Llueil1 3{fk = LlUk}Zi С U [domMi]: lim fk = f. k oo Что и требовалось. Полугруппа {Vі : t Є М+} называется невырожденной, если ее единицей является тождественный оператор. Сужение {U\ : t Є 1+} ({Ff : t Є Ш+}) полугруппы {IIі : t Є M+} ({Ff : t Є №+}) на подпространство Я1 ($1) является невырожденной аналитической полугруппой. Оператор G, заданный формулой Gv = lim t (Vfv — v) на области определения doinG = {у Є 23 : 3 lim t 1(Vtv — v)}} называется инфини-тезимальным генератором невырожденной полугруппы {Vі : t Є №+}

Следствие 2.4.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.4-1, тогда ин-финитезимальным генератором полугруппы \U\ : t Є М+} ({F-f : Є 1+}) является оператор L lMi = Si Є С1(Иг) (М 1 = Тх Є С/ 1)).

Доказательство. Доказательство этого факта аналогично доказательству существования инфинитизимального генератора для аналитических групп. А именно, используя интегральное представление полугрупп (2.2.5), (2.2.6), теорему 2.4.1 и тождества

RL (Ml) = R Sl)} LJ?(M1) = Rli(T1), получим утверждение следствия. Оператора Т\ {S\) определен на линеале Li[domMi] (domMi), который плотен в пространстве $1 в силу замечания 2.4.3. По теореме Хилле-Иосиды-Феллера-Филлипса-Миядеры получим Следствие 2.4.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.4-1, тогда оператор S\ (Ті) секториален. Перейдем к рассмотрению неоднородного уравнения Соболевского типа. Пусть [0,Т] С К__- некоторый интервал. Возьмем вектор-функцию / : [О, Т] — $ и рассмотрим уравнение Lu = Mu + f. (2.4.2) Определение 2.4.2. Вектор-функциям Є С1{[Ъ,Т\, domM)nC((0,T];il) называется решением уравнения (2.4.2), если она удовлетворяет ему. Решение и = u{t) уравнения (2.4.2) называется решением задачи Коши и(0) = щ (2.4.3) для уравнения (2.4.2) (коротко, решением задачи (2.4.2), (2.4.3)), если оно вдобавок удовлетворяет условию Коши (2.4.3) при некоторомщ Є it.

Теорема 2.4.2. Пусть операторы L}M определены выше и вектор-функция / : [0,Т] — # аналітична. Тогда для любого начального значения щ Є V/ = {и Є domM : (I — Р)и = — M0_1(/ — Р)/(0)} существует единственное решение и Є С1((0,Т],Я) П C([0,T],domM) задачи t (2.4.2),(2.4.3) вида u(t) = игщ + f Ut-sL];1Qf{s)ds - MQ\I - Q)f{t). о Доказательство. Применим к уравнению (2.4.2) проектор Q из теоремы 2.3.3 и получим QLu = QMu + Qf, т.е. LPu = МРи + Qf с учетом следствия 2.3.2. Подействуем на это уравнение оператором Lj Є С (it1; Я1) и получим и1 = Sxul + L\lQf (2.4.4) на пространстве Я1. Оператор S\ = L\ М\ из уравнения (2.4.4) сек ториален в силу следствия 2.4.2, domSi = domMi по определению S\. Откуда по теореме 5.8 [37, гл.5,3], при любом и\ Є domMi существует единственное решение вида t t u\t) = Uful + / U\-aL lQf{s)ds = и иЪ + / Ut sL];1Qf(s)ds о о для задачи (2.4.3), (2.4.4), где {U : t 0} полугруппа из теоремы 2.2.1, а нижний индекс "1" обозначает ее сужение на подпространство it1.

Применим к уравнению (2.4.2) проектор / — Q, а потом оператор М0 Є (И]$). В результате уравнение на пространстве Я0 примет вид Нй = и + М0 1{1 - Q)f. (2.4.5) В силу замечания 2.2.6 это уравнение эквивалентно u0(t) = -Mo\l-Q)f(t), которое является решением (2.4.5). Чтобы для этого решения выполнялось уСЛОВИе U(0) = UQ, НеобхОДИМО, ЧТОбы UQ Є il П Vf.

Решением задачи (2.4.2), (2.4.3) будет сумма полученных решений, при условии щ = UQ + UQ. ИЗ IIІUQ = IIіUQ получаем требуемое. Используя обозначение Т\ = M\L\ , получим t Mu{t) = І Мщ + / Ft sT1Qf{s)ds + /(), о откуда следует непрерывность Mu{t). 2.5. Аналитическое исследование аналога математической модели Дзекцера Рассмотрим уравнение Дзекцера {\+к)щ= ( - ш\2+/ЗЛ)и+/, \,(3 Є R, а Є R+, (2.5.1) в квазисоболевых пространствах il=+ и #=-, т Є Ш, q Є К+. Здесь Л : 0,+ — I - квазиоператор Лапласа, действующий по правилу Аи = {XkUk}, где {А/г} С Ш+ — монотонно возрастающая последовательность такая, что lim Xk = +оо. Прообразом уравнения (2.5.1) послужила краевая задача для уравнения Дзекцера в банаховых пространствах (\-A)vt = (3Av-aA2v, А Є К, а,/ЗєМ+, (2.5.2) моделирующая эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости [13]. Зададим область определения dom( — аА2+/ЗА) =+4. Тогда операторы L = (А + Л) є (il;#), М={- аК2+[ЗК) є Cl{il;$). Относительный спектр для уравнения (2.5.1) имеет вид L (M) = Lk Vk = fk при кєП:Хкф -АІ . Ясно, что [ik — —оо при Xk — +оо. Отсюда в силу теоремы 2.2.1 существует разрешающая полугруппа для уравнения (2.5.1) и она имеет вид t J Ylh=i eMfct -5 е/г е/г, если Xk ф —А при всех к Є N; I J2keN± ef"kt -i ek ek, если существуют Є N:A = - A. В силу теоремы 2.3.2 справедливо

Свойства решений моделей Дзекцера, Фишера – Колмогорова, Кана – Хилларда и диффузии четвертого порядка в квазисоболевых пространствах

Кроме того, чтобы учесть вырожденность уравнения (если имеется), необходимо номер N взять достаточно большим так, что Адг лежит правее всех корней многочлена Qn(X). Итак, представление (3.3.3) для uN(x,t) подставим в (3.3.1). Получим: N N / Qn(Xk)u k(t)ek = У Rs(Xk)uk(t)ek, (3.3.4) к=\ к=\ представляющее собой конечную систему уравнений. В зависимости от параметров, уравнения в системе (3.3.4) могут получиться дифференциальными или алгебраическими. Рассмотрим эти случаи подробнее. (i) Qn{Xk)-, к = 1, ...N ф 0. В этом случае все уравнения системы будут обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) первого порядка. Решая эту систему, находятся неизвестные функциональные коэффициенты Uk(t), к = 1,..., N в приближенном решении u(t) = uN(x, t). (ii) Qn{\k) = 0 при некоторых kj. Тогда уравнения системы с номерами kj будут алгебраическими, а остальные дифференциальными. Решение исходной задачи будет существовать, согласно теореме 2.3.2, лишь при начальной последовательности щ из фазового пространства, то есть при У щ,е ekj = 0. (3.3.5) : 3n(Afcj.)=0 Если соотношение (3.3.5) выполнено, то можно найти коэффициенты в представлении (3.3.3) приближенного решения следующим образом. Система ОДУ решается, как в случае (i). Система алгебраических уравнений решается относительно и без начальных условий. Алгоритм нахождения приближенного решения задачи (3.3.1) - (3.3.2) сводится к трем этапам. Этап 1. Нахождение числа N, начиная с которого можно вычислять приближенное решение. Этап 2. Проверка по заданным параметрам, к какому из двух случаев относится математическая модель. Этап 3. По заданной начальной последовательности, в зависимости от случаев (i) - (ii) вычисление приближенного решения с помощью модифицированного проекционного метода.

Отметим, что разработанный численный метод позволяет находить приближенное решение в квазисоболевых пространствах по заданной начальной последовательности с заданной точностью. Кроме того, если параметр квазинормы q 2, его можно применять для нахождения приближенного решения различных эволюционных математических моделей в пространствах Соболева. Опишем суть этого метода.

Пусть D С Шп - ограниченная область с границей 3D класса С. В цилиндре D х К. рассмотрим начально-краевую задачу, для определенности задачу Коши - Дирихле w(x, 0) = wo(x), х Є D, (3.3.6) w(x,t) = 0, (x,t) Є 3D x К. (3.3.7) для уравнения Qn()wt = Rs()w. (3.3.8)

Обозначим через т() спектр однородной задачи Дирихле в области D для оператора —. Напомним, что спектр т(—) неотрицателен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +оо. Обозначим через {Хк} множество собственных значений, занумерованное по неубыванию с учетом кратности, а через {(fk} - семейство соответствующих собственных функций, ортонормированных относительно скалярного произведе ния , из L2(D). Так как семейство {(fik} образует базис в простран стве то начальную функцию можно разложить в ряд Фурье Wo(x) = У Wo,Lpk Рк(х), X Є D. (3.3.9) к=1 Для нахождения приближенного решения w(x,t) будем использовать представление w(x,t) = w (x,t) = y uk(t)(pk(x), (3.3.10) где номер TV Є N и приближенное решение в квазисоболевых пространствах u(t) = {uk(t)} находятся с помощью ранее описанного численного метода по заданной точности.

Разработанные в п. 3.3 алгоритмы численных методов исследования одного класса эволюционных математических моделей в комплексе программ в системе компьютерной математики Maple 15.0. Функциональное назначение программы, область её применения.

Комплекс состоит из двух модулей и предназначен для получения численного решения задачи Коши для класса уравнений в квазисоболевых пространствах, а также решения задачи Коши для моделей Дзекцера и Фишера Колмогорова на отрезке или в прямоугольнике, в зависимости от заданных параметров и начальных данных при параметре квазинормы q 2. В программном комплексе реализован метод фазового пространства и модифицированный проекционный метод. Программа позволяет строить графики компонент численного решения в квазисоболевых пространствах и графики решений указанных моделей в зависимости от времени и пространственных переменных. Программа будет полезна для специалистов в области математической физики и математического мо делирования. Кроме того, программа может быть использована студентами ВУЗов при изучении специальных курсов и дисциплин, связанных с исследованием уравнений соболевского типа.