АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА Лукащук Станислав Юрьевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1 Построение дробно-дифференциальных моделей неравновесных процессов в системах с памятью 17

1 Дробно-дифференциальные модели микроскопической динамики систем с памятью 19

2 Дробно-дифференциальные модели неравновесных процессов в системах с памятью 30

3 Эквивалентность обыкновенных дифференциальных уравнений дробного и целого порядков 42

Глава 2 Симметрийные методы исследования дробно-дифференциальных моделей 53

4 Продолжение группы точечных преобразований на интегралы и производные дробного порядка 53

5 Симметрии дифференциальных уравнений с производными дробного порядка 65

6 Симметрийный анализ нелинейной модели аномальной диффузии с источником 76

7 Нелокальные симметрии дифференциальных уравнений с производными дробного порядка 94

Глава 3 Законы сохранения дробно-дифференциальных моделей 102

8 Симметрийный алгоритм построения законов сохранения для дробно-дифференциальных моделей 104

9 Законы сохранения дробно-дифференциальных моделей аномальной диффузии 116

10 Нелинейная самосопряженность, законы сохранения и точные решения дробно-дифференциальных моделей типа Компанейца 125

Глава 4 Приближенные симметрии и решения дробно-дифференциальных моделей 136

11 Аппроксимация дробных производных и построение приближенных симмет рий дробно-дифференциальных моделей 137

12 Групповая классификация приближенного уравнения субдиффузии 153

13 Двухмасштабный метод построения приближенных решений дробно-дифференциальных уравнений 162

Глава 5 Параметрическая идентификация дробно-дифференциальных моделей аномальной диффузии 178

14 Интегральные представления постоянных параметров дробно-дифференциальных моделей аномальной диффузии через временные интегральные характеристики 179

з

15 Пример идентификации параметров модели аномальной диффузии 188

16 Численные алгоритмы идентификации линейных моделей аномальной диффузии 195

17 Программный комплекс компьютерного моделирования процессов аномальной диффузии 200

Глава 6 Параллельные численные алгоритмы моделирования процессов аномальной диффузии 206

18 Параллельный алгоритм на основе оптимизированного метода Шварца для численного решения дробно-дифференциального уравнения субдиффузии 208

19 Двухсеточные параллельные алгоритмы для численного решения уравнений аномальной диффузии 215

20 Оценка эффективности двухсеточных параллельных алгоритмов 221

Заключение 229

Список литературы

• Дробно-дифференциальные модели неравновесных процессов в системах с памятью
• Симметрийный анализ нелинейной модели аномальной диффузии с источником
• Законы сохранения дробно-дифференциальных моделей аномальной диффузии
• Двухмасштабный метод построения приближенных решений дробно-дифференциальных уравнений

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Теория интегро-дифференциро-вания дробного порядка в последние годы широко используется в качестве эффективного инструмента математического моделирования процессов аномального переноса, кинетика протекания которых не подчиняется нормальной (гауссовой) статистике. Такие процессы наблюдаются экспериментально в различных неупорядоченных и неоднородных сложных средах, в частности, при исследовании диффузии в турбулентных потоках, фильтрации флюидов в неоднородных пористых средах, тепло- и массопереноса в плазме, переноса зарядов в аморфных полупроводниках, эволюции сложных биологических систем, передачи информации в глобальных коммуникационных сетях и многих других явлений. При этом аномальность процесса обычно проявляется в виде эффектов памяти и/или пространственной нелокальности. Применимость дробно-дифференциального подхода к математическому описанию таких процессов показана во многих работах отечественных и зарубежных ученых, среди которых следует отметить работы Р. Р. Нигматул-лина, В. В. Учайкина, Г.М. Заславского, Р. Т. Сибатова, T. F. Nonnenmacher, R. Metzler, J. Klafter, E. Barkai, B. Berkowitz, R. Hilfer, R. Balescu, D. Baleanu.

В настоящее время предложено большое количество дробно-дифференциальных моделей (ДДМ) диффузионного типа, многие из которых были построены с использованием метода случайных блужданий с непрерывным временем (CTRW), предложенным в 1965 г. Э. Монтроллом и Г. Вейсом. Однако более предпочтительным представляется построение таких моделей «из первых принципов», то есть из рассмотрения микроскопической динамики соответствующей системы с последующим переходом к её сокращенному описанию. Такой переход осуществляется, в частности, применением к уравнению Лиувилля проекционного формализма Цванцига-Мори. В работах Р. Р. Нигматуллина, В. Е. Тарасова, R. Hilfer предложены различные дробно-дифференциальные обобщения уравнения Лиувилля, однако проекционная техника для этих уравнений не развита и многие вопросы, связанные с построением на их основе макроскопических ДДМ остаются открытыми.

В настоящее время достаточно хорошо развита теория линейных дробно-дифференциальных уравнений (ДДУ), для которых удалось обобщить многие методы классической теории линейных дифференциальных уравнений целого порядка (обыкновенных и в частных производных), а также некоторые методы теории линейных интегральных уравнений. Исследованию интегрируемости ДДУ диффузионного типа посвящены работы А. М. Нахуше-ва, А. А. Килбаса, А. Н. Кочубея, А. В. Псху, Ю.Ф. Лучко, В.Е. Фёдорова, R. Gorenflo, F. Mainardi, M. M. Meerschaert, J. J. Trujillo, E. K. Lenzi и др. Для нелинейных ДДУ получили развитие численно-аналитические методы, направленные на построение их приближенных решений (метод декомпозиции Адомиана, метод S. J. Liao анализа гомотопии, метод J. H. He возмущенной

гомотопии и ряд других). Однако аналитические методы исследования качественных свойств нелинейных ДДМ и построения их точных решений только начинают развиваться.

Одним из эффективных подходов к исследованию качественных свойств дифференциальных уравнений является групповой анализ, основы которого были заложены в работах С. Ли и развиты в дальнейшем в работах научных школ Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, P. Olver и др. В работах Ю.Н. Григорьева и С.В. Мелешко групповые методы и алгоритмы были успешно распространены на некоторые виды классических интегро-дифференциальных уравнений (в частности, уравнение Больцмана), что обусловливает возможность применения данного подхода и для исследования ДДУ. Следует отметить, что понятие симметрии достаточно часто используется при построении и анализе ДДМ, однако методы современного группового анализа практически не применялись для изучения таких моделей.

С симметриями уравнения и понятием лагранжиана также неразрывно связаны законы сохранения. Лагранжиан, зависящий от производных дробного порядка, впервые исследовался в работе F. Riewe, а соответствующие уравнения Эйлера–Лагранжа были впервые построены в работах O.P. Agrawal. В работах T. M. Atanackovic, L. A. Bourdin, G. S. F. Frederico, D.F.M. Torres, A.B. Malinowska на основе этих результатов был доказан ряд дробно-дифференциальных обобщений теоремы Нётер и построены законы сохранения для некоторых ДДМ. Вместе с тем, в работах Н.Х. Ибрагимова, S. Anco, G. Bluman были предложены универсальные алгоритмы построения законов сохранения для дифференциальных уравнений с производными целого порядка, не требующие существования классического лагранжиана. Задача распространения этих подходов на случай ДДМ также представляется актуальной.

С другой стороны, попытки практического использования существующих ДДМ часто наталкиваются на отсутствие необходимых числовых значений параметров этих моделей, важнейшим из которых является порядок дробного дифференцирования. В результате возникает задача параметрической идентификации ДДМ по данным натурных экспериментов, актуальная не только для нелинейных, но и для относительно простых и хорошо известных линейных моделей. Математически она приводит к различным постановкам коэффициентных обратных задач, при этом задача восстановления порядка дробного дифференцирования не имеет аналога в классической теории. Для ДДМ диффузионного типа такие задачи, связанные с восстановлением порядка дробного дифференцирования и коэффициента аномальной диффузии, исследовались в работах А.Н. Бондаренко и Д.С. Иващенко, E. Ozbilge и A. Demir, S. Tatar и S. Ulusoy, J. Cheng и ряда других авторов. В работах Ю.С. Шаталова для решения классических коэффициентных обратных задач теплопереноса была развита теория интегральных представлений, поз-

воляющая в явном виде получать представления искомых коэффициентов через соответствующие интегральные характеристики потенциалов переноса. Представляется целесообразным развитие данного подхода для решения задач параметрической идентификации ДДМ.

Активно развиваются и численные методы исследования ДДМ. В работах В.М. Головизнина, И.А. Короткина, М.Х. Шхануков-Лафишева, А.А. Алиханова, M.M. Meerschaert, S.B. Yuste и др. предложены и исследованы различные численные алгоритмы решения задач для ДДМ диффузионного типа. Однако нелокальность операторов дробного дифференцирования приводит к колоссальной вычислительной трудоемкости таких алгоритмов. В результате становится актуальной задача разработки параллельных вычислительных алгоритмов, что позволит использовать при компьютерном моделировании ДДМ суперкомпьютеры и вычислительные кластеры. При этом главной проблемой становится уменьшение объемов межпроцессорных обменов данными при сохранении требуемого уровня точности вычислений.

К настоящему времени наиболее хорошо теоретически обоснованными и экспериментально подтвержденными ДДМ являются модели диффузионного типа, нашедшие практическое применение в различных областях естествознания. По этим причинам этот тип ДДМ наилучшим образом подходит для апробации новых аналитических и численных методов и алгоритмов.

Все перечисленное обусловливает актуальность разработки аналитических методов и численных алгоритмов для решения проблемы исследования дробно-дифференциальных математических моделей.

Цели и задачи работы. Целью диссертационной работы является развитие методологических основ исследования дробно-дифференциальных математических моделей, предусматривающее разработку новых подходов к построению таких моделей, развитие качественных и приближенных аналитических методов их исследования, а также аналитических и численных алгоритмов их параметрической идентификации, на примере дробно-дифференциальных моделей диффузионного типа.

Для достижения данной цели в работе были поставлены и решены следующие задачи.

1. Развитие кинетического подхода к построению ДДМ процессов переноса в системах со степенной памятью, основанного на принципах классической неравновесной статистической механики.

2. Развитие теоретико-группового подхода для исследования симметрий-ных свойств ДДМ с производными дробного порядка различных типов и применение разработанных методов и алгоритмов для нахождения симметрий и построения точных решений ДДМ диффузионного типа.

3. Разработка и обоснование симметрийных методов построения законов сохранения для ДДМ и построение с их помощью новых законов сохранения для имеющих практическое значение моделей диффузионного типа.

4. Разработка новых, в том числе симметрийных, методов теории возмущений для построения приближенных решений ДДМ, в которых возможно выделение малого параметра из порядка дробного дифференцирования.

5. Разработка аналитических и численно-аналитических методов идентификации постоянных параметров ДДМ аномального переноса (включая порядки дробного дифференцирования) на основе теории интегральных представлений.

6. Разработка параллельных численных алгоритмов для решения задач компьютерного моделирования и идентификации ДДМ аномального диффузионного переноса.

7. Создание программного комплекса компьютерного моделирования
процессов аномальной диффузии.

Научная новизна.

1. Для статистического ансамбля систем с памятью предложена
процедура вывода из классического уравнения Лиувилля его дробно-
дифференциального аналога с производными Римана-Лиувилля по време
ни, использующая понятие эквивалентности двух уравнений по решению. На
основе полученного уравнения Лиувилля с использованием проекционного
формализма Цванцига–Мори построены дробно-дифференциальные анало
ги кинетического уравнения Цванцига, обобщенного уравнения Ланжевена и
уравнения Мори для эволюции макроскопических наблюдаемых. На приме
ре модели аномальной диффузии показано, что полученные уравнения могут
быть использованы для построения макроскопических ДДМ неравновесных
необратимых процессов.

2. Развита теория продолжения локальных групп точечных преобразова
ний на линейные дробно-дифференциальные переменные, образованные про
извольными композициями операторов дробного интегрирования и диффе
ренцирования целых порядков, предложены алгоритмы построения точеч
ных симметрий ДДУ и их групповой классификации. Для ряда ДДМ диф
фузионного типа решены задачи групповой классификации и найдены их
инвариантно-групповые решения.

3. Предложенный Н.Х. Ибрагимовым подход к доказательству клас
сической теоремы Нётер обобщен на случай ДДМ. Доказаны дробно-
дифференциальные аналоги теоремы Нётер и в явном виде получены дробно-
дифференциальные обобщения операторов Нётер, дающие конструктивный
алгоритм построения законов сохранения для ДДМ с лагранжианом и без
него. Доказана нелинейная самосопряженность ряда моделей аномальной
диффузии с дробными производными по времени и найдены их законы со
хранения.

4. Для ДДМ с порядком дробного дифференцирования, близким к цело
му числу, предложен способ их приближения моделями в целых производных
с малым параметром, выделяемым из порядка дробного дифференцирова-

ния. Это позволяет использовать методы теории приближенных групп преобразований для исследования приближенных симметрийных свойств ДДМ. Для приближенной нелинейной модели субдиффузии решена задача групповой классификации по приближенным группам точечных преобразований и доказано наличие новых случаев классификации по сравнению с исходной ДДМ. Предложен способ введения второго масштаба при разложении дробных производных Римана-Лиувилля по малому параметру, позволяющий строить приближенные решения соответствующих задач типа Коши.

5. Метод временных интегральных характеристик обобщен на случай коэффициентных обратных задач для ДДМ диффузионного типа. В явном виде найдены интегральные представления коэффициента аномальной диффузии и порядка дробного дифференцирования для диффузионно-волновой и субдиффузионной моделей с дробными производными Римана–Лиувилля и Ка-путо по времени, получены теоретические оценки точности идентификации. Предложены численно-аналитические алгоритмы идентификации, позволяющие восстанавливать параметры ДДМ аномальной диффузии по результатам измерений в любых внутренних точках области.

6. На основе методов декомпозиции разработаны семейства параллельных алгоритмов решения начально-краевых задач для ДДМ аномальной диффузии, выполнена теоретическая оценка их эффективности. Отличительной особенностью предложенных алгоритмов является возможность распараллеливания вычислительного процесса не только по пространству, но и по времени.

Теоретическая и практическая значимость работы. Основные полученные в работе результаты носят теоретический характер и способствуют развитию методологических основ математического моделирования процессов и систем с памятью и пространственной нелокальностью с использованием аппарата интегро-дифференцирования дробного порядка. Предложенный симметрийный подход к исследованию дробно-дифференциальных моделей способствуют развитию методов современного группового анализа.

Разработанные аналитические и численные методы идентификации параметров моделей аномальной диффузии обладают как теоретической, так и практической ценностью, поскольку дают возможность определения числовых значений параметров соответствующих моделей по данным натурных экспериментов. Этой же цели служит созданный программный комплекс компьютерного моделирования процессов аномальной диффузии.

Предложенные параллельные алгоритмы могут стать основой для разработки нового высокопроизводительного программного комплекса компьютерного моделирования процессов переноса с аномальной кинетикой, создание которого в настоящее время становится все более актуальным, в частности, для решения задач подземной гидромеханики и фильтрации флюидов в нефтегазовых коллекторах со сложной геологической структурой.

Исследования по теме диссертации проводились в рамках гранта Правительства РФ по постановлению № 220, договор № 11.G34.31.0042 между Минобрнауки РФ, ФГБОУ ВПО «УГАТУ» и ведущим ученым Н.Х. Ибрагимовым по теме «Математическое моделирование и групповой анализ дифференциальных уравнений» (2011-2015 гг.); проектной части госзадания Минобрнауки РФ «Математическое и компьютерное моделирование процессов фильтрации в неоднородных коллекторах нефтегазовых месторождений на основе дробно-дифференциального подхода» (проект 1.3103.2017/ПЧ, 2017-2019 гг.), программы Академии наук Республики Башкортостан «Физико-математические основы наукоемких технологий в республике Башкортостан» по теме «Неустойчивость и хаос в нелинейных волновых процессах» (договор № 5.45, 2002 г.), НИР тематического плана ФГБОУ ВПО «УГАТУ» (1997-2014 гг.).

Методология и методы исследования. Разработка темы диссертационного исследования проводилась на основе базовых принципов математического моделирования и основано на методах и результатах теории интегро-дифференцирования дробного порядка, методах классической неравновесной статистической механики, методах классического и современного группового анализа, методах интегральных представлений параметров математических моделей процессов тепло- и массопереноса, методах построения и анализа конечно-разностных схем, методах разработки параллельных алгоритмов для высокопроизводительных вычислительных систем, а также базовых принципах и технологиях проведения вычислительного эксперимента.

Использование совокупности перечисленных принципов и методов обусловливает адекватность и достоверность полученных в работе результатов.

Положения, выносимые на защиту.

В области разработки новых математических методов моделирования объектов и явлений: процедура вывода дробно-дифференциального уравнения Лиувилля для статистического ансамбля систем с памятью и построенная на его основе иерархия дробно-дифференциальных уравнений с производными Римана-Лиувилля по времени, обеспечивающая различные уровни сокращенного описания динамики системы с памятью и позволяющая строить новые макроскопические ДДМ неравновесных процессов в таких системах.

В области развития качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей: формулы продолжения непрерывных групп точечных преобразований на линейные дробно-дифференциальные переменные; алгоритмы построения точечных симметрий и групповой классификации ДДМ с частными дробными производными различных типов; доказательство дробно-дифференциальных аналогов фундаментального операторного тождества и теоремы Нётер; явный вид дробно-дифференциальных обобщений операторов Нётер; конструктивный алгоритм построения законов сохранения для ДДМ; способ нахождения приближенных

симметрий ДДМ, порядок дробного дифференцирования в которых близок к целому числу, с использованием методов теории приближенных групп преобразований; двухмасштабный алгоритм построения приближенных решений ДДМ с дробными производными Римана-Лиувилля, порядок которых близок к целому; модификация метода временных интегральных характеристик для решения задачи параметрической идентификации линейных моделей аномальной диффузии с дробными производными Римана-Лиувилля и Капуто по времени.

В области разработки, обоснования и тестирования эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий: численно-аналитические алгоритмы идентификации параметров ДДМ диффузионного типа, основанные на методе временных интегральных характеристик; параллельный численный алгоритм на основе модифицированного метода Шварца и двухсеточные параллельные алгоритмы решения начально-краевых задач для ДДМ аномальной диффузии; теоретические оценки параллельной эффективности предложенных параллельных алгоритмов; практические рекомендации по организации параллельного вычислительного процесса.

В области реализации эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента: программный комплекс компьютерного моделирования процессов аномальной диффузии, включающий пакет АД-НКЗ решения начально-краевых задач для ДДМ аномальной диффузии и пакет АД-ВИХ параметрической идентификации этих моделей.

Степень достоверности результатов. Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается строгими математическими доказательствами сформулированных утверждений и теорем, обоснованным использованием применяемых методов исследования, а также тестированием разработанного программного кода и сравнением результатов вычислительных экспериментов с аналитическими решениями модельных задач. Основные результаты исследования опубликованы в отечественных и зарубежных рецензируемых журналах с высоким импакт-фактором.

Апробация результатов исследования. Результаты диссертационного исследования докладывались на восьмой, десятой и одиннадцатой научных межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1998, 2000, 2001), третьей Всероссийской научно-технической конференции «Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий» (Улан-Удэ, 2002), второй и пятой Всероссийских научных конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2005, 2008), VI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2005), Уфимской международной математической конфе-

ренции памяти А. Ф. Леонтьева (Уфа, 2007, 2017), международных научных конференциях серии «Modern Group Analysis (MOGRAN)» (MOGRAN-11, Karlscrona, Sweden, 2007; MOGRAN-13, Уфа, 2009; MOGRAN-16, Уфа, 2013), 2^nd Conference of Nonlinear Science and Complexity (Porto, Portugal, 2008), International Workshop on New Trends in Science and Technology (Ankara, Turkey, 2008), международных научных конференциях серии «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ)» (ПаВТ’2010, Уфа, 2010; ПаВТ’2011, Москва, 2011; ПаВТ’2012, Новосибирск, 2012), одиннадцатом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2010), Российской конференции «Многофазные системы: природа, человек, общество, технологии», посвященной 70-летию акад. Р. И. Нигматуллина (Уфа, 2010), VI Уфимской международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» (Уфа, 2011), 5^th Symposium on Fractional Differentiation and Its Applications (Nanjing, China, 2012), V Российской конференции с международным участием «Многофазные системы: теория и приложения» (Уфа, 2012), Всероссийской конференции «Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2014), International Conference on Fractional Differentiation and its Applications ICFDA’14 (Catania, Italy, 2014), the 20th World Congress of the International Federation of Automatic Control IFAC 2017 (Toulouse, France, 2017), International Conference on Mathematical Modelling in Applied Sciences ICMMAS’17 (Санкт-Петербург, 2017), семинаре им. К. И. Бабенко (Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша), семинаре Института математики с ВЦ УНЦ РАН, семинарах лаборатории ГАММЕТТ под руководством профессора Н. Х. Ибрагимова, кафедр математики и ВВТиС УГАТУ

Публикации по теме диссертации и личный вклад автора.

По результатам диссертационного исследования опубликовано 43 работы, в том числе 32 статьи [1-20, 23-34], из них [1-20] опубликованы в рецензируемых научных изданиях, входящих в Перечень ВАК или включенных в международные реферативные базы данных и системы цитирования Web of Science и/или Scopus; получено два свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ [21,22].

Все представленные в диссертации и выносимые на защиту научные результаты получены автором лично. Большая часть этих результатов опубликована в 18 работах без соавторов [2,5,6,8,10,12,13,16-22,24,29,32,33]. В совместной работе [1] автору принадлежит принцип декомпозиции, в работах [3,4,7,9,11,26-28,30] — все результаты, касающиеся развития симметрийно-го подхода для исследования дробно-дифференциальных моделей в частных дробных производных, а также ряд примеров построения точечных и нелокальных симметрий для обыкновенных дробно-дифференциальных уравнений; в [14] автором получены симметрии, точные решения и законы сохранения для дробно-дифференциальных обобщений уравнения Компанейца, в

[15] автору принадлежит алгоритм исследования симметрийных свойств рассматриваемых моделей и результаты исследования диффузионно-волнового уравнения, в [23] автором получены интегральные представления коэффициентов диффузионных моделей, в [25] — разработан параллельный алгоритм решения диффузионно-волнового уравнения, в [31] — предложена постановка коэффициентной обратной задачи для уравнения аномальной диффузии и алгоритм ее решения, в [34] — аппроксимация дробной производной и результаты расчетов приближенных симметрий.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, шести глав основного содержания, заключения, списка литературы и четырех приложений. Объем диссертации составляет 275 страниц, в том числе 251 страница основного содержания и 24 страницы приложений, включает 22 рисунка, 13 таблиц и список литературы из 371 наименования.

Дробно-дифференциальные модели неравновесных процессов в системах с памятью

Многие классические макроскопические модели (в частности, гидродинамического и диффузионного типов) могут быть получены из рассмотрения динамики системы многих частиц методами неравновесной статистической механики [11,49,243,370]. Отправной точкой в этом случае обычно является уравнение Лиувилля для функции распределения систем статистического ансамбля в фазовом пространстве [64,96]. При этом переход от обратимого во времени уравнения Лиувилля к необратимым во времени макроскопическим моделям переноса является весьма нетривиальным. Потеря обратимости на макроскопическом уровне обычно реализуется путем перехода к неполному (сокращенному) описанию эволюции микроскопического состояния системы. Предложено несколько математических процедур, обеспечивающих такой переход: метод проекционного оператора Р. Цванцига и Г. Мори [370], метод неравновесного статистического оператора Д. Н. Зубарева [49], метод Р. Балеску [11] и ряд других. В результате для сокращенного описания системы получаются различные кинетические уравнения, необратимые во времени. Из этих уравнений посредством осреднения могут быть получены различные виды макроскопических моделей переноса. Однако для большинства существующих макроскопических ДДМ даже диффузионного типа такой вывод из первичных принципов динамики отсутствует. При этом наличие дробно-дифференциальных операторов в макроскопической модели означает, что имеет место неполное описание системы не только с микро-, но и с макроскопических позиций (см., например, [114]).

Обобщение такого неравновесного статистически-механического подхода для построения различных ДДМ переноса представляется весьма важным и перспективным, поскольку позволит более четко определить физический смысл получаемых моделей и их отдельных частей, а также установить их связь с микроскопической динамикой системы.

Классическое уравнение Лиуивилля является математической записью закона сохранения плотности вероятности распределения систем в элементе фазового объема с учетом того факта, что движение частиц подчиняется законам классической механики и может быть описано уравнениями Гамильтона. В последние годы активно развивалось несколько подходов к дробно-дифференциальному обобщению гамильтонова формализма в механике [136,200,239,292,312,319,320,340]. В частности, в работах [136,292,312], исходя из вариационного принципа для лагранжианов, зависящих от различных типов дробных производных обобщенных координат по времени, были получены различные дробно-дифференциальные обобщения уравнений движения Гамильтона. Однако они не были использованы для построения дробно-дифференциального обобщения уравнения Лиувилля и макроскопических моделей аномальных неравновесных процессов переноса. Недостатком этого подхода следует признать неясный физический смысл ряда новых обобщенных переменных (в частности, правостороннего импульса), зависящих от будущего состояния системы.

Другой подход связан с дробно-дифференциальным обобщением уравнения Лиувил-ля. В 1992 году Р. Р. Нигматуллин [92] предложил одно такое обобщение, в котором дробная производная по времени первого порядка была формально заменена на дробную производную порядка и Є (0,1). Как отмечает автор, «Детальное исследование особенностей термодинамики систем описываемых уравнением Лиувилля этого типа — дело ближайшего будущего» [92, c. 363]. Однако за прошедшие с того времени почти 25 лет, прорыва в этом направлении так и не произошло.

Дробно-дифференциальное уравнение Лиувилля для макроскопических наблюдаемых, содержащее дробную производную Капуто по времени, было впервые предложено Р. Хилфером в работе [217]. Там же было получено формальное решение этого уравнения, выраженное через функцию Фокса. Это обобщенное уравнение было использовано в [178] для описания процессов, демонстрирующих свойства скейлинга. В работе [218] было предложено дробно-дифференциальное уравнение Лиувилля с дробной производной по времени, содержащее дробную степень оператора Лиувилля. Однако эти уравнения также не были использованы для построения дробно-дифференциальных кинетических уравнений и уравнений переноса.

Еще один подход к дробно-дифференциальному обобщению уравнения Лиувилля для динамических систем, которые могут быть описаны дробными степенями координат и импульсов, был предложен в цикле работ В. Е. Тарасова [333,335,339,340]. В этих работах используется интерпретация дробного аналога фазового пространства как пространства с дробной размерностью и дробной мерой. При выводе дробно-дифференциального уравнения Лиувилля также используется условие сохранение плотности вероятности в элементе дробного объема (закон сохранения). Полученное дробно-дифференциальное уравнение Лиувилля было использовано для вывода дробно-дифференциальных аналогов ряда классических кинетических уравнений и уравнений переноса [336,338]. Тем не менее, данные уравнения не содержат дробных производных по времени и поэтому не могут быть использованы для вывода известных дробно-дифференциальных моделей диффузионных процессов в системах со степенной памятью.

В работе [264] автором впервые предложен вывод дробно-дифференциального обобщенного уравнения Лиувилля, содержащего дробную производную Римана-Лиувилля по времени. Вывод уравнения основан на рассмотрении эквивалентных дифференциальных уравнений целого и дробного порядков, то есть уравнений, обладающих одним и тем же формальным решением. Если система частиц, обладающая памятью, находится в состоянии равновесия с окружающей средой, то ее микроскопическая динамика может быть описана как классическим уравнением Лиувилля, так и эквивалентным ему дробно-дифференциальным уравнением. Нарушение этого равновесия приводит к дробно-дифференциальному уравнению Лиувилля, описывающему динамику неравновесной системы с памятью. Развитию этого подхода посвящен 1.

С использованием проекционного формализма Цванцига-Мори, на основе построенных дробно-дифференциальных обобщений уравнения Лиувилля были получены дробнодифференциальные кинетические уравнения типа Цванцига [264]. Также были получены дробно-дифференциальные обобщения уравнения Ланжевена и уравнения Мори, являющиеся основой для вывода уравнений диффузионного типа. Отметим, что различные виды дробно-дифференциальных уравнений Ланжевена с дробными производными различных типов достаточно часто используются для вывода ДДМ аномальной диффузии [141,240,268,274,357], однако получаются эти уравнения почти всегда из рассмотрения фрактального броуновского движения, но не из уравнения Лиувилля. Выводу кинетических уравнений и обобщенных уравнений Ланжевена и Мори посвящен 2. Там же в качестве примера использования построенных уравнений рассматривается вывод ДДМ аномальной диффузии, являющейся основным объектом дальнейших исследований.

Использованное при выводе дробно-дифференциального уравнения Лиувилля понятие эквивалентности уравнений по решению обсуждается в 3. Приводятся примеры эквивалентных по решению обыкновенных дробно-дифференциальных уравнений, формулируется принцип эквивалентности, анализируется совпадение и различие свойств таких уравнений. Показывается, что эквивалентные уравнения связаны нелокальным преобразованием, но обладают различными симметрийными свойствами. Изложение материала этого параграфа опирается на работу автора [79].

Краткие теоретические сведения о классическом уравнении Лиувилля и используемых в следующем параграфе основных понятиях неравновесной статической механики приведены в приложении Б.

Симметрийный анализ нелинейной модели аномальной диффузии с источником

Дробно-дифференциальное уравнение (3.1) преобразование (3.32) не допускает. Причина этого опять же связана с нелокальностью оператора дробного дифференцирования. Преобразование (3.32) допускается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка (3.4) локально, то есть в окрестности любого фиксированного значения х. При этом всегда найдется интервал А, обеспечивающий локальную обратимость преобразования (3.32). Однако чтобы это преобразование допускалось дробно-дифференциальным уравнением (3.1), необходимо, чтобы интервал А существовал для всех значений х а, а не только для окрестности некоторого данного значения х, что невозможно. Это объясняется особенностью замены переменных в интеграле входящем в производную дробного порядка: проведение замены для этого интеграла при любом фиксированном х требует замены функции y(s) для всех s Є (а,х).

Таким образом, имеется важное отличие дифференциальных уравнений дробного порядка от уравнений целого порядка: решение дробно-дифференциального уравнения может локально допускать некоторую группу точечных преобразований, в то время как само уравнение эту группу может и не допускать. В результате возникает несоответствие симметрийных свойств уравнения и его решения.

С точки зрения теории дробно-дифференциальных уравнений такое несоответствие симметрийных свойств, по-видимому, следует просто рассматривать как математический факт. Однако с практической точки зрения, когда дробно-дифференциальное уравнение является математической моделью какого-либо процесса, такое несоответствие может привести к ряду проблем, связанных с корректностью интерпретации результатов математического моделирования.

Тем не менее, именно с позиций математического моделирования данное несоответствие может быть объяснено и частично преодолено. Дело в том, что почти все существующие в настоящее время дробно-дифференциальные модели носят феноменологический характер и выводятся исходя из асимптотически степенного поведения некоторой исследуемой величины. Другими словами, данные модели уже по построению не справедливы в непосредственной близости от начала отсчета, значение которого входит в дробно-дифференциальный оператор в качестве предела интегрирования. Таким образом, в окрестности начала отсчета существует своеобразный «пограничный слой» некоторой толщины 8 0, в зоне которого решение уравнения уже не имеет физического (или иного) смысла. В результате, с точки зрения моделирования, решение дробно-дифференциального уравнения должно рассматриваться лишь при х а + 8, то есть за пределами некоторой окрестности начала отсчета. Значение величины 8 должно быть согласовано с точностью дробно-дифференциальной модели и ее определение в каждом случае представляет собой отдельную самостоятельную задачу.

Эквивалентность обыкновенных дробно-дифференциальных уравнений. Обыкновенное дифференциальное уравнение целого порядка однозначно восстанавливается по своему общему решению, что не справедливо для дробно-дифференциальных уравнений. Даже ограничившись рассмотрением уравнений с определенным типом дробных производных и вполне определенного вида, можно построить целые семейства таких уравнений, обладающих одним и тем же общим решением.

Пример 3.4. Преобразование (3.32) переводит дробно-дифференциальное уравнение (3.1) в эквивалентное ему по решению (3.2) дробно-дифференциальное уравнение Г / \ ct—2 \ тла \ І a \ х — a 1-\ у = 0. (3.33) х — а В области х b, b = max{a, а — a} это уравнение будет эквивалентно по решению (3.2) уравнениям (3.1) и (3.4). Таким образом, в результате применения преобразования (3.32) к уравнению (3.1), от носительно которого решение этого уравнения (3.2) инвариантно, возникает новое дробно дифференциальное уравнение, эквивалентное исходному. Если (3.33) рассматривать как однопараметрическое a-семейство уравнений, то исходное уравнение (3.1) будет частным представителем этого семейства при a = 0. Заметим, что общее решение семейства линей ных уравнений (3.33) не зависит от параметра a. Пример 3.5. Обыкновенное дифференциальное уравнение у" = 0 при х а эквивалентно двухпараметрическому {а, а}-семейству дробно-дифференциальных уравнений вида aD"y = f(x,y,aD" 1y), а Є (1,2), с левосторонними производными Римана-Лиувилля (А.8): (х — а)аaD"y + а {х — а)а aD" у — у = 0. (3.34) 1-а (1 — а)Т{2 — а) Все уравнения семейства (3.34) имеют одно и то же общее решение у(х) = С\Х + С 2, которое не зависит явно от а и а. В предельном случае а = 2 уравнение (3.34) переходит в уравнение у" = 0. Эти уравнения связаны линейным преобразованием (3.6), при этом дробная производная преобразуется следующим образом: ( . п\1—а ( п\2—а aD" у = AQ— у + (А\ + (а — 1)Ао) -, у Г(2 — а) Г(3 — а) Обобщенное условие касание при этом выполнено не многообразии, задаваемом общим решением рассматриваемых уравнений. Применение преобразования (3.6) к уравнению (3.34) переводит его в уравнение (ж — а)2 _п \А\ + {о- — 4А-0) y = О, Г(3 — а) то есть в у" = 0. Уравнение (3.34) оказывается весьма интересным, хотя и специфичным, примером дробно-дифференциального уравнения. Несмотря на наличие производной Римана-Лиу-вилля дробного порядка, начальные условия для него ставятся так же, как и для дифференциального уравнения целого порядка: у (а) = АІ, у (а) = А2. При этом попытка поставить начальные условия в классической для дробно-дифференциальных уравнений с дробными производными Римана-Лиувилля форме в виде значений дробных производных и интегралов в начале отсчета к успеху не приводит, поскольку на его общем решении „D 2y\ = 0, а „D ly\ обращается в бесконечность.

Законы сохранения дробно-дифференциальных моделей аномальной диффузии

Нетрудно убедиться, что это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет то же самое общее решение (5.15), что и исходное дробно-дифференциальное уравнение (5.14), то есть эти два уравнения равносильны.

Используя (5.27), можно полностью разрешить в области х 0 систему (5.24). Подстановка (5.27) в (5.26) с расщеплением по у1 приводит к системе Vyy = 0 ху (1 о)х г/ = 0, г]хх + а{1 — а)х уц = О, общее решение которой имеет вид г/ = С 5 + CQX + CjX ау. (5.28) Подстановка (5.28) в (5.25) с учетом (5.27) и разрешение полученной системы уравнений дает = —х ау -\ х + Сзх + С 4. (5.29) а а Решение (5.28), (5.29) является общим решением бесконечной системы (5.24) с учетом связи (5.27), порождаемой исходным уравнением. Это решение добавляет, к определенным ранее, еще две симметрии, соответствующие постоянным Сб и Cj: Х$ = х—Ь аху—, Хё = х ау —У ах ау—. ох ду ох оу В результате найдены все шесть операторов, для которых условие (5.13) выполнено в силу уравнения (5.14) и порождаемых им связей между переменными. Однако, как показано выше, XQ уравнением (5.14) не допускается.

Алгоритм разрешения определяющих уравнений. Из рассмотренного выше примера вытекает одно важное следствие: непосредственным действием преобразований на дробно-дифференциальное уравнение удается проверить существование у него симметрий лишь следующего относительно простого класса: І-ІІ \ г и/ v аґ \л X = с; ї)7—: + [Щ\Х) + и T)v\X)\—. (5.30) ох1 ои Следуя [55,117,198], симметрии вида (5.30) будут называться линейно-автономными сим-метриями. В разобранном выше примере симметрии ХІ (І = 1, 2,... , 5) являются линейно-автономными.

Необходимому условию инвариантности могут удовлетворять и операторы, не принадлежащие к классу линейно-автономных. В рассмотренном выше примере таким оператором является Х6. Вопрос о допускаемости таких операторов дробно-дифференциальным уравнением должен решаться в каждом случае индивидуально, однако решение уравнения такой симметрией будет обладать обязательно. Поэтому поиск таких симметрий представляет несомненный практический интерес.

Линейно-автономные симметрии позволяют алгоритмизировать процедуру разрешения определяющих уравнений. Задача нахождения таких симметрий оказывается существенно проще задачи отыскания симметрий общего вида, а знание этих симметрий поз 76 воляет конкретизировать связи между зависимыми переменными, порождаемыми дробно-дифференциальным уравнением. Поэтому отыскание линейно-автономных симметрий следует всегда рассматривать как первый этап разрешения определяющих уравнений. В результате приходим к следующему общему алгоритму.

Алгоритм построения симметрий дробно-дифференциальных уравнений. 1) С использованием формул продолжения в общем виде находятся координаты продолженного оператора X группы точечных преобразований на все переменные, входящие в дробно-дифференциальное уравнение или систему уравнений. 2) Из необходимого условия инвариантности (5.13) выписывается общий вид определяющих уравнений. 3) Записывается частный вид определяющих уравнений, соответствующий случаю линейно-автономных симметрий вида (5.30). 4) С использованием обобщенного правила Лейбница (А.17) определяющие уравнения записываются в виде бесконечных рядов относительно дробно-дифференциальных переменных вида Dx nu. 5) Производится расщепление определяющих уравнений по дробно-дифференциальным переменным вида Dx nu и разрешение полученных уравнений с учетом условий ,г(х)\хі=аі = 0. В результате находятся линейно-автономные симметрии, допускаемые уравнением. 6) С использованием найденных линейно-автономных симметрий конкретизируются виды связей между переменными Dx nu, и,..., порождаемых исходным уравнением (системой). 7) С учетом найденных связей между переменными производится расщепление определяющих уравнений для симметрий общего вида и, если возможно, находятся дополнительные симметрии. 8) Выполняется проверка допускаемости найденных симметрий исходным дробно-дифференциальным уравнением (системой).

Постановка задачи. Рассмотрим нелинейное дробно-дифференциальное уравнение аномальной диффузии D"u = (к(и)их)х + f(u), к{и) 0, а Є (0, 2) (6.1) с дробной производной Римана-Лиувилля (А.8) по времени (D" = 0D"). Уравнение (6.1) при а Є (0,1) известно как уравнение субдиффузии, а при а Є (1, 2) представляет собой диффузионно-волновое уравнение [102,112,285,364]. В предельном случае а = 1 оно переходит в классическое уравнение диффузии, при а = 2 — в волновое уравнение. В настоящее время наиболее хорошо изученным является случай, когда уравнение (6.1) не содержит источника (f(u) = 0) и является линейным (к(и) = const). Вопросы существования и единственности решения соответствующих начально-краевых задач для такого линейного уравнения рассматривались в работах многих исследователей, которые показали, что решения этих задач представляются, как правило, через специальные функции Райта и Фокса [102,271,273].

Для дробно-дифференциальных уравнений аномальной диффузии симметрии впервые использованы для построения инвариантных решений в работах [160,202]. Были построены инвариантные решения линейного уравнения субдиффузии и диффузионно-волнового уравнения с производными Римана-Лиувилля, соответствующие группе неравномерных растяжений. Показано, что решения представляются через функции Райта (А.33).

Групповая классификация классического (а = 1) уравнения диффузии с источником вида (6.1) выполнена в работе [45]. Там же приведены инвариантные решения, соответствующие оптимальным системам одномерных подалгебр для каждого случая групповой классификации. Случай классического волнового уравнения также хорошо известен [168]. По этой причине целочисленные предельные случаи а = 1 и а = 2 рассматриваться не будут.

6.2 Построение группы преобразований эквивалентности. В качестве первого шага групповой классификации уравнения (6.1) построим допускаемую им группу преобразований эквивалентности. Как известно [4,93], преобразования эквивалентности сохраняют дифференциальную структуру уравнения. Для построения преобразований эквивалентности воспользуемся инфинитезимальным подходом.

Двухмасштабный метод построения приближенных решений дробно-дифференциальных уравнений

Законы сохранения играют фундаментальную роль в современном естествознании и являются одним из мощнейших инструментов построения математических моделей различных процессов. В известной работе Э. Нётер [91] показано, что законы сохранения неразрывно связаны с понятием симметрии. Если некоторое дифференциальное уравнение (или система) является уравнением Эйлера–Лагранжа (то есть обладает классическим лагранжианом), то доказанная Э. Нётер теорема дает возможность построения законов сохранения для этого уравнения по его известным вариационным симметриям. Важно отметить, что теорема Нётер дает только достаточное условие существование законов сохранения. Необходимое условие дает обобщение этой теоремы, доказанное в 1969 г. Н. Х. Ибрагимовым [50]. Доказательство этой теоремы основано на фундаментальном операторном тождестве (тождестве Нётер), которое устанавливает связь между оператором вариационной производной (оператором Эйлера–Лагранжа), инфинитезимальным оператором группы точечных преобразований и, так называемыми, операторами Нётер [51,93]. На основе полученных в явном виде представлений операторов Нётер, Н. Х. Ибрагимовым был предложен простой и эффективный конструктивный алгоритм построения законов сохранения для имеющих лагранжиан дифференциальных уравнений целого порядка. Развитый в предыдущей главе симметрийный подход к исследованию дробно-дифференциальных уравнений дает возможность доказательства обобщения фундаментального операторного тождества на случай дробно-интегро-дифференциальных переменных и обобщения конструктивного алгоритма Н. Х. Ибрагимова для построения дробно-дифференциальных законов сохранения [77]. При этом ключевым становится вопрос о существовании у дробно-дифференциальных уравнений лагранжианов классического вида.

В 1996 г. F. Riewe [319] впервые рассмотрел лагранжиан, зависящий от производных дробного порядка. В 2002 г. O. P. Agrawal [133] исследовал вариационные задачи для таких лагранжианов и построил дробно-дифференциальные уравнения Эйлера–Лагранжа. В дальнейшем различными исследователями было получено множество дробно-дифференциальных уравнений Эйлера–Лагранжа, соответствующих лагранжианам, зависящим от дробных производных различных типов [135,136,142,144–146,215,216,244]. На основе этих результатов был доказан ряд дробно-дифференциальных обобщений теоремы Нё-тер [140, 159, 184, 254, 277, 298].

Следует отметить, что, в отличие от классических дифференциальных уравнений целого порядка, для дробно-дифференциальных уравнений понятие закона сохранения определяется неоднозначно и в разных научных школах используются различные, не всегда эквивалентные друг другу, определения. Например, авторы работ [140, 183, 185, 367] используют для дробно-дифференциальных уравнений классическое определение, согласно которому под законом сохранения понимается равенство нулю классической целочисленной дивергенции некоторой векторной величины (так называемого, сохраняющегося вектора). Использование данного определения представляется вполне оправданным, поскольку оно является обобщением на многомерный случай понятия первого интеграла, которое применяется для обыкновенных дифференциальных уравнений не только целого, но и дробного порядков. В данной работе также будет использоваться это классическое определение.

В [238,341,356] предложено использовать формальное обобщение классического определения закона сохранения, в котором входящие в оператор дивергенции частные производные первого порядка заменены на дробные производные заданного типа по соответствующим переменным. Тем не менее, как было показано еще в работе [238], такое формальное обобщение почти всегда сводится к классическому определению при условии, что сохраняющийся вектор может зависеть от дробно-интегро-дифференциальных переменных. В [184] предложено использовать в качестве закона сохранения равенство нулю функциональной линейной комбинации левосторонней и правосторонней дробных производных Римана-Лиувилля. Компонентами сохраняющегося вектора при этом являются произведения функций, входящих в эту линейную комбинацию. Такое определение закона сохранения значительно упрощает доказательство дробно-дифференциальных обобщений теоремы Нётер [159,184,277], однако порождает проблемы с физической трактовкой получающихся таким образом сохраняющихся величин. В частности, для уравнений с дробными производными по времени такой подход приводит к зависимости закона сохранения как от прошлого, так и от будущего, что является прямым нарушением причинно-следственной связи. Интересно отметить, что в дальнейшем авторы данного подхода вернулись к классическому определению закона сохранения [183,185].

В работах [140,159,183-185,277] доказаны дробно-дифференциальные обобщения теоремы Нётер для некоторых частных случаев интегралов действия с лагранжианами, зависящими от производных дробного порядка различных видов. Так, в [140,159] рассматриваются одномерные лагранжианы, зависящие от одной левосторонней производной типа Римана-Лиувилля дробного порядка а Є (0,1). Аналогичные лагранжианы, дополнительно зависящие от первой производной зависимой переменной и от правосторонней производной типа Римана-Лиувилля, рассмотрены, соответственно, в работах [184,185]. Обобщению результатов работы [184] на многомерный случай, когда лагранжиан зависит от левосторонних дробных производных типа Римана-Лиувилля своего дробного порядка по каждой независимой переменной, посвящена работа [277]. Однако полученные в этих работах результаты носят частный характер и не дают достаточно общего, простого и эффективного алгоритма построения законов сохранения для дробно-дифференциальных уравнений. В результате при рассмотрении лагранжиана любого нового вида необходимо заново передоказывать все утверждения и получать соответствующие новые выражения для законов сохранения. Одним из возможных выходов из этой ситуации является рассмотрение лагранжианов произвольного вида на введенном в 5 классе линейно-дробно-интегро-дифференциальных функций в гг-мерном пространстве. Эта задача впервые решена автором в работе [77] и ей посвящен 8 диссертации.

Однако построение законов сохранения на основе симметрий для дробно-дифференциальных уравнения диффузионного типа представляет собой нетривиальную задачу. Такие уравнения, также как и классические диффузионные уравнения, не имеют классического лагранжиана (то есть не являются уравнениями типа Эйлера-Лагранжа) и поэтому дробно-дифференциальные обобщения теоремы Нётер к ним не применимы. Тем не менее, как показано Н. Х. Ибрагимовым [51], для дифференциальных уравнений целого порядка эта проблема решается переходом к рассмотрению слабых (или формальных) лагранжианов, которые существуют для любого дифференциального уравнения. На основе этого понятия, в серии работ [52,223,225] им был предложен и развит принцип нелинейной самосопряженности, позволяющий использовать для нелинейно-самосопряженных дифференциальных уравнений, не имеющих лагранжиaна в классическом смысле, классический алгоритм построения законов сохранения по известным симметриям. В результате были построены новые семейства законов сохранения для большого количества различных дифференциальных уравнений с производными целого порядка, не имеющих классического лагранжиана.

В работе [266] автором впервые показано, что принцип нелинейной самосопряженности может быть успешно распространен и на ДДМ аномальной диффузии. Полученные результаты приводятся в 9 диссертации. Также развитый подход был применен для нахождения законов сохранения и построения неинвариантных решений различных дробно-дифференциальных обобщений уравнения Компанейца [193], соответствующие результаты приведены в 10. Предложенный автором алгоритм был использован в дальнейшем рядом исследователей для построения законов сохранения современных физически значимых ДДМ [323,349,351,352,361].