Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературы 11
1.1. Математические исследования дифференциальных задач на геометрических графах 12
1.2. Приложения дифференциальных моделей на графах 14
1.3. Моделирование поровой структуры твердых тел 17
1.4. Моделирование переноса разреженного газа по поглощающим каналам 19
1.5. Выводы 22
Глава 2. Моделирование геометрического графа со случайной структурой 24
2.1. Окрестностная модель для формирования случайного геометрического графа 24
2.2. Генерирование системы связей графа 29
2.3. Генерирование весовых коэффициентов вершин и ребер 38
2.4. Релаксация системы вершин графа 43
Глава 3. Разработка алгоритмов решения параболической интегро дифференциальной задачи на геометрическом графе 47
3.1. Интегро-дифференциальная задача однокомпонентного пере
носа 47
3.1.1. Постановка задачи однокомпонентного массопереноса 48
3.1.2. Математическая модель однокомпонентного массопереноса 51
3.1.3. Построение разностной схемы для модели переноса с поглощением вдоль порового канала в смешанном режиме те- 54 чения
3.1.4. Построение разностной схемы для интегро дифференциальной модели массопереноса в пористой среде 60 3.2. Разработка и исследование алгоритмов решения разностной
схемы интегро-дифференциальной модели массопереноса на
графе
3.2.1. Разработка и тестирование итерационных алгоритмов решения трехдиагональной квазилинейной системы для уравнения переноса с поглощением 63
3.2.2. Разработка и тестирование итерационных алгоритмов решения квазилинейной интегро-дифференциальной задачи
на графе 82
3.3. Редукция интегро-дифференциальной параболической задачи
методом квазистационарного приближения 96
3.3.1. Квазистационарное приближение массопереноса по поро-вому каналу 96
3.3.2. Математическая модель однокомпонентного массопереноса в квазистационарном приближении 99
3.3.3. Разработка и тестирование итерационных алгоритмов решения интегро-дифференциальной задачи в квазистацио нарном приближении 102
3.4. Системы интегро-дифференциальных уравнений для моделирования многокомпонентного массопереноса в условиях конкурирующей сорбции 11 0
3.4.1. Постановка задачи многокомпонентного массопереноса 110
3.4.2. Математическая модель многокомпонентного массопере 111 носа
3.4.3. Построение разностной схемы для модели многокомпонентного переноса с поглощением в пористой среде 113
3.4.4. Разработка и апробация алгоритма решения разностной схемы для многокомпонентного массопереноса по каналам пористой среды 115
121
Глава 4. Комплекс программ для моделирования массопереноса в пористой системе, описываемого интегро-дифференциальной задачей на графе
4.1. Структура комплекса программ 121
4.2. Описание Модуля
4.2.1. Структура Модуля 1 121
4.2.2. Типы данных и входные переменные 127
4.2.3. Блок геометрических параметров 129
4.2.4. Блок поровой системы 131
4.2.5. Блок генерации связей 131
4.2.6. Блок генерации физических параметров системы 132
4.2.7. Блок релаксации системы 134
4.2.8. Вывод промежуточных значений блоков Модуля 1 135
4.3. Описание Модуля 2 142
4.3.1. Структура Модуля 2 142
4.3.2. Типы данных и входные переменные 145
4.3.3. Блок физических параметров 146
4.3.4. Блок параметров решателя и критических параметров 152
4.3.5. Постпроцессор 156
Заключение 161
Литература
- Моделирование переноса разреженного газа по поглощающим каналам
- Генерирование весовых коэффициентов вершин и ребер
- Математическая модель однокомпонентного массопереноса
- Блок генерации физических параметров системы
Введение к работе
Актуальность темы. Дифференциальные задачи на графах и их моделирование рассматривались в работах ряда научных школ (Ю.В. Покорный и др., Б. С. Павлов, М. Д. Фаддеев и др., G. Lumer, S. Nicaise, F. Ali-Mehmeti и др.). Были изучены условия существования, спектральные характеристики, методы численного анализа различных типов задач (гиперболической, параболической, эллиптической). При этом исследовались только линейные задачи в чисто дифференциальной постановке с заданной плотностью источников.
В то же время потребности прикладных наук требуют использования задач в более широкой постановке. Например, описание работы систем вакуумной техники, фильтрации, массопереноса в пористой среде, диффузионной сварке пористых материалов, оболочковых конструкций теплообменников, создании пористых изделий из порошков активных металлов, приводит к квазилинейным параболическим задачам с плотностью источников, определяемой интегральным оператором типа Вольтерра.
Подходы, основанные на применении стандартных специализированных вычислительных пакетов и средств моделирования, не позволяют в должном объеме получить решение задачи. Усредненное моделирование макропроцессов далеко не всегда обеспечивает нужную точность оценок. Задача же моделирования с учетом микропараметров статистической пористой среды является весьма сложной и не имеет общего решения на сегодняшний день.
Наиболее адекватным инструментом для решения таких задач является математическое моделирование интегро-дифференциальными задачами на случайных геометрических графах, параметры и структура которых может изменяться во времени.
Развитие указанных методов моделирования позволит организовать постановку вычислительного эксперимента для установления связей между микроскопическими параметрами моделируемой системы и ее макроскопическими характеристиками. Для этого необходимо развитие эффективных вычислительных методов решения данных задач.
Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки России «Теплообмен и массоперенос в каналах энергетических установок», № госрегистрации 114061170004.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка и численное исследование алгоритмов решения
параболических квазилинейных задач с интегральными функциями источника на геометрических графах, имеющих заданные распределения степеней вершин и весовых коэффициентов.
Для достижения цели решались следующие задачи:
– разработать метод построения геометрического графа с заданным распределением степеней вершин и весовых коэффициентов вершин и ребер;
– разработать и исследовать эффективные алгоритмы решения квазилинейной интегро-дифференциальной параболической задачи на графе;
- модифицировать метод квазистационарного приближения для решения интегро-дифференциальной параболической задачи на графе
– разработать комплекс прикладных программ, реализующих предложенные модели и алгоритмы применительно к моделированию массопереноса по поглощающей поровой структуре.
Методы исследования. В работе использованы методы теории графов, теории математического моделирования, теории уравнений математической физики, теории вероятностей и математической статистики, численных методов, объектно-ориентированного программирования.
Тематика работы соответствует п. 1 Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений, п. 3 Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий, п. 4 Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента паспорта специальности 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.
Научная новизна работы. К результатам работы, отличающимся научной новизной, относятся:
-
Новый метод моделирования поровой структуры случайным геометрическим графом, отличающийся учетом условий геометрической совместности и позволяющий проводить построение графовой модели с заданными статистическими характеристиками.
-
Алгоритмы численного решения интегро-дифференциальной задачи на графе, отличающиеся комбинацией метода прогонки на ребрах и итерационного метода по вершинам графа и позволяющие получать численное решение в широком диапазоне параметров задачи.
-
Модификация метода квазистационарного приближения для интегро-дифференциальной задачи на графе, отличающаяся использованием квазистационарного решения на ребрах и позволяющая существенно уменьшить число степеней свободы численной модели и повысить скорость сходимости решения.
-
Структура комплекса программ для решения параболических интегро-дифференциальных задач на графах, обеспечивающая возможность совместного моделирования случайного графа и параболических задач в различных постановках и отличающаяся адаптивным функционалом выбора метода решения.
Практическая значимость работы состоит в разработке комплекса программ, реализующего предложенные алгоритмы и позволяющего организовать вычислительный эксперимент для выявления закономерностей процесса массопереноса в поглощающей пористой среде, являющихся основой для разработки макроскопической модели этого процесса с возможностью количественной оценки кинетики процесса поглощения, что создает предпосылки для рационального проектирования и реализации таких процессов, как очистка защитных газов, обеспечение потока газа с заданными параметрами в условиях сильного поглощения и т.д. Эти процессы, конкретные технологии на их основе имеют практическое значение для машиностроения, теплотехники, энергетики и других областей.
Развитые методы численного решения интегро-
дифференциальных задач на графах позволяют строить эффективные модели для процессов переноса в структурированных средах, разрабатывать системы имитационного моделирования таких процессов.
Реализация и внедрение результатов. Полученные в ходе работы результаты использованы для теоретического исследования кинетики течения газа в каналах теплообменников энергетических установок при выполнении НИР в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки России «Теплообмен и массоперенос в каналах энергетических установок», для повышения эффективности процесса очистки защитных газов при термической обработке титановых изделий авиационной промышленности.
Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе института машиностроения и аэрокосмической техники Воронежского государственного технического университета при подготовке магистров по программе «Физико-химические и технологиче-5
ские основы процессов сварки», а также признаны полезными для использования на ПАО ВАСО, г. Воронеж.
Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались: X–XV Международных семинарах «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 2014, 2015, 2016), VII и VIII международных конференциях «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий» (Воронеж, 2014, 2015), ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава, студентов и аспирантов
Публикации. По результатам исследования опубликовано 10 научных работ, в том числе 3 – в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов диссертационных исследований.
В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в кон
це автореферата, лично соискателем предложены: в [1,8] – разностные
схемы и алгоритмы их решения для интегро-дифференциальной зада
чи на графе; в [3,4] – метод моделирования поровой структуры слу
чайным геометрическим графом; в [2,7,9] – разностные схемы и алго
ритмы решения систем интегро-дифференциальных уравнений на гра
фе; в [5,6] – алгоритмы численного решения интегро-
дифференциальной задачи на графе; в [10] – метод квазистационарно
го приближения для интегро-дифференциальной задачи на графе.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и приложений. Основная часть работы изложена на 162 страницах, содержит 74 рисунка, 9 таблиц. Список библиографических источников насчитывает 226 наименований.
Моделирование переноса разреженного газа по поглощающим каналам
Несмотря на недавнюю историю появления теории дифференциальных уравнений на графах, они нашли широкое применение в самых различных областях.
Классической областью приложения теории стало описание деформации струнных и стержневых систем [64, 66, 113], которое сводилось к эллиптической задаче второго и четвертого порядка при различных внешних и вершинных граничных условиях, соответствующих типам механических соединений ребер, представляющих стержни и струны. В дальнейшем задача была обоб щена в рамках модели Хоффа [211], соответственно, рассматривалась в соболевском пространстве на обобщенных решениях. Также были изучены системы, приводящие к постановке задач с сосредоточенными особенностями [47, 197], обусловленными, например, точечными массами и силами, либо локализованным изменением коэффициентов переноса.
Другой классической областью, также интенсивно исследовавшейся в прикладном аспекте, является описание колебаний струнных и стержневых систем [32, 150], в котором рассмотрены частоты и моды колебаний, установлены особенности проявления этих мод в практических конструкциях. В дальнейшем это направление также получило развитие с учетом локализованных особенностей [47, 121].
Наконец, третьей классической областью, соответственно трем типам уравнений математической физики, стало описание массопереноса и теплопередачи в системах, составленных из линейных теплоносителей, например, стержней [44, 52, 161], при различных условиях в вершинах графа, представляющих место сочленения. Рассмотрены также системы криволинейных стержней [45].
Близкими к этим являются гидродинамические задачи в сетеподобных гидросистемах и гидравлических цепях [8, 9, 149], а также задачи тепломас-сопереноса в газотранспортных системах и системах теплоснабжения [54,59]. Но в этих задачах уже требуется использование уравнений Навье-Стокса.
В рассматриваемом аспекте особо следует отметить приложение теории дифференциальных уравнений на графах к задачам гемодинамики [1, 2, 6, 82]. С одной стороны, это также задачи гидродинамического переноса, а с другой стороны, система кровеносных сосудов представляет пример случайного графа, поскольку она индивидуальна для каждого человека.
Наряду с этими классическими приложениями, в последнее время появилось большое число специфических и достаточно оригинальных приложений в различных задачах, в которых имеется перенос сохраняющихся величин. Так, в [37] задача такого типа формулируется для описания авто транспортного потока на магистралях. Здесь сохраняющейся величиной является число машин в потоке. Следует также отметить применение графового подхода при моделировании каталитических процессов с переменным реакционным объемом [186, 187]. Методы теории задач на графах нашли применение и при математическом моделировании биологических продукционных процессов, результаты которого сведены в монографии [165].
Направлением, которое также можно считать вышедшим их классических приложений, является описание и моделирование электрических колебаний в электрических сетях с распределенными параметрами [117]. С одной стороны, здесь имеет место приложение телеграфного уравнения, но с другой стороны, наличие резистивной составляющей вносит в задачу элементы неконсервативности, вплоть до вырождения в параболическую задачу при сильном затухании колебаний.
Дифференциальные задачи на графах нашли приложение и в квантовой физике при описании диффузии и квантовой динамики на квантовых графах [169,185] и рассмотрении оператора Шредингера на графах [126,195], в частности, построении квазиклассического спектра оператора.
Отдельно следует отметить исследование нелинейных волн в сетях [209], поскольку свойства нелинейных волн и формы их движения существенно отличаются от обычных классических линейных аналогов.
Наконец, совершенно особую группу составляют неклассические приложения, в которых идеология дифференциальных задач на графах используется для описания процессов, не являющихся в строгом смысле графовыми объектами. Так данный подход был применен для рассмотрения растянутых вихрей в несжимаемой жидкости и решений типа узких струй для уравнений Навье-Стокса [198-200], а также расчета процессов, описываемых эллиптическими уравнениями [3].
Генерирование весовых коэффициентов вершин и ребер
В итоге алгоритм моделирования пары связанных параметров VbSi состоит в следующем. 1. В соответствии с предполагаемой формой пор выбирается среднее значение К\ коэффициента и диапазон его изменения. Нижнее возможное значение выделено жирным в таблице 2.2. Задается среднеквадратическое отклонение 7KS коэффициента. Эти значения должны удовлетворять неравенствам типа (2.2.8) или (2.2.9) (последнее - для ограниченной плотности вероятностей). По формулам (2.3.2) рассчитываются параметры распределения коэффициента Ks. 2. Для каждой вершины: а) генерируется значение Vt, б) генерируется значение Ks, в) по формуле (2.3.5) вычисляется значение S,-. Аналогичная ситуация имеет место и в отношении пары весов Рк,Ск. Выберем в качестве основной характеристики площадь сечения Ск, как более легко экспериментально измеримую, и введем коэффициент формы сече ния канала Р KP=-j , (2.3.8) характерные значения которого для равноосной формы сечений приведены в таблице 2.3. Таблица 2.3. Ориентировочные значения коэффициента КР Форма сечения канала КР круг 3,544 квадрат 4 ромб 4,3 правильный треугольник 4,56 Коэффициенты неравноосной формы можно пересчитать по формулам для эллипса, с использованием формулы Рамануджана для его периметра KP=KPо-a\3(1 + а)-J(3 + а)(3а + 1) f, (2.3.9) где а - коэффициент одноосного растяжения/сжатия (для плоской фигуры эти операции эквивалентны по отношению к коэффициенту (2.3.8)). Итого вый алгоритм моделирования параметров P/c,Ck идентичен таковому для
После определения площадей сечений каналов Ск фактические площади поверхности пор находятся вычитанием из величин Sf площадей сечений всех каналов, выходящих в данную пору. Полученные значения и используются в качестве весовых коэффициентов. Если при этом получились отрицательные значения коэффициентов, то моделирование весовых множителей производится заново, или корректируются статистические параметры распределений.
Моделирование длин ребер является более сложной задачей, поскольку здесь речь идет о геометрической совместности всей системы в целом. Необходимым условием является фиксация средней длины ребер на уровне L l— . (2.3.10) Средний разброс JL длин ребер является эмпирическим параметром, подбираемым в процессе итогового моделирования геометрической совместности системы для обеспечения наилучшего соответствия задаваемой и ре-лаксированной системы. Для априори заданного aL по формулам (2.3.2) рассчитываются параметры бета-распределения и генерируется набор Lk предполагаемых длин ребер. Отметим, что средние значения геометрических параметров V,C,L должны удовлетворять условию заданной пористости П тела (если таковая используется): N-V + K-L-C = n(abc). (2.3.11) При использовании этого обстоятельства средние сечения каналов, используемые при моделировании, также должны назначаться - = Щ±±. (2.3.12) Отсюда следует, что одним из критериев совместности является положительность числителя формулы (2.3.12), в противном случае, при назначенной пористости, следует уменьшить параметр V.
После формирования окончательной модели фактическая пористость корректируется пропорциональным изменением средних значений С, V.
На последнем этапе построения модели формируется геометрическая совместность пространственной сетки расположения вершин. Предварительно назначенные координаты вершин не соответствуют генерированным расстояниям Lk, которые, в свою очередь, не образуют реальной пространственной сетки. Поэтому необходимо провести релаксацию расположения вершин, аналогично используемой при моделировании случайных атомных систем [210], для осуществления которой предлагается метод минимизации функционала к Здесь потенциалы притяжения Uk{A)=l-i\rh-rJk\-Lk)2 (2.4.2) обеспечивают приближение исходных расстояний в структуре к заданным при моделировании. В формуле (2.4.2) расстояния рассчитываются с учетом периодического продолжения структуры (добавления вектора трансляции), а для каналов, выходящих на свободную поверхность (связанных с нулевой вершиной), учитывается только jc-координата расстояния. В формуле (2.4.1) штрафные функции Я введены для несвязанных соседних пор во избежание их перекрытия при релаксации в результате смещения связанных пор под действием потенциалов (2.4.2), и для каждой такой пары пор задаются в виде і -( г —г » J -DiJ-rx) e{DiJ+rx -оі) (2.4.3) где Dj j - минимально допустимое расстояние между порами, определяемое их объемами, 6(х) - единичная ступенчатая функция, g, гх - параметры штрафных функций, экспериментально подбираемые в процессе проведения релаксации. Реализация процедуры минимизации осуществляется по градиентному методу [77]: VG( )-VG( )V-VG( ). ls tr = VG( (5)) (2.4.3) Поскольку потенциалы и штрафные функции входят в (2.4.1) аддитивно, то члены выражений в (2.4.3) разбиваются на независимые суммы по потенциалам и штрафным функциям: VG( (")) VU{f s))V VG$s)) + VG{fs)) VH{f s))V VG$s)). (2.4.4) VG( (5)) Обозначим нештрихованными переменными компоненты радиус-векторов начальной точки канала, а штрихованными - конечной точки. Тогда для компонентов градиента функции (2.4.2) будем иметь
Математическая модель однокомпонентного массопереноса
Уравнения (3.1.2) модели представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, однако применение схем высокой точности типа Рунге-Кутта [77] оказывается здесь нецелесообразным, поскольку значения величин в правой части уравнений должны вычисляться из решения уравнений (3.1.4), аппроксимация которых (3.1.17) по времени имеет первый порядок. В рамках той же точности ограничимся здесь неявным вариантом метода Эйлера, в результате получим разностные уравнения в виде: j где t0 - шаг по времени, выбираемый так, чтобы изменения кинетических коэффициентов на интервале t0 были -малы [23]. Потоки j) в (3.1.26) могут быть аппроксимированы аналогично (3.1.19-24) и определяются теми же выражениями, но без индекса к. Наконец, для получения аппроксимации потоков Jt- в уравнениях (3.1.26) проинтегрируем уравнение (3.1.3) по граничной полуячейке (рис. 3.4), для определенности, взятой у точки t = 0, с преобразованием полных интегралов, как в (3.1.12): О \К 2 "і 1+ о С+ о \(Sn-Sn)dx+ \ Ji--J0)dt = - \ \n)t)j(x,t)dtdx, (3.1.27) о І І І и после аппроксимации интегралов аналогично (3.1.13) будем иметь h(snQ-snQ)+4(i-jQ) = - 4ol, (3.1.28)
Здесь, для упрощения формулировки уравнений, аппроксимации первого и последнего интегралов из (3.1.27) были взяты не по формуле средних, а по формуле правых прямоугольников. Это не изменяет порядок аппроксимации, но несколько снижает ее точность.
Применив далее в формуле (3.1.28) аппроксимацию (3.1.16), для потока в канал в начальной точке получим: J0= (mk+1-mk)-уnt0j0- (sh0-Sn0). (3.1.29)
Здесь второе и третье слагаемые в правой части обеспечивают, как обычно [77], второй порядок аппроксимации по шагу h. Заметим теперь, что поток относящийся к каналу, имеет знак, противоположный знаку потока Jtj из поры, тогда в обозначениях графовой модели запишем (3.1.29) в виде: toJy = {\nb - y toHyjyj, - {Syfivjb-Svnyjb), (3.1.30) Здесь использовано обозначение (3.1.18), индекс Ъ обозначает граничный узел сетки, а индекс пЪ - соседний с ним. Выражение (3.1.30) определяет потоки в уравнениях (3.1.26). Условиями сопряжения уравнений (3.1.17) и (3.1.26) являются требования непрерывности концентраций: %0= \N0=nj. (3-1.31) Совокупность уравнений (3.1.17,21-25,26,30,31) образует численную модель рассматриваемого процесса.
Разработанная модель существенно нелинейна и может быть решена применением итерационного алгоритма. Для его формулировки заметим, что уравнения (3.1.17,21-25) содержат по три неизвестных переменных 4 А-1 А+ь тогда как уравнения (3.1.26, 30, 31), помимо собственной переменной щ=Пугb, включают по одной переменной niJynb из каждого j-канала, соединенного с /-порой. Поэтому целесообразно разделить в итерационной процедуре решение указанных групп уравнений. В результате предлагаемый алгоритм состоит в последовательном повторении следующих процедур на каждом шаге по времени: 1) Для заданных значений niJynb, взятых с предыдущей итерации, / уравнение (3.1.26, 30, 31) содержит только одну неизвестную переменную и решается автономно. При использовании выражений (3.1.21-25) оно сводится к кубическому уравнению. 2) Найденные значения Я используются в уравнениях (3.1.31), которые в этом случае совместно с (3.1.26) образуют квазилинейную трехдиагональ-ную систему уравнений, решаемую последовательностью прогонок, однако ее сходимость требует исследования [23].
Рассмотрим алгоритмы, реализующие указанные процедуры. Проведем исследование алгоритма решения интегро-дифференциальной задачи для случая молекулярно-диффузионного переноса с постоянными геометрическими параметрами. Это соответствует пределу v » п, в котором значения которых известны при решении системы. Первый из этих коэффициентов безразмерный и характеризует степень стационарности процесса переноса газа вдоль канала. При q »1 режим переноса можно считать квазистационарным, что, в частности, исключает возможность использования явной схемы для решения задачи. Третий коэффициент имеет размерность концентрации и характеризует скорость процессов поглощения газа. Его значение равно концентрации, которая при постоянной скорости будет полностью поглощена стенками за время t0. Таким образом, этот параметр определяется шагом расчета и позволяет управлять свойствами схемы. Второй коэффициент является вспомогательным безразмерным геометрическим симплексом.
Данную нелинейную систему уравнений целесообразно решать итерационным методом. Нетрудно видеть, что первых три слагаемых в правой части уравнений образуют линейную трехдиагональную систему, эффективно решаемую прогонкой, тогда как нелинейность содержится в четвертом слагаемом. В связи с этим можно предложить два варианта метода простых итераций.
Алгоритм 1. В первом варианте нелинейное слагаемое переносится в правую часть уравнений, вычисляется по предыдущей итерации и присоединяется к свободному члену. При этом начальное итерационное значение берется с предыдущего временного слоя. В итоге будем иметь итерационную схему:
Блок генерации физических параметров системы
В предыдущих разделах была разработана имитационная модель переноса с поглощением в пористых средах. В ней, в частности, рассматривается нестационарный перенос вдоль порового канала, для расчета которого разработан итерационный алгоритм. Расчет в такой системе приводит к вычислительной задаче с большим числом степеней свободы, что затрудняет практическое применение модели. Вместе с тем, во многих реальных процессах, например, переноса газов, скорость переноса вдоль канала, имеющего микроскопические размеры, велика, что обеспечивает квазистационарный характер решения уравнения переноса. Это обстоятельство в таких процессах позволяет использовать метод квазистационарного приближения для моделирования переноса, и соответственно, существенного снижения числа степеней свободы численной модели.
С целью применения данного метода в модели переноса в пористой среде рассмотрим квазистационарный вариант уравнения (3.1.4) переноса вдоль порового канала: div(J) = -П(t)j(xj), (3.3.1) Уравнение (3.3.1) представляет собой дифференциальное уравнение по пространственной переменной и интегральное по времени. Поэтому при решении пространственной задачи переменную времени можно рассматривать как параметр. Проинтегрируем уравнение (3.3.1) по длине канала: X X \div(j)dx = -n(t)\j(x ,t)dxf, (3.3.2) о о Преобразуя полный интеграл в левой части, получим: Jx-JQ=-n(t)\j(xf,t)dxf, (3.3.3) Учитывая здесь выражение (3.1.7), будем иметь: Z-?H f Jо=n(t)Xjj(x ,t)dx , (3.3.4) где снова обозначено т = (v + n). Повторно интегрируя равенство (3.3.4) по всей длине канала, найдем, что L х -(mL-m0) + LJ0=n(t)\dx\j(x\t)dx , 2 0 0 или /0 = - + ШД К (3.3.5) Имея в виду получение аппроксимации первого порядка для потока, применим для стоящего здесь интеграла линейную аппроксимацию потока поглощения: j(x,t) = j(0,t) + [j(L,t)-j(0,t)l Тогда из (3.3.5) получим i/o = _«tzai + M)(2y.[Io] + j.[Bi])= (3.3.6) где в соответствии с (3.1.10) D0(T)} d ( , л. n0L(z ) Л dr 7[«oz] = fMiif 7 Q{T{r )) М „ -Т2Ц, (3.3.7) { na+n0MT) В результате сделанного приближения переменные канала исключаются из задачи, а (3.3.6) есть решение в квазистационарном приближении для переноса по каналу.
Предложенная аппроксимация, не содержащая переменных для каналов, согласно уравнению (3.3.6), делит поток поглощения в канале в фиксированной пропорции между связанными с ним порами. Более точная аппроксимация может быть получена, если использовать дополнительную переменную для канала, в качестве которой целесообразно выбрать концентрацию ntj в центре канала. Полагая затем в уравнении (3.3.3) х = L, что соответствует интегрированию по всей длине канала, то есть использованию интегрального уравнения баланса потоков, получим
В соответствии со сделанным приближением, заданы значения концентраций в начале канала п, в центре пу, и в конце nj. Тогда для профиля концентрации по длине канала можно записать параболическую аппроксимацию (начало координат выбрано в центре канала): х JL (х) = 2(пі+п1-2піЛ - +(/7,-/7,) UJ +«, (3.3.9) или аналогично в переменных т. т(х) = 2(щ+ті-2тіі){ ] и UJ +( ,- ) ї+ . (3.3.10) Эти выражения с использованием (3.1.9) позволяют определить потоки на концах канала в (3.3.8): L Jо-y ] и ОуЗту+щ-4ту L JT = — Z (3.3.11) а также т,+щ-2щ (3.3.12) JL-JQ=-2ail L-UQ—j — L Затем, интеграл в (3.3.8) по пространственной переменной может быть вычислен явно с использованием выражения (3.3.9), или аппроксимирован по методу средних. В первом варианте будут получаться достаточно сложные нелинейные выражения с логарифмами, однако их точность превышает точность всей аппроксимации в целом, поэтому целесообразно использовать второй вариант аппроксимации:
Равенства (3.3.12), (3.3.13) являются искомой квазистационарной аппроксимацией уравнения переноса по каналу с использованием переменной канала и представляют собой интегральное уравнение для определения концентрации щ- в канале. Выражения же (3.3.11) определяют потоки, используемые в уравнении для поры.
Рассмотрим предложенные варианты квазистационарной аппроксимации для построения модели переноса по поровой системе.
В первом варианте поток (3.3.6) далее должен быть использован в уравнении для поры (3.1.1): -А - „Ш]-х фы+ ]) ЗЛ15) j 2 Lu j Итерационная схема решения этого уравнения, как было показано в предыдущем разделе, строится путем выделения в левую часть всех слагаемых, содержащих переменную щ для данного узла. В результате для этой переменной получается кубическое уравнение, которое можно решать непосредственно или эффективными итерационными алгоритмами [77]. При этом на каждом шаге переменные остальных узлов (пор) берутся с предыдущей итерации.