Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Базовые вычислительные модели гидродинамических опор роторов и подходы к увеличению их точности 9
1.1 Математическая модель напорно-сдвигового течения тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости в канале переменной геометрии 9
1.2 Моделирование геометрии канала 12
1.3 Теоретические предпосылки адаптационных методов построения расчетных сеток 26
1.4 Адаптивный подход к определению свободных параметров аппроксимирующей функции в бессеточных методах 32
Основные выводы главы 36
Глава 2. Метод статистической адаптации и его применение в задачах аппроксимации явно заданных функций 39
2.1 Задача поиска статистически оптимального приближения в фиксированном множестве параметрических функций 40
2.2 Адаптивная аппроксимация в классе кусочно-постоянных функций 53
2.3 Адаптивная аппроксимация в классе кусочно-линейных функций 56
2.4 Адаптивное определение центров радиально-базисных приближений 64
Основные выводы главы 67
Глава 3. Адаптация параметров численного решения краевых задач математической физики 69
3.1 Оптимизация параметров численных методов решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений 70
3.2 Оптимизация параметров численных методов решения краевых задач в частных производных 76
3.3 Алгоритмические аспекты метода статистической адаптации 83
Основные выводы главы 87
Глава 4. Адаптивная вычислительная модель гидродинамической опоры роторов 90
4.1 Адаптивная вычислительная модель гидродинамической опоры с произвольным отклонением формы опорных поверхностей от идеальных 90
4.2 Вопросы построения обучающей выборки для метода статистически оптимальной аппроксимации 99
4.3 Описание программного комплекса по расчету полей давлений методами конечных разностей и коллокации на радиально-базисных функциях 104
Основные выводы главы 107
Заключение 110
Литература
- Моделирование геометрии канала
- Адаптивный подход к определению свободных параметров аппроксимирующей функции в бессеточных методах
- Адаптивная аппроксимация в классе кусочно-постоянных функций
- Вопросы построения обучающей выборки для метода статистически оптимальной аппроксимации
Введение к работе
Актуальность. Выполнение высокоточных вычислений характеристик напорно-сдвиговых течений в каналах переменной геометрии, возникающих при рассмотрении системы «ротор – опора скольжения», сопряжено с рядом трудностей как теоретического, так и практического характера. Численное исследование течения по каналу со сложной геометрией сред сложной реологии требует существенного увеличения порядка вычислительной модели, что приводит к увеличению ее «вычислительной стоимости» и снижению степени обусловленности. Возможным путем увеличения точности расчетов в таком случае является модификация вычислительной модели таким образом, чтобы установить значения ее свободных параметров адекватными решаемой краевой задаче; при этом желательно, чтобы такая модификация не приводила к необходимости существенного усложнения структуры вычислительной модели.
В настоящее время существует большое количество работ, посвященных разработке математических методов для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных с повышенной точностью, однако большинство таких методов либо требует дополнительной информации о свойствах решения, получение которой не всегда возможно, либо обладает недостаточной технологичностью, что затрудняет их массовое использование.
Чувствительность метода к параметрам задачи без априорного знания особенностей решения может быть достигнута путем включения в их структуру механизмов самоорганизации и адаптации. Включение процессов адаптации в структуру вычислительной модели позволяет добиться существенного увеличения точности без необходимости реструктуризации остальных частей модели. В частности, применение такого подхода для построения расчетной сетки в методах конечных разностей и элементов позволяет повысить точность численного решения без необходимости решения вспомогательных задач, сложность которых сопоставима или даже превосходит сложность исходной краевой задачи.
Работа выполнена в рамках выполнения проекта №9.101.2014 государственного задания «Гидродинамические эффекты в напорно-сдвиговых течениях сред сложной реологии в каналах переменной геометрии».
Цель исследования: разработка основанных на принципах самоорганизации и адаптации методов и алгоритмов оценки и повышения точности численного решения краевых задач, возникающих при математическом моделировании системы «ротор – гидродинамическая опора».
Для достижения сформулированной цели были поставлены и решены следующие задачи:
– предложить конструктивный способ количественной оценки степени необходимого для получения оптимального решения сгущения и разрежения расчетной сетки при решении краевой задачи на заданной расчетной области;
– разработать метод адаптивного увеличения точности вычислительных моделей, в основе которого лежат принципы самоорганизации;
– разработать математическую модель гидродинамической опоры с осевой подачей смазочного материала, в которой возможно наличие отклонений форм рабочих поверхностей от идеальных;
– провести вычислительный эксперимент по исследованию точности конечно-разностной модели многоклиновой гидродинамической опоры с осевой подачей смазочного материала на равномерной и адаптивной сетках;
– разработать программный комплекс по расчету полей давлений в гидродинамических опорах роторов с контролем точности по разработанному методу.
Объектом исследования являются математические и вычислительные модели гидродинамических опор роторов.
Предметом исследования являются методы и алгоритмы получения количественной оценки необходимости местного сгущения и разрежения расчетных сеток и их применение для увеличения точности получаемого численного решения краевых задач.
Методы исследования. В работе использованы методы математической физики и гидродинамической теории смазки, численные методы решения дифференциальных уравнений, методы статистического анализа и «мягких» вычислений.
Научная новизна и положения, выносимые на защиту:
-
Разработан новый метод построения расчетных сеток и выбора центров радиально-базисных функций, способный адаптироваться к свойствам решаемой краевой задачи и отличающийся высокой технологичностью и низкой «вычислительной стоимостью».
-
Построена математическая модель гидродинамической опоры роторов, в которой учтено наличие макро- и микронеровностей рабочих поверхностей и перекоса ротора.
-
На основе представленных методов и алгоритмов разработана адаптивная конечно-разностная модель многоклиновой гидродинамической опоры с осевой подачей смазочного материала, отличительной особенностью которой является способность подстраивать свои параметры под заданные геометрические и рабочие параметры и обеспечивать высокую точность расчетов, сохраняя при этом заданную размерность.
-
Получены результаты вычислительного эксперимента по сравнению точности адаптивной и неадаптивной конечно-разностных моделей гидродинамической опоры, подтверждающие увеличение точности разработанным мето-4
дом в 1,5-2 раза по сравнению с конечно-разностной моделью на равномерной расчетной сетке.
Практическая значимость. На основании выполненных исследований разработан комплекс программ для моделирования гидродинамических опор с возможной осевой подачей смазочного материала, позволяющий учесть геометрические отклонения формы рабочих поверхностей от идеальных и наличие особенностей формы канала. На основе предложенного метода разработана вычислительная модель, способная адаптироваться к заданным геометрическим и рабочим параметрам роторно-опорного узла и обеспечивать в 1,5-2 раза большую точность по сравнению со своими аналогами.
Результаты работы подтверждены актами о внедрении и свидетельством о государственной регистрации программы «Программа расчета поля давлений в цилиндрическом гидродинамическом подшипнике с использованием метода конечных разностей со статистически оптимизированной расчетной сеткой» для ЭВМ №2015610925. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 12 января 2015.
Соответствие специальности научных работников. Работа соответствует п. 3, 4, 5 паспорта специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
Степень достоверности и апробация работы. Обоснованность и достоверность научных результатов диссертационной работы обеспечивается построением математических моделей на основании фундаментальных законов сохранения вещества и энергии, а также на использовании строгих математических теорий и проведении формального доказательства выдвигаемых утверждений.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 работ, в том числе шесть в журналах из списка ВАК, получено 3 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.
Личный вклад соискателя. Все представленные в диссертационной работе результаты получены лично соискателем.
Структура и объем работы. Диссертация включает введение, четыре главы, выводы, заключение, библиографический список из 88 наименований публикаций отечественных и зарубежных авторов, приложения. Основная часть изложена на 111 страницах.
Моделирование геометрии канала
Входящая в уравнение функция зазора определяет подобласть пространства R2, в пределах которой определено решение уравнения 1.3, как область, соответствующая развертке внешней рабочей поверхности. Отметим, что при наличии макроотклонений геометрии рабочих поверхностей уравнение 1.3 сохраняет физический смысл, однако в случае наличия микронеровностей может нарушаться условие непрерывности скоростей на рабочих поверхностях и как следствие - условие прилипания жидкости к поверхности, что делает данное уравнение физически несостоятельным. Таким образом, при рейнольдсовом подходе к описанию течения тонкого слоя жидкости в канале переменной геометрии требуется наложить на функцию микронеровности дополнительные требования. Задачу определения поля давлений в опоре можно рассматривать как задачу решения краевой задачи относительно линейного уравнения в частных производных эллиптического типа с граничными условиями р(0, z) = p(27rR,z),p(x,0) = ратм,р(ж,0 = Ратм. Поставленные таким образом граничные условия соответствуют допущению Зоммерфельда, принятому в рамках теории смазки, о полном охвате смазочным слоем опорной поверхности.
Определение гидродинамических параметров течений в опоре гидромеханической системы требует построения геометрической модели канала, на основании которой можно сделать вывод о допустимости различных предположений относительно характеристик течения, в частности, допущения Рейнольдса, позволяющее в значительной мере упростить задачу определения характеристик течений, а также замкнуть систему уравнений математической модели опоры, в явном виде определив входящие в уравнения гидродинамики геометрические параметры. В работах, посвященных моделированию течений в опорах, разделяют опоры с идеальной и неидеальной геометрией. В моделях идеальной опоры рабочие поверхности ротора и опоры описываются в некотором ограниченном подпространстве пространства каноническими уравнениями аналитической геометрии для поверхностей не более чем второго порядка1. Отклонение геометрии опорных поверхностей от идеальной возникает в случае учета в модели особенностей технологического процесса обработки и износа поверхностей в процессе эксплуатации агрегата. В данном отношении разделяют макронеровности, приводящие к возникновению таких отклонений формы, как эллипсность, корсетность, бочкообразность, конусность, волнистость (поперечная и продольная) [43], и микронеровности (шероховатости), приводящие к нерегулярным и несимметричным отклонениям формы от идеальной. Наиболее исследованными на данный момент являются течения в каналах, образованных следующими комбинациями идеальных поверхностей ротора и опоры: - цилиндр-цилиндр [77] [81]; - конус-конус [53]; - цилиндр-конус [52].
Обладающие данной геометрией каналы исследовались на предмет выполненности в них основных допущений гидродинамической теории смазки. При этом рассматривались как модели, симметричные относительно оси опоры, так и несимметричные, получаемые путем параллельного переноса поверхности ротора в плоскости опоры, что характерно для моделей симметричного жесткого ротора. Вопросы поворота ротора в области опоры, играющие важную роль при рассмотрении моделей гибкого несимметричного ротора и ротора с распределенными параметрами, рассмотрены существенно меннее подробно. В работе [77] предложено описывать неидеальную рабочую поверхность как суперпозицию поверхностей, описывающих различные уровни отклонения от идеальности, что в терминологии зазора между ротором и опором описывается следующим выражением: %?, z) = Лид , z) + /імакро( , z) + /імикро( Л ). Данное описание вполне приемлемо при фиксированном взаимном положении рабочих поверхностей в выбранной системе координат, однако создает существенные сложности в том
В ряде работ, в частности, в работах [77], [43] и др. под каналом с идеальной геометрией понимают канал, образуемый двумя поверхностями второго порядка с согласованными геометрическими параметрами. В частности, канал конус-конус считается идеальным при одинаковых углах конусности поверхностей опоры и ротора. случае, когда одна или обе поверхности свободно перемещаются в координатном пространстве, поскольку соответствующее такому перемещению преобразование функции h( p, z) будет, вообще говоря, нелинейным. В этой связи оказывается целесообразным разработать методику, позволяющую описать в выбранной системе координат искомую геометрическую характеристику - функцию зазора h(x, z) для каналов, полученных совмещением идеальных и неидеальных поверхностей произвольного вида.
Рассмотрим образующие канал поверхности в цилиндрической системе координат, такой, что ось OZ совпадает с осью опоры. Пусть R( p,z) - функция условного радиуса опоры, то есть длина вектора в пространстве R2, перпендикулярного оси OZ и составляющего с осью OY угол, равный if. Приняв неизменность данной функции по времени, рассмотрим задачу определения геометрии канала в заданный момент времени как задачу отыскания функции r( p,z), описывающей положение поверхности ротора в заданной системе координат. Очевидно, что искомая функция зазора % , ) может быть определена какh{ fi,z) = R{ p,z)-r{ fi,z).
Наиболее удобно при описании поверхности ротора считать, что ось OZ проходит через его условную ось симметрии. Преобразование перемещения, действующее на данную поверхность, может быть представлено как композиция преобразований поворота относительно некоторой точки пространства и переноса на заданный вектор. При этом очевидно, что такое преобразование инвариантно относительно некоторых характеристик поверхности. В простейшем случае, когда поворот отсутствует и ротор имеет строго цилиндрическую форму, функция г не зависит от z и может быть получена из канонического уравнения окружности со смещенным центром:
Адаптивный подход к определению свободных параметров аппроксимирующей функции в бессеточных методах
Легко видеть связь между определенной выше случайной величиной и обобщенной ошибкой, а именно, мера вероятностного пространства случайной величины (р совпадает с нормированной обобщенной ошибкой.
Остается выяснить, обладает ли определенная таким образом мера искомой оценкой сложности выбора достаточно точной аппроксимации в заданном множестве функций. Для этого необходимо установить истинность следующего утверждения.
Теорема 1. Пусть замкнутое множество Q .-измеримо и относительно множества функций Р определена обобщенная ошибка ё с функцией ошибки е, причем ё равномерна наQ в смысле меры р,, т.е. Vs Є B(f2) : e(s) = ё( )-- щ. Тогда усредненная по Р накопленная на s С П ошибка аппроксимации ЕР ( Г e(x)dii) также зависит только от p(s), но не от выбора s.
Доказательство. Разобьем отрезок 0..єтах на п сегментов величины Ає и рассмотрим систему подмножеств Si множества s С Q, таких, что Si = {х Є s\e(x) Є [(і - 1)є; гє)}. Тогда Js edp ti iAe (si), если принять на каждом зг значение ошибки одинаковым и равным іАє, т.е. Ух Є вг : ё(х) = supx(=s.e(x). Следовательно, ЕР (I edp) Eti ЕР{іАєфг)) = Eti іАєЕр{фг)).
Приблизим теперь аналогичным образом внешний интеграл в определении обобщенной ошибки аппроксимации интегральной суммой и заметим, что при б = (і — 1)Ає множество se = В этом выражении единственным зависимым от s членом оказывается Ер{фі)). Но по условию теоремы обобщенная ошибка на s не зависит от выбора s, следовательно, Г=і iAeEP{ji{si)) также не зависит от выбора s. Но это и есть интегральная сумма, приближающая выражение ЕР ( Г e(x)du) - ч.тд.
Следствие: при случайном выборе аппроксимации г Є Т в случае равномерности распределения обобщенной ошибки в области s Є П математическое ожидание разницы ошибки аппроксимации при другом выборе г равна нулю. Иными словами, при равномерном распределении обобщенной ошибки статистически безразлично, какой вариант аппроксимации выбрать. Это дает основание предпочесть наиболее простой способ приближения - то есть в случае кусочно-линейной аппроксимации покрыть область Q минимальным количеством элементов.
Поскольку непосредственное вычисление обобщенной ошибки и разбиение области Q на участки, в которых распределение близко к равномерному, затруднительно, можно использовать ее связь со случайной величиной f и свести построение «статистически оптимальной аппроксимации» заданного порядка к следующей формулировке.
Задача 4 (О статистически оптимальной аппроксимации). Пусть (П,р) -метрическое пространство, точка f случайным образом выбирается из П согласно вероятностному распределению (2.6). Для заданного т выбрать такую схему кодирования случайной величины (р, которая минимизирует функционал ожидаемого искажения.
В зависимости от выбора метрического пространства и модели случайной величины возможны различные варианты функционала ожидаемого искажения. В случае, если входное пространство является векторным, стандартный функционал искажения имеет вид D = - [ p(x,x )de(x), где х - код сигнала х (предполагается, что кодер переводит величину в то же метрическое пространство), ё(х) - обобщенная ошибка аппроксимации. В случае необходимости учета дополнительных факторов, таких как шум вычислительных погрешностей, более предпочтительными оказываются другие формы функционала [9]. Необходимые условия оптимальности даются в обобщенном алгоритме Ллойда.
Решение задачи об оптимальном кодировании может быть, в частности, получено путем применения нейронной сети типа Кохонена, которая способна точно восстанавливать распределение вероятностей кодируемой величины [5; 16; 27]. В этом случае описанный в главе 1 нейросетевой подход к построению расчетной сетки можно считать частным случаем приведенного в данном разделе подхода в условиях предположения о равномерном распределении обобщенной ошибки аппроксимации на всей расчетной области.
Совокупность опорных точек кодера разбивают область П на непересекающиеся области таким образом, что в каждой подобласти обобщенная ошибка может считаться распределенной равномерно, причем условие оптимальности данной схемы кодирования гарантирует то, что любое другое разбиение только увеличивает искажение. Как было показано, каждую такую область можно аппроксимировать одним элементом - и такая аппроксимация будет в указанном смысле оптимальной.
Таким образом, равномерность разбиения в смысле обобщенной ошибки влечет за собой равномерность этого же разбиения в смысле усредненной по множеству аппроксимаций суммарной ошибки. Следовательно, обобщенная ошибка аппроксимации является определенной на П вероятностной мерой, дающей представление о сложности выбора достаточно точного приближения из наперед заданного множества допустимых аппроксимаций.
Однако не менее важным оказывается то, что ее строение определяет конструктивный способ получения выборки значений случайной величины, позволяющей оценить данную сложность на всей исследуемой области со. Взяв в качестве оператора усреднения Е оператор, порождающий формулу 2.4, и допустив перечислимость множества выбранных их счетного покрытия аппроксимаций, то есть существование алгоритма, порождающего соответствеующую последовательность аппроксимаций ТІ, получаем следующий алгоритм порождения выборки:
Адаптивная аппроксимация в классе кусочно-постоянных функций
Приняв в качестве критерия точности Ьг-норму разницы аппроксимирующей функции с конечно-разностной аппроксимацией, полученной на равномерной сетке 200 х 200 узлов, рассмотрим поведение ошибки аппроксимации для MQ-приближений, полученных на адаптированных сетках, тополгически эквивалентных прямоугольным сеткам из NxNузлов, и ошибки аппроксимации для MQ-приближений, полученных на соответствующей размерности равномерных сетках (рис. 3.4).
Рассматривая данный график, можно сделать вывод, что для мультиквад-ратичных функций с априори определенным и одинаковым для всех функций базиса коллокации значением свободного параметра существует предел точности аппроксимации, который в данном случае достигается при размерности базиса 900. В то же время статистическая адаптация позволяет достичь того же уровня точности уже при размерности базиса менее, чем 100. Подобный результат позволяет говорить об эффективности применения предложенного метода адаптации при поиске оптимального приближения в классе линейной оболочки мультиквадратичных функций.
Как и ранее, параметр ширины функции и предполагается априори заданным и одинаковым для всех функций базиса коллокации. Обучающая выборка и распределение центров для данного класса функций применительно к рассматриваемой краевой задаче показаны на рис. 3.5. В данном случае наблюдается та же тенденция в распределении обобщенной ошибки, однако плотность распределения не имеет минимума внутри расчетной области, как это было в случае с мультиквадратичными функциями. Соответствующие кривые ошибки показаны на рис. 3.5. Здесь наблюдается тот же эффект, что и для мультиквадратич-ных функций: наличие предела точности, в окрестности которого осциллирует ошибка приближения начиная с некоторого значения размерности. При этом статистическая оптимизация приводит к тому, что данный предел достигается уже при достаточно малых размерностях базиса коллокации.
Результаты проведенных вычислительных экспериментов позволяют утверждать, что предложенный метод позволяет существенно снизить размерность приближений на радиально-базисных функциях, что, учитывая тот факт, что для их получения приходится решать линейные системы с плотными матрицами, позволяет существенно расширить область применения такого рода приближений в задачах математической физики. 3.3 Алгоритмические аспекты метода статистической адаптации
В связи с тем, что предложеный метод определения свободных параметров аппроксимирующей функции имеет стохастическую природу, получение точных границ алгоритмической сложности построенных на его основе алгоритмов оказывается затруднительным. Действительно, размерность обучающей выборки, определяющей алгоритмическую сложность решения задачи оптимального кодирования, существенно зависит от свойств как аппроксимируемой функции, так и от свойств того класса функций, в рамках которого ищется приближение. При выборе образцов для сравнения с эталоном из генеральной совокупности и проверяемых порогов точности также присутствует определенный произвол, по крайней мере в том варианте алгоритма, который предложен в данной работе. Если количество элементов, выбираемых из генеральной совокупности аппроксимаций, обозначить за N, количество проверяемых значений порога - за М, а максимальное количество точек, проверяемых на принадлежность к обучающей выборке - за К, то максимальное количество требуемых операций вычисления значения аппроксимируемой функции составляет N х М х К. Это количество, однако, можно сократить, модифицировав алгоритм построения подвыборки относительно контрольной функции (р следующим образом:
Здесь предполагается, что верхний порог точности етах может быть завышен, а в том случае, если для некоторого порога точности ет и некоторой аппроксимирующей функции (р множество точек, для которых е(р(х), р(х)) ет пусто при достаточно большом случайном множестве тестовых точек, то для всех є ет построенное аналогичным образом подмножество обучающей выборки либо тоже пусто, либо не вносит существенных изменений в статистические характеристики обучающей выборки. Как показывают результаты вычислительных экспериментов, такие допущения являются оправданными и позволяют более грубо определять границы значимого интервала точности. Приведенная модификация исключает также из рассмотрения такие пороги точности, при которых не отсеивается ни одной точки из предложенных к рассмотрению. Это позволяет рассматривать случай, когда полученная полученная обучающая выборка не содержит статистически значимого количества точек, как следствие того, что обобщенная ошибка распределена равномерно - что, в свою очередь, предполагает оправданность «тривиального» подхода к определению свободных параметров аппроксиматора.
Второй алгоритмический аспект, существенный при рассмотрении предложенного алгоритма, заключается в его неограниченном ресурсе параллелизма. Действительно, если предположить, что на момент исполнения алгоритма все предназначенные для сравнения аппроксимирующие функции построены, то каждая из N х М х К операций является независимой и может быть выполнена параллельно с остальными при условии, что добавление продуцируемых точек в результирующее множество (обучающую выборку) может выполняться любым активным вычислительным процессом независимо от остальных. Для оценки практической возможности увеличить быстродействие алгоритма статистической адаптации за счет параллельного исполнения определенных его ветвей была проведена серия вычислительных экспериментов с использованием гибридной вычислительной системы, включающей в себя вычислительные узлы на базе одно- и многоядерных процессоров общего назначения с различной производительностью, объединенных в единую вычислительную сеть на базе технологии Ethernet в различной пропускной способностью связывающих вычислительные узлы телекоммуникационных каналов. Топология вычислительной сети представлена на рис. 3.6, характеристики вычислительных узлов и параметры вычислительных экспериментов приведены в таблицах 5 и 6 соответственно. В качестве замеряемой величины бралось время на генерацию полной обучающей выборки при решении краевой задачи относительно уравнения Пуассона 3.2, 3.4 методом коллокации в базисе мультиквадратичных функций.
Вопросы построения обучающей выборки для метода статистически оптимальной аппроксимации
Рассмотрим теперь ограничения применимости описанного метода. Базовым допущением при его выводе была возможность осреднения по множеству реализуемых аппроксимаций. Данное допущение оказывается вполне естественным в тех случаях, когда отсутствуют достаточные основания предполагать, что некоторые из допустимых способов аппроксимации более рациональны, чем другие. Данный факт можно было бы учесть путем замены оператора равномерного усреднения на оператор «взвешенного» усреднения, в котором каждой допустимой аппроксимации р ставится в однозначное соответствие некоторая величина (р), такая, что Jp (p)dfi(p) = 1. Однако на практике такие предпочтения, если они присутствуют, оказываются слабо формализованы и построения соответствующей функции становится затруднительно. Более реалистичным подходом может служить сужение множества допустимых аппроксимаций до некоторого доверенного множества Ро С Р и поиск оптимального приближения с использованием описанного метода. Представляется возможным также итерационный аналитически-эмпирический подход, заключающийся в последователь ном построении обучающей выборки, проведении ее статистического анализа, сужении множества допустимых аппроксимаций до некоторого подмножества, которое по результатам анализа представляется наиболее перспективным и повторении перечисленных шагов до получения приемлемого результата. В случае, если данную итерационную процедуру удастся сформулировать в виде некоторого алгоритма, исключив из процесса человека-исследователя, то в соответствии с введенной в главе 1 терминологией такая процедура будет адаптивной в смысле симметричной задачи адаптации, в рамках которой изменение целевой функции будет достигаться путем решения асимметричной задачи адаптации (реализации метода статистической аппроксимации).
Описанная в предыдущих разделах модель обобщена на случай наличия нелинейности, вызванной существованием зависимости плотности и вязкости от давления (в качестве метода решения полученной нелинейной алгебраической системы используется метод Ньютона) и реализована в виде программного комплекса. В задачи комплекса входит выполнение следующих задач: - программное определение функции радиального зазора, допускается использование предопределенных шаблонов; - программное определение функциональных зависимостей параметров плотности р и вязкости /І от давления и определенных в исполняемой среде переменных; - задание размерности N эталонной аппроксимации; - расчет поля давлений в опоре методом конечных разностей по адаптивной расчетной сетке; - расчет поля давлений в опоре методом коллокации на радиально-базисных функциях с адаптивным выбором центров; - графическое отображение обучающей выборки и поля давлений в опоре; - экспорт сеточной функции поля давлений в текстовом формате.
Функциональное ядро программного комплекса реализовано на языке программирования Julia v0.4, исполняемая среда Julia v0.4 встроена в ядро и связана с другими модулями через специально разработанный объектно-ориентированный интерфейс. Геометрические и рабочие параметры задаются в виде констант языка Julia, либо в виде функций данного языка программирования. Для вывод графики используется внешняя программа gnuplot. Интерфейсная часть реализована на языке C++ с использованием платформы Qt. Основное окно программы показано на рис. 4.8.
С функциональной точки зрения программный комплекс представляет собой среду для проблемно-ориентированного программирования на Matlab-подобном открытом языке Julia (рис. 4.9), предоставляющая пользователю удобный интерфейс для формирования программ расчета полей давлений в гидродинамических опорах роторов методом конечных разностей с оптимизацией расчетной сетки по методу статистической адаптации. В состав комплекса входит набор библиотек языка, содержащих определение базовых функций и констант для описания геометрических и рабочих характеристик опоры. Модули организованы в следующее дерево: – corsetryMacronoise(Rl,Rc, Rr,vL,dx,dy,A = eye(3)) – функция описания поверхности с деффектом типа «бочкообразность». Аргументы: Радиус левого торца Rl, правого торца Rr, радиус Rc и положение vL точки минимального изгиба; – micronoise(f, n) – функция наложения микронеровности. Аргументы: функция, описывающая «идеальную» поверхность f, периодичная на отрезке [0;2] функция n, описывающая микронеровности поверхности; Использование: using Defectiveness Модули свойств смазочного материала, экспортирующие используемые при расчете зависимости плотности и вязкости от давления. Зависимости взяты из работы [77]. – Вода. Использование: using WaterLubr – Масло. Использование: using OilLubr – Фреон. Использование: using FreonLubr
Программный комплекс позволяет выполнять расчет поля давлений в опоре на вычислительной машине пользователя, либо экспортировать полученную программу для последующего запуска на вычислительном кластере. Для вывода результатов в графическом формате используется вызов программы gnuplot. Основным отличием данного программного комплекса от аналогов, представленных в работах [67;77;81] и др., помимо использования адаптивной модели, заключается в возможности сохранения полученной программы расчета в виде отдельного расчетного модуля языка Julia, причем не обязательно замкнутого, который можно использовать для проведения серий вычислительных экспериментов в пакетном режиме, а также для моделирования динамики ротора на данном типе опоры.
Разработанная адаптивная вычислительная модель гидродинамической опоры роторов имеет по сравнению с традиционными то преимущество, что она, с одной стороны, обладает существенно большей точностью при сохранении структурной простоты, и, с другой стороны, позволяет исследовать опоры, имеющие произвольные отклонения формы рабочих поверхностей в направлении, нормальном к их развертке. Наличие последнего свойства хорошо иллюстрируют приведенные кривые интегральной квадратической ошибки численного решения. Адаптивная вычислительная модель продемонстрировала способность самостоятельно находить адекватное положение сеточных линий, размещая их в области раздела клиньев даже в том случае, когда размерность вычислительной модели не кратно количеству клиньев. Это позволяет рассматривать многоклиновую опору в общем контексте, не заостряя внимание исследователя на особых требованиях, которым должна удовлетворять ее вычислительная модель, что является необходимым при классическом подходе. Аналогичным образом оказывается возможным рассмотрение опор, имеющих макро- и микродеффекты и сложный профиль поверхности, не изменяя и отдельно не исследуя особенности их вычислительных моделей.
Разработанный программный комплекс обладает той ценностью, что позволяет исследовать различные виды гидродинамических опор роторов, определяя в каждом конкретном случае только те величины, которые специфичны для исследуемого типа опор, в частности, вид функции радиального зазора, функцию изменения диаметров опоры и ротора. Комплекс предоставляет исследователю набор функций, позволяющих описывать геометрические особенности опоры в удобной форме. В частности, добавление в модель учета наличия макронеровности типа «бочкообразность» и микронеровности поверхности опоры в виде синусоидального возмущения амплитуды 1 мкм с частотой 20 Гц в радиальном направлении осуществляется путем следующего программного определения модуля «Функция поверхности опоры»: