Стохастические методы анализа рынка заимствований Светлов Кирилл Владимирович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Математическое моделирование ряда показателей, характеризующих рынок заимствований 15

1.1 Моделирование динамики процентных ставок корпоративных облигаций и государственных долговых обязательств 15

1.1.1 Понятие облигации 15

1.1.2 Временная структура процентных ставок 17

1.1.3 Разновидности моделей временной структуры процентных ставок 21

1.1.4 Модель Васичека динамики бескупонных облигаций 26

1.2 Оценивание параметров, характеризующих модель Васичека 30

1.2.1 Введение 30

1.2.2 Выражение для интегральной волатильности в модели Васичека 32

1.2.3 Дискретное приближение для процесса мгновенной процентной ставки 33

1.2.4 Оценивание параметров 35

1.2.5 Пример оценки накопленной волатильности для облигаций 37

1.2.6 Заключение

1.3 Модель динамики NPV предприятий 41

1.4 Проверка адекватности моделирования динамических характеристик в финансовой сфере процессом геометрического броуновского движения 43

Глава 2. Стохастические методы анализа стоимости кредитования инвестиционных проектов 54

2.1 Модель оценки стоимости кредитования инвестиционных проектов 54

2.1.1 Введение з

2.1.2 Постановка задачи 56

2.1.3 Вывод основных соотношений 58

2.1.4 Интерпретация уравнения для нахождения величины кредитной премии 62

2.1.5 Существование и единственность решения задачи о нахождении кредитной премии 63

2.1.6 Анализ полученного решения 64

2.1.7 Методы верификации модели определения ставки кредитования

2.2 Безарбитражность стоимости платежного обязательства 77

2.3 Возможные модификации представленной модели

2.3.1 Альтернативный выбор платежной функции кредитного соглашения 78

2.3.2 Оценка стоимости кредитования проектов с учетом возможности их дефолта в течение периода кредитования 80

2.4 Эффект диверсификации при совместном кредитовании нескольких проектов 82

2.4.1 Дополнительный математический аппарат, необходимый для исследования влияния коррелированости базовых

активов на стоимость кредитования проектов 87

2.5 Результаты численных расчетов и выводы 97

Глава 3. Специфика управления портфелем ценных бумаг, составленным из государственных и корпоративных облигаций 102

3.1 Построение управления портфелем 105

3.2 Управление портфелем и модели цены актива 110

3.3 Построение функции управления для портфеля облигаций 117

Заключение 120

Список литературы 122

Список рисунков

• Разновидности моделей временной структуры процентных ставок
• Пример оценки накопленной волатильности для облигаций
• Интерпретация уравнения для нахождения величины кредитной премии
• Управление портфелем и модели цены актива

Введение к работе

Актуальность темы. В последние десятилетия финансовый мир в результате протекающих процессов глобализации в значительной степени усложнился и стал более структурированным. Вместе с тем возникла потребность в точной оценке возникающих рисков и построению моделей ценообразования, не допускающих появления арбитражных возможностей. Именно стохастическая финансовая математика, опирающаяся на широкий класс математических дисциплин, предоставила инструменты для решения подобных, зачастую нетривиальных задач, возникающих, в том числе и при работе с инструментами рынка заимствований. К числу подобных задач относятся задачи, исследуемые в представленной работе: определение стоимости кредитования высокорискованных инвестиционных проектов, а также управление портфелем корпоративных или государственных облигаций.

Степень разработанности направления исследования. Историю стохастических методов в финансах принято отсчитывать начиная с 1900 г., с появления работы французского математика Луи Башелье. Именно он впервые использовал применительно к экономике процесс арифметического броуновского движения. В дальнейшем данная идея была развита в работе Самуэльсона 1965 года посвященной ценообразованию финансового инструмента под названием «варрант». Указанная работа содержала в себе основные элементы современной теории стохастической математики: процесс геометрического броуновского движения и идею отсутствия арбитражных возможностей при определении цены. Немного позже вышли работы Роберта Мертона, а также Блэка и Шоулза, ставшие фундаментальными в теории стохастических финансов. Российская школа стохастических финансов представлена прежде всего работами А.Н. Ширяева. Одним из первых, кто использовал диффузионные процессы для описания динамики стоимости компании был Р. Мертон. В своей работе 1974 года им была продемонстрированная принципиальная возможность использования методов, первоначально изложенных в статье Блэка и Шоулза 1973 года, в оценивании стоимости корпоративных облигаций. В дальнейшем его работа была обобщена в различных направлениях: в работе Ф. Блэка и Д. Кокса 1976 года ценообразование облигаций осуществляется с учетом ковенантных требований, C. Тернбул в работе 1979 года учитывает наличие налогов и возникающих при банкротстве эмитента издержек. В работе Ф. Лонгстафа и Э. Шварца 1995 года безрисковая доходность предполагается заданной в виде процесса «квадратного корня» (square root process). Также интерес представляет работа Х. Лиланда и К. Тофта в которой факт банкротства компании определяется эндогенно. Развитие моделей оценки стоимости облигаций послужило толчком к развитию моделей определения кредитных рисков и вероятностей дефолта. Так, модель Мертона послужила основой для разработки модели KMV, используемой рейтинговым агентством Moody’s. Отметим, что использование непрерывных диффузионных процессов в моделирование стоимости компаний также применяется в работах Д. Даффи, в монографии Р. Диксита и Р. Пиндайка.

Обращаясь ко второму вопросу, исследованному в представленной работе - управлению портфелем корпоративных облигаций, отметим, что модели управления портфелем ценных бумаг, в том числе облигаций, являются одним из наиболее популярных направлений воз-3

можного применения стохастических методов в финансах. Распространенным предположением при построении управления портфелем является то, что управление осуществляется в рамках стратегии самофинансирования. В частности, такой подход освещается в работах К. Бэка и С. Плиски, И. Каратзаса, С. Шрива. Смысл данного подхода заключается в том, что изменение стоимости портфеля происходит только за счет изменения стоимости входящих в него активов и изменения структуры самого портфеля. Иными словами, приобретение того или иного актива происходит за счет высвободившихся средств, полученных от продажи некоторого другого актива, входящего в портфель активов. Альтернативой данному подходу является стратегия, при которой приобретение активов осуществляется как за счет высвободившихся средств, полученных от продажи некоторого количества бумаг, так и за счет внешнего потока средств, осваиваемого системой управления портфелем. Указанная стратегия, именуемая «подходом, альтернативным стратегии самофинансирования», была впервые изложена С.А. Вавиловым, а затем получила дальнейшее развитие в совместных работах С.А. Вавилова и К.Ю. Ермоленко.

Цель и задачи исследования. Целью данной работы является разработка экономико-математических методов и моделей, связанных с инструментами, существующими на рынке заимствований - облигациями и кредитными займами. В части, относящейся к кредитным займам, ставится задача разработки модели определения ставки кредитования инвестиционных проектов в рамках классической теории безарбитражного ценообразования. В части, связанной с рынком облигаций целью работы является построение управления портфелем облигаций в рамках подхода, альтернативного стратегии самофинансирования.

Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие основные задачи:

1. Разработана модель определения ставки кредитования инвестиционных проектов, обладающих высоким уровнем риска.

2. Проведен анализ построенной модели, доказано существование и единственность результатов модели при заданных входных параметрах, определена адекватность зависимости результатов от входных параметров.

3. Предложены методы верификации модели для ее практической реализации в деятельности кредитных организаций.

4. Разработаны обобщения модели, способные учесть такие факторы как издержки банкротства компании-заемщика, а также наличие дополнительных условий, кредитования, состоящих в задании нижней границы для капитала компании.

5. Исследовано наличие эффекта диверсификации при определении ставки кредитования связанных проектов в рамках построенной модели. Решена задачу определения степени влияния корреляции проектов на итоговое значение процентной ставки.

6. Разработаны программные реализации изложенных моделей в системе компьютерной алгебры Wolfram Mathematica.

7. Построено управление портфелем облигаций в рамках стратегии, альтернативной самофинансированию, учитывающее специфику облигаций как финансового ин-4

струмента. Разработана процедура оценивания параметра накопленной волатиль-ности для реализации управления портфелем.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются инструменты, существующие на рынке заимствований – кредитные займы и облигации. Предметом исследования выступает подход к определению ставок кредитования инвестиционных проектов, а также подход к управлению портфелем корпоративных и государственных облигаций.

Методологическая и теоретическая база исследования. Методологической базой диссертационного исследования является математический аппарат, включающий в себя:

8. аппарат теории случайных процессов

9. теорию стохастических дифференциальных уравнений

10. технику решения смешанных задач для параболических уравнений

11. теорию решения некорректных задач.

В качестве теоретической базы исследования выступают монографии, пособия и публикации отечественных и зарубежных ученых по таким областям научного знания как стохастическая финансовая математика, теория случайных процессов, эконометрические методы и методы алгоритмизации.

Инструментальная поддержка перечисленных методов заключается в использовании системы компьютерной алгебры Wolfram Mathematica, а также программной среды R.

Научная новизна работы заключается в следующих выносимых на защиту результатах диссертации:

12. Разработана модель определения ставок кредитования инвестиционных проектов в зависимости от уровня риска, связанного с невозвратом долга или процентов по нему. Новизна модели состоит в том, что определение ставки кредитования производится с использованием методов стохастической финансовой математики, ранее применявшихся к определению стоимости корпоративных облигаций и различных производных финансовых инструментов. Вопрос определения стоимости кредитных займов с указанных позиций приводит к рассмотрению задачи, обратной той, что была рассмотрена Мертоном в работе 1974 г.

13. Аналитически изучена зависимость результатов определения ставки кредитования от входных параметров модели. Продемонстрировано, каким образом модель зависит от заданных параметров, насколько чувствительны результаты модели к задаваемым значениям входных параметров.

14. Предложены методы верификации модели определения ставки кредитования, рассмотрены способы ее калибровки.

15. Разработаны обобщения базовой модели определения ставки кредитования. Указанные обобщения позволяют учесть такие факторы, как издержки, возникающие при банкротстве заемщика, а также возможные ковенантные условия в процессе реализации инвестиционного проекта.

5. Исследован эффект диверсификации, возникающий при совместном кредитовании связанных проектов, принадлежащих одному собственнику, и состоящий в снижении ставки кредитования по сравнению с раздельным кредитованием проектов. В рамках указанной модели решена задача определения влияния коэффициента корреляции между стоимостями проектов на итоговое значение процентной ставки. Решение указанной задачи потребовало доказательства интегрального тождества для определенного класса параболических уравнений. Указанное тождество имеет широкие возможности для применения в «обратных» задачах теории безарбитражного ценообразования финансовых инструментов.

6. Разработано приложение в среде Wolfram Mathematica, позволяющее находить значения процентной ставки в зависимости от задаваемых параметров.

7. Построена модель управления портфелем облигаций в рамках похода, альтернативного стратегии самофинансирования. Новизна указанной модели состоит в том, что в ней допускается зависимость волатильности актива от его стоимости. Указанная зависимость имеет принципиальное значение для облигаций, поскольку ввиду наличия у облигаций определенной даты погашения, применение стандартных моделей для построения их управления не является корректным.

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечиваются корректным использованием методов стохастической финансовой математики при построении моделей. Расчеты в рамках разработанных моделей проделаны при помощи системы компьютерной алгебры, и полученные результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость исследования заключается в разработке новых методов определения ставки кредитования, в зависимости от оценки кредитного риска, присущего финансируемому проекту. Также разработано обобщение подхода к управлению портфелем облигаций в рамках стратегии, альтернативной самофинансированию, позволяющее использовать в качестве модели актива непрерывные случайные процессы, отличные от геометрического броуновского движения. Практическая значимость работы обусловлена тем, что полученные в ней результаты составляют основу возможных экономических приложений, связанных с кредитованием высокорискованных в плане потенциальных инвестиций проектов, а также приложений, связанных с управлением портфелем государственных и корпоративных облигаций, обращающихся на рынке. Изложенная модель определения ставки кредитования может применяться в коммерческих банках для определения маржи за кредитный риск при размещении средств в проектах, обладающих высокой степенью риска.

Соответствие диссертации Паспорту научной специальности. Диссертация и научные результаты, выносимые на защиту, соответствуют соответствует следующим пунктам паспорта специальности 08.00.13:

– 1.6. «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов» - соответствуют пункты 1, 2, 4, 5 научных результатов.

– 2.3. «Разработка систем поддержки принятия решений для рационализации организационных структур и оптимизации управления экономикой навсех уровнях» - пункты 3, 6 научных результатов.

Апробация работы и реализация результатов исследования. Основные результаты работы докладывались на:

1. XVII международной конференции молодых ученых-экономистов «Предпринимательство и реформы в России» (2011 г., СПб.).

2. Весенней конференции молодых ученых-экономистов «Интеграционные процессы: влияние на экономическое развитие» (2013 г., СПб.).

3. Международной осенней конференции молодых ученых-экономистов «Предпринимательство и реформы в России» (2013 г., СПб.).

4. II международной научно-практической конференции, посвященной 75-летию экономического факультета Санкт-Петербургского государственного университета (2015 г., СПб.).

Внедрение результатов. Основные результаты диссертационной работы, касающиеся определения ставки кредитования в зависимости от оценки рисков размещения средств, приняты к сведению в Дирекции Казначейство ПАО ”Банк ”Санкт-Петербург”.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 9 печатных изданиях [–], 5 изкоторых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [–] (из них 3 работы [–] написаны без соавторов), 4 — в тезисах докладов [–].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Полный объем диссертации составляет 143 страницы с 43 рисунками и 11 таблицами. Список литературы содержит 73 наименования.

Разновидности моделей временной структуры процентных ставок

Облигация – это долговой инструмент, обязывающий эмитента в течении установленного промежутка времени выплатить кредитору (инвестору) взятую в займы сумму плюс некоторый заранее оговоренный процент [21;22]. Номинальная стоимость облигации – это сумма, которую эмитент обязуется выплатить держателю облигации в день ее погашения. Помимо возврата заемщику номинала, у облигации могут быть предусмотрены так называемые купонные выплаты.

В данной работе нами будут рассматриваться прежде всего бескупонные (дисконтные) облигации – по этой разновидности финансовых инструментов в момент погашения инвестор получает номинальную стоимость ценной бумаги, а в течение ее жизни какие-либо выплаты отсутствуют. Привлекательность этой разновидности облигаций обеспечивается «дисконтом»: при размещении ее стоимость не превосходит ее номинала, обеспечивая таким образом инвестору положительный прирост капитала, реализуемый путем удерживания облигации до даты погашения.

В случае, если инвестор держит облигации у себя до погашения, то они приносят ему фиксированный доход и в этом смысле могут рассматриваться как безрисковые (в смысле отсутствия процентного риска при отсутствии спекулятивного интереса к облигации). Тем не менее, существуют разновидности риска, которые свойственны облигациям и в этом случае [23]. Приведем некоторые из них: - риск инфляции, который определяется возможностями изменения покупательной способности капитала, выручаемого при погашении или при продаже облигаций. - риск неплатежа (кредитный риск), определяемый как риск невыполнения эмитентом взятых на себя при выпуске облигации обязательств. - риск изменения процентных ставок (рыночный риск), которому наиболее подвержены долгосрочные облигации.

Относительно стоимости, по которой облигация размещается на рыке возможны следующие соображения [24]: с позиции инвестора приобретение облигации связано с обменом денег настоящего периода на поток будущих доходов, следовательно цена покупки облигации не должна быть больше настоящей стоимости потока этих доходов; с позиции эмитента ситуация выглядит обратным образом и следовательно, цена не должна быть меньше настоящей стоимости выплат, которые он обязуется произвести. Поток инвестиций в дисконтную облигацию номиналом одна единица для покупателя выглядит так: Z = (-Р, 0,0,..., 0,1), т где Т - срок до погашения, а Р - цена, по которой облигация размещена на рынке. Следовательно при норме доходности і для инвестора должно выполняться неравенство обеспечивающее неотрицательность чистой приведенной стоимости денежного потока, связанного с размещением средств в рассматриваемую бескупонную облигацию. Для продавца облигации справедливо аналогичное неравенство, но с противоположным знаком. Таким образом, если инвестор и эмитент используют одинаковую расчетную ставку, то минимальная цена, по которой эмитент готов продать облигацию совпадет с максимальной ценой, которую готов заплатить за нее покупатель. В противном случае, данная облигация будет недооцененной или же переоцененной рынком, что выразится в изменении соотношений между объемом спроса и предложения и в конечном счете приведет к корректировке цены посредством механизмов рыночного равновесия. При этом цена облигации и ставка, по которой приводятся денежные потоки имеют противоположную зависимость: при увеличении i стоимость облигации уменьшается, при уменьшении нормы доходности оценка для стоимости облигации увеличивается.

В течение периода между выпуском облигации и ее погашением цена облигации подвержена изменениям. Цена бескупонной облигации будет постепенно увеличиваться и приближаться к своему номиналу (возможно, совершая при этом колебания), снижая таким образом величину «дисконта».

Как было продемонстрировано в предыдущем разделе, цена бескупонной облигации явным образом определяется некоторым показателем доходности. Более того, возможно определить ряд моделей [6] процентных ставок, связанных с рынком облигаций, для чего для чего рассмотрим бескупонную облигацию номиналом единица с моментом погашения Т. Ее стоимость на промежутке времени [0; Т] будем обозначать как B(t,T), t Т. Поскольку рассматриваемая облигация является бескупонной, то выполняется равенство В(Т,Т) = 1.

Пример оценки накопленной волатильности для облигаций

Вопросы инвестиционного кредитования перспективных с точки зрения инвестора проектов представляют особую важность для развития всей экономики. Данное обстоятельство связано, прежде всего, с бурным развитием инновационных технологий, что, как следствие, привело к повышенной неопределенности относительно прибыльности соответствующих инвестиций. С другой стороны, в случае успешного развития бизнеса, материальная отдача от таких проектов может существенно превосходить доходность от инвестирования в традиционные отрасли промышленности, обеспечивающего минимальные риски невозврата капитала. Не удивительно, что данной проблематике посвящена обширная литература. Не претендуя на полноту обзора, остановимся лишь на некоторых аспектах приводимых исследований.

В работе [45] проанализировано более 200 примеров использования заемного капитала с позиции проблемы «агент-принципал» и даны ответы по вопросам, касающимся определения прав на денежные потоки в компании, участия в распределении голосов, возможности ликвидации фирмы при наступлении неблагоприятных сценариев. Указывается, что в большинстве случаев право голоса распределяется так, чтобы кредитор смог получить полный контроль над фирмой в случае, если результаты ее деятельности окажутся неудовлетворительными. Кроме того, в статье дается обширная статистика по анализируемым компаниям. В работе [46] авторами рассматривается связь между стратегией развития компании и условиями, на которых осуществляется ее финансирование. С помощью соответствующей эконометрической модели доказывается, что стоимость капитала для компаний с инновационными продуктами, способными сформировать новый рынок, ниже, поскольку они имеют потенциально большие возможности для развития.

Моделирование типичных действий инвесторов при финансировании молодых компаний представлено в работе [47]. Также в ней рассматриваются возможные критерии определения целесообразности подобного финансирования. В работах [48;49] изучаются вопросы распределения прав собственности и будущих доходов между предпринимателем и инвестором, в зависимости от доли их участия в начальном капитале и формы партнерства, в рамках которой функционирует компания. В [50] исследуется вопрос об оптимальной структуре финансирования компании, при условии, что инвестор, предоставляя собственные средства, получает некоторый объем прав собственностинакомпаниюиимеет возможность в дальнейшем отказаться от услуг предпринимателя. Работа [51] демонстрирует возможность применения аппарата теории игр к определению оптимального размера привлекаемых средств, при условии, что заданы функции полезности как инвестора, так и менеджера, управляющего компанией.

В работах [9; 52; 53] используются стохастические методы для анализа компаний с привлеченными заемными средствами. В работе [52] используется геометрическое броуновское движение для моделирования денежных потоков и оценки стоимости R&D проектов. Проблемы финансирования проектов R&D (в частности, проектов связанных с биотехнологиями) при помощи инвестиционного кредитования рассматриваются также в [54; 55]. В работе [53] рассмотрена стохастическая модель совместного предприятия, образованного тремя фирмами с целью максимизации прибыли за счет взаимной передачи технологий. Авторы используют стохастическое дифференциальное уравнение с винеровским процессом как модель динамики «технологии» компании.

В ситуации, когда фирма нуждается в дополнительном финансировании, существует два принципиальных способа решении данной задачи [56] привлечение заемных средств, либо же увеличение размера собственных средств. Первый вариант осуществляется как правило при помощи либо выпуска облигаций, либо получения кредита в той или иной форме. Второй вариант происходит при помощи предоставления собственниками фирмы дополнительного капитала, либо же путем эмиссии акций, как обыкновенных, так и привилегированных. Настоящая глава посвящена частному вопросу инвестирования в проекты, а именно, пробле 56 ме оценки стоимости их кредитования, когда кредитор не принимает непосредственного участия в управлении проектом, а лишь только отслеживает выполнение взятых на себя заемщиком обязательств. Вопрос о стоимости заимствований в этом случае рассматривается с позиции кредитора на основе метода «реплицирующего портфеля» («replicating portfolio») [6; 9], восходящего к классической работе Блэка-Шоулза [4]. В представленной модели не предполагается хеджирование проекта со стороны заемщика, при этом рассматриваются лишь несколько возможных функций выплат, предусматриваемых кредитным договором.

Рассмотрим компанию, желающую получить кредит в размере / на промежуток времени длиной Т лет, с целью развития собственного бизнеса. Предполагается, что величина капитала xt, вложенного в проект, меняется в соответствии со стохастическим дифференциальным уравнением dxt =ctxtdt + axtdWt, x0 = I + V0 (2.1) где ct = c(t,u) - случайная функция времени, а 0 - предполагаемый постоянным коэффициент волатильности, Wt - стандартный винеровский процесс. Обоснование того, что в качестве динамики капитала компании можно выбрать модель геометрического броуновского движения, представлено в параграфе 1.3 главы 1 настоящей работы. На начальный момент времени капитал компании х0 будет состоять из собственных средств заемщика (V0) и привлеченных заемных средств (/). Также предполагается, что на всем промежутке времени [0,Т] у кредитора имеется возможность занимать и размещать собственные средства по фиксированной безрисковой процентной ставке г.

С учетом специфики бизнеса, а также характеристик выдаваемого кредита, устанавливаются следующие условия возврата выданных денежных средств:

Если величина капитала фирмы хт в терминальный момент времени Т превышает величину полученного кредита / плюс некоторую премию S, то кредитор получает в / + 6, а компании достаются оставшиеся после выплаты средства величиной хT - (I + 6). - Если же капитала хT на момент Т возврата кредита недостаточно для того, чтобы расплатиться с кредитором, то бизнес полностью переходит в собственность кредитора. Иными словами, в денежном выражении кредитор получает хT у.е., а заемщик не получает ничего. Данные условия выплат удобно записать в виде таблицы (2.1): сумма денег, начисленная за использование кредита к моменту времени Т, представляющая изначально неизвестную величину. Указанная функция выплат предусматривает, что в случае невыполнения своих кредитных обязательств (возврат суммы кредита вместе с начисленными на него процентами) заемщиком, данная компания со стоимостью хT переходит в собственность кредитора. Таким образом, при некоторых предположениях о динамике стоимости капитала требуется найти неизвестную 6, величина которой зависит как от безрисковой доходности, доступной для кредитора, так и параметров кредитования, таких как: величина займа, срок, степень рискованности проекта, а также размера собственных средств заемщика, участвующих в проекте. Отметим, что рассматриваемый нами вопрос является обратным по отношению к задаче, решенной в классической работе Мертона [9]. В данном случае известной величиной является объем средств, предоставляемых заемщику (/), а неизвестным параметром выступает величина возвращаемых кредитору средств (6).

Интерпретация уравнения для нахождения величины кредитной премии

Предположим теперь, что при определении ставки кредитования мы используем приближенное значение коэффициента корреляции между управляющими винеровскими процессами Wx и W2 из уравнений (2.23) и (2.24), то есть dW\dW2 = pdt. В таком случае, стоимость платежного обязательства (ps(%i(T),Х2(Т)), гарантирующего его держателю определенную выплату на момент времени Т исходя из заранее оговоренной платежной функции р6, считается равной /(0,Ж1(0),Ж2(0)), где /является решением задачи

Как и прежде, величина 5 выбрана таким образом, чтобы верным было следующее тождество h + I2 = /(0,h + УІ)0,І2 + V2)0). Безусловно, определяемая таким образом стоимость опциона является приближенной, а, следовательно, приближенными являются и найденные значения величины начисленных процентов 5 и соответствующей ей ставки кредитования к. Цель данного параграфа заключается в том, чтобы оценить величину потерь кредитора, в случае если коэффициент корреляции при расчете ставки кредитования был выбран отличным от фактического.

Введем обозначение (ро(хих2) = /(0,жьж2) для начальной стоимости опциона в соответствии с моделью, использующей приближенное значение коэффициента корреляции р. Стоимость опциона с такой начальной стоимостью, очевидно, будет равняться f(t,xi(t),x2(t)\ 1 є [П где функция / должна удовлетворять следующим соотношениям

Таким образом, мы получаем (2.56) из (2.30), заменив исходное условие на правом конце отрезка [0,Т] приближенным условием на начальный момент времени. Ошибку в определении стоимости будем обозначать как Учитывая это, платежная функция, отвечающая начальной стоимости (p0{slys2), будет равна ф6(хъх2) = G(T,xux2) + (ps(xhx2). Для решения (2.57) проделаем следующие замены у І = lnж , q = г — erf/2 (і = 1,2), т = Т — t, п(т,у\,у2) = Для решаемой нами задачи необходимо определить значение G{T,xhx2) = п(0, lnжі, lnЖ2) при различных х\ и х2. Полагая f = Т в следствии 1 к теореме 2, задачу нахождения п(0,у\,у2) =: z{y\1y2) можно свести к следующему интегральному уравнению

Заметим, что благодаря экспоненциально быстрому убыванию ядра в уравнении (2.59) при стремлении у\, у2 к бесконечности, мы имеем возможность осуществить процедуру замены области интегрирования в (2.59). Таким образом, область интегрирования может быть заменена возрастающей последовательностью ограниченных множеств. В классе функций нескольких переменных с ограниченной полной вариацией, определенной в [62], решение подобных интегральных уравнений с непрерывным ядром, ограниченной областью интегрирования и правой частью из пространства L2, может быть построено в рамках процедуры, описанной в указанной выше работе. Данная процедура достаточно просто может быть реализована численно и обеспечивает кусочно-равномерную сходимость приближений к истинному решению. Подробная схема решения интегрального уравнения Фредгольма с разностным ядром в подробностях описана в работе [63]. Однако заметим, что вопрос тщательного анализа сходимости решений при предельном переходе к исходной неограниченной области интегрирования остается открытым. После того как решение уравнения (2.59) найдено, величина z(lnxi (Т), ln х2(Т)) показывает, насколько должна отличаться функция выплат по кредиту ips(xi(T),x2(T)), чтобы учесть влияние фактора корреляции.

Управление портфелем и модели цены актива

Другим примером модели для описания бескупонной облигации может быть cev-модель (constant elasticity of variance) [65], первоначально предложен 113 ная Коксом [72]. Цена актива в рамках данной модели уже не является геометрическим броуновским движением. В рамках этой модели цена актива определяется как решение уравнения dXt = ii(t,u))Xtdt + a{t,u))XetdWt, Х0 = х0. (3.24)

При этом будем полагать, что для волатильности a(t,uj) выполняется свойство квазиэргодичности, то есть для некоторой постоянной а. При выборе є = 1 мы получаем модель модель Блэка-Шоулза. Однако принципиальные свойства данной модели возникают именно при выборе є отличной от единицы. Более того, обычно предполагается что указанный параметр удовлетворяет следующему ограничению є Є [12,1). Данное требование связано с тем, что стохастическое дифференциальное уравнение (3.24) должно иметь единственное решение, что не выполняется при є 12. Перепишем (3.24) как dXt = Xt(fi(t,uj)dt + g(t,u)dWt), Х0 = х0 , где относительная волатильность g(t,uj) = a(t uj)X 1. Во первых заметим, что g(t,uj) — 0 при Xt — +оо, то есть относительная волатильность уменьшается с ростом цены актива, и наоборот, при стремлении цены актива к нулю относительная волатильность неограниченно увеличивается. Также выпишем показатель относительной волатильности по цене актива dgt Xt dXt fft

Именно этим свойством и объясняется название модели: эластичность относительной волатильности по цене актива постоянна и равняется є — 1, то есть при увеличении цены актива на 1 процент относительная волатильность цены умень 114 шается на \є — 11 процентов. Для cev-модели квадратическая вариация цены равна И = / (%X?dT о и функция 5{х) = х, соответственно. Подробнее остановимся на проблеме собственных значений и функций для задачи Штурма-Лиувилля (3.12). Для этого сделаем замену г/ = 1-еи перепишем ее как (р" + \{xZv zip = О р(1) = ip ((3) = 0. (3.25) Решением (3.25) является [73] функция 1-м1—х- )- J1i — in 2- Z/ 2. j, 2„V у 2v у ф) = С V- (Г )Ы ) - ./Д V1( V)) , (3.26) где С = ±1, так, чтобы (р(/3) 0, а J и Y - функции Бесселя первого и второго рода, соответственно. Собственное значение Ai равняется минимальному положительному решению уравнения

Также рассмотрим вычисления при выборе верхнего порога чувствительности (3 = 2 и параметре є = 0.5. Графическое решение уравнения (3.27) приведено на рисунке (3.4). Как и прежде, в качестве параметра Ai необходимо выбирать минимальный положительный корень уравнения. Дополнительно, на рисунках (3.5) и (3.6) изображены графики функций р и ц/, соответственно.

График функции f для модели цены (3.24) рассмотренного выше случая (верхняя граница йенового интервала /3 = 2) графики функций сриср весьма схожи для двух рассмотренных моделей. Действительно, поскольку указанные функции задаются с точностью до постоянного множителя, можно подобрать его таким образом, чтобы значения функций р и р для различных моделей совпадали в точках х = /3 и х = 1, соответственно. Сравнение функций if и if для варианта верхней границы ценового диапазона /3 = 2 приведено на рисунках (3.7) и (3.8), соответственно. Видно, что график функции f для cev-модели проходит ниже аналогичного графика для модели геометрического броуновского движения, а график функции f , соответственно, выше. Поскольку именно эти две функции используются в формуле (3.20) для числа актива at, то при управлении портфелем в рамках cev-модели число единиц облигаций в портфеле будет выше, чем при управлении в рамках модели геометрического броуновского движения.

С другой стороны, сравнивая параметры Лі для рассмотренных выше моделей (см. таблицы (3.1) и (3.2)) можно заметить, что при использовании cev-модели значения параметра Лі получаются меньшими, чем при использовании модели

График функции у для модели цены (3.24) геометрического броуновского движения и, по мере увеличения параметра є до единицы, постепенно к ним приближаются. Поскольку, как было показано выше, параметр Лі входит в формулу слагаемого, отвечающего за величину себестоимости портфеля, то как легко понять, большим значениям данного параметра будут отвечать большие значения функции управления и (при равных объемах средств, доступных для проведения управления портфелем). Таким образом, в случае выбора cev-модели для описания динамики бескупонной облигации, значения функции управления должны выбираться большими, чем для модели геометрического броуновского движения.

Таким образом, при использовании cev-модели для построения управления портфелем облигаций, портфель будет содержать большее число единиц актива, а освоение системой управления доступных средств будет происходить быстрее.

Как было показано выше, одним из параметров, определяющих количество облигаций в портфеле и, следовательно, величину полученной прибыли является функция управления и(т). Выше было показано, что располагая определенным объемом средств V можно задать данную функцию как некоторою постоянную и(т) = щ. Однако подобное управление разумно осуществлять только в случае, когда для актива выполняется свойство квазиэргодичности, позволяющее использовать вместо накопленной волатильности ее линейное приближение. В случае, когда портфель сформирован из облигаций имеет смысл задавать управление в виде кусочно-постоянной функции. Для дальнейших построений предположим, что весь горизонт планирования [0,Т] разбит моментами времени 0 = t0 ti ... гп = Тна интервалы [U,ti+i), і = 0,... ,n -1 и для каждого такого интервала инвестором определен объем средств Vi, который в течение этого промежутка времени может быть использован для проведения торговли. Поскольку, как было показано выше издержки формирования портфеля, возникающие за промежуток времени [0,] при выбранном управлении и(т),т Є [0,] составляют построение функции управления, учитывающей указанный график инвестирования, следует проводить следующим образом. Обозначим величину накопленной волатильности как I(t) = J aids, тогда на интервале [o,i) управление будет за 0 даваться как где Vt обозначает фактическую величину средств, инвестированных в портфель. Таким образом мы учитываем тот факт, что вследствие отклонения фактической величины накопленной волатильности от теоретической, фактический объем средств, инвестированных в портфель может отличаться от запланированного как в меньшую, так и в большую сторону.