Развитие системы поддержки принятия решений в региональной экономике на основе непрерывно-дискретных экономико-математических моделей Поносов Александр Андреевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Модуль исследования задач управления для непрерывно дискретных экономико-математических моделей как составная часть систем поддержки принятия решений 15

1.1 Непрерывно-дискретные динамические экономико-математические модели 16

1.2 Постановка задачи управления для непрерывно-дискретной экономико-математической модели 19

1.3 Два случая приведения непрерывно-дискретных экономико-математических моделей

1.3.1 Приведение непрерывно-дискретной системы к системе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом 23

1.3.2 Приведение непрерывно-дискретной системы к системе разностных уравнений с дискретным временем 27

2 Обобщение методов и алгоритмов исследования дискретных моделей, на случай непрерывно-дискретных систем 34

2.1 Последовательные подстановки 35

2.2 Приведение задачи к канонической форме 37

2.3 Коррекция задачи, записанной в канонической форме

2.3.1 Динамическая ресурсная коррекция 40

2.3.2 Динамическая структурная коррекция

2.4 Алгоритм приведения динамической задачи к исходному виду для задачи коррекции 48

2.5 Взаимосвязь методов и алгоритмов 49

Исследование задачи оптимального управления региональной экономической системой на основе непрерывно-дискретной экономико-математической модели 52

3.1 Подходы к моделированию экономической системы с учетом экологических факторов 52

3.2 Постановка задачи управления для непрерывно-дискретной модели развития региона с учетом экологических факторов

3.2.1 Формулировка проблемы 56

3.2.2 Постановка задачи 57

3.2.3 Построение математической модели

3.2.3.1 Построение непрерывно-дискретной математической модели 63

3.2.3.2 Приведение непрерывной подсистемы математической модели к дискретному виду

3.2.4 Содержательная интерпретация используемых ограничений 77

3.2.5 Решение задачи и его анализ 79

3.3 Методология исследования задач целевого управления для непрерывно-дискретных моделей 88

4 Программная реализация алгоритмов исследования непрерывно-дискретных моделей 91

4.1 Выбор программно-инструментальной среды разработки модуля решения задач управления для непрерывно-дискретных экономико-математических моделей 91

4.1.1 Раздел «Инструмент моделирования и прогнозирования» 93

4.1.2 Раздел «Среда разработки приложений» 95

4.2 Описание инструментальных средств решения задачи управления для непрерывно-дискретной системы уравнений 96

4.2.1 Область формирования непрерывно-дискретной системы 100

4.2.1.1 Описание непрерывно-дискретной системы 100

4.2.1.2 Блок формирования фазовых переменных непрерывно-дискретной модели 101

4.2.1.3 Блок формирования уравнений непрерывно-дискретной модели 103

4.2.2 Область формирования задачи целевого управления для непрерывно-дискретной системы 107

4.2.2.1 Описание задачи целевого управления для непрерывно-дискретной системы 107

4.2.2.2 Блок формирования целевой функции для задачи целевого управления для непрерывно-дискретной модели 110

4.2.2.3 Блок формирования управляющих переменных задачи целевого управления для непрерывно-дискретной модели 111

4.2.2.4 Блок формирования ограничений задачи целевого управления для непрерывно-дискретной модели 111

Заключение Список рисунков

Список таблиц

Литература

• Два случая приведения непрерывно-дискретных экономико-математических моделей
• Коррекция задачи, записанной в канонической форме
• Постановка задачи управления для непрерывно-дискретной модели развития региона с учетом экологических факторов
• Раздел «Инструмент моделирования и прогнозирования»

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Сегодня правительственные институты субъектов Российской Федерации все чаще сталкиваются с проблемой сбалансированного развития региона. Кризисные ситуации в стране требуют оперативных и взвешенных управляющих решений.

Процесс управления складывается из решения совокупности задач, в числе которых оценка влияния на регион большого числа внешних и внутренних факторов. Целостное и объективное решение сложных экономических проблем становится возможно лишь с использованием систем поддержки принятия решений (СППР), которые позволяют учитывать множество экономических факторов и их взаимное влияние, проводить сценарное прогнозирование в парадигме «что будет, если», а также решать задачи целевого управления в парадигме «что необходимо для».

В большинстве случаев СППР представляет собой программный комплекс, в основе которого лежит экономико-математическая модель как система математических соотношений — уравнений и неравенств. При этом сегодня нет СППР, которые учитывали бы различные типы динамики переменных в рамках одной модели. Примерами показателей с разнородной динамикой являются, в частности, экологические характеристики, меняющиеся в непрерывном времени, и переменные, описывающие динамику инвестиций и выдачу кредитов в дискретном времени. Для решения этой проблемы необходимо в основу существующих СППР положить возможность использования экономико-математических моделей с непрерывным и дискретным временем. Трудоемкость и скрытые проблемы формирования модели региона в новом классе непрерывно-дискретных моделей требует разработки нового инструментария.

Формализация экономических процессов в регионе с использованием нового класса динамических моделей позволяет более адекватно описывать реальное поведение системы, и как следствие, вырабатывать более обоснованные и результативные решения по управлению региональной экономической системой. Все вышеизложенное обуславливает актуальность темы диссертации, посвященной развитию системы поддержки принятия решений в региональной экономической системе на основе непрерывно-дискретных экономико-математических моделей.

Степень научной разработанности проблемы исследования. Исследования в области экономико-математического моделирования, как основы разработки СППР, занимают заметное место в современной научной литературе.

Исследованию и моделированию региональных экономических систем посвящены работы Андрианова Д.Л., Ермолаева М.Б. Викулова В.Е., Гурмана В.И., Дедова Л.А., Золотова Т.В., Литовка О.П., Миролюбовой А.А.. Павлова К.В., Федорова М.М., Batabyal А.А., Greiner R., Nijkamp P.

Вопросы моделирования экономических систем с учетом экологических факторов изучались в работах Анциферова И.В., Баркалова Н.Б., Вайсман Я.И., Васенова А.В., Дружинина П.В., Дэмбэрэла С, Литовка О.П., Мазалова В.В., Оленева Н.Н., Павлова К.В., Поспелова И.Г., Пыткина А.Н., Реттиева А.Н., Шебеко Ю.А., Agee M.D., Batabyal А.А., Beladi Н., Crocker T.D., Haiti R.F., Haunschmied J., Herbert R.D., Kort P.M., Leeves G.D., Nahorski Z., Ravn H.F.

Результаты исследования различных классов экономико-математических моделей представлены в работах Власовой М.Н., Калиткина Н.Н., Карпенко Н.В., Кузнецова Ю.А., Максимова В.П., Михайлова А.П., Семенова А.В., Симонова П.М., Тишкина В.Ф., Bouman М., Forrester J. W., Heijungs R., Huppes G., Ichikawa A., Sterner Т., Van den Bergh J., Van der Voet E.

Исследования в области непрерывно-дискретных моделей ведутся относительно недавно. Дополнительную информацию об этом классе моделей можно найти в работах Бортаковского А.С, Валуева A.M., Дыхты В.А., Зачкевич 3., Козлова Р.И., Козловой О.Р., Кочкиной Н.А., Максимова В.П., Марченко В.А., Минюк С.А., Поповой Е.А., Чадова А.Л., Agranovich G., De la Sen M., Gallego A., Garavello M., Soto J.C., Malaina J.L. При этом авторы основное внимание уделяют различным аспектам математической теории, без раскрытия прикладных аспектов данного класса задач применительно к экономике.

Следует также отметить работы, посвященные преобразованию одного класса моделей к другому, так, например, в работах Драницы Ю.П., Драницы А.Ю., Алексеевской О.В. можно найти описание подходов к дискретизации непрерывных уравнений, но как таковые «гибридные» системы в этих работах не рассматриваются.

Детальное описание задач целевого управления для экономико-математических моделей можно найти в работах Валуева A.M., Еремченко СМ., Лемперта А.А., Поносова Д.А., Урбановича ДЕ., Borrelli F., Bortakovskii A.S., Boyd J.E., Clarke F.H., Dmitruk A.V., Kaganovich A.M., Sworder D.D., Vinter R.B.

Ряд исследователей посвятили свои работы описанию методов и алгоритмов автоматизации построения математических моделей с использованием специализированного программного обеспечения, которые могут применяться при разработке систем поддержки принятия решений. Среди таких публикаций выделим работы Угольницкого Г.А., Усова А.Б., Чадова А.Л., Branicky М. S., Borkar V. S., Mitter S. К. как наиболее близкие к теме диссертации.

Таким образом, исследований в данной области довольно много, но ни в одной из упомянутых работ нет описания методов и алгоритмов, реализованных в системах поддержки принятия решений, способных в программном режиме ставить и решать задачи целевого управления для региональных непрерывно-дискретных экономических моделей с учетом экологических факторов.

Объект исследования - региональные экономические системы.

Предметом исследования выступают социально-экономические процессы и явления, протекающие в региональных экономических системах.

Основная гипотеза. Развитие региональной экономической системы может быть описано с помощью экономико-математической модели в форме системы уравнений, связывающих основные показатели и управляющие переменные, дополненной ограничениями на переменные в форме равенств и неравенств.

Цель и задачи исследования. Целью диссертации является повышение точности моделирования и управления экономикой региона, на основе развития системы поддержки принятия решений в региональной экономической системе с использованием непрерывно-дискретных экономико-математических моделей.

Реализация поставленной цели обусловила необходимость решения следующих задач:

1. Предложить и обосновать метод расчета параметров сбалансированного развития региональной экономической системы с учетом целевых установок и разнородной динамики протекающих в ней процессов на основе постановки и решения задачи целевого управления для непрерывно-дискретной динамической модели.

2. Построить непрерывно-дискретную динамическую модель региональной экономической системы, описывающую ее основные социально-экономические процессы.

3. Разработать методологию компьютерного эксперимента в исследовании задач целевого управления регионом на основе непрерывно-дискретных экономико-математических моделей.

4. Создать комплекс программ, развивающий систему поддержки принятия решений в части использования нового класса динамических моделей для решения задач целевого управления региональной экономической системой.

Область исследования соответствует паспорту научной специальности ВАК 08.00.13 «Математические и инструментальные методы экономики» по следующим пунктам: п. 1.1. «Разработка и развитие математического аппарата анализа экономических систем: математической экономики, эконометрики, прикладной статистики, теории игр, оптимизации, теории принятия решений, дискретной математики и других методов, используемых в экономико-математическом моделировании»; п. 1.2. «Теория и методология экономико-математического моделирования, исследование его возможностей и диапазонов применения: теоретические и методологические вопросы отображения социально-экономических процессов и систем в виде математических, информационных и компьютерных моделей»: п.2.1. «Развитие теории, методологии и практики компьютерного эксперимента в социально-экономических исследованиях и задачах управления»; п.2.3. «Разработка систем поддержки принятия решений для

рационализации организационных структур и оптимизации управления экономикой на всех уровнях».

Теоретическую и методологическую основу исследования составляют труды отечественных и зарубежных учёных в области теории и методологии непрерывно-дискретного моделирования,, экономико-математического моделирования и автоматизированных аналитических систем. При проведении исследования использованы методы системного анализа, экономико-математического моделирования, в том числе эконометрические методы, методы теории функционально-дифференциальных систем, численные методы, средства разработки и интеграции программных продуктов.

Информационной основой исследования служат официальные данные территориального органа Федеральной службы государственной статистики по Пермскому краю и Министерства экономического развития РФ, а также ряда других официальных источников.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем. 1. Предложен и обоснован метод расчета параметров сбалансированного развития региональной экономической системы на основе решения задачи оптимального управления для непрерывно-дискретной динамической модели экономики региона с учетом экологических факторов. Данный метод охватывает более широкий по сравнению с известными класс математических моделей и развивает методы оптимального управления экономическими системами. Он повышает обоснованность управленческих решений в политике развития региона за счет дополнительного учета экологических факторов и типа динамики процессов, протекающих в экономической системе. Возможность программной реализации нового метода обеспечивается разработанным алгоритмом редукции непрерывно-дискретной модели к системе разностных уравнений, что позволяет эффективно исследовать задачу управления на основе вычислительного эксперимента (п. 1.1. «Разработка и развитие математического аппарата анализа экономических систем: математической экономики, эконометрики, прикладной статистики, теории игр, оптимизации, теории принятия решений, дискретной математики и других методов, используемых в экономико-математическом моделировании» паспорта специальности 08.00.13 ВАК РФ, главы 1 и 3, разделы 1.2, 1.3 и 3.2.1, стр. 19-33, 56-57).

2. Дано математическое описание основных социально-экономических процессов региона в виде непрерывно-дискретной динамической модели, охватывающей, в отличие от традиционно используемых моделей с дискретным временем, как непрерывные процессы, например, самоочищение окружающей среды и непрерывное производство, так и дискретные процессы, в том числе процессы инвестирования и кредитования (п. 1.2. «Теория и методология экономико-математического моделирования, исследование его возможностей и диапазонов

применения: теоретические и методологические вопросы отображения социально-экономических процессов и систем в виде математических, информационных и компьютерных моделей» паспорта специальности 08.00.13 ВАК РФ, глава 3, раздел 3.2.3, стр. 57-77).

3. Разработана и апробирована методология компьютерного эксперимента в исследовании задач целевого управления регионом на основе непрерывно-дискретной экономико-математической модели. Методология охватывает новый класс динамических моделей, содержащих переменные как непрерывного, так и дискретного аргумента и учитывающих эффекты последействия. На основе разработанной методологии проведен компьютерный эксперимент по исследованию задачи целевого управления для непрерывно-дискретной экономико-математической модели Пермского края с учетом экологических факторов (п.2.1. «Развитие теории, методологии и практики компьютерного эксперимента в социачьно-эконолшческих исследованиях и задачах управления» паспорта специальности 08.00.13 ВАК РФ, глава 3, разделы 3.2.4, 3.2.5 и 3.3, стр. 77-90).

4. Создан программный комплекс, развивающий систему поддержки принятия решений в части использования нового класса динамических моделей для решения задач целевого управления региональной экономической системой. Преимуществом доработанной СППР является возможность решения задач целевого управления для непрерывно-дискретных экономических моделей, а также динамическая коррекция противоречивых моделей в программном режиме (п.2.3. «Разработка систем поддержки принятия решений для рационализации организационных структур и оптимизации управления экономикой на всех уровнях» паспорта специальности 08.00.13 ВАК РФ, главы 2 и 4, разделы 2.5 и 4.2, стр. 49-51, 96-113).

Теоретическая значимость исследования заключается в разработке концептуального подхода к решению задач целевого управления для нового класса динамических моделей экономических систем, методологии и алгоритмов компьютерного эксперимента, направленных на развитие инструментальных систем поддержки принятия решений по эффективному управлению экономической системой.

Практическая значимость исследования определяется тем, что теоретические положения, разработанные в диссертации, реализованы в виде инструментальных средств в среде моделирования Prognoz Platform¹.

Созданное инструментальное средство используется в коммерческих проектах компании ЗАО «ПРОГНОЗ» и направлено на решение задач целевого управления для непрерывно-дискретных экономических и эколого-экономических моделей развития регионов.

¹ Подробнее:

Результаты теоретико-методологических исследований автора используются при чтении лекций, проведении практических занятий и лабораторных работ по дисциплинам «Методы оптимальных решений», «Эконометрика» и «Современные информационные системы в управлении организацией» в ФГБОУ ВПО «Пермский государственный национальный исследовательский университет».

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №10-01-96054) и Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках Постановления Правительства РФ от 9.04.2010 г. № 218 (государственный контракт №02.G25.31.0039).

Степень достоверности и апробация работы. Достоверность и обоснованность выводов подтверждается корректным теоретическим обоснованием приведенных утверждений. Все результаты подтверждены исследованиями, проведенными с использованием реальных статистических данных развития региона.

Основные положения и результаты работы были представлены в виде докладов и получили положительную оценку на конференции «Экономика и управление: актуальные проблемы и поиск путей решения» (г. Пермь, апрель 2011 г.), на VI всероссийской научной конференции «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и биотехнологий (ЭКОМОД-2011)» (г. Киров, июнь - июль 2011 г.), на международной конференция Колмогоровские чтения - V «Общие проблемы управления и их приложения (ОПУ-2011)» (г. Тамбов, октябрь 2011 г.), на конференции «Экономика и управление: актуальные проблемы и поиск путей решения» (г. Пермь, апрель 2012 г.), на всероссийской научной конференции с международным участием «Математическая теория управления и математическое моделирование» (г. Ижевск, май 2012 г.), на 11-я Международной научной конференции «Актуальные проблемы экономики и управления (МК-2013-023)» (г. Москва, апрель 2013 г.), на международной конференции Колмогоровские чтения - VI «Общие проблемы управления и их приложения (ОПУ-2013)» (г. Тамбов, октябрь 2013 г.), на «IX Международном научном конгрессе 2014» (г. Москва, апрель 2014 г.), на VIII всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и технологий (ЭКОМОД-2014)» (г. Москва, октябрь 2014 г.), на открытом городском семинаре «Perm Workshop on Applied Economic Modeling» (г. Пермь, февраль 2015 г.), на семинарах Лаборатории конструктивных методов исследования динамических моделей, ПГНИУ (г. Пермь, 2012-2015 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 научных работ, общим объемом 4,12 п.л., из них 5 работ (2.45 п.л.), отражающие основные результаты диссертационной работы, опубликованы в изданиях, входящих в список, определенный ВАК Министерства образования и науки РФ. Также по теме диссертационной работы зарегистрировано 3 программных кода для ЭВМ.

Из результатов совместных работ в диссертацию включены только результаты, принадлежащие автору лично.

Структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 129 страницах основного текста, состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений, иллюстрирована 8 таблицами и 13 рисунками. Библиографический список содержит 121 наименование литературных источников, в том числе 85 отечественных и 36 зарубежных.

Два случая приведения непрерывно-дискретных экономико-математических моделей

В большинстве случаев система поддержки принятия решений (СППР) представляет собой программный комплекс, в основе которого лежит экономико-математическая модель как система математических соотношений - уравнений и неравенств. При этом сегодня нет СППР, которые учитывали бы различные типы динамики переменных в рамках одной модели. Примерами показателей с разнородной динамикой в региональных экономических системах являются, в частности, экологические характеристики, меняющиеся в непрерывном времени, и переменные, описывающие динамику инвестиций и выдачу кредитов в дискретном времени. Для решения этой проблемы необходимо использовать модуль исследования задач управления для непрерывно дискретных экономико-математических моделей как составную часть систем поддержки принятия решений.

В работе рассматриваются задачи управления для непрерывно-дискретных систем, получаемые в результате моделирования динамики показателей экономических субъектов. Другими словами, система содержит две подсистемы: с непрерывным и дискретным временем. Для подсистемы с непрерывным временем 0 t Т — множество моментов времени, в которые наблюдаются показатели экономического субъекта и в которые возможно осуществление управления. Т — период управления моделью.

Через АСп[0,Т] обозначим пространство абсолютно непрерывных функций х : [0,Т] - Rn, Ьп[0,Т]-пространство суммируемых по Лебегу функций z : [0,Т] — Rn, \\Х\\АСП = 1ж(0) + ЦжЦ п, L = /0 \z{t)\dt, где \а\ = maxo;j,i = 1,..,п для а = col(ai, ..,ап) Є Rn, а также определим пространство для элементов управления непрерывной подсистемы как пространство функций v : [0,Т] — Rm суммируемых с квадратом, с нормой Рассматривая дискретную подсистему, зафиксируем множество: нормой \\y\\FD ) = Ef=i \y(U)\n, где II n — норма в Rn (далее, если размерность пространства очевидна, индекс у нормы будем опускать).

Таким образом, переменные в модели будут иметь следующий смысл: х : [О, Т] — Rn — вектор-функция фазовых переменных, характеризующих состояние экономического субъекта, в непрерывном времени; y(t{) Є R",i = 1, 2,... ,/І — вектор фазовых переменных, характеризующих состояние экономического субъекта в дискретный момент времени v : [О, Т] — Rm, — вектор-функция управляющих переменных, с помощью данного управления осуществляется воздействие на динамику переменных, зависящих от непрерывного времени; u(ti) Є К\і = 1, 2,...,/І — вектор управляющих переменных в дискретный момент времени ti, с помощью данного управления осуществляется воздействие на динамику переменных, зависящих от непрерывного времени. Здесь и далее, для краткости, будем использовать понятия: «непрерывная подсистема» и «дискретная подсистема». Данная терминология будет обозначать: «непрерывная подсистема» - одно или несколько уравнений системы, которые описывают поведение фазовых переменных, зависящих от непрерывного времени; «дискретная подсистема» - одно или несколько уравнений системы, которые описывают поведение фазовых переменных, зависящих от дискретного времени;

Взаимное влияние непрерывной и дискретной подсистемы, а также влияние управляющих переменных на фазовое состояние объекта описывается уравнениями: где подсистема (1.1) описывает динамику переменной x(t) с непрерывным временем, а подсистема (1.2) описывает динамику переменной y(t{) с дискретным временем (0 = to t\ ... t/j = Т). Здесь A,Bj(t),Fj,Dj,Gj — матрицы соответствующих размерностей, причем A,Fj, Dj, Gj — постоянные, а матрицы Bj (t) — с суммируемыми элементами. В первое уравнение системы (1.1-1.2) включено управление v(t),v Є L[0,T] и V : L[0,T] — Ln[0,T] линейный ограниченный вольтерров оператор, «реализующий» управление v. Напомним, что оператор F называется вольтерровым, если для любого г Є [а, Ь] и любых таких z\, z из его области определения, что z\(t) = z it) на [а,т], выполняется на [а,т] равенство (Fz\)(t) = (Fz2)(t) (подробнее см. [1]).

Подсистемы (1.1)-(1.2) связаны между собой по состояниям, управление входит как в дискретную подсистему, определяя поведение ее траекторий в зависимости от сечений x(tj) траекторий непрерывной подсистемы, так и оказывает воздействие непосредственно в (1.1), помимо косвенного влияния через компоненты y(tj).

Отметим, что форма задания (1.1),(1.2) уравнений динамики позволяет обходится без специального задания предыстории. При необходимости информацию о предыстории можно включить в функции /ид.

Коррекция задачи, записанной в канонической форме

Сравнивая между собой (1.37) и (1.62), можно прийти к выводу, что задача целевого управления для разностных моделей с дискретным временем оказывается удобной для исследования в силу конечномерности полученной задачи и возможности использования методов и алгоритмов, уже реализованных в среде моделирования и прогнозирования Prognoz Platform. В частности, мы используем реализованный функционал динамической коррекции (см. приложения C1, C2), который в случае неразрешимости исходной задачи позволяет найти такие ограничения, релаксация которых наиболее целесообразна, с точки зрения получения новой задачи, минимально отличающейся от исходной.

В связи с этим, в рамках данной работы в качестве основного метода исследования непрерывно-дискретных моделей используется метод сведения исходной системы к разностным уравнениям с дискретным временем. Этот метод формализован и запрограммирован в инструментальной среде моделирования и прогнозирования Prognoz Platform (см. приложение A2).

Далее рассмотрим более детально вспомогательные алгоритмы, которые легли в основу созданного автором инструментария для исследования задач оптимального управления для непрерывно-дискретных моделей экономических и эколого-экономических систем.

Обобщение методов и алгоритмов исследования дискретных моделей, на случай непрерывно-дискретных систем В данной главе описаны методы и алгоритмы [3, 35, 41, 77, 78], которые позволяют приводить задачи оптимального управления к удобной форме и сокращать время расчета исходной задачи. Описание данных методов дается с целью сделать более прозрачными основные алгоритмы, реализованные автором в инструменте моделирования и прогнозирования Prognoz Platform. Подчеркнем, что упомянутые методы и алгоритмы применимы к непрервывно-дискретным моделям только после процедуры редукции, разработанной автором и описанной в главе 1. 2.1 Последовательные подстановки

Для снижения размерности приведенной задачи (для уменьшения количества фазовых переменных сформированной задачи целевого управления), будет использован метод последовательных подстановок (более детально см. [3, 41, 78]). Использование данного метода подразумевает выражение всех уравнений системы, а также ограничений и целевого функционала через управляющие переменные. В условиях, когда количество управлений значительно меньше эндогенных показателей, данный метод позволяет существенно сократить размерность задачи и увеличить скорость расчета задачи целевого управления.

Рассмотрим данный метод более подробно применительно к задаче (1.62), для этого выпишем два первых уравнения системы (1.58) при t = 1, t = 2: y(1) = H10y(0)+M11v(1)+G1u(1)+w(1), (2.1) y(2) = H20y(0)+H21y(1)+M21v(1)+M22v(2)+G1u(1)+G2u(2)+w(2), (2.2) Работая в условиях, когда начальное состояние системы y(0) считается заданным (1.15), можно сделать вывод, что вектор y(1) зависит только от управляющих переменных в момент времени t = 1 и от известной предыстории (см. (1.58)). Из (2.2) следует, что на вектор y(2) оказывают влияние начальное состояние, управление в моменты времени t1 и t2, а так же предыдущее фазовое состояние y(t1). Подставляя правую часть уравнения (2.1) в уравнение (2.2), выразим y(2) через управляющие переменные и известную предысторию (см. (1.58)):

Действуя аналогичным образом для последующих периодов времени, можно получить, что 2/(3) будет зависеть от начального состояния и значений управляющих переменных в моменты времени t = 1, 2,3. Обобщая, можно сделать вывод, что для всех моментов времени ti, і = 1,/І, получим совокупность выражений фазовых переменных через управляющие: y(j) = Xi (it(i),... ,ii(j),t (i),... ,t (j)), і = 1, 2,... ,/І, (2.4) где Xi Ег(т+г) _ R i = lfI — линейные ограниченные вектор-функционалы. Подставив выражения (2.4) в ограничения задачи (1.16)-(1.17) и целевой функционал (1.18), перейдем к задаче оптимального управления, в которой неизвестными выступают лишь управляющие переменные u(ti), 14( 2),..., гі(/х),г (і), г»( 2),..., v{tjj):

Таким образом, последовательные подстановки позволяют перейти от задачи (1.62) размерности (n + z/ + m + r)T переменных к эквивалентной задаче (2.5) с количеством переменных равным (ш + г)Т. При этом с помощью соотношений (2.4) по решению задачи (2.5) однозначно восстанавливается решение задачи (1.62).

В частных случаях, когда количество управляющих переменных значительно меньше фазовых переменных, размерность задачи существенно снижается. Использование данного метода предполагает включение в процесс решения задачи целевого управления два дополнительных этапа - предварительный и заключительный. На первом из них, все фазовые переменные во всех уравнениях связи, ограничениях и целевом функционале выражаются через управляющие переменные, на заключительном этапе найденное решение однозначно переводится в термины исходной задачи.

Учитывая тот факт, что количество управляющих переменных, как правило, значительно меньше количества фазовых переменных, можно получить существенный выигрыш в размерности задачи. «Платой» за такой выигрыш является время, потраченное на процедуру последовательных подстановок и процедуру восстановления решения исходной задачи по найденному решению задачи (2.5).

В рамках задачи оптимального управления для модели эколого-экономического развития Пермского края (см. п. 3.2.5, с. 79) путем последовательных подстановок может быть достигнуто сокращение переменных с 72 до 8.

Исследование задачи в данной канонической форме приводит либо к установлению разрешимости и построению управлений и траекторий, приводящих экономическую систему к заданной цели, либо к установлению противоречивости модели. Предметом исследования в настоящей работе является случай наличия противоречивости в экономико-математической модели. К таким задачам, записанным в канонической форме, возможно применить методы, описываемые в [22,35,55].

Постановка задачи управления для непрерывно-дискретной модели развития региона с учетом экологических факторов

Интерес к экологическим проблемам начал возникать у человечества примерно со второй половины XX века. До этого момента времени, в основном, производство развивалось экстенсивным путем и на окружающую среду смотрели как на бесконечный источник ресурсов. Только когда стало заметно ограниченность ресурсов, когда часть биосферы была выведена из динамического равновесия, а антропогенная нагрузка на территорию перестала позволять ей самовосстанавливаться, что в свою очередь препятствовало устойчивому развитию регионов, человечество обратило внимание на эколого-экономическое взаимодействие. С середины XX века начали появляться экономические модели с учетом экологических факторов, отражающие в том числе и обратные связи. На основе данных моделей строились оптимизационные задачи, которые стремились урегулировать данные взаимодействия.

Одной из «прорывных» моделей того времени была «модель мира» Дж. Форрестера. Основной заслугой Дж. Форрестера было то, что он рассматривал мир как единое целое, как единую систему различных взаимодействующих процессов: демографических, промышленных, процессов исчерпания природных ресурсов и загрязнение окружающей среды, а также процессов питания. Согласно данной модели, нарастал кризис взаимодействия человека и окружающей среды. Он был обусловлен постоянно растущими потребностями населения с одной стороны, и ограниченностью природных ресурсов с другой.

Рассматривая большое количество петель обратной связи, Дж. Форрестер смог очертить основные проблемы, с которыми может столкнуться человечество в ближайшие десятилетия. Одной из таких проблем, было загрязнение. Форрестер понимал загрязнение как «накопитель», который увеличивается за счет образования загрязнения и уменьшения за счет его разложения [84]. Стоит отметить, что даже в этих, относительно простых моделях, автор прибегает к понятиям темпов роста, стремясь тем самым работать не со статичной абсолютной величиной, а с динамически изменяющейся переменной.

Последователем системного подхода Дж. Форрестера стал его ученик Д. Медоуз, который в своей работе «Пределы роста» проработал множество сценариев развития мира. Данные сценарии отражали основные ограничения бесконечного улучшения благосостояния населения: демографический бум, голод, загрязнение, ускоряющаяся индустриализация и истощение ресурсов. Рассматривая обратные связи, например, рост загрязнения - рост затрат- перенаправление экономических средств - техническое решение - изменение темпов загрязнения, Д. Медоуз, как и Дж. Форрестер, рассматривает скорости изменений показателей (например, скорость загрязнения), но кроме этого в модели «World 3», было запрограммировано, что пользователь может дискретно активировать в заданный момент времени ту или иную технологию решения [62]. В этой части модель «World 3» делает шаг в сторону непрерывно-дискретных экономических моделей с учетом экологических факторов.

Основными недостатками моделей Дж. Форрестера и Д. Медоуза были глобальная обобщенность всех переменных (мир рассматривался как единое целое) и концепция нулевого роста, которая следовала из этих моделей. Как ответ на эти недостатки появляется второй доклад Римскому клубу - работа М.Месаровича и Е.Пестеля. В этой работе авторы делают попытку преодолеть выделить ряд регионов и каждый из них проанализировать с точки зрения социо-эколого-экономических особенностей. Ученые показали, что даже при несбалансированном росте в рамках замкнутого кластера, в целом мир может «органически» развиваться.

После создания упомянутых, исторически первых экономических моделей с учетом экологических факторов, огромное количество авторов развивало тему взаимодействий экологических и экономических процессов, см. например работы: Афанасьева Ю.А., Фомина С.А., Меньшикова В.В. [7]; Рюминой Е.В. и Лучшевой В.В. [53]; Гурмана В.И. [26]; Гофмана К.Ф. [25]; Бобылева С.Н. и Ходжаева А.Ш. [12] и других.

Несмотря на различные подходы авторов, использование различных математических инструментов, все созданные модели условно можно классифицировать по концепции взаимосвязи между экономическим и экологическим развитием [21]:

К фронтальной экономике относятся все модели до Дж. Форрестера, то есть такие, в которых окружающая природа понимается как неисчерпаемый источник ресурсов, единственными ограничителями в данной модели являются труд и капитал. Сторонники данной концепции предлагают не экономить текущие ресурсы, они предполагают, что научно-технический прогресс способен развить производство таким образом, что на смену заканчивающимся ресурсам изобретут новые, создадут более высокоинтеллектуальные машины и это позволит увеличить рециркуляцию отходов.

Концепция эктопии прямо противоположна фронтальной экономике, она предполагает возвращение человека к доиндустриальной эпохе, более простым и экологичным орудиям труда, сближение человека с природой. Очевидно, что отказ от массового производства приведет к дефициту продукции, данную проблему сторонники эктопии предлагают решать путем снижения численности населения.

Концепция охраны окружающей среды исходит из следующего постулата: получение максимальных экономических результатов, при минимальных экологических потерях. Безусловно, данный подход более гуманен к природе по сравнению с фронтальной экономикой, но все равно во главу угла ставят удовлетворение постоянно растущих потребностей населения, это дает понять, что экологический кризис в рамках данных моделей можно только отсрочить, но не возможно избежать.

Четвертый подход к построению моделей - умеренное развитие экономики. Данная концепция направлена на ограничение роста экономических результатов, при минимальных экологических потерях. Данный метод позволяет снизить экологическую цену экономического результата, стабилизировать уровень производства и перейти к рациональному использованию природных ресурсов. Кроме этого, «умеренное развитие экономики» учитывает не только текущие потребности населения, но также ориентируется на будущее. Это позволяет не только исправить ошибки прежних лет, но и предотвратить будущие экологические катастрофы.

Концепция гармоничного развития общества не противопостовляет общество и природу, а рассматривает их как одно целое. Другими словами, деньги, вещество, энергия - все включено в один общий круговорот. Безусловно, модели данного подхода носят утопичный характер, но тем не менее служат хорошим ориентиром для дальнейших исследований.

Раздел «Инструмент моделирования и прогнозирования»

Блок, характеризующий уровень жизни населения, содержит в себе два показателя: реальные денежные доходы населения и численность экономически активного населения. Увеличение доходов населения обеспечивается за счет развития производства в регионе и как следствие повышение заработных плат рабочим, а также обеспечивается увеличением расходов бюджетов субъектов в части выплат заработных плат в бюджетных учреждениях, и различными субсидиями населению. Отрицательное воздействие оказывает повышение уровня цен (ИПЦ). При моделировании численности ЭАН (экономически активное население) было учтен тот факт, что при развитом промышленном производстве в регионе и большом числе занятых в экономике людей по стране возможна внутренняя миграция населения, которая увеличивает численность ЭАН конкретного региона. Отрицательное воздействие оказывает экологическая обстановка в регионе, а именно, выбросы в атмосферу различных загрязняющих веществ, а также сбросы загрязненных сточных вод в поверхностные водные объекты.

Блок, характеризующий торговые отношения в регионе, содержит показатель - оборот розничной торговли всеми предприятиями и организациями. Безусловно, на него оказывает положительное влияние улучшение уровня жизни населения, а также факторы, отражающие объем предложения продукции (обрабатывающей промышленности).

Блок, характеризующий степень развития экологической составляющей Пермского края, представлен двумя показателями: объемом выбросов загрязняющих веществ в атмосферу и сбросом загрязненных сточных вод в поверхностные водные объекты. Модели этих факторов основаны на том, что при увеличении темпов развития промышленности и активном росте численности ЭАН увеличивается загрязнение окружающей среды. Инвестиции в этот блок снижают уровень этих показателей. Кроме всего прочего, в моделях учтены значения выбранных показателей в предыдущий момент времени. Таким образом, был сформирован приводимый ниже список переменных модели и введены соответствующие обозначения.

Конкретная эконометрическая модель развития Пермского края была построена с помощью стандартных эконометрических процедур в Prognoz Platform [4]. Ее идентификация проходила на основе квартальных данных Рос-стата и Пермьстата с 1 кв. 2005 по 4 кв. 2010 гг ( [67,70]). Поскольку ряд показателей в квартальной динамике обладал сезонностью, то для решения это проблемы переменные были переведены в относительные единицы (в % к соответствующему периоду времени). Полученная модель выглядит следующим образом В рамках данной работы, для формирования непрерывно-дискретной модели (см. [71, 72]) коэффициенты описанной выше модели из [75] были пе-63 реоценены на более длительном периоде ретроспективных данных, при помощи специальных эконометрических процедур, позволяющих идентифицировать непрерывно-дискретные модели, в Prognoz Platform (см. приложение B1). Таким образом, идентификация проходила на основе квартальных данных Росстата и Пермьстата с 1 кв. 2000 по 4 кв. 2013 гг. Это позволило уточнить значимые коэффициенты и определить ряд факторов, которые за 3 года потеряли свою актуальность. В частности, изменения коснулись следующих моделей: в связи с тем, что в последние годы в структуре импорта Пермского края основную долю занимает продукция машиностроения (оборудование и механические устройства [68]), уровень доходов населения потерял свою значимость в определении структуры внешних закупок; крупные потребители электроэнергии региона заняли преобладающее место в энергоструктуре края, тем самым вытеснив из модели ранее значимый фактор потребление электроэнергии населением, что в свою очередь повлекло исключение из всех моделей такой управляющей переменной, как тарифы на электроэнергию, в силу того, что группа с наиболее эластичным спросом по цене была удалена. восстановившиеся после экономического кризиса 2008 года банки снова стали выдавать потребительские кредиты в большом объеме, а также вкладываться в строительство. Это привело к увеличению значимости фактора реальных денежных доходов населения при моделировании объема выданных кредитов и к включению показателя развития строительной отрасли.

При разработке непрерывной подсистемы уравнений был использован ряд предпосылок: 1. сфера деятельности должна носить непрерывный характер (например, непрерывный процесс производства или постоянные процессы самоочистки); На основе данной предпосылки, выделены три фазовые переменные, которые удовлетворяют данному критерию: объем промышленного производства по показателю: «Добыча полезных ископаемых» (обозначается в модели x±(t)); объем сбросов загрязненных сточных вод в поверхностные водные объекты (обозначается в модели xw(t)); объем выбросов загрязняющих веществ в атмосферу. матрица А в уравнении (1.1, с. 17) имеет диагональную структуру: что соответствует отсутствию влияния непрерывных уравнений друг на друга; в силу достаточно большого шага дискретизации (один квартал) запаздывание в непрерывной подсистеме не должно превышать одного периода.

Последние два пункта исключили из рассмотрения непрерывную модель для объема выбросов загрязняющих веществ в атмосферу, поскольку для адекватного отражения реальной ситуации в Пермском крае требовалась спецификация, неудовлетворяющая данным предпосылкам.