Моделирование эндогенной динамики возникновения и банкротства фирм при монополистической конкуренции Радионов Станислав Андреевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Сравнительная статика в моделях монополистической конкуренции 22

1.1 Эффективность в моделях монополистической конку ренции 22

1.1.1 Функции полезности Кимбалла 22

1.1.2 Функции полезности с переменной эластичностью замещения 25

1.2 Структурные сдвиги в модели многоотраслевой моно полистической конкуренции 28

1.2.1 Описание модели 28

1.2.2 Рыночное равновесие и социальное благосостояние 29

1.2.3 Эффекты технического прогресса и роста населения 35

2 Исследование динамических вариантов модели Мелица 43

2.1 Описание модели Мелица 43

2.2 Динамика в модели Мелица

2.2.1 Формальная динамическая модель Мелица 45

2.2.2 Динамическая модель Мелица с условием ограниченности денежных запасов 51

2.3 Динамические модели общего равновесия экономики разнообразия 55

2.3.1 Модель с созданием новых фирм за счет затрат труда 55

2.3.2 Модель с созданием новых фирм за счет затрат продукта 57

3 Динамика отрасли в моделях с функционалом фирмы типа Раднера-Шеппа 61

3.1 Динамика фирмы в модели Раднера-Шеппа 61

3.1.1 Модель Раднера-Шеппа 61

3.1.2 Анализ модели 62

3.2 Оптимальная стратегия выплаты дивидендов при ди намике капитала, описываемой телеграфным процессом 82

3.2.1 Вариационные неравенства 82

3.2.2 Решение уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана 84

3.2.3 Проверка решения 97

3.3 Динамика фирмы в модели с телеграфным процессом изменения капитала 99

3.3.1 Телеграфный процесс в ограниченной области с поглощающей нижней границей и отражающей с задержкой верхней границей 99

3.3.2 Исследование зависимости прибыли фирмы от коэффициента межвременных предпочтений 108

Заключение 111

Литература

• Функции полезности с переменной эластичностью замещения
• Рыночное равновесие и социальное благосостояние
• Динамическая модель Мелица с условием ограниченности денежных запасов
• Решение уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана

Введение к работе

Актуальность темы

В последние годы модели монополистической конкуренции особенно интенсивно используются в двух отраслях экономической науки — моделях международной торговли и динамических стохастических моделях общего равновесия (DSGE). В рамках моделей международной торговли монополистическая конкуренция используется как простой и естественный инструмент описания гетерогенной отрасли. В рамках динамических стохастических моделей общего равновесия монополистически конкурентная отрасль становится все более популярным способом описания производственного сектора. Стандартным приемом в таких работах является предположение о том, что монополистически конкурентные фирмы производят промежуточные продукты, которые затем с помощью некоторой нелинейной свертки агрегируются в некоторый “окончательный” продукт, отождествляемый с ВВП.

Если в рамках моделей международной торговли использование монополистической конкуренции позволило получить ряд прорывных результатов, то в рамках моделей DSGE потенциал монополистической конкуренции, по нашему мнению, пока не использован в полной мере. В данной работе мы разрабатываем и анализируем ряд моделей монополистической конкуренции, которые, во-первых, позволяют получить последовательное описание динамики возникновения и банкротства фирм, во-вторых, описать взаимодействие производственного сектора с остальной экономикой (в частности, с финансовым сектором и государством), в-третьих, способны порождать нетривиальные эффекты в ответ на изменение экономических условий (например, связанных с техническим прогрессом и налогообложением). Таким образом, использование разработанных в данной работе конструкций как составных блоков динамических стохастических моделей общего равновесия позволит, во-первых, получить новые эффекты, во-вторых, улучшить обоснованность моделей с микроэкономической точки зрения.

Степень разработанности проблемы

В работе [Melitz, 2003] (в свою очередь, следующей работам П. Кругма-на [Krugman, 1979], [Krugman, 1980] о феномене встречного экспорта) модель монополистической конкуренции с гетерогенными фирмами была успешно применена для объяснения многократно отмеченной в эмпирических исследованиях закономерности — фирмы, имеющие более высокий уровень производительности, имеют более высокую вероятность выхода на иностранные рынки. Тем самым модель Мелица и ее многочисленные вариации и обобщения (см. напр. [Helpman, Melitz, Yeaple, 2004], [Chaney, 2008], [Helpman, Melitz, Rubinstein, 2008] и [Eaton, Kortum, Kramarz, 2011], [Behrens, Pokrovsky, Zhelobodko, 2014])

стали важным инструментом исследования международной торговли и существенно расширили наше понимание ее механизмов.

Монополистически конкурентная отрасль вводилась в модели DSGE для получения новых эффектов и улучшения обоснованности модели с микроэкономической точки зрения (напомним, что именно наличие микрооснований в моделях DSGE делает их менее уязвимыми к критике Лукаса). Однако в существующих в настоящее время моделях (типичным примером является динамическая стохастическая модель общего равновесия экономики США в [Smets, Wouters, 2007]) наличие монополистически конкурентной отрасли не приводит к нетривиальным эффектам и не делает модель более обоснованной с микроэкономической точки зрения, поскольку для корректности модели приходится вводить весьма искусственные предположения. Поэтому, например, в модели экономики России, описанной в [3], микроэкономическая структура производственной отрасли никак не детализируется. Кроме того, сама постановка задачи построения динамической макроэкономической модели требует динамического описания возникновения и банкротства фирм в монополистически конкурентной отрасли, однако нам не известно ни одной работы, содержащей ее последовательного нетривиального описания, кроме [Ericson, Pakes, 1995], которая слишком обща для использования в рамках макромоделей. В частности, хотя в работе [Melitz, 2003] описано возникновение и банкротство фирм, фактически автор ограничивается исследованием квазистационарного состояния динамического процесса появления и выбытия фирм. Восполнению этих пробелов и посвящена данная работа.

При построении и исследовании моделей, описанных в данной работе, мы опирались на хорошо известные в литературе конструкции. Так, помимо уже ставших классическими моделей, описанных в [Dixit, Stiglitz, 1977] и [Melitz, 2003], в рамках исследования вопроса о социальной эффективности в моделях монополистической конкуренции (параграф 1.1) использовались элементы моделей, представленных в [Zhelobodko et al, 2012] и [Kimball, 1995], результаты соотносились с полученными в [Dhingra, Morrow, 2012]. Обзор многочисленных работ, посвященных структурным сдвигам в экономике и их связи с экономическим ростом, теме параграфа 1.2, можно найти в [Acemoglu, 2007]. Фирмы, целью которых является максимизация ожидаемой дисконтированной прибыли до момента банкротства, насколько нам известно, ранее не вводились в модели монополистической конкурении, но сами они являются объектом исследования огромного множества работ, восходящих еще к [de Finetti, 1957]. В частности, самая популярная разновидность моделей фирмы этого класса, в которой описание динамики денежных резервов фирмы основано на броуновском движении (параграф 3.1), была введена в [Radner, Shepp 1996], [Jeanblanc-Picque, Shiryaev,

1995] и [Asmussen, Taksar, 1997]. Задача оптимальной выплаты дивидендов фирмой, денежные резервы которой описываются телеграфным процессом (параграф 3.2), насколько нам известно, ранее не рассматривалась в литературе, но телеграфный процесс довольно широко используется в экономических приложениях, см. напр. [Crescenzo, 2002], [Ratanov, 2007], [Ratanov, Melnikov, 2008]. Кроме того, с экономической точки зрения модель, рассматриваемая в параграфе 3.2, близка к диффузионным моделям с марковским переключением режимов, рассмотренным, например, в [Sotomayor, Cadenillas, 2011] и [Jiang, Pistorius, 2012], хотя ее математические свойства существенно иные.

Целью данной работы является разработка динамических моделей монополистической конкуренции с нетривиальной динамикой возникновения и выбытия фирм, пригодных для использования в качестве составных блоков моделей DSGE, объектом исследования являются модели монополистической конкуренции, предметом исследования является динамика в моделях монополистической конкуренции.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Исследовать возможность введения социально оптимальных налогов в статических моделях монополистической конкуренции.

2. Построить многоотраслевую модель монополистической конкуренции и исследовать происходящие в ней структурные сдвиги.

3. Разработать динамические варианты модели Мелица и исследовать их свойства.

4. Найти оптимальное управление в модели фирмы с динамикой резервов, описываемой телеграфным процессом.

5. Исследовать зависимость интегральных показателей динамики фирмы в модели Раднера-Шеппа и в модели с резервами фирмы, описываемыми телеграфным процессом, от коэффициента межвременных предпочтений и технологических параметров.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Показано, что в моделях монополистической конкуренции с функциями полезности из класса Кимбалла и функцией с переменной эластичностью замещения (variable elasticity of substitution, VES) может быть введен налог на выпуск фирм, при котором рыночное равновесие эффективно.

2. Показано, что в построенной многоотраслевой модели монополистической конкуренции в результате технического прогресса происходят структурные сдвиги, которые могут быть интерпретированы как переход к более “сложным” товарам.

3. Показано, что модель Мелица может быть получена как равновесное состояние предложенной в диссертации динамической модели монополистической конкуренции.

4. Найдено оптимальное управление в модели фирмы с динамикой резервов, описываемой телеграфным процессом.

5. Численные расчеты показывают, что в моделях монополистической конкуренции с фирмами, денежные резервы которых описываются по Раднеру-Шеппу и с помощью телеграфного процесса, в случае положительной средней прибыли происходит структурный сдвиг в смысле количества и генерируемого потока дивидендов к фирмам, имеющим низкий коэффициент межвременных предпочтений.

Теоретическая и практическая значимость работы состоит в получении новых свойств моделей монополистической конкуренции и модели фирмы Раднера-Шеппа, новом описании структурных сдвигов в экономике в результате технического прогресса, новом описании динамики в модели монополистической конкуренции Мелица, решении задачи оптимального управления в модели фирмы с резервами, описываемыми телеграфным процессом. Обнаруженные свойства можно использовать для обогащения моделей DSGE новыми эффектами и улучшения их обоснованности с микроэкономической точки зрения.

Методология диссертационного исследования

Работа базируется на концепциях общего экономического равновесия и социальной эффективности. В работе используются методы теории оптимального управления, вариационных неравенств, интегральных преобразований, теории случайных процессов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается их математическими доказательствами, а также их согласованностью с результатами, полученными другими авторами для рассматриваемых в данной работе моделей и их частных случаев.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы были представлены в виде докладов на четырех конференциях и двух семинарах:

1) 55-я научная конференция МФТИ, Долгопрудный, Россия, 19.11.2012 – 25.11.2012.

2. 26-я европейская конференция по исследованию операций, Рим, Италия, 01.07.2013 – 04.07.2013.

3. VII Московская международная конференция по исследованию операций, Москва, Россия, 15.10.2013 – 19.10.2013.

4. 27-я европейская конференция по исследованию операций, Глазго, Великобритания, 12.07.2015 – 15.07.2015.

5. Семинар отдела «Математическое моделирование экономических систем» ВЦ РАН, Москва, Россия, 09.10.2012.

6. Совместный спецсеминар НМУ–МФТИ «Стохастический анализ в задачах», Москва, Россия, 01.11.2014.

Публикации

Основные результаты по теме диссертации изложены в 5 печатных изданиях общим объемом 7.4 п.л. (личный вклад автора 2.5 п.л.). Из них 2 работы опубликованы в российских рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ общим объемом 1.1 п.л. (личный вклад автора 0.8 п.л.); 1 работа опубликована в зарубежном рецензируемом журнале, индексируемом в базе научных публикаций Scopus общим объемом 4.8 п.л. (личный вклад автора 0.7 п.л.).

Объем и структура работы

Функции полезности с переменной эластичностью замещения

Прежде всего, проверим, что задача имеет решение. Для этого подынтегральная функция должна быть вогнута. Применяя критерий Сильвестра, получаем, что функция вогнута если выполнены следующие два условия: v 1 и v р. Таким образом, возможны два варианта: если v Є (0,1), то множество возможных значений р должно быть (z/, оо), или мы можем предположить, что v 0. Мы рассмотрим только второй случай, поскольку, как мы увидим далее, первый приводит к вырождению в точке v = р. Кроме того, соотношение v р для первого случая не имеет экономического смысла. Таким образом, с этого момента мы считаем v отрицательной.

Фиксируя некоторое j Є {1... п} и приравнивая частную производную функции Лагранжа по Cj (р) к нулю, мы получаем оптимальный уровень потребления Cj(p): -.V—1 \ р-1 Возводим обе части этого равенства в степень р, находим сумму по j = 1... п(р) и после некоторых вычислений получаем V (р) = а (р)- 1 Р (р) 1 , (1.19) где n{p) (P) = 5 (P) (1-20) i=\ есть индекс цен, ассоциированный с индексом товаров V (р) как в [12] или в [1]. Принимая (1.19) во внимание, (1.18) может быть переписано в следующем виде: Cj (р) = Pj (р) V (р) Р (РГ . (1.21) Теперь рассмотрим поведение фирмы. Прежде всего, очевидно, что поскольку все фирмы имеют одинаковые уровни издержек, предпочтения потребителя симметричны по товарам в фиксированной отрасли, и предполагается отсутствие взаимодействия между фирмами, все фирмы имеют одинаковый потребительский спрос и устанавливают одинаковую цену. С учетом (1.16) задача фирмы в отрасли р имеет форму тт (р) = р (р) с (р) — (с(р) а + f)w — max. (1.22) Подставляя (1.21) и находя максимум по р(р), мы находим устанавливаемую фирмой цену: р(р) = —, (1.23) Р как в [1]. Заметим, что как и в [12] и [1], мы полагаем, что количество фирм достаточно велико, и влияние индивидуальной фирмы на индекс Р пренебрежимо мало.

Далее, накладываем условие свободного входа и требуем, чтобы прибыль фирмы была равна нулю. Подставляя (1.19), (1.20), (1.23) в (1.22), после некоторых вычислений получаем следующее выражение количества фирм в отрасли р: Заметим, что по смыслу задачи пм(р) должно быть натуральным числом, но ясно, что в формуле (1.24) натуральное число получаться не обязано. Здесь следует заметить, что в литературе в формулах вида (1.17) часто вместо сумм используются интегралы, что снимает данный вопрос. С другой стороны, при большом числе фирм, а мы в рамках моделей монополистической конкуренции рассматриваем именно такую ситуацию, различие между этими двумя описаниями несущественно. Кроме того, можно считать, что количество фирм равно целому числу значения, полученного в формуле (1.24). Подставляя (1.24) в бюджетное ограничение потребителя, получим следующее выражение, определяющее : (1.25) К сожалению, может быть найдено из (1.25) только численно. Подставляя (1.23) в (1.22) и приравнивая прибыль фирмы к нулю, получаем, что выпуск фирмы может быть переписан в следующем виде: что опять-таки соответствует [12].

Теперь рассмотрим задачу доброжелательного социального планировщика, который максимизирует полезность потребителя при технологическом ограничении.

Как видим, выпуски в рыночном равновесии и задаче социального благосостояния одинаковы, но количество фирм различно. Это доказывает следующее

Утверждение 1.2.1. Для всех v Є (—оо, 0) и всех параметров экономики L, /, a, w рыночное равновесие в модели монополистической кокнуренции с функцией полезности (1.15) неэффективно.

Таким образом, в рыночном равновесии потребитель не может оптимально распределить затраты по отраслям, но оптимально распределяет их внутри области. Заметим, что в однопродуктовой модели Диксита-Стиглица равновесие эффективно, но в присутствии второго рынка однородного продукта (как предложено в оригинальной статье), это не так. Этот результат разочаровывающий, но ожидаемый — рыночная эффективность редко встречается в моделях с монополиями. Также следует заметить, что этот результат не является тривиальным следствием общих теорем о равновесии в моделях монополистической конкуренции, доказанных, например, в [11] и [14], так как функция полезности (1.15) не принадлежит к классу функций полезности, рассмотренному в этих работах.

Рыночное равновесие и социальное благосостояние

Как уже было замечено, в оригинальной статье [1] описано равновесие модели, но не описан сам динамический процесс. В этом параграфе мы предложим описание данного процесса. В отличие от Мелица, мы будем предполагать время в модели непрерывным, чтобы упростить работу со случайными процессами. Также, в отличие от Мелица, мы введем в модель банк, который будет заниматься кредитованием фирм - оплатой издержек входа в отрасль, а также устанавливать уровень отсечения производительности фирмы (f .

Следующие предположения описывают динамику системы: А1. Появление новых фирм, желающих войти в отрасль, описывается пуассоновским процессом с параметром Л. Когда появляется претендент, банк покрывает издержки входа в отрасль, равные wfe (то есть оплачивает затраты труда /е). А2. После оплаты издержек входа фирма узнает свой уровень продуктивности ср. Если этот уровень ниже установленного банком уровня отсечения ( , банк немедленно закрывает фирму. В противном случае фирма начинает производство, и работает до тех пор, пока, как и в модели Мелица, не возникнет "плохой шок". A3. Вероятность появления "плохого шока" описывается показательным распределением с параметром д. "Плохие шоки" для разных фирм независимы. А4. Всю прибыль фирма отдает банку, возвращая таким образом кредит. Предположение А1 отвечает идее о том, что претенденты появляются независимо друг от друга, предположение A3 есть непрерывный аналог предположения Me лица о том, что вероятность банкротства фирмы в каждый период времени одинакова, А2 повторяет аналогичное предположение Мелица, А4 используется для замыкания финансового баланса.

Заметим, что в модели теперь нет рыночного механизма отсечения непроизводительных фирм — если суммарная прибыль отрасли не зависит от технологического уровня фирм, то банк в принципе может позволить работать фирме, приносящей отрицательную прибыль. Тогда зачем банку устанавливать уровень отсечения? Ответ состоит в том, что под словом "банк" мы можем понимать совершенно конкурентный банковский сектор, в котором банки "борются" за фирмы, и, соответственно, не могут позволить себе работать с непродуктивными фирмами. Такая интерпретация хорошо согласуется с поставленным далее условием нулевой прибыли банковского сектора.

Пусть N(t) — количество фирм в момент времени t. Тогда в момент времени t + dt возможны следующие ситуации: - Появилась новая фирма с уровнем производительности выше уровня отсечения, все существующие фирмы остались в отрасли. Тогда N{t + dt) = N(t) + 1. Вероятность этого исхода равна pi = (1 — G{ fi )){A dt){l -6N{t)dt). - Появилась новая фирма с уровнем производительности ниже уровня отсечения, все существующие фирмы остались в отрасли. Тогда N(t + dt) = N(t). Вероятность этого исхода равна р2 = G{ p ){A dt){l -6N{t)dt). - Новые фирмы не появились, все существующие остались в от расли. Тогда N(t + dt) = N(t). Вероятность этого исхода равна р3 = {l-Adt){l-6N{t)dt). - Появилась новая фирма с уровнем производительности вы ше уровня отсечения, одна из существующих фирм закры лась. Тогда N(t + dt) = N(t). Вероятность этого исхода равна р4 = (1 - G{ p )){A dt){6N{t)dt). - Появилась новая фирма с уровнем производительности ниже уровня отсечения, одна из существующих фирм закрылась. То гда N(t + dt) = N(t) — 1. Вероятность этого исхода равна р5 = G{ p ){A dt){6N{t)dt). - Новые фирмы не появились, одна из существующих фирм по кинула отрасль. Тогда N(t + dt) = N(t) — 1. Вероятность этого исхода равна щ = (1 — Л dt)(S N{t)dt). Следующая теорема описывает динамику N(t). Утвержение 2.2.1. В предположениях А1 - А4 количество фирм A(l-G(ip )) N(t) имеет распределение Пуассона с параметром т при каждом t. Доказательство. Введем F(t,s) = Eexp(—sN(t)) — производящую функцию случайного процесса N(t). Составим уравнение Колмогорова (по существу, просто выпишем формулу полной вероятности): F(t + dt,s) =Eexp(-sN(t + dt)) = EN{t) [Еexp(-sN(t + dt))\N(t)] = =E [(1 - G (tp )) (Л dt) (1-6 N(t)dt)) exp(-s(iV(t) + 1))] + +E[G(tp )(Adt)(l-SN(t)dt)exp(-sN(t))] + +E [(1 - Л dt)(l -SN(t)dt) exp(-sN(t))] + +E[(l-G( p ))(Adt)(6N(t)dt)exp(-sN(t))] + +E[G( p )(Adt)(6N(t)dt)exp(s(N(t)-l))] + +E[(l-Adt)(SN(t)dt)exp(-s(N(t)-l))]. Раскроем скобки в правой части, пренебрегая слагаемыми с порядком малости выше dt, и получим F{t + dt, s) « E[(l - G ( p ) A dt) exp(-s (N (t) + 1))]+ + E[G (tp ) Л dt exp(-siV (t))] + [exp(-siV ())] - Я[Л d exp(-siV ())] - Я [5 ЛГ (i) dt exp(-siV ())] + Я [5 N (t) dt exp(-s (ЛГ (t) - 1))] = = (1 - G (p ) (Л d )) exp(-s)F (t, s) + G (tp ) (Л d ) F [t, s)-AdtF (t, s) + + F(t,s) - SE[N(t) dt exp(-sN(t))]+SE[N(t) dt exp(s) (N (t) - 1)]. Воспользовавшись тем фактом, что F(t,s) = -E(N(t))F(t,s) и разложив левую часть по степеням dt до первого члена, получим уравнение в частных производных -F (t, s) = -Л (1 - G (tp )) (1 " exp(-s)) F (t, s) + 5(l- exp(s)) —F (t, s). Поскольку в модели нет роста (неограниченному росту количества фирм препятствует наличие постоянных издержек /), нас может интересовать только стационарное решение, которое находится из уравнения О = -Л (1 - G (ip )) (1 - exp(-s)) F (t, s) + S(l- exp(s)) -F (t, s). Решая это уравнение, находим F(s) = F(t,s) = Cexp (A G exp(-g)") . Из очевидного условия F(0) = 1 находим константу интегрирования и окончательно получаем: Разложим F(s) в ряд Тейлора по степеням e s в окрестности точки e"s = 0: F(s) = exp( 1 x fl fA(l-G(ip ))Yf , _ fA e"A _ai ai 22її ——i j (exp(-s)) =z2— e e, = E We i=0 \ / i=0 i=0 где A(l-G( )) A e"A A = , px (г) = —— соответствует распределению Пуассона. Следовательно, N(t) имеет распределение Пуассона с параметром Л. Утверждение доказано.

Пусть Ф() — количество денег в банке в момент t (запас), П() — генерируемая отраслью прибыль в момент t (поток). Как доказано ранее (см. (2.3)), U(t) зависит только от количества фирм: U(t) = U(N(t)). Следующее утверждение дает представление о динамике

Динамическая модель Мелица с условием ограниченности денежных запасов

Пусть (Г Т7, Р) — вероятностное пространство. Как в [47], мы предполагаем, что денежные резервы фирмы описываются аддитивным броуновским движением: () = + () - (), 0, (3.1) где () — стандартный винеровский процессе, () — денежные резервы фирмы, () — процесс выплаты дивидендов, который предстоит найти. Параметры 0 и 0 полагаются фиксированными. Цель фирмы состоит в максимизации ожидаемой дисконтированной прибыли: (3.2) г [ exp(-)()-(0) Jo где 0 — коэффициент межвременных предпочтений, — время банкротства, которое происходит, когда капитал фирмы впервые становится отрицательным. Также введем () — плотность распределения начального капитала (0). Интерпретация данной модификации целевого функционала очень проста — начальный капитал рассматривается как долг, который должен быть возвращен. Эта модификация делает более реалистичным сравнение прибылей фирм с разными коэффициентами межвременных предпочтений, которое будет проведено в конце следующей секции. Очевидно, она не имеет влияния на оптимальную стратегию выплаты дивидендов, которая, как было показано в [47], характеризуется пороговым уровнем (3.3) в= ? ы( М+уУ + 2а2А Когда капитал фирмы X(t) превосходит В, оптимально выплатить сумму X{t) — В в качестве дивидендов, а когда X(t) меньше В, фирма не должна платить дивидендов.

Мы заинтересованы в более полном описании динамики капитала фирмы со временем. Пусть F(t,x) = P{X{t) x,t т) и N(t,x) = J F(t,x). Определенные таким образом, F(t,x) и N(t,x) аналогичны функции распределения и плотности распределения вероятностей соответственно. Следующая Лемма показывает, что N(t,x) является решением уравнения теплопроводности с дрейфом с поглощающей нижней границей и частично отражающей верхней границей. Для того чтобы получить граничные условия, мы используем регуляризацию броуновского движения с дрейфом, которая, насколько нам известно, является новой в литературе. Строго говоря, этот результат является довольно стандартным и может быть получен без предложенной регуляризации, но она также позволит нам далее получить формулу среднего потока дивидендов.

Лемма 3.1.1. Пусть (р(х) есть плотность распределения капитала фирмы в начальный момент t = 0 с носителем [О, В], денежные резервы фирмы подчиняются (3.1), стратегия выплаты дивидендов определяется пороговым уровнем В, определенным в (3.3). Тогда N(t,x) есть решение следующей краевой задачей для диффузионного уравнения:

Когда М стремится к бесконечности, для х Є [О, В] процесс, описываемый (3.5) - (3.6) становится процессом, описываемым (3.1). Пусть ф(х) — некоторая достаточно регулярная (непрерывно дифференцируемая нужное количество раз) функция. Поскольку приращение стандартного броуновского движения на (t, t+At) может быть описано как л/At, где имеет стандартное нормальное распределение, уравнение Колмогорова для процесса, описываемого (3.5) -(3.6), есть -00 »00 N (t + At, х) ф (х) dx = / N(t,x) ІУ(ОФ (ж + Д(ж) At + аСл/АІ] d drr, J —00 J —00 где z/() — плотность стандартного нормального распределения. Используя приближение Тейлора для малыхД , мы получаем

Решение уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана

Таким образом, чтобы получить явные формулы для соА, фА, соА, фА,со2, ф2, мы должны найти соответствующие обратные преобразования Лапласа в (3.111), (3.112) и (3.113). После этого ш и ф могут быть найдены из (3.110) и ф может быть найдена из (3.105). После этого LQ И L\ могут быть найдены из (3.100), что дает полное описание динамики процесса.

Исследование зависимости прибыли фирмы от коэффициента межвременных предпочтений Прежде всего, докажем следующее Утверждение 3.3.2. Оптимальное значение порога т, определенное в (3.77), убывает при увеличении коэффициента межвременных предпочтений с. Доказательство. Производная т по с может быть представлена как dm LN(b(c)-a(c) ) Щ dc (6(c)-о(с)) 2 (6(c)-a(c))t/iCV V где LN есть логарифм из (3.77), Ui = b (с) с2цо + 2 Ь (с) сАіНо + Ь (с) Л0ЛІ/ІІ + Ь (с) ЛІ2/І0-с3 - с2Л0 - 2 с2Лі - сЛ0Лі - сЛі2, ІІ2 = а (с) С2/ІО + 2 а (с) СЛІ/ІО + а (с) ЛОЛІ/ІІ + а (с) ЛІ2/ІО— с3 - с2Л0 - 2 с2Лі - сЛ0Лі - сЛі2, сЛоЛі/л(с + Л0 + Лі)У 3 7 где і? = С2/І02 — 2 с2/і0Мі + С2/І2 — 2 СЛО/ІОМІ + 2 СЛ0/І2 + 2 СЛІ/І2, — 2 СЛІ/ІО/ІІ + Л02/І2 + 2 Л0ЛІ/І0/ІІ + Л2/ІЦ и У = -С2/І0 + С2/ІІ - 2 СЛ0/ІО + 2 СЛО/ІІ+ЛО/ІІ+ЛОЛІ/ІО+ЛОЛІ/ІІ+Л2/ІО- Из условия положительности предела очевидно следует, что LN 0. Кроме того, из Предложения следует, что U\ 0. Далее, покажем, что U i 0. Это неравенство может быть переписано в следующем виде: - (c2/i0 + 2 СЛІ/ІО + Л0ЛІ/ІІ + Л2/І0 ) л/Ї2 c3/ig - С3/І0МІ-С2Л0/ІОМІ + ЗС2ЛІ/ІЦ - 2С2ЛІ/І0/ІІ + СЛ0ЛІ/І0/ІІ + СЛ0ЛІ/І2+ З сЛ2/ід - СЛ2/І0/ІІ + ЛдЛі/і2 + 2 Л0Л2/І0/ІІ + Л3 . 108 Если выражение в скобках положительно, неравенство доказано, так как выражение справа положительно. Если оно отрицательно, возведем в квадрат обе стороны и после некоторых упрощений получим 4С4Л0ЛІ/І0/І? + 8С3ЛОЛІ/І0/І? + 8С3Л0Л2/І0/І? + 4С2Л3)ЛІ/І0/І1 + 8С2ЛОЛІ/І0/4 + 4С2Л0Л3/І0/І? 0. Это неравенство выполнено при всех значениях параметров модели. Далее, Аь(с)-Ав(С) = CJJLQ - 2 С/ІОМІ + сц\ - Ло/іоМі + Лр/і2 + ЛІ/І2, - ЛІ/І0/ІІ І?/ІОМІ Наконец, докажем, что Щ 0. Это неравенство равносильно V 0, которое мы докажем, используя условия положительности порогов: V = -с2цо + с1 ii\ - 2 СЛО/ІО + 2 сЛо/іі + Л02/ІІ + Л0ЛІ/І0 + Л0ЛІ/ІІ+ ЛІ2/І0 -2 С2/І0 + С2/ІІ - 2 СЛО/ІО + 2 СЛ0/ІІ - 2 СЛІ/І0 + Л02/ІІ + ЛОЛІ/ІО —2 С2/ІО + С2/ІІ — 3 СЛО/ІО + 2 СЛО/ІІ — 2 СЛІ/ІО 0.

Таким образом, достаточно провести анализ зависимости суммарной прибыли фирмы от порога. Заметим, поскольку среднее время, которое фирма проводит в режиме s, пропорционально 1/AS, то средний поток прибыли фирмы пропорционален д2- + д1- Естественно ожидать, что поведение фирмы будет зависеть от знака этой величины. И действительно, численные расчеты показывают, что если ЛО/ІІ + ЛІ/ІО 0 (это соотношение следует из условия положительности порогов), то прибыль фирмы увеличивается с ростом порога (в терминах коэффициента межвременных предпочтений, в модели выгодна долгосрочная стратегия).

Полученные в этом параграфе результаты свидетельствуют о том, что динамика отрасли, в которой эволюция денежных резервов описывается телеграфным процессом, характеризуется тем же структурным сдвигом, что и в модели, описанной в конце параграфа 3.1.

В работе рассмотрена сравнительная статика и динамика моделей монополистической конкуренции. Построены и исследованы новые модели монополистической конкуренции, в том числе многоотраслевая модель монополистической конкуренции, динамические варианты модели Мелица, модели с динамикой денежных резервов фирмы, описываемой броуновским движением с дрейфом и телеграфным процессом. В процессе исследования найдено оптимальное управление в модели фирмы, денежные резервы которой описываются телеграфным процессом, получено описание динамики телеграфного процесса в ограниченной области с поглощающей нижней границей и отражающей с задержкой верхней границей, проведены численные расчеты. Показано, что динамика рассмотренных моделей характеризуется нетривиальными структурными сдвигами. А именно, в моделях монополистической конкуренции, в которых динамка денежных запасов фирмы описывается броуновским движением с дрейфом или телеграфным процессом, происходит структурный сдвиг, в результате которого увеличивается количество фирм с большим горизонтом планирования (малый коэффициент межвременных предпочтений). Также фирмы с малым коэффициентом межвременных предпочтений имеют большее значение ожидаемого суммарного дисконтированного потока дивидендов. Таким образом, в данных моделях более предпочтительно долговременное планирование. Кроме того, предложена модель монополистической конкуренции, в которой к нетривиальным структурным сдвигам приводит технический прогресс — растет доля фирм, производящих сильно дифференцированные продукты. Соответственно, предложенные конструкции могут могут быть использованы как составные блоки моделей DSGE, если от них требуется воспроизведение подобных эффектов. Также применительно к некоторым конструкциям были описаны механизмы взаимодействия с остальной экономикой, что весьма востребованно в рамках концепции DSGE.

Самостоятельный интерес, как нам представляется, имеет найденное в работе оптимальное управление в модели фирмы, денежные резервы которой описываются телеграфным процессом. Как ни странно, отсутствие броуновского движения в описании динамики не упрощает, а усложняет модель — в отличие от моделей в броуновским движением, полученных из уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана равенств оказывается недостаточно для нахождения оптимального управления. Тем не менее, анализ вариационных неравенств позволил получить оптимальное управление, которое, как и в аналогичных задачах, имеет пороговый тип.

Также интерес представляет полученное в работе описание динамики телеграфного процесса в ограниченной области с поглощающей нижней границей и отражающей с задержкой верхней границей — случай, который, насколько нам известно, ранее в литературе не рассматривался.