Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Валютный рынок 13
1.1. История мировой валютной системы 13
1.2. Теории валютных курсов 19
1.2.1. Уравнение паритета инфляции 19
1.2.2. Уравнение процентного паритета 21
1.2.3. Равновесный валютный курс потекущим операциям 22
1.2.4. Модель Дж.М.Флеминга и Р.А.Манделла 24
1.3. Валютный дилинг 30
1.3.1. Типы дилинга 31
1.3.2. Валютная игра 31
1.3.3. Информационные агентства 32
1.3.4. Кросс-курсы мировых валют 33
1.3.5. Долларовые курсы мировых валют 34
Глава 2. Оптимальный валютный дилинг 36
2.1. Модель и критерий оптимальности валютных обменов 36
2.1.1. Балансы валют 36
2.1.2. Критерий оптимальности 38
2.2. Оптимизационная постановка и условия оптимальности 39
2.2.1. Оптимизационная постановка 39
2.2.Условия оптимальности 40
2.3. Анализ условий оптимальности 42
2.3.1. Аксиома цен 42
2.3.2. Двойственная задача 44
2.3.3. Качественные особенности оптимальных переходов 49
2.3.4. Двойственные переменные р\ и первый интеграл системы 52
2.4. Алгоритм построения оптимального решения 54
2.4.1. Пример расчета 54
2.4.2. Численный метод 58
Глава 3. Практические расчеты оптимальных конверсии 61
3.1. Оптимальные кроссконверсии четырех валют 61
3.1.1. Двойственные переменные 61
3.1.2. Оптимальные переходы 62
3.1.3. Прямые переменные 63
3.2. Оптимальные конверсии через доллары 65
3.2.1. Об алгоритме построения оптимального решения 66
3.2.2. Сравнение оптимальных решений 66
Заключение 68
Литература 69
Приложение 71
- Равновесный валютный курс потекущим операциям
- Оптимизационная постановка и условия оптимальности
- Качественные особенности оптимальных переходов
- Об алгоритме построения оптимального решения
Введение к работе
1. Предмет исследования. Первая постановка: завершился финансовый год; валютный дилер, работая на своем сегменте финансового рынка, пришел к какому-то результату - убытку или прибыли; а какой была максимально возможная прибыль от валютного дилинга в истекшем году? Отношение полученной дилером прибыли к максимально возможной прибыли вполне может трактоваться как профессиональный коэффициент полезного действия дилера.
Вторая постановка: два дилера работали на валютном рынке; условия их работы различались в том плане, что стартовые валютные ресурсы были разными и, что сложнее, сторонние поступления и изъятия в течение года также были разными. Как сравнивать результаты работы двух дилеров при различающихся внешних условиях? Эта постановка приобретает важное значение, когда заработок дилера хотят сделать зависящим от финансового результата его работы, чтобы повысить эффективность этой работы. Представляется, что в формуле дилерского заработка должен фигурировать как аргумент именно К.П.Д. дилера, а не абсолютная величина принесенной им прибыли.
Третья постановка — оценка эффективности алгоритма управления валютным портфелем. Реальная - в настоящем времени - работа на валютном рынке раскладывается на две составляющих: во-первых, прогнозирование валютных курсов на сколько-то шагов вперед и во-вторых, выбор оптимального состава валютного портфеля на текущем шаге. Вторая проблема — при известных наперед валютных курсах - решается в настоящей работе. Что касается проблемы прогнозирования, то во всей работе по управлению валютным портфелем - это намного более сложная ее часть, не имеющая признанного успешного решения, но постоянно рекрутирующая новых и новых искателей ее решения. Как определить пригодность предложенного алгоритма? Естественно: испытать его на прошлых данных. Как установить его эффективность? Так же естественно: сопоставить прибыль, даваемую алгоритмом, с максимально возможной прибылью. Так еще один раз возникает вопрос об оптимальном валютном дилинге и максимальной прибыли от торговли на валютном рынке.
Четвертая постановка: как охарактеризовать в целом состояние валютного рынка в истекшем году по сравнению с предшествующими годами, и, по сравнению с другими сегментами финансового рынка. Фондовый рынок характеризуют индексами типа Доу-Джонса, Standart and Poors 500, РТС и т.п. Эти индексы представляют собой суммы
взвешенных цен акций избранных компаний; индексы рассчитываются после каждого торгового дня; представляет интерес не одно какое-то значение индекса, а его изменение на протяжении недели, месяца, года - одним словом, динамика индекса; если индекс растет, то говорят, что на фондовом рынке происходит оживление; падение индекса свидетельствует о неблагополучии фондового рынка. Подобного индекса для валютного рынка нет. Можно было бы предложить такую конструкцию: искомый показатель есть сумма долларовых курсов, отнесенных каждый к своему значению в начальный день исследуемого временного интервала, сумма делится на число членов в этой сумме. В начальный момент этот показатель равен единице, на следующий день он больше единицы или меньше ее; на третий день он в большую или меньшую стороны отличается от предшествующих дней и т.д.
О фондовых индексах: их рост предопределен экспансионистской природой акционерных обществ; акционеры стремятся к расширению своего дела и поэтому какие-то части прибыли направляют на развитие производственных фондов. Вторая действующая сторона - инвесторы фондового рынка могут оценивать адекватно, переоценивать или недооценивать реальную стоимость того или иного предприятия в те или иные моменты времени, но превалирующей здесь является повышательная тенденция в отношении оценки стоимости и поэтому фондовые индексы имеют тенденцию к росту, а падение фондовых индексов всегда явление временное, свидетельствующее либо о падении покупательной способности инвесторов, либо о неблагополучии на фондовом рынке, либо о неблагополучии в экономике в целом. Одним словом, несмотря на небезупречность рассчитываемых и представляемых широкой публике фондовых индексов, они информативны.
Возвращаясь к предложенному выше индексу валютного рынка, который, кстати, построен по образцу фондовых индексов, следует отметить, что он неинформативен, ибо его рост или падение по сравнению с предшествующим периодом не вызывает никаких ассоциаций с положением на мировом валютном рынке.
Максимальная прибыль на валютном рынке, которую можно было бы получить в истекшем периоде, есть предел для валютного спекулянта. Предельный выигрыш на валютном рынке можно сопоставить с предельными выигрышами на других сегментах финансового рынка: фондовом, ГКО, кредитном и кредитно-депозитном. Такое сопоставление может подсказать инвестору наиболее благоприятную сферу приложения своих средств. Предельный выигрыш в истекшем году можно сравнивать с таковыми в прошлые годы и это сравнение может навести на мысль о необходимости коррекций в организации мирового валютного рынка. Одним словом, предельный выигрыш на валютном рынке предлагается считать одной из характеристик этого рынка. Надо сказать, что эта
характеристика свободна от того недостатка фондовых индексов, что здесь не нужно изобретать весовые коэффициенты.
Пятая постановка: какова оптимальная структура управления валютным портфелем, иными словами, каковы характерные особенности управляющих воздействий, которыми распоряжается инвестор? В роли таковых выступают объемы продаваемых и покупаемых валют. Этот вопрос всегда возникает в математических задачах управления: иногда удается построить алгоритм оптимального управления, основывающийся на текущих значениях измеряемых значений фазовых координат или их комбинаций. Одним словом, в некоторых, хотя и редких случаях структура оптимального управления подсказывает алгоритм оптимального управления - это дежурный вопрос, ответ на который иногда бывает полезным.
Итак, по разным основаниям решение задачи об оптимальном управлении валютным портфелем представляется полезным и актуальным делом. Информация о валютных курсах от начала и до конца изучаемого временного интервала имеется. Остается сформулировать задачу оптимизации, разработать математическую модель валютного дилиига, выписать условия оптимальности,- разработать эффективный численный метод и, воспользовавшись доступными отчетными данными о валютных курсах, найти оптимальные валютные обмены.
2. Область исследования. Оптимальные покупки и продажи финансовых инструментов на финансовом рынке были предметом рассмотрения в статьях [4-6,10].
В первой из цитированных статей [4] приводился оптимальный ряд ГКО, построенный на основании курсовых стоимостей облигаций ГКО в 1995 г. следующие выводы были сделаны по результатам расчетов.
Самый впечатляющий из этих выводов таков: действуя оптимальным образом на рынке ГКО в 1995 г. можно было увеличить капитал от 10.01.95 до 29.12.95 в 1107,61 раз (не на такое число процентов, а в такое число раз); ГКО-Клондайк просуществовал несколько лет, обогатив искусных спекулянтов и разорив государство, руководимое то ли неразумными, то ли преступными финансистами. Во-вторых, хотя разница между ценой продажи инвестору и ценой покупки у инвестора облигации ГКО существовала - она составляла около 0,3% от средней цены облигации, но этот спрсд не оказал влияния на последовательность оптимальных выпусков; оптимальным на каждом шаге процесса был один - единственный выпуск, либо деньги. Признак оптимальности выпуска в этом случае известен и прост: сегодня нужно купить облигации того выпуска, которые назавтра возрастут в цене в наибольшее число раз; если цены всех выпусков завтра станут меньше,
чем сегодня, то сегодня надо продать все облигации и остаться с деньгами как оптимальным активом. Деньги оказались оптимальным активом в 15 торговых днях из 194 торговых дней. Упомянутое свойство оптимального алгоритма является весьма практически полезным: прогноз цен на облигации ГКО не должен распространяться более, чем на один торговый день. Третье обстоятельство, которое следует отметить по результатам статьи [4] таково: там было впервые предложно правило расчета коэффициента полезного действия инвестора.
Вторая статья из упомянутого цикла - [5] была посвящена оптимальным продажам и покупкам ценных бумаг, в том числе ГКО. Цены на акции по покупкам и продажам в 1995 г. различались в разы в отличие от цен на облигации ГКО и это обстоятельство существенно осложнило структуру оптимального управления портфелем ценных бумаг и потребовало разработки численного метода, решающего проблему оптимального портфеля ценных бумаг. В отличие от простого признака оптимальности в случае ГКО теперь последовательность оптимальных состояний портфеля ценных бумаг определяется применением специфического численного метода. В работе [5] приводится математическая модель торговли ценными бумагами, формулируется оптимизационная проблема, критерием в которой выступает капитал портфеля в последний торговый день анализируемого временного промежутка, выводятся условия оптимальности и предлагается конечношаговый численный метод. Этот метод выглядит так: сначала решается двойственная задача движением от конца к началу, при этом проходе все ценные бумаги на каждом шаге процесса разносятся по трем классам: "купить", "продать", "сохранить"; при этом на каждом шаге в качестве оптимального покупаемого выявляется только один вид бумаг, либо не одного, когда оптимальным активом являются деньги. Разметка по классам является универсальной заготовкой для полного портфеля: считается, что на данном шаге в портфеле присутствуют все виды ценных бумаг и деньги; происхождение их таково, что они либо переходят с предшествующего шага (в прямом течении времени) и приходят со стороны. При прямом проходе (от начала к концу рассматриваемого интервала) эта заготовка используется для того, чтобы решить задачу в прямых переменных, где задаются конкретные стартовые количества денег и ценных бумаг, а также конкретные поступления активов на каждом шаге процесса.
Для практических расчетов были взяты цены продаж и покупок акций 13 компаний по всем торговым дням 1995 г. - их оказалось 239; результаты следующие.
Первое: из 13 компаний акции только 3-х входили в оптимальную последовательность покупок и продаж и деньги также входят в эту последовательность.
Второе: оптимальная последовательность содержит всего 8 актов продаж и покупок акций - 8 обновлений портфеля; такая инерционность по сравнению с портфелем ГКО
объясняется значительным спредом между ценой продажи и ценой покупки: ведь купив акции какой-то компании как минимум нужно дождаться момента, когда цена их покупки сравняется с ценой их продажи в момент покупки; при общей тенденции роста цен такое сравнивание случалось в среднем через 1,5 месяца. Следовательно, прогноз цен фондового рынка должен распространяться на срок не менее 1,5 месяцев (в среднем), в то время для рынка ГКО горизонт должен отстоять на 1 торговый день.
Третье: максимальный коэффициент увеличения капитала на фондовом рынке в 1995 г. составил 12,34 раза; разница в «100 раз по сравнению с рынком ГКО в 1995 г. связана с тем, что рассматривались акции только 13 компаний и, видимо, самое главное с тем, что фондовый рынок как рынок частных лиц оказался много менее щедрым для инвестора, чем государственный рынок ГКО.
В работе [10] рассмотрен рынок межбанковских кредитов (МБК); отчетная информация представлена как зависимость ставки предоставления денежных средств от срока предоставления и календарного времени; сроки предоставления на рынке МБК стандартны: 1, 3, 7, 14, 30 дней. Постановка задачи об оптимальном апостериорном кредитовании такова: задан начальный кредитный ресурс, заданы сторонние поступления и изъятия денежных средств на протяжении всего интервала рассмотрения; кредитный ресурс каждого дня складывается из возвратов ранее предоставленных кредитов (вместе с процентами по ним) и поступления минус изъятие; в дни изъятий обязательно должны быть возвраты, чтобы удовлетворить внешним условиям задачи; требуется выбрать такую последовательность сроков предоставления, чтобы при соблюдении всех внешних условий задачи получить максимальный капитал в последний день рассматриваемого интервала.
В работе [10] введены понятия начальной и краевой задач оптимального кредитования. В начальной задаче определяется оптимальная цепочка кредитов от начала и до конца интервала рассмотрения; в ней определен стартовый ресурс и нет сторонних поступлений и изъятий. Когда в задаче фигурирует помимо стартового ресурса еще один ресурс стороннего поступления и нет изъятий, то ее решение есть сумма решений двух начальных задач: первая начинается в точке старта рассматриваемого процесса, вторая - в точке стороннего поступления; первая оперирует со стартовым ресурсом, вторая — с ресурсом стороннего поступления, обе начальных задачи имеют окончанием финальную точку рассматриваемого процесса. Когда в задаче есть стартовый ресурс и одно стороннее изъятие в промежуточной точке, то это уже краевая задача: нужно не только провести стартовые денежные средства по оптимальной цепочке кредитов до конца рассматриваемого
интервала, но еще сделать так, чтобы. заданное количество денежных средств было доставлено в точку изъятия. Эту задачу решают две начальные задачи с общим началом: первая заканчивается в финальной точке рассматриваемого интервала, вторая — в точке изъятия; стартовый ресурс второй задачи есть такая часть общего ресурса, которая после своей оптимальной цепочки становится ровно изымаемым количеством денежных средств в точке изъятия.
Решение общей задачи оптимального кредитования есть сумма решений начальных задач, каждая со своей оптимальной цепочкой кредитов; число начальных задач равняется числу поступлений ресурсов (включая начальный ресурс) плюс число изъятий; то, что решение исходной задачи есть линейная комбинация решений начальных задач, является следствием линейности исходной задачи.
Дополнительно к сказанному надо еще отметить следующие результаты работы [10]. Первый. Численное решение начальной задачи получается двумя проходами: сначала решается двойственная проблема от правого конца к левому; здесь для каждого временного шага находится свой оптимальный кредит (свой оптимальный срок кредитования); затем решается прямая проблема со своим начальным количеством денежных средств; оптимальная цепочка получается последовательным движением от начала данной прямой задачи до ее окончания. Второе: практический расчет оптимальной последовательности кредитов с данными рынка МБК на интервале 01.10.00-24.12.00 привел к максимальному выигрышу 34,38% в годовом исчислении.
В публикации [6] рассматривается проблема оптимизации в отношении совместной работы на рынке депозитов и рынке кредитов. Здесь оптимизационная проблема такова: задан временной интервал; заданы сроки привлечения депозитов и сроки предоставления кредитов; на межбанковском рынке они неизменны по времени; известны две дискретные функции: ставка привлечения и ставка предоставления в зависимости от календарного срока и срока привлечения или срока предоставления; на каждом временном шаге дана возможность привлекать депозиты разных сроков, но обязательно с погашениями в пределах рассматриваемого интервала; на каждом временном шаге образующийся денежный ресурс может распределяться между кредитами разных сроков опять-таки с возвратами до окончания рассматриваемого интервала; оптимальной называется последовательность депозитов и кредитов, приводящая к максимальной прибыли, которая достигается в конечный момент интервала. Оптимальное решение очевидно в отсутствие ограничений: в тот первый торговый день, когда ставка предоставления превысила бы ставку привлечения, следовало бы, не ограничивая себя, привлечь и разместить максимально возможный объем
денежных средств; этому препятствуют регламенты Центрального банка, поэтому оптимизационная задача о привлечении депозитов и предоставлении кредитов включает ограничения, задаваемые инструкциями и положениями Центрального банка.
В работе [б] получены следующие результаты. Выведена модель совместного привлечения и предоставления денежных средств. Выведены модели регламентных ограничений Центрального банка: по резерву на возможные потери по ссудам, по резерву по депозитам, по нормативу достаточности капитала банка, по текущей ликвидности банка, по долгосрочной ликвидности банка, по общей ликвидности. Сформулирована задача оптимальных привлечений и предоставлений. Выведены условия оптимальности. Исследована структура оптимального решения. Рассмотрен пример оптимального решения для рынка МБК с данными, относящимися к периоду 01.07.00-30.12.00. Доказано, что в рассматриваемом примере оптимальная последовательность депозитов и кредитов такова: привлекаются только самые дешевые, одношаговые, депозиты; предпочтительными являются самые дорогие, четырехшаговые кредиты; чтобы не нарушалось условие достаточности капитала банка, приходится на первом шаге предоставлять одно- и двухшаговые кредиты и на втором шаге — двухшаговые кредиты. Одно- и двухшаговые кредиты менее выгодны, но их включение в оптимальную траекторию обусловлено необходимостью неубывания капитала банка для выполнения условия достаточности на тех шагах, где нет возврата выгодных четырехшаговых кредитов. Максимальная эффективность совместной работы на рынке межбанковских депозитов и кредитов составляет 190% в год — по опыту расчетов 01.07.00-30.12.00.
Последняя из рассмотренных в этом обзоре задач (ГКО, акции, кредиты, депозиты и кредиты) выпадает из общего круга по следующему основанию. Первые три решаются одним общим методом: сначала ходом назад определяются двойственные переменные задач и делается разметка инструментов на продаваемые (неоптимальные) и покупаемые (оптимальные) и в случае акций - еще сохраняемые; затем ходом вперед, используя результаты первого прохода, находятся оптимальные количества инструментов по заданным начальным ресурсам и сторонним поступлениям-изъятиям. Не так в задаче о привлечении-предоставлении: здесь не удается построить простой алгоритм и причиной этому является ограничение, связывающее на каждом шаге финансовые инструменты. Поэтому здесь лишь можно в каждом конкретном случае угадать оптимальное решение, а затем доказать его оптимальность (вариант с привлечением классических численных методов решения оптимизационных линейных динамических задач хотя и в запасе, но не рассматривается).
3. Содержание диссертационной работы. Работа содержит оглавление, настоящее Введение, три главы, Заключение и список цитированной литературы.
Первая глава является обзорной - в ней собраны исходные сведения об организации мировой валютной системы, теориях валютных курсов и валютном дилинге. Первый параграф посвящен истории мировой валютной системы; здесь кратко описывается период "золотого стандарта", приводятся системообразующие основы валютного мироустройства после Бреттон-Вудсской конференции и коррекции этих основ, принятые не Ямайкской конференции. Во втором параграфе кратко излагаются теория валютных курсов Дж.М.Флеминга и Р.А.Манделла, а также даются уравнения паритета инфляции и процентного паритета. Первые два параграфа хотя и не имеют непосредственно отношения к математическому моделированию, но, по нашему мнению, с достаточной полнотой характеризуют окружающую предметную область. В третьем параграфе излагаются правила валютного дилинга, а также состав и структура отчетных данных о курсах спот. Этот параграф необходим для понимания того исходного статистического материала, который далее используется в расчетах.
Центральная глава диссертационной работы - вторая: в ней излагается теория оптимального валютного дилинга. В первом параграфе дается вывод модели валютных обменов и критерия оптимальности этих обменов. Второй параграф второй главы содержит формулировку оптимизационной постановки и вывод условий оптимальности. Анализ условий оптимальности, исследование двойственной задачи, установление качественных особенностей оптимальных переходов излагаются в третьем параграфе. В четвертом параграфе описывается предложенный конечношаговый алгоритм построения оптимального решения.
Третья глава содержит результаты численных расчетов для четырех мировых валют: доллара США, английского фунта стерлингов, немецкой марки и швейцарского франка; временной интервал, для которого проводились расчеты: 01.07.99-07.09.99. Первый параграф этой главы посвящен оптимальным кроссконверсиям четырех валют. Во втором параграфе приводятся результаты конверсии через доллары.
В Заключении представлены основные методические и практические результаты диссертационной работы.
Список цитированной литературы включает 20 наименований.
4. Публикации диссертанта по теме работы:
1. Иванов Ю.Н., Коноплёв Д.В. Моделирование валютных операций и оптимизационный анализ валютного рынка. // Системные исследования. Методологические проблемы. Ежегодник 2001. М., Эдиториал УРСС, 2002.
2. Коноплёв Д.В. Оптимальный валютный дилинг. Препринт. МФТИ, 2002.
3. Коноплёв Д.В. Международная финансовая система и теории валютных курсов. Препринт. МФТИ, 2002.
4. Содержание диссертационной работы доложено 27.03.02 на научном семинаре в ИСА РАН.
5. Работа обсуждена 12.04.02 на научном семинаре факультета прикладной математики и экономики МФТИ.
Равновесный валютный курс потекущим операциям
На международном рынке страна а торгует со страной Р; первая продает товар а и покупает товар Р; вторая покупает а и продает Р; внутристрановые цены на свои товары соответственно Са и Сп; в стране р цена на чужой товар а равна СаСар, где Сап — цена валюты а в единицах валюты Р, или курс а в единицах р; произведение СаСап— цена товара а в единицах Р; соответственно СаСпа- цена товара р в единицах а. В теории потребления спрос на предметы потребления определяют через функции спроса. Вообще, функция спроса /j(C,- /z) показывает, сколько продукта / купит потребитель при ценах С,-» и своем доходе z; объем покупки продукта / зависит не только от цены С і на этот продукт, но также от цен С,-» на все прочие продукты / , и это обстоятельство отмечается в функции спроса тем, что там записан аргумент С,", а не С,-. Если все цены С, и доход z увеличить или уменьшить в одинаковое число раз, то объемы потребления не изменятся, поэтому функции спроса записывают зависящими от отношений C,-»/z. Еще следует отметить, что произведение Q//(C, /Z)=zi есть часть дохода, отдаваемая на покупки продукта /, и сумма всех частей z,- равна доходу г. Наиболее простой по форме и наиболее часто используемой в макроэкономике является функция спроса, предложенная А.Маршаллом; она имеет вид: Pt = V,- zjCi - спрос прямо пропорционален доходу z и обратно пропорционален цене С,-; спрос на продукт і зависит только от цены С,-и более не от каких цен; параметр Vj есть доля дохода z, отдаваемая на покупку продукта і; z,-=vJ-z = CJ-/f. Эти общие сведения имеют непосредственное отношение к определению курса Сар (или Сра). Пусть спрос в стране р на продукт а страны а обозначается через Ра \CaCan/z); z - доход покупателей страны р в единицах валюты Р; соответственно Рп \CnCna/za J — спрос в стране а на продукт р страны р.
Стоимость экспорта страны а в страну р в единицах а, если весь спрос страны р удовлетворяется страной а, равняется СаРа \CaCan/z J; соответственно, стоимость экспорта из р в а в единицах валюты р есть СпРп (CpCpa/z J. Эти стоимости, если их исчислять в одинаковой валюте, должны совпадать: Баланс (1.11) записан в единицах валюты Р; такой же баланс, но представленный в единицах а, выглядит аналогично (1.11): Из сопоставления двух форм (1.11) и (1.12) вытекает связь между взаимнообратными курсами: она привычна и не требует комментариев, однако необходимо подчеркнуть, что связь (1.13) не вводится аксиоматически, а выводится из двух представлений баланса, каждое в своей валюте. Равенство (1.11) или (1.12) есть условие нулевого сальдо платежного баланса страны: сумма продаж по экспорту должна равняться сумме покупок по импорту. Следует еще раз отметить, что в рассматриваемой постановке нет взаимного обмена капиталами. Для случая торговли двух стран а и Р продуктами, соответственно аир, платежный баланс (1.11)-(1.12) выступает как условие для определения обменного курса Сап (или Спа). После подстановки функций спроса, взятых в форме А.Маршалла, получается следующее выражение для Спа: Va—доля дохода в стране р, отдаваемая на покупку продукта a; Za = Vaz - часть дохода в стране р, отдаваемая на покупку а, исчисляемая в единицах валюты р.
Второе равенство в (1.14) имеет простую трактовку: курс Спа должен быть таков, чтобы деньги, затрачиваемые одной страной на покупку товаров другой страны, в точности по переводному коэффициенту Спа равнялись деньгам второй страны, затрачиваемым на покупку товаров первой страны. Последнее равенство (1.14) похоже на определения курса по золотому паритету (1.1) и по паритету покупательной способности (1.4). фиксированными величинами, поэтому формулой (1.12) переводной коэффициент Сра определяется как отношение фиксированных частей фиксированного дохода. В общем случае, как это следует из баланса (1.11), курс Спа (или Сап) тоже есть отношение затрат в одной и другой странах на закупку чужих продуктов. Действительно, произведение СаРа \CaCan/z J в левой части баланса (1.11) есть часть доходов в стране р, расходуемая на покупку продукта а страны a, а СпРп \CnCna/z J - аналогичная часть доходов страны а; отношение второго к первому равняется переводному коэффициенту Сап. Только в общем случае, в отличие от рассмотренного, эти части доходов сами зависят от курса Сап. Описанная выше постановка проблемы определения обменных курсов, базирующаяся на функциях спроса и платежном балансе, допускает распространение на общий случай, когда каждая страна покупает много чужих продуктов и продает много своих продуктов, а также когда в международной торговле участвует не две, а много стран. Модель Дж.М.Флемннга и Р.А.Манделла [2,15,18]. Эта модель дополняет и развивает известную макроэкономическую модель Дж.М.Кейпса, в которой рассматривается одна обособленная (закрытая) экономика. В рассматриваемой модели речь идет тоже об одной экономике, но открытой, т.е. находящейся в окружении остального мира, с которым она обменивается товарами, услугами и капиталами. Торговля определяется внутренними свойствами экономики, а также курсом ее валюты по отношению к окружению. В модели Флеминга-Манделла валютный курс находится вместе с национальным доходом, процентной ставкой, денежной массой, потреблением населения, инвестициями, государственными затратами и ценами. В обеих моделях объектами изучения являются два рынка: рынок денег и рынок товаров. Рынок денег характеризуют три переменные: денежная масса в обращении, процентная ставка и уровень номинального национального дохода. (Номинальный национальный доход - это тот, который исчисляется в текущих ценах; реальный ациональный доход исчисляется в ценах базового года; отношение первого ко второму -индекс цен или дефлятор национального дохода).
Спрос на деньги предъявляют население и производители товаров и услуг — для покупок потребительских товаров, для покупок сырья, материалов, топлива и прочих продуктов производственного назначения. На рис. 1.1 две линии с отрицательными наклонами изображают зависимости потребной денежной массы от процентной ставки при двух разных уровнях номинального национального дохода (ННД); ННДг ННДь Производители тем охотнее обращаются в коммерческий банк за кредитами, чем ниже стоимость кредитов; прирост процентной ставки уменьшает число заемщиков и, следовательно, сокращает потребную массу денег в обращении. Чем больше реальное материальное производство (больше реальный национальный доход), тем больше средств платежа требуется в обращении; если произошел относительно предыдущего периода прирост реального национального дохода, то должны прирасти денежные средства, обслуживающие материальные блага. Но потребные денежные средства должны увеличиться и в том случае, когда реальное производство осталось прежним, но выросли цены, а также когда выросло одно и другое.
Оптимизационная постановка и условия оптимальности
Остальные три решения получаются круговыми заменами индексов: "s" вместо "d ", "т" вместо "s","f " вместо "т", "d " вместо "/ " и еще две подобные замены. Порядок расположения величин в правой части не случаен и будет обсуждаться в следующем пункте. Чтобы получить решение (2.30) для переменной rcd, нужно провести следующие действия: - в первое уравнение (2.29) подставить выражения для переменных пх,лт кj , которые даны также в (2.29); - воспользоваться тем фактом, что максимум из группы величин, часть из которых являются максимумами из групп своих величин, равняется максимуму из объединенной группы величин; -исключить из числа сравниваемых члены, пропорциональные nd с коэффициентами меньшими единицы (adsasd \, admamd ,\ а а \)\ оставшиеся члены суть 1, ccds,adm,adf, а также произведения а на к$,7гт,Ку ; - снова подставить сюда вместо переменных ns,nm,яу их выражения из (2.29); - опять использовать факт относительно максимума и из образовавшегося состава сравниваемых величин исключить шесть членов, пропорциональных nd, потому что коэффициенты при них по аксиоме цен меньше единицы, а также еще шесть членов, пропорциональных ns,nm,7Vj с коэффициентами при них, включающими попарные произведения а, заведомо меньшие единицы; эти члены сначала заменяются большими величинами, пропорциональными nd - см. первое уравнение из (2.29), и тогда оказывается, что коэффициенты при nd меньше единицы; в результате остаются члены: - последний раз подставить вместо ns,nm,Xr их выражения из (2.29); использовать факт относительно максимума максимумов; получившийся состав сравниваемых величин включает члены, которые не имеют множителя nstivm,7tf и которые только что были перечислены, а также двенадцать членов, в которых есть множители 7ts,nmiKf ; все двенадцать исключаются из сравнения следующим порядком: сначала находятся мажорирующие их члены пропорциональные izd, затем обнаруживается, что коэффициенты при них меньше единицы по аксиоме цен; конечный итог - выражение для nd (2.30). В п. 2.4.2 еще раз будет обсуждаться эта процедура при обосновании численного метода. В случае трех валют дважды подставлялись выражения для ns,nm, в развернувшуюся цепочку представления ad (см. (2.28)) и в окончательной формуле в качестве сравниваемых величин выступают единица, параметры а и произведения пар а; в случае четырех валют — три подстановки и окончательная формула содержит помимо того, что было для трех валют, еще произведения троек а. В случае "л" валют число подстановок — л—1; в состав сравниваемых в итоговой формуле величин входят единица, параметры а , произведения пар параметров а, произведения троек параметров а и т.д., произведения, содержащие п-\ параметров а; после каждой подстановки из формулы исключаются меньшие из сравниваемых величин, подобно тому, как это делалось для трех и четырех валют. Качественные особенности оптимальных переходов.
Валюта может не конвертироваться ни в какую другую валюту, валюта может конвертироваться в другую валюту непосредственно или опосредованно через третью валюту или через несколько валют. 1. На каждом временном шаге должна быть хотя бы одна валюта, не конвертирующаяся ни в какую другую; таких валют может быть несколько; такими валютами могут быть все. Что касается первого утверждения, то оно доказано в п. 2.3.2. В справедливости второго утверждения можно будет убедиться на примерах, которые даются в следующем параграфе. Для доказательства третьего утверждения следует воспользоваться формулами двойственной задачи (2.18), в которых предварительно сделать такие замены: также все vj-. = 0 и, соответственно, все р и. 0. Это значит, что по условиям оптимальности, если все валюты не конвертируются, то все параметры a if должны быть меньше 1. 2. Если валюта не конвертируется, то никакая ее часть не конвертируется ни в какую валюту; если валюта конвертируется, то в каждом единичном акте конверсии валюта конвертируется полностью и при том в одну валюту. Эти утверждения доказываются тем, что каждая переменная л\ является решением своего уравнения типа (2.22), в правой части которого фигурирует операция взятия максимума. Максимальное значение л\ может оказаться равным 1 и тогда все a\fn\ 1 (/ є /}, данный случай соответствует тому, что у/} =0, а все р\е 0 (/ є/) (см. (2.18)); в прямых - валюта і конвертируется в валюту ,- и не конвертируется ни в какую другую. Только при специально подобранных параметрах а1... возможно, чтобы две переменные pL для одной и той же валюты / оказались одновременно равными нулю или одна переменная р , и одна переменная y/j одновременно равными нулю. Каждая валюта либо не конвертируется, либо конвертируется в свою оптимальную валюту; одна и та же валюта может быть финальной оптимальной для нескольких валют; когда валюта является финальной оптимальной для всех валют, то выполняются такие условия.
Качественные особенности оптимальных переходов
Они представлены в табл. 3.1.Таблица читается следующим образом: в верхней строке перечислены четыре типа валют, в левом столбце -даты рассматриваемого временного промежутка, на каждом временном шаге приводится та валюта, в которую по оптимальному правилу переходит валюта, указанная в верхней строке столбца. Например, 13.07 валюта "d " переходит в валюту "/", V в у", "т" в "d " и У" в У"; если валюта не переходит ни в какую другую, то вместо обозначения этой валюты фигурирует символ - так в таблице выделяются "неподвижные" валюты. Как было доказано в п. 2.3.2, на каждом шаге оптимального процесса должна быть хотя бы одна неподвижная валюта; неподвижных валют может быть несколько, неподвижными валютами могут быть все. В представленном расчете только 21.07 три неподвижных валюты и 04.08, 24.08, 31.08 - по две неподвижных валюты; в остальные дни неподвижная валюта одна. Отсюда следует так называемое магистральное свойство оптимальной траектории: если процесс начинается с того, что в портфеле представлены несколько валют, то при оптимальных переходах достаточно быстро в портфеле окажется одна валюта; это при том, что сторонних поступлений нет. Например, если до торгов 01.07 в портфеле имеются все четыре валюты, то после торгов - только доллары; если до торгов 21.07 в портфеле опять все четыре валюты, то после - три валюты, исключая доллары, а после следующих торгов — одна валюта - фунты стерлингов. Таким образом, на магистрали удерживается только одна, оптимальная, валюта, а присутствие в портфеле нескольких валют обязано либо начальной ситуации многовалютности, либо недавнему стороннему поступлению в портфель других или другой валюты, отличной от оптимальной и при этом, чтобы после текущих торгов в портфеле остались несколько валют, а не одна, в строке табл. 3.1 должны быть несколько звездочек, а не одна.
Если нет сторонних поступлений и в стартовом составе портфеля присутствуют все четыре валюты, то картина конверсии имеет вид, представленный на рис. 3.2
Из 48 торговых дней в роли неподвижной валюты доллар выступал 17 раз, фунт стерлингов - 12, немецкая марка - 9, швейцарский франк - 15 раз; в сумме - 53 и это потому, что трое торгов имели по две неподвижных валюты и одни торги - три неподвижных валюты; 49-й торговый день — финальный и здесь вид валюты, доллары, определяются критерием задачи.
Особенность оптимальной торговли валютой в том, что, как правило, любая валюта в роли оптимальной не задерживается в портфеле дольше одного дня: в табл. 3.1 только 12 раз оптимальная валюта остается оптимальной и на следующий день, из них 3 раза — на третий день. Из этого следует, что валютный дилер, как правило, не может рассчитывать, что пропуск им одного дня торгов не сократит его максимальный выигрыш.
На рис. 3.2 демонстрируется одна оптимальная траектория с фиксированными начальными количествами валют и без сторонних поступлений; при помощи табл. 3.1 могут быть построены все оптимальные траектории, заканчивающиеся 07.09.99, начинающие в любой торговый день от 01.07.99 до 06.09.99, с любыми начальными количествами и с любыми сторонними поступлениями в промежуточные дни.
Прежде всего следует отметить, что окончательное выражение для критерия: = (1,1876 + 1,8753 +0,6287 +0,7667 ) совпадает с тем, которое рассчитывается через двойственные переменные. Формула (3.1) читается так: до первых торгов 01.07 были количества валют V,V,V,V; после первых торгов количества V,V,V оказываются конвертированными в доллары, причем франки конвертируются не непосредственно, а через марки; результат первых торгов выделен в (3.1) квадратными скобками; последующие конверсии сопровождаются комментариями с и., надписанными над соответствующими значениями цен; опосредованные переходы выделяются круглыми скобками. Как следует из предпоследнего выражения критерия, умноженные цены конверсии в данном случае равняются произведениям коэффициента умножения долларов - базовой валюты на цены перевода в доллары первого дня.
За 49 торговых дней каждое из начальных количеств валюты умножается в 1,1868 раза или на 18,68%; графики на рис. 3.1 близки к линейным функциям времени р\\ следовательно, удлинение временного промежутка в к раз увеличит норму доходности оптимальной работы на мировом валютном рынке тоже в к раз; информационное агентство Тенфор работает (5x52-11) рабочих дней в году (11 дней приходятся на национальные праздники США [8]); в предположении, что коэффициент умножения линейно зависит от длительности временного промежутка, максимальный годовой процент доходности работы на мировом валютном рынке составляет: неожиданно высокий результат для мирового финансового рынка.
Два заключительных замечания. Первое: из многих строк табл. 3.1 следует, что непосредственный переход в неподвижную валюту не всегда выгоден по сравнению с опосредованным, например, 01.07 франки выгоднее переводить в доллары через марки, чем непосредственно; например, 02.07 марки и франки выгоднее переводить в фунты через доллары, чем непосредственно. Насколько существенно отличие опосредованных переходов от непосредственных? Все случаи опосредованных переходов отмечены, в формуле (3.1) круглыми скобками. Если вместо пар курсов, заключенных в круглые скобки и представляющих курс опосредованного перехода, подставить курсы непосредственных переходов, то вместо коэффициента умножения 1,1868 получится 1,1806. В годовом процентном исчислении это - 3,1 процентных пункта.
Об алгоритме построения оптимального решения
Валютная операция состоит в том, что одна валюта обменивается на другую или не обменивается - тогда капитал сохраняется в исходном виде. На следующем шаге может произойти перевод капитала в третью валюту или в исходную валюту или сохранение капитала во второй валюте. Если капитал валютного портфеля содержит несколько валют, то они могут быть переведены в одну валюту или переведены каждая в свою, или сохранены без переводов, или какие-то валюты сохранены, а остальные переведены. Допустимо, чтобы переводимая валюта переводилась не в одну, а в две или несколько валют, а часть ее оставалась в неизменном виде. Количество валюты /, которым располагает дилер на торговый день /, будет обозначаться через V/. Объем валюты /, отданный дилером в течение торгового дня t для обмена на валюту / , будет обозначаться через v u. (первый нижний индекс - / -начальная валюта, второй - / - конечная валюта); объем v h- измеряется в единицах валюты /.
Объем валюты і, полученный от обмена на нее валюты / , — и п; объем и Єі измеряется также в единицах валюты /". Баланс валюты / выглядит в этих обозначениях следующим образом: и читается так: количество валюты / на день t равняется тому же в предыдущий торговый день минус сумме всех объемов валюты /, отданных для переводов в другие валюты плюс сумма конвертированных в валюту / объемов других валют; число таких балансов в каждый торговый день равняется числу рассматриваемых валют; последний член в балансе, ff, поступление валюты / со стороны (// 0) или изъятие ее на сторону (// 0); из числа торговых дней исключается последний: t=T- здесь ведется подсчет заработанного капитала и обменные операции не производятся. Обозначим через с ґі курс обмена валюты / на валюту /; это - цена покупки у дилера валюты / на валюту / - сколько единиц валюты і получает дилер за 1 единицу валюты / . За vj7 единиц валюты / дилер получает единиц валюты /. Связь (2.2) между объемом отдаваемой валюты / и объемом получаемой валюты і, выраженная через цену покупки с ґі позволяет записать баланс (2.1) в следующем виде: Второй вариант записи баланса получается, если из соотношения, аналогичного (2.2), выразить объем отдаваемой валюты v if через объем получаемой валюты и іґ: у іґ =\1/с ґ )и іґ.
После подстановки этого выражения в (2.1) баланс валюты / будет содержать в правой части объемы и ґі и и іґ, а также коэффициенты 1/с ,. каковые суть цены продажи валюты / на валюту /. О связи цен продажи и покупки говорилось в п. 1.3.4. Из двух эквивалентных представлений баланса валюты выбран вариант (2.3); он обеспечен отчетной информацией, данной в табл. 1.2. Балансы четырех валют: доллара (d), фунта стерлингов (s) немецкой марки (т) и швейцарского франка (/) в условных обозначениях записываются так: Для трех конкретных дней: 01.07, 27.8,..., 07.09 общая запись конкретизируется так -см. табл. 1.2: В (2.5) даны балансы четырех валют в первый (01.07), серединный (27.08) и предпоследний торговые дни рассматриваемого временного интервала; всего должно быть 48x4 балансов; в последний день интервала (07.09) обменные операции не проводятся, о чем уже говорилось ранее. Критерий оптимальности. Процесс валютного дилинга может начинаться с того, что в портфеле присутствует несколько валют, может продолжаться также со многими валютами и заканчивается тем, что, опять-таки, в портфеле присутствует несколько разных валют. Но капитал портфеля в последний момент должен оцениваться в какой-то одной валюте — в базовой валюте. Критерий оптимальности валютного дилинга - капитал портфеля, исчисленный в базовой валюте.
В предпоследний день рассматриваемого интервала, t=T—\, портфель содержит количества валют У/ х, і є І; цена перевода в последний день t, из каждой валюты / в базовую валюту "О -с, ; следовательно, в последний день, /=Г, капитал портфеля, исчисленный в единицах базовой валюты, составляет: нижний индекс "0" в обозначении критерия указывает на то, что он исчисляется в единицах базовой валюты "0". Уместно было бы в России базовой валютой считать рубль, но отсутствие рублевых курсов в таблицах Тенфор заставляет избирать другие базовые валюты и вот как выглядят четыре варианта критерия соответственно четырем мировым валютам: Коэффициентами в четырех формах критерия выступают курсы переводов в доллары, фунты стерлингов, немецкие марки и швейцарские франки в последний день рассматриваемого периода, /=07.09; они взяты из последней строки табл. 1.2. Между четырьмя критериями выполняются следующие соотношения: Здесь в правых частях фигурирует критерий, исчисляемый в долларах; так же могут быть выведены соотношения с другими тремя критериями в правой части. Однако и без того видно, что четыре критерия с хорошей точностью связаны между собой отношениями пропорциональности с коэффициентами пропорциональности, равными взаимным курсам. Так что оптимальные обмены, доставляющие максимум одному из четырех критериев (2.7), являются "почти" оптимальными для остальных трех. В расчетах, которые приводятся в настоящей статье, за базовый принят долларовый критерий Kd и, соответственно, за базовую валюту — доллары.