Содержание к диссертации
Введение
1 Критический анализ современной теории портфельного инвестирования 10
1.1 Модель Марковица: теоретическая значимость и проблемы практического использования 10
1.2 Эконометрический подход в портфельном анализе: основные идеи и практическая реализация 23
1.3 Необходимость и возможности реализации адаптивного подхода в обосновании портфельных решений 36
2 Развитие аппарата эконометрического моделирования для воспроизведения двухуровневого механизма формирования доходности активов портфельной группы 50
2.1 Разработка и построение диагональной модели на основе двухуровневого механизма формирования доходности 50
2.2 Моделирование динамики стохастических процессов в рамках сформулированных гипотез альтернативных и пропорциональных ожиданий 60
2.3 Модификация метода построения диагональной модели с дискретными эффектами в двухуровневом механизме формирования доходности 72
3 Адаптивное разложение эффективного множества и его применение в портфельном анализе 85
3.1 Метод адаптивного трендового разложения финансовых временных рядов 85
3.2 Методика портфельного анализа с использованием адаптивного трендового разложения финансовых временных рядов 101
Заключение 119
Список литературы 1
- Эконометрический подход в портфельном анализе: основные идеи и практическая реализация
- Необходимость и возможности реализации адаптивного подхода в обосновании портфельных решений
- Моделирование динамики стохастических процессов в рамках сформулированных гипотез альтернативных и пропорциональных ожиданий
- Методика портфельного анализа с использованием адаптивного трендового разложения финансовых временных рядов
Эконометрический подход в портфельном анализе: основные идеи и практическая реализация
Диверсификация портфеля приводит к уменьшению риска, так как стандартное отклонение портфеля в общем случае не превысит средневзвешенные стандартные отклонения активов, входящих в портфель. Следовательно, рациональный инвестор выберет портфель из эффективного множества.
При всех своих достоинствах модель Г. Марковица подвергается критике по нескольким направлениям.
Во-первых, работы [1, 44, 49] ставят под сомнение предположение о рациональном поведении инвесторов. Практика такова, что в инвестиционных решениях интуиция, эмоции, «стадные» инстинкты нередко превалируют над соблюдением формальных правил инвестиционной деятельности.
В указанных работах также акцентируется внимание на неправдоподобности предположения о непринятии инвесторами риска. Инвесторы по-разному относятся к риску. Существуют инвесторы, которые не только не избегают, а даже ищут риск и готовы за него платить подобно игрокам в казино. Отношение к риску может зависеть от многих факторов, например, от инвестиционного горизонта. Если инвестор не собирается продавать акции, то ему не важно, что происходит с их курсом. Действительно, долгосрочных инвесторов не заботят краткосрочные колебания курса, потому что они уверены, что падение сменится ростом. Они воспринимают изменчивость скорее как возможность, а не риск, по крайней мере, в той степени, в какой изменчивые ценные бумаги обычно приносят более высокий доход, чем стабильные. Не все инвесторы согласны с тем, что изменчивость принимается за измеритель риска. Аргументация основана на том, что сама по себе изменчивость наблюдается при рассмотрении любого процесса, в том числе и доходности портфеля. Если величина изменчивости измерена среднеквадратическим отклонением, то трудно понять без дополнительного анализа, что следует ждать инвестору от этой изменчивости, прибыль или убытки. В связи с этим делались попытки введения альтернативных измерителей риска, с помощью которых интерпретация рисковых ситуаций приобретала бы содержательный смысл. Например, многие инвесторы и портфельные менеджеры не считают изменчивые портфели рискованными, если мала вероятность того, что их доходность окажется ниже определенного уровня. Сам уровень может быть как фиксированным, так и переменным. В качестве такого уровня, например, может использоваться подвижная точка, определяющая минимум доходности для поддержания платежеспособности пенсионного фонда корпорации, или доходность некоего эталонного индекса.
Во-вторых, активы, портфели и рынок описываются только двумя характеристиками - ожидаемой доходностью и дисперсией. Временные ряды доходностеи не являются реализацией стационарного в широком смысле процесса, т.к. корреляции между доходностями активов могут изменяться со временем, как следствие оценка риска будет смещенной и несостоятельной. Если предположить эллиптический характер распределения доходностеи, то и это не объясняет эмпирическую несимметричность распределения доходностеи [16, 59]. Значений первого и второго моментов было бы достаточно для описания нормально распределенной случайной величины. Однако предположение о представлении доходностеи как нормально распределенных случайных величин с конечными первым и вторым моментами, нередко опровергается, т.к. события 3-6 т наблюдаются чаще, чем это ожидается при нормальном распределении [53]. Хотя на некоторых отрезках времени распределение доходностеи может соответствовать нормальному закону, и на их основе можно получить несмещенные оценки.
Следование формальным советам Г. Марковица не гарантирует постоянную прибыль. Инвесторы часто несут значительные убытки. Объяснение простое: построение и проверка портфеля реализуются на одном и том же историческом периоде. Это говорит о том, что методология Г. Марковица изначально ориентирована на прошлое. Никакой методологической ошибки в этом нет. Его подход в исходном варианте предлагает инвестору портфель упущенных возможностей - если бы он был сформирован в начале исторического периода, то в среднем была бы получена ожидаемая доходность. Но на практике портфель формируется в конце исторического периода, а доходность определяется на по-ступреждающем отрезке времени. Инвесторов напротив интересует будущее. Прошлое в точности не повторится, а значит и финансовый результат такого портфеля в будущем все еще имеет достаточно высокую неопределенность, что подтверждается результатами исследований [75, 88, 97, 109].
Ниже на конкретной выборке продемонстрируем указанный нюанс. Рассмотрим временные ряды доходностеи акций ведущих отечественных компаний4 за период с 03 января 2012 года по 12 августа 2013 года.
Каждая точка на этом пространстве характеризует положение одного из анализируемых активов. Для рассматриваемой совокупности активов было оценено множество эффективных портфелей. Очевидно, что рациональный несклонный к риску инвестор выберет в качестве объекта инвестирования один из портфелей, расположенных на множестве эффективных портфелей. Пусть инвестором выбран портфель w\, показавший на историческом периоде среднюю доходность fi = 0, 5%. Если бы этот портфель был сформирован в начале исторического периода, то он обеспечил бы в конце данного периода заданный уровень средней доходности, равный fi = 0, 5%. Однако данный портфель был сформирован в конце исторического периода, и на упреждающем отрезке времени он не таким доходным как ожидалось. На поступреждающем периоде инвестиционным возможностям этого портфеля соответствует точка wA,. Очевидно, что портфель wA, демонстрирует потерю эффективности по соотношению риска и доходности по сравнению с портфелем wA. Хотя он в среднем и остается прибыльным, он демонстрирует гораздо больший риск, нежели портфель wA,.
На рис. 1.3 продемонстрирована трансформация эффективного на историческом периоде множества WA ВО множество WA , которое получено по данным поступреждающего периода для эффективных на историческом периоде портфелей. В целом все множество WA стало менее эффективным. Портфели из множества WA показали на поступреждающем периоде в среднем существенно меньшую доходность и гораздо больший риск.
Необходимость и возможности реализации адаптивного подхода в обосновании портфельных решений
На данном этапе исследования уместны следующие промежуточные выводы. У. Шарп модифицировал вычислительную технику в модели формирования оптимального в смысле соотношения доходности и риска портфеля. Соответствующая задача была ранее сформулирована Г. Марковицем. Снижение вычислительной сложности было достигнуто благодаря использованию простейшего эконометрического инструментария - однофакторной регрессии. И хотя эконометрика играет здесь вспомогательную роль, она необходимо накладывает некоторые ограничения на получаемые результаты. Речь идет о проверке статистической значимости МНК-оценок в так называемом одноиндексном уравнении, а также о недопустимости использования МНК-оценок низкой надежности в практических расчетах. В известных источниках этот вопрос не обсуждается, но проблема явно существует. Чтобы показать важность этой проблемы необходимо специальное исследование механизма влияния МНК-оценок параметров диагональной модели на структуру оптимального портфеля.
Для того, чтобы понять, как параметры диагональной модели влияют на весовые коэффициенты активов в оптимальном портфеле, при решении соответствующей экстремальной задачи было предложено использовать метод множителей Лагранжа и метод Крамера. Обычно используют метод обратной матрицы. Мы выяснили, что оценки свободного слагаемого одноиндексного уравнения отвечают за снижение риска портфелей, контролируя долю заемных средств при формировании портфеля.
Эмпирические результаты показывают, что как правило, оценки свободного слагаемого в одноиндексном уравнении незначимо отличны от нуля. Подобно тому, как использование оценок низкой надежности в эконометрике дает смещение при оценке зависимой переменной, использование оценок свободного слагаемого низкой надежности в качестве параметров диагональной модели дополнительно привносит в портфель недетерминированную несистематическую компоненту - шок. В связи с этим справедливо возникает вопрос об обусловленности низкой эффективности портфеля, полученного по диагональной модели, на упреждающем периоде низкой надежностью оценок свободного слагаемого в одноиндексных уравнениях. В этой связи проблема получения статистически значимых оценок свободного слагаемого является открытой и будет обсуждаться далее. Безусловно, оптимизация вычислительной техники, предложенная У. Шарпом, существенно облегчила расчет структуры оптимального портфеля. Решение Шарпа дает результат мало отличный от результата решения по Марковицу. Именно поэтому диагональная модель унаследовала и основной недостаток модели Марковица - получение портфеля «упущенных возможностей». Безусловной заслугой У. Шарпа можно считать раскрытие механизма формирования структуры оптимального портфеля. Однако сведение обусловленности динамики доходности финансового актива к динамике рынка (единственного систематического фактора) представляется нам чрезмерной абстрацией: на доходность актива также куда большее влияние оказывают множество несистематических факторов различной интенсивности.
Изложенные факты побуждают работать над дальнейшими модификациями диагональной модели с использованием более сложных эконометрических методов.
Краеугольным камнем ранее представленной критики моделей формирования оптимального портфеля, предложенных Г. Марковицем и У. Шарпом, является тот простой факт, что эти модели не всегда адекватны процессам фондового рынка, который по замыслу должны описывать. Практика применения этих моделей не опровергает нашего суждения. Ввиду математической корректности их вывода, ошибочным было бы говорить, что источник проблемы кроется в самих моделях. В исследовании [112] мы уже обращали внимание на то, что источником проблемы являются скорее предположения о принципах реализации рыночных процессов, на основе которых получены модели. В [7, 87] указывается, что представленные модели «работают» только при стационарной реализации ценовых процессов на фондовом рынке. Есть основания полагать, что это не всегда отражает сущность фондового рынка как опережающего индикатора реального сектора экономики. В этой связи отмечаем, что эффективное использование этих моделей, пусть в замысле и полезных, на реальном фондовом рынке несколько ограничено. Для эмпирических расчетов будут использовать ряды дневных стоимостей индексов Dow Jones Industrial Average (США) и РТС, недельных стоимостей индекса РТС за период с 01.01.2009 по 01.09.2014 и часовых стоимостей индекса РТС за период с 01.01.2014 по 01.09.2014. Рассмотрим результаты проверки ценовых рядов на стационарность, используя тест Дики-Фуллера [21, 129]. Для исследуемых рядов мы строили тестовые авторегрессии с константой и без тренда со скользящим окном к. Как следует из сущности теста Дики-Фуллера, значение &і 1 говорит о том, что исследуемый ряд не является стационарным. На рис. 1.7-1.10 графически проиллюстрирована динамика коэффициента Ъ\. Только в одном из восьми вариантов моделирования стоимости индекса, а именно с моделирование недельных стоимостей индекса РТС (см. рис. 1.8(b)), мы столкнулись со стационарностью. Здесь имеет место следующая интерпретация: на российском фондовом рынке ожидать стационарного поведения ценового процесса могут лишь инвесторы с достаточно долгосрочным горизонтом инвестирования.
Моделирование динамики стохастических процессов в рамках сформулированных гипотез альтернативных и пропорциональных ожиданий
Идеи, заключенные в приводимых здесь гипотезах, ранее использовались нами при построении эконометрических моделей, но в виде некоторых разрозненных технических приемов. В настоящем исследовании они получили объединяющее их надлежащее теоретическое обоснование.
Гипотеза альтернативных ожиданий позволяет дать грубую оценку величины риска, а гипотеза пропорциональных ожиданий - выделить вероятностное пространство рисков, а также выявить проявления шоков, лежащих за его границей. Показано, что в условиях нехватки релевантных факторов, оказывающих систематическое влияние на моделируемый показатель, в качестве основного источника информации при идентификации вероятностного пространства рисков целесообразно использование отклонений фактических значений реализации стохастического процесса от их оценок по модели. Гипотеза пропорциональных ожиданий позволяет выделить два типа влияния случая на реализацию стохастического процесса: непрерывное (риск) и дискретное (шок).
Предлагаемые гипотезы позволяют моделировать процессы, в реализации которых, наблюдаются различные типы динамики. Мы рассчитываем на то, что эконометрические модели, реализующие наши гипотезы, позволят повысить не только аппроксимационные, но и прогностические свойства моделей при обеспечении требуемой надежности. Следует отметить, что при этом процедура построения эконометрическои модели стохастического процесса несколько усложняется и становится многоэтапной. Ценность разрабатываемых гипотез в том, что каждая из них приводит к построению эконометрической модели специфического вида, тем не менее, подлежащей тестированию на адекватность. В этом мы также видим их преимущество перед классическими эконометрическими моделями. Гипотеза альтернативных ожиданий приводит к построению дискретно-непрерывной эконометрической модели стохастического процесса. Гипотеза пропорциональных ожиданий, в свою очередь, приводит к построению системы эконометрических моделей, описывающих закономерности реализации стохастического процесса. Приведенная в эмпирической части техника эконометрического моделирования процессов формирования цены и доходности на фондовом рынке с использованием выдвинутых нами гипотез, не опровергла их.
Модификация метода построения диагональной модели с дискретными эффектами в двухуровневом механизме формирования доходности
Концептуальный базис настоящего подраздела исследования формирует механизм принятия упреждающих решений экономическими агентами в условиях неопределенности будущего.
Согласно гипотезе адаптивных ожиданий, при прогнозировании динамики хозяйственных процессов в условиях неопределенности будущего экономические агенты основываются опыте прошлых прогнозов. Систематические ошибки прогноза в прошлом, оказывают влияние на последующий прогноз, играя роль корректирующих поправок. Если фактические значения образуют сходящуюся последовательность значений либо колеблются вокруг некоторой константы, прогнозы экономических агентов не будут абсолютно точными, но их отличия от фактических значений будут столь незначительны, что они будут восприниматься как вполне удовлетворительные. В свою очередь, в случае выраженного тренда анализируемого показателя, адаптивные ожидания отстают от фактического значения и в последующие периоды оказываются ошибочными. Гавновесие в условиях данной гипотезы достигается лишь асимптотически. Впервые подобные идеи были использованы И. Фишером в работе [28], позднее развиты Ф. Каганом [12] и М. Фридманом [55]. Согласно гипотезе рациональных ожиданий, разработанной в альтернативу гипотезе адаптивных ожиданий, экономические агенты располагают всей доступной для них информацией, используют ее при прогнозировании хозяйственных процессов и действуют при этом рационально. По мнению Дж. Му-та [56], именно рациональность экономических агентов позволяет в среднем избегать систематических ошибок прогноза. Все ошибки носят случайный характер. Т. Сарджент [66] отмечает, что одним из ключевых следствий данной гипотезы является стремление экономических агентов оптимизировать стратегии своего поведения.
Рациональность экономических агентов и стремление к оптимальному поведению сыграли важную роль при разработке гипотез эффективного рынка. Они стали залогом корректного и внутренне непротиворечивого моделирования процессов фондового рынка.
В то же время гипотеза рациональных ожиданий также открыто критикуется. В частности М. Ловелл [51], показал, что экономические агенты не обладают полнотой информации, и поэтому рамках гипотезы рациональных ожиданий нельзя решить проблему построения реальных прогнозов. Кроме того, математические модели, построенные на основе данной гипотезы, ориентированы на крайнюю степень абстрагирования от реальности описываемых экономических процессов. Возникает проблема компромисса корректности и адекватности моделей.
Возникает вполне очевидный вопрос, касающийся надежности получаемых решений, когда часть оцениваемых параметров не будет статистически значимой. В частности при работе с диагональной моделью Шарпа складывается впечатление, что неявно предполагается равная статистическая значимость параметров всех моделей, используемых для построения портфеля. Теоретически такая ситуация возможна, но на практике подобные случаи не встречаются. В рамках описания диагональной модели нет рекомендаций для этих нестандартных случаев. По сути, нет стопроцентной уверенности в корректном построении диагональной модели. По нашему мнение существует объективная потребность в разработке модификации диагональной модели формирования эффективного портфеля финансовых активов для описанного случая, нестандартного для теории, но обычного для практики. В исследовании [102] нами была представлена гипотеза альтернативных ожиданий и рассмотрен ряд ее следствий. В ней мы постарались развить сильные стороны упомянутых выше гипотез. Во-первых, она предполагает рациональность в смысле стремления к отсутствию систематических ошибок. Во-вторых, она позволяет моделировать процессы, в реализации которых, наблюдаются различные типы динамики. Мы полагаем, что гипотеза альтернативных ожиданий позволяет получать статистически надежные прогнозы, используя ровно столько информации, сколько необходимо для обеспечения требуемой надежности. Модели, реализующие данные принципы, будем называть моделями альтернативных ожиданий.
В данном подразделе на примере диагональной модели Шарпа [67, 113] мы предприняли попытку продемонстрировать особенности моделирования в условиях гипотез альтернативных и пропорциональных ожиданий в целях повышения статистической надежности и развития аппарата математического моделирования рыночных процессов, используемого в обосновании портфельных решений. В качестве рабочей гипотезы примем предположение о зависимости доходности портфеля финансовых активов от поведения каждого отдельного актива, их группового поведения на рынке, а также от обобщенного несистематического внешнего влияния.
Мы полагаем, что в основе моделирования в условиях альтернативных ожиданий лежит понятие риск-эффекта, e.g. [94]. Рассмотрим содержательную сторону риск-эффекта. В работах [95, 102] было показано, что гипотеза альтернативных ожиданий в ряде случаев позволяет повысить аппроксимационные и прогностические свойства эконометрических моделей. Используя эту гипотезу, исследователь получает возможность выделить в динамике процесса неслучайную составляющую, которая характеризует величину ожидаемого отклонения траектории процесса от детерминированного тренда. Такие отклонения обусловлены влиянием внешних факторов. Ввести их модель представляется затруднительным, т.к. они не носят систематического характера.
Методика портфельного анализа с использованием адаптивного трендового разложения финансовых временных рядов
Порядок эффективных множеств в семействе несколько изменился, однако по-прежнему высокую эффективность демонстрирует множество долгосрочных портфельных решений. Интересным представляется попарное сопоставление по горизонтам инвестирования ожидаемых и текущих эффективных множеств.
Наиболее эффективными на российском рынке будут портфельные решения, реализуемые долгосрочными инвесторами. Нам удалось получить эффективное множество портфельных решений, которое не теряет свойств на упреждающем периоде. Самым рисковым оказалось краткосрочное инвестирование.
Предложенная методика реализует идею разложения эффективного множества портфельных решений на временные составляющие, что позволяет производить сравнительный анализ портфельных множеств по степени их эффективности, определенной на разных временных интервалах, а также открывает возможности динамического обобщения предложенных в работе модификаций диагональной модели Шарпа.
Мы полагаем, что полученный в эмпирической части исследования результат во многом обусловлен выбранным измерителем риска, т.к. очевидно, что оценка дисперсия случайного процесса будет снижаться при увеличении окна скользящего усреднения. Мы не отрицаем, что при других измерителях риска может быть получен иной результат.
На основе выполненных в диссертационной работе теоретических и прикладных исследований в области развития математического аппарата адаптивного эконометрического моделирования сформулированы выводы, заключающиеся в следующем:
1. Процесс формирования доходности активов, представленный моделью двухуровневого механизма, наглядно показывает, что рынок оказывает влияние на доходность актива опосредованно через динамику некоторой группы активов. Этот механизм дает представление о доходности актива как о сумме трех (а не двух, как у Шарпа) неслучайных слагаемых: (а) взвешенная по /3 и / доходность рынка, (б) взвешенная по / доходность группового индекса с элимированным влиянием рынка и (в) ожидаемая доходность актива с элимированным влиянием рынка и группы активов. Предложенный механизм позволяет уточнить природу возникновения риска актива на фондовом рынке. Оно приводит к получению более высоких оценок риска. Естественно возникает вопрос, какая модель лучше: с завышенной оценкой риска или же с заниженной. На этот счет в работе проводится мысль, что, учитывая ожидаемый риск по максимуму, мы получаем возможность сократить величину неучтенных шоков.
2. Гипотезы альтернативных и пропорциональных ожиданий полезны в понимании структуры стохастических процессов в экономике. Гипотеза альтернативных ожиданий дает возможность выделения в реализации стохастических процессов риск-эффектов - наиболее вероятных по величине отклонений траектории этого процесса от ожидаемых значений. Используя эту гипотезу, мы выделяем вероятностное пространство рисков, а также проявления шоков, лежащие за его границей. Для идентификации вероятностной меры на пространстве рисков мы используем гипотезу пропорциональных ожиданий. На основе этих гипотез проведено обобщение двухуровневого механизма формирования доходности. В результате в структуру доходности актива к указанным трем слагаемым добавляется доходность от реализации риск-эффекта. Также изменения коснулись и структуры риска актива за счет добавления взвешенной по /3f дисперсии риск-эффекта. Кроме того, имеет смысл рассмотреть более широкое использование разработанных гипотез, которые позволяют обеспечить корректность моделирования экономических процессов без снижения его адекватности.
3. Одна из основных проблем, разрешаемых в настоящем исследовании, заключается в низкой статистической надежности инвестиционных решений в современной портфельной теории. На примере диагональной модели Шарпа, мы показали как именно низкая надежность оценок ее параметров влияет на надежность портфельного решения. В этой связи предложено оценивать параметры диагональной модели через систему трех эконометрических уравнений, реализующих двухуровневый механизм формирования доходности актива в условиях гипотез альтернативных и пропорциональных ожиданий. Естественно, что в этом случае числовые характеристики портфеля изменятся; сама структура оригинальной модели при такой модификации сохраняется, хотя ее параметры наделяются несколько иным содержательным смыслом. Полученные результаты позволяют сказать, что первый шаг в исследовании статистической надежности портфельных решений сделан. Более полное использование возможностей эконометрических методов позволит получить новые результаты в обосновании статистически надежных инвестиционных решений.
4. Отдельное внимание уделено исследованию зависимостей в реализации стохастических процессов, проявляющихся на различных временных интервалах, а также их взаимосвязей. Тот факт, что фондовый рынок изменчив и, что оставаясь единым, на разных временных интервалах следует разным закономерностям, сформировал понимание процессов фондового рынка как мультитрендовых. Введено понятие базисного тренда, как детерминированного тренда, идентифицируемого в структуре анализируемого временного ряда на некотором заданном временном промежутке. Для анализа подобных процессов разработан специальный аппарат, реализованный в динамической технике адаптивного трендового разложения временного ряда. Указанные условия корректного использования этой техники не исчерпывают все возможности ее применения в решении инвестиционных задач.
5. Полагая, что адаптация является ключевым моментом истинной природы достижения рынком эффективных состояний, мы инкорпорировали адаптивный механизм настраиваемой структуры в первый уровень разработанного механизма формирования доходности. Такое решение обусловлено тем, что именно группа активов, а не каждый актив по отдельности, скорее демонстрирует черты адаптивного поведения. Приложение техники адаптивного разложения позволило осуществлять динамический портфельный анализ одновременно на нескольких временных интервалах и осуществить декомпозицию множества эффективных портфельных решений по горизонтам инвестирования. Одношаговая задача распределения капитала, рассматриваемая в современной теории портфеля, получила динамическое обобщение с использованием собственной модификации диагональной модели. Семейство эффективных множеств дает более развернутое представление об инвестиционных возможностях, к тому же эмпирические расчеты показали, что семейство эффективных множеств с большей вероятностью сохраняет свои свойства на пост упреждающем периоде. Проведенное исследование позволяет надеяться, что приложение адаптивного подхода позволит не только уточнять модели, но и даст возможность расширения и обобщения теоретических результатов.