Вполне транзитивность абелевых групп Мисяков, Виктор Михайлович

Введение к работе

- Актуальность темы

Одной из ванных задач теории абелевых групп является изучение
свойства вполне транзитивности группы / то есть такого свойства
редуцированной группы Gr ,что для любых элементов Q._t о <= G
таких,что следует существование эндоморфизма

№)

этой группы,переводящего элемент d в элемент ь .где Н(О-) »

- высотные матрицы элементов (X и v соответственно /.
Знание этого свойства группы существенно помогает при исследовании
решетки ее вполне характеристических подгрупп,кольца эндоморфизмов
группы / см..например,С.Я.Гриншган ij,П.А.Крылов 2/,Л.Оукс 3),
А.И.Москаленко 4// и других ее свойств.Актуальность изучения класса
вполне транзитивных абелевих групп подчеркивает и то,что всякая
квазисервантно кнъективная абэлева группа без кручения / то ость
такая группа /I ,что всякий гомоморфизм С ~~^> А ..где С

сервантная подгруппа группы А .индуцируется эндоморфизмом группы /J /является вполне транзитивной.Задача описания квазисервантно инъективных групп сформулирована Л.'буксом в 5) как проблема 17(аЛ

і) Гришшган С.Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули.-Томск:11зд-во Томск.ун-та, 1982.- С.56-92.

1. Крылов П.А. Об абелевих группах без кручения,I // Лбелеви группы п модули.-Томск:Изд-во Томск.ун-та,1984.-С.40-64.

2. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы.?.!.:Мир,1-977.Т.2.416 с.

3. Москаленко А.И. О копериодической оболочке сепарабелыгой

р - группы // Алгебра п логика.-1989.-Т.28,.';'2.-С.207-226. 5J Фукс Л. Бессонечнш абелевы группы.М.:Мир, 1974.Т. 1..1.45 о.

Впервые термин "вполне транзитивная абелева группа" был введен Кашганскш в б) для редуцированных о - групп / он называет редуцированную О - группу А вполне транзитивной .если для любых-

ОС, Ц. * А таких,что КМ $ М(%) существует ^ t(A ) , что

ЧХ-Ц- ,где ы(Х) , и(%) - Ульмовские последовательности элементов ОС и U соответственно /.Здесь ке им было установлено, что всякая сепарабельная D - группа является вполне транзитивной. Далее он ставит вопрос: будет ли любая абелева D - группа вполне транзитивной ? Первые отрицательные примеры были приведены Меджиб-беном в 1966 г. -7J.B 1963 г. 8) Нунке вводит понятие тотально проективной р - группы / р - группа А называется тотально проективной,если О EXT (А /р A_r CrOpflE любого порядкового числа

(5" и любой группы С /,а в 1969 г. э) Хилл показывает,что всякая тотально проективная D - группа вполне транзитивна.

В работе. 1976 г. 10^ Корнер рассматривает следующее понятие:
пусть - подкольцо с единицей кольца есть

ф - инвариантная подгруппа редуцированной Р - группы Gf , тогда X⁵ действует вполне транзитивно на Н .если для любых

X_tU.^'H таких,что К* (oe)-U^(q) существует V ф такой,что УХ — Ц .Таким образом, Q -вполне транзитивная

с>) Жар/cuuJLg, б. ф^ас& а./еЛ'ал аггЧЫ-. Tltcc/cct^ft. : tltuc. lZr.&Z, /3S4. - 9/а.

P. 153- /CO. ...

ike, ldjdxM // срсъге*. uc -tZje&cui ifrt&zyQ, CjuJU^J?, 4-iUfU*^) SJU3. p. /Z f- /?f. <}) MUC P. Oh іж^ілШо^, але/ jftb&v 6ълк44>&с*-bziniCLtu Qzeccpb- // Ptoc . <2/iuzz. ?}ІаУі. vc-fS69 - V. Z. 2-, fi/2,. - P. 4f* - */f.

группа в смисле Капланского тогда и только тогда,когда Є ( G) действует вполне транзитивно на и .Далое Корнер доказывает б 10/ что р - группа G вполне транзитивна тогда и только тогда,когда с(Сг/действует вполне транзіггішио на Р Сг .В отол ;/.а работе он приводит пример редуцированной Р - группы,которая но является вполне транзитивной.

Используя результаты Корнера ІО^.С.Я.Гршшшон показывает П),
что если /С - не более чем счетная аболева р - группа,то сущест
вует абелева не вполне транзитивная D - группа G такая,что
Р G - (С в том случао,когда t(/С/У/Z .

Пусть Л - предельное порядковое число.Аболева О - группа называется Л - сепарабельной 12/,если всякая ео конечная система элементов содеротт'ся в некотором прямом слагаемом группы (я , являющемся тотально проективной группой длшш ..іеньшей t// .Докази-вается в 12),что всякая Л - сепарабельная группа вполне трзнзитняш

В 1985 г. Хилл и Меджиббон в ІЗ^дают описаігае ОТ групп

/ онл называют D - группу G UT группой, если она изоморфна изотшшоа подгруппе / не обязательно редуцированной / тотально проективной группы /,в частности,они доказывают,что всякая VT группа толпе транзитивна .

Quatt&zv g.'-PlatA.- ffttr \/.zi, Vws-p. /s-2.0.

Іі)Гршшіон С.Я. 0 вполне транзитивности, абелевых р - групп с . элементами бесконечной висоти // УІ симпозиум по теорій колон,

алгебр и модулей.Тезиси сообщеішй.-Іьвов.І990.-38 с. 12) е &0ЪФле, Ж. Ыъесуг*. Л - it./**-«*/<*,

С ъ. Исае/. ±ы., /s?s;zsf, a//Z, A 4/S-AW. із) кШ Р._} ТІЇші/Іис СЛ. Л* the. Шоти/ же/ c/m-iifecaJ-c&L /. а./са.*~ р -Я'ілкуд- // fitodk. Z. - ть'-У. rso.-p. /7-зх.

D 1973 i\ 14} П.А.Крылов по аналогии с вполне транзитивными р - группами рассматривает понятие вполне транзитивности для групп без кручония.В 1983 г. 15) ему удалось описать вполне транзитивные счптныо однородные группи без кручения.Необходимо отметить,что ранее в I97G г. однородные вполне транзитивные группы без кручения коночного ранга били описаны Арнольдом 16) .Недавно П.А.Крылов в 1.7) описал вполне транзитивные группы без кручения,у которых О - ранг / ранг группы G /р Сс / конечен.В этой Же работе он обобщает результаты,полученные Ю.Б.Добрусиным для вполне транзитивних групп боз кручония конечного ранга 10/,

Критерии птгално транзитивности прямых сумм абелевых групп без кручония и сепарабелышх групп без кручения получены в работе С.Я.Гриншпона і).

Произпольнно вполне транзитивные группы без кручения впервые стали специально исследоваться Ю.Б.Добрусиным в работе 19) в счяаи с решением проблемы Л.Фукса об описании квазпеервантно инъек-тпічінх групп / пли сокращенно QP*J . -групп /.Наибольшее прод-пі'лешіе d этом классе групп было получено Л.Р.Чехловым в 2d).

и) Крылов П.А. О вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения.-Сборник аспирантских работ по математике. Томск,1973,с.15-20.

Гя)Прилов П.А. Сильно однородные абелевы груши без кручения // Сиб.мат.кур.-1983.-Т.24,№2.-С.77-84.

і в) dxnote/ ). Vt. l^x-Mate ke/nfipem&cO- foauui-Czet aJ^Uut awxytb. -o J*Ki&, taxjL Jf рг*с. Лтлг. Modi SU^. - fS7.- К SB. -P, 6?- 7-2..

17/Крылов П.А. Вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Ллгрґрі и логика.-19Сі.

В последнее время вполне транзитивные грушш без кручення GT.VU пршзлекать внш.іашіе и зарубеглых исследователей,например 21), &и4аі-7И. 22), кеак А. -из;.Так Нол^^Н^-. ;а)

рассматривает Е - транзитивные группи без кручения / группа Сиз кручения Gt Е - транзитивна,если для любых дьух ей серваптних подгрупп А и р ранга I существует эндоморфизм cL группи G со свойством cL А - о /.которые являются в точности однородпи-ми вполне транзитивными грушами. Она устанавливает необходимые и достаточные условия изоморфизма двух Е - транзитивних групп.

18)Добрусш Ю.Б. О-продолжениях частичных зндоілоррлзмов абелевых групп без кручения,II // Абелевы группи и модули.-Томск:Изд-во Томск.ун-та,І985.-С.ЗІ - 41.

19)Добрусин Ю.Б. Квазисервантно инъективнш и гралзитшзные ьбелеви группы без кручения.-Томск,1977.-45 с.-Рукопись представлена Томск.ун-том.Деп.в ВИНИТИ 19 июля IS77,J,'2942 - 77.

20)Чехлов А.Р. Абелевы грушш без кручения с заданными свойствами сервантных подгрупп// Международная конференция по алгебре.Тезись докладов по теории групп.Новосибирск.-1989.-136 с.

21) l&xcitejt , &н ^ігг>м.а6/ ілх*^/иеі//е te-e-Uert -/?г.

3 хе/ &nU. _v C$&l*c*cI/clcJc, ^нр-. //- //"> SJ*5~. 71luj~

22) 3)сс^Л-і- 9H^, Неих+е-К.'!- ttx^ioH -/te* /=-ипм4^-

%ia. Qt0tth$_ >/ cM&Hcte. -C6UcJL. // &*ctest

TTUii. . /&/-fxs.

P. /J/- /S3.

ы) Наи^ші. - tra^M^o*- іег-UOA -/z&l a&//a*. at**f>l- // Г. ^г/йа.. -/j* t.-tf/er, Si. - P..

- b -

Впервио случай смешанной вполне транзитивной группы был рассмотрен в работе Мадера 25^,где он показал,что редуцированная р -адическал алгебраически компактная группа вполне транзитивна.

Исследуя группу Т S Е.к (2-(р), Т) в 4} Москаленко А.И. показала,что в случае,когда 7* ^- прямая сумма циклических р -групп, / - вполне транзитивная группа.

Цель работы.

1. Получить критерий вполне транзитивности прямых суш абелввых
групп.

2. Исследовать вполне транзитивность прямых произведений абелевых_; групп.

3. Найти необходимые и достаточные условия вполне, транзитивности прямых произведений сепарабольных абелевых групп.

4. Установить критерий расщепляемостп / сепарабельности / прямого произведения абелевых групп и определить влияет ЛИ СВОЙСТВО вполне транзитивности прямого произведения групп на расцепляемосгь / сепарабельность / этого произведения.

Научная ноппзна.

1. Получен критерий вполне транзитивности прямых суш абелевых групп и достаточное условие вполне транзитивности прямых произведении абелевых групп.

2. Введен іиіасс 3 - обобщенно узких групп,вклячовднй. в себя многие классы групп,и исследовала вполне транзитивность прямого произведешш S - обобщенно узких групп.

3. Получен простой критерий вполне транзитивности расщеплявшее

емепаннкх абелевих групп,а такзо наіідено необходимое к достаточ-

ное условие расщешіяемости'прямых произведений абелевих групп и выяснено,как свойство вполне транзитивности влияет на расщепляв мость такой группы.

4. Получен критерий вполне транзитивности прямых суш / прямых произведений /периодических абелевих групп.

5. Решена задача о сопарабельноати прямых произведений произвольных абелевих групп.Выяснено,как свойство вполне транзитивности влияет на сепарабельность прямого произведения абелевих групп.

6. Получено описание вполне транзитивних абелевих групп,являющихся
прямым произведением обобщенно сепарабельних групп без кручения.
Теоретическая и практическая ценность.

Работа имеет теоретическое значение.Полученные результаты - 3 глав могут быть использованы при исследовании различных свойств вполне транзитивных прямых суш абелевих групп / вполне транзитивных прямых произведений обобщенно сепарабельних групп без кручения или і - обобщенно узких.абелевых групп /.Предложен простой метод построения вполне транзитивних сметанних расщепляемых абелевих групп.Результаты глави 4 расширяют наши знания о структура вполне транзитивного расщепляемого прямого произведения /$ - обобщенно узких групп,дают полную информацию о сепарабелышх / вполне транзитивных сепарабельних / прямых произведениях произвольных абелевих групп.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях научного семинара кафедры алгебры ТГУ,кафедри алгебри МИГУ им. В.И.Ленина / 1988,199І г.г. /,на ХУШ Всесоюзной алгебраической конференции в Кишиневе в 1985 г.,на УІ симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей во Львове,в 1990 г.,на "ездународных алгебраических конференциях в Новосибирске в 1989 г.,в Барнауле в 1991 г.

Публикации.

По теме диссертации опубліковано II робот.

Объем работы.

Диссертация состоит из введения,сшіска обозначений,четырех глав, списка литературы из 60 наименовашШ.Дкссертация содержит 84 страницы машинописного текста.