Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и вполне транзитивность Гриншпон, Самуил Яковлевич

Введение к работе

Актуальность темы. Теория абелевых групп является одной из важных ветвей современной алгебры. Эта теория активно взаимодействует с различными областями математики: с одной стороны в теории абелевых групп тесно переплетаются идеи и методы линейной алгебры, теории чисел, теории модулей, колен, категорий, топологических групп, а с другой стороны теория абелевых групп часто является источником идей для смежных областей алгебры. Широкая применимость абелевых групп в различных областях математики является одной из причин интенсивного развития теории абелевых групп в последние годы (см. [Миші], [Миш2], [МишЗ], [ММ], [МІ]).

Важной задачей теории абелевых групп является изучение строения их вполне характеристических подгрупп и решетки, ими образуемой. Ииоки теории вполне характеристических подгрупп абелевых групп лежат в теории линейных операторов векторных пространств, при изучении которых центральную роль играют инвариантные подпространства. Знание строения вполне характеристических подгрупп абелевой группы и их решетки существенно помогает как при изучении свойств самой группы, так и при исследовании свойств ее колец эндоморфизмов и квазиэндоморфизмов, группы автоморфизмов и других алгебраических систем, связанных с исходной группой (см., например, [Mel], [R1], [Р], [ВЕІР], [Миш2], [МишЗ], [Mi]).

Выяснение строения вполне характеристических подгрупп абелевых групп представляет также интерес при изучении вполне инвариантных подмодулей модулей. Информацию о вполне характеристических подгруппах абелевых групп и решетках таких подгрупп полезно иметь и при исследовании абелевых групп, как модулей над своими кольцами эндоморфизмов.

Для некоторых достаточно широких классов абелевых р -групп описание вполне характеристических подгрупп получено в работах Р. Бэра ([В]), Р. Линтона ([L]), И. Капланского ([К]), К. Бенабдаллаха, В. Эйзенштадта, Д. Ирвина, Е. Полуянова ([BEIP]), Р. Пирса ([Р]). Как правило, эти описания вполне характеристических подгрупп абеленых р-групп даются не на наиболее удобном для этих групп языке инвариантов Ульма-Капланского, и в ряде случаев требуется преодолеть значительные трудности для перевода такого описания па этот язык.

О вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения и смешанных абелевых групп, в отличие от примарных групп, известно, вообще, очень мало. Описание вполне характеристических подгрупп и их решетки для одного класса однородных групп без кручения получено П. А. Крыловым ([Kpl], [Кр2]), а а [Ш] В. С. Пятков описал вполне характеристические подгруппы прямых сумм оді юрод-, ных сепарабельных групп без кручения. Хорошо известен результат Р. Гебеля ([G])

о строении вполне характеристических подгрупп К-прямых сумм бесконечных циклических групп (в частности, прямых сумм и прямых произведений бесконечных циклических групп, а также групп Бчра-Шпскера). В работах А. И. Шапошникова ([Ш1], [Ш2]), А. И. Москаленко ([Мо]) и А. А. Фомина ([Фо]) изучаются еервант-ные вполне характеристические подгруппы абелевых групп из некоторых классов. Вполне характеристические и сервантные вполпе характеристические подгруппы алгебраически компактных групп рассматриваются А. Мадером в [М]. Связь между строением делимой и редуцированной частей абелевой группы специального вида со строением соответствующих частей ее вполне характеристической подгруппы установлена М. Брамре ([Вг]).

Изучая вполне характеристические подгруппы абелевых р-групп И. Капланский вводит понятие "вполне транзитивная группа" (редуцированная абелева р-группа называется вполне транзитивной, если для любых двух ее элементов а и 6, для которых Н(а) ^ Н(Ь), где Н(а), Н(Ъ) — индикаторы элементов а и Ь соответственно, существует эндоморфизм этой группы, переводящий а в Ь ([Ф1], с. 11)). И. Капланскому удалось установить, что всякая сепарабельная редуцированная р-группа является вполне транзитивной ([К], с. 58; [Ф2], с. 10-11). Он ставит вопрос (проблема 25 из [Рг]): будет ли любая абелева ;)-группа вполне транзитивной. В [Н] П. Хилл показан, что всякая тотально проективная р -группа является вполне транзитивной. Интересные результаты о вполне транзитивных р-группах А, связанные с действием кольца эндоморфизмов Е(А) на р"А, получены А. Корнером ([С1]); здесь же построен пример редуцированной р-группы, но являющейся вполне транзитивной. С. Файле и Б. Голдсмит рассматривают вполне транзитивность прямых сумм р -групп ([FG]). Свойства вполне транзитивных р -групп рассматривались в ряде работ (см. [Миші], 1; [Миш2], 1).

Понятие вполне транзитивної'! группы без кручения, то есть такой абелевой группы без кручения, в которой для любых двух элементов а и Ь таких, что х{а) ^ \(Щ (х(^а)) х{Ь) — характеристики элементов а и 6 соответственно) существует эндоморфизм этой группы, переводящий а в Ь, появилось и применялось для решения различных задач теории абелевых групп в работах [Г8], [Крі], [Д1] (в этих работах группы с указанным выше свойством назывались транзитивными; позднее в работах разных авторов, включая и авторов перечисленных статей, такие группы етапи называться вполне транзитивными). Изучению вполне транзитивных групп без кручения и различных важных подклассов таких групп посвящено большое количество работ (см., например, [А1], [КрЗ], [Hal], [DS], [AVW], [Д2], [Кр4], [Ч]).

В [Г12] автор и В. М. Мисяков рассматривают понятие "вполне транзитивность" для произвольной абелевой группы, которое формулируется в терминах высотных

матриц, элементов группы и согласуется с введенными ранее определениями вполне транзитивной р-группы и вполне транзитивной группы без кручения (для редуцированной абелевой группы оно выглядит гак: редуцированная абелева группа называется вполне транзитивной, если для любых двух се элементов а и 6, для которых М(а) ^ И(6), где Н(а),И(Ь) — высотные матрицы элементов а и і соответственно, существует эндоморфизм этой группы, переводящий а в b). Вполне транзитивные смешанные р-локальные абелевы группы изучаются С. Файлсом в [F]. В р -локальных группах по аналогии с абелевыми р-группами можно рассматривать индикаторы (высотные последовательности) элементов и естественно определить вполне транзитивность для таких групп точно так же, как и для р-групп (такое определение вполне транзитивности для р-локальных групп согласуется с определением вполне транзитивности для произвольных абелевых групп из [Г12]). В [F] показано, что редуцированная ранга без кручения 1 у -локальная группа вполне транзитивна, если ее периодическая часть сепарабельна. Вполне транзитивность редуцированной р-адической алгебраически компактной группы установлена А. Ма-дером в [М]. Исследование вполне транзигипности прямых произведений абелевых групп проведено В. М. Мисяковым в [Ми1].

Интерес к изучению вполне транзитивных групп объясняется следующими обстоятельствами. Вполне транзитивными являются, например, такие группы, имеющие фундаментальное значение в теории абелевых групп: р-группы без элементов бесконечной высоты, р-адические алгебраически компактные группы, однородные сспарабельные группы, — которые исследовались в работах Л. Я. Куликова, Л. П. Мишиной, Ю. JI. Ершова, Р. Бэра, И. Капланского, Л. Фукса, Е. Сонсяды, Д. Лося и других математиков. К вполне транзитивным группам относятся также квазисервантно ннъективные ([R.2]) группы без кручения и сильно однородные группы ([А1], [КрЗ]), интенсивно изучающиеся в последнее время (задача изучения свойств квазисервантно инъективных групп сформулирована Л. Фуксом в [Ф1] как проблема 17а). Кроме того, многие подклассы вполне транзитивных групп оказываются весьма широкими и состоящими из групп, ранее не рассматривавшихся. Если еще учесть, что вполне транзитивные группы допускают содержательное изучение, то становится понятной целесообразность их изучения.

Вполне транзитивные группы играют важную роль при исследовании вполне характеристических подгрупп абелевых групп и решетки, ими образуемой.

При изучении вполне характеристических подгрупп абелевых групп и связей их строения со строением самой группы большое значение имеет понятие почти изоморфизма по вполне характеристическим подгруппам, представляющие и самостоятельный интерес.

Дне абслепы группы называются почти изоморфными, если каждая из них изоморфна некоторой подгруппе другой группы ([J]). Две абслепы труппы называются почти изоморфными но подгруппам с некоторым свойством, если каждая из них изоморфна некоторой подгруппе другой группы, обладающей этим своіісгіюм. Задача об изоморфизме почти изоморфных групп привлекала внимание многих алгебраистов. В одной из тестовых проблем Капланского ([К]) ставится вопрос об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по прямым слагаемым. Для счетных редуцированных примарних групп эта проблема имеет положительное решение ([К]), однако в работе [Сг] приведен пример нсизоморфных р -групп, каждая из которых изоморфна прямому слагаемому другой группы. Для групп без кручения пример такого рода был построен в [S]. В ряде работ исследуется, когда из почти изоморфизма абелевых групп по сервантным или вполне характеристическим подгруппам вытекает их изоморфизм (см., например, [Gr], [Pol], [Ш], [Пр]). Понятия, близкие к изоморфизму (почти изоморфизм, квазиизоморфизм и другие), оказались очень полезными при изучении строения абелевых групп и их колец эндоморфизмов (см., например, [J], [К_Р5], [Ш]).

Известная теоретико-множественная теорема Кантора-Шредера-Берпштейна явилась источником постановки аналогичных задач в алгебре не только для абелевых групп. В [Со] изучается теоретико-кольцевой, а в [ТК] теоретико-категорный аналоги теоремы Кантора-Шредсра-Бернштейна. Рассматриваются также почти изоморфные модули (см., например,'[НН], [Ро2]). Подобные задачи возникают и в других : областях математики, в частности, в топологии ([Б], с. 20-21).

Для рассмотренных аналогов теоремы Кантора-Шредера-Бернштейна характерно, в отличие от самой теоремы, наличие примеров отрицательного решения соответствующих задач, а также изучение классов объектов, для которых эти задачи имеют положительное решение.

При изучении абелевых групп, почти изоморфных по некоторым подгруппам, удобно считать, что одна группа зафиксирована, а другая — пробегает весь класс абелевых групп. Назовем абелеву группу А f.i.-корректной, если для любой абеле-вой группы В из того, что А = В' и В = А', где А', В' — вполне характеристические подгруппы групп А и В соответственно (то есть А и В почти изоморфны по вполне характеристическим подгруппам), следует изоморфизм А = В .

Одним из важных направлений в теории модулей и абелевых групп является изучение дистрибутивных и эцдодистрибутивных модулей (модуль называется дистрибутивным (эидодистрибутивным), если решетка всех его подмодулей (всех его инвариантных подмодулей) дистрибутивна). Дистрибутивные и чпдодистрнбутип-ные модули рассматривались в монографиях [Ко], [Be], [Пи], они исследовались н

большом никло работ А. А. Тугапбасна (см., например, [ТІ], [ТЭ], [ТЗ], [Т4], [То]), в работах Г. Е. Пунинского ([Пун]), В. Камилло ([Са]), В. Стефенсоиа ([StJ) и других авторов (см. [БЛММСТ], [MMCTl], [ММСТ2]).

Настоящая работа посвящена изучению вполне характеристических подгрупп абелеиых групп и их решеток, п котором важную роль играет понятие вполне транзитивности.

Все вышесказанное позволяет считать тему диссертации актуальной.

Цель работы.

1. Исследовать свойства вполне транзитивных абелеиых групп и получить критерии вполне транзитивности К-прямых сумм абелеиых групп из ряда классов.

2. Получить описание вполне характеристических подгрупп и их решетки для абелсвых групп из различных классов.

3. Исследовать свойства f.i.-корректных групп и получить их описание в ряде классов абелевых групп.

4. Исследовать дистрибутивность и обобщенную дистрибутивность решеток вполне характеристических подгрупп абелевых групп из различных классов.

Общая методика исследования. В диссертации используются методы теории абелевых групп, теории модулей/теории упорядоченных множеств и решеток, некоторые топологические и теоретико-множественные идеи. Исследование, проведенное в работе, базируется на систематическом использовании введенных и изученных п диссертации понятиях: гомоморфной оболочки, Н-группы, вполне, транзитивного семейства групп и семейства групп, удовлетворяющего условию К-монотонности. В диссертации введены новые классы групп, для которых получено описание вполне характеристических подгрупп и их решеток, что позволяет получать, как следствия, результаты для уже известных классов.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие.

5. Описание вполне транзитивных групп и ряде классов абелепых групп.

6. Получение полного отпета па вопрос, когда группа Нош(.4,С) = О и случае, когда хотя бы одна из групп А, С — периодическая. Исследование вопроса о равенстве нулю группы гомоморфизмов Нот(А, С) в случае, когда С — однородная сепарабсльная группа, в частности, С — группа без кручения ранга 1 (см. в связи с этим проблему 30 из [Ф1]).

3. Исследование вполне транзитивных р -групп с элементами бесконечной высоты, с помощью которого выделяется широкий класс групп, дающих отрицательное решение проблемы 25 из [Рг].

4. Выделение Н-групп (то есть таких редуцированных абелевых групп А, в которых всякая вполне характеристическая подгруппа имеет вид А(М) = {а Є А | Н(а) ^ М} , где Н(а) — высотная матрица элемента а , М — некоторая и х и> -матрица, элементами которой являются порядковые числа и символы со) в различных классах абелевых групп, что фактически равносильно описанию вполне характеристических подгрупп в выделенных группах.

5. Описание вполне характеристических подгрупп и их решетки для вполне транзитивных групп (не обязательно являющихся М-группами) из ряда классов групп.

6. Исследование строения вполне характеристических подгрупп и их решетки для сепарабельных групп без кручения и р-групп, вполне разложимых смешанных групп, векторных групп и групп, близких к ним.

7. Выделение классов f.i.-корректных групп.

8. Описание, абелевых групп из различных классов, в которых решетка вполне характеристических подгрупп дистрибутивна, обобщенно дистрибутивна, является цепью.

Как следствия получены многие известные соответствующие результаты Р. Ге-беля, М. Брамре, Ю. Хаузен, К. Бенабдаллаха, Б. Эйзенштадта, Д. Ирвина, Б. Полуянова, П. А. Крылова, С. Файлса, Б. Голдсмита, В. М. Мисякова и др.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение. Ее результаты и методы могут быть использованы в исследованиях по теории абелевых групп и модулей. Введение новых классов групп расширяет знания о строении абелевых групп. Ряд теорем использован автором при чтении спецкурсов для студентов и аспирантов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на IV и VI Всесоюзных симпозиумах по теории колец, алгебр и модулей (Кишинев, 1980 г.; Львов, 1990 г.), на XVI и XVIII Всесоюзных алгебраических конференциях (Ленинград, 1981 г.; Кишинев, 1985 г.), на Международных алгебраических конференциях (Новосибирск, 1989 г.; Красноярск, 1993 г.; Санкт-Петербург, 1997 г.; Новосибирск, 2000 г.), на симпозиуме "Абелевы группы" (Бийск, 1994 г.), на Международной конференции по теории групп (Пермь, 1997 г.), на Международной конференции по математике и механике (Томск, 1997 г.), на Международном семинаре "Универсальная алгебра и ее приложения" (Волгоград, 1999 г.), на III и IV Сибирском конгрессе

по индустриальной и прикладной математике (Новосибирск, 1998 г. и 2000 г.), на II Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2000 г.), и также неоднократно обсуждались на алгебраических семинарах Московского госуниверситета, Московского педагогического госуниперентста, Киевского госуниверситета, Института математики с ВЦ АН Молдовы, Томского госуниверситета. По теме диссертации опубликована 41 работа [Г1]-[Г41].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, четырех глав, первая из которых содержит семь параграфов, а вторая, третья и четвертая — по шесть. Список литературы содержит 135 наименования. Диссертация изложена на 247 страницах машиннописного текста.