Введение к работе
Актуальность теш. В современных алгебраических исследованиях важное место занимаю? проблемы влскения. Задаче, о вложении полугрупп в группы была решена А .И. Мальцевы:; [ IGjO* 39-5? 3 Ии бнла явно указана система квазитот,-доств, определяющая кваэиыногообразве полугрупп, вложимте в группы, и было доказано, что полученная система кзази-тождеств не эквивалентна никакой своей конечной подсистеме. & работе Г 10,с. 12-15] А .И. Мальцев построил прішгс обласги целостном!!, мультипликативная йолугрупяа которое ко влозика в группу» Ок поставил вопроси о существовали;', колец, пе элояимых в тела, мультипликативная полугруппа которых вкладывалась бк в группу, к-о нападений необходимых и достаточных условий влозвшосги произвольного ко* льда з тело»
Первый из зтіее вопросов" был независимо решен А. Баутел-
RO'i [12 J , A, Клейкой [15] и Л .А. Бояутеа [з] » по
строившими примера колец с требуейьш сиойсузеи» Пример»
найденный Л.A. Бскухеи,'занзчзгедек ео двум дричкнаы. Во-
первых, кольцо» построенное ни, является полугруппово;"
алгеброй (над полей из двух элементов), a ізо-вторь»:,, оно
не только не елояйио в тело, но к не обратно (s„e. не
который его элемент но ноезз быть ооратшшц нл е* каш.:
'объемлющем ліоліцз). J. „А. Бокутек ?,вопр. 2.22'} бы
поставлен вопрос о существований аеббратвииг колец про
извольной характеристики, мультипликативная полугруппа
которых вкладывалась бн в группу. .
Необходимые к достаточные условия влогикостн прояз** вольного кольца в тело.была кайденн П. Конок [ 8,гл.7] . Открытие П. Кона состояло з том,.что гоиокорфизк всякого кольца в тело определяется (с точностью до влокени)-' тол) множеством всех матриц, отобразазаых !-;« в ооратк-гае матрицы*
П.- Коном [напр. 8,0. 350] и Б.Н. Герастгова»: [ k 1 было доказано, ч:^ произвольная конечная- совокупность условий, найденных П. Конои, вйполняэтея в
Л F1 -кольцах при достаточно большом натуральной д, » " Поскольку каздый из классо_ ц f]_ -колец содеркит невло-зггаые в тела кольца (примеры А. Баутелла ш А» Клейна) і:лесо колец,, влозимых в тела, на моает быть задан конечной системой аксиом. Напомним, что кольцо ft называется і Я, Г1-кльЦОм5 если какдый его П -пороаденный правый ; идеал является свободным R. -модулем однозначно определенного ранга. П. Коном [8,с. 8? 3 был сформулирован запрос о том, являются ли $fj, «кольца обратимыми.
Отвея на этот вопрос был дан В.Н. Герасимовым C5-6j и П. Мальнольмсояоа - [14-15] , которые независимо построили'явкув конструкцию универсального 2 -обращающего кольца R2"i; для произвольного кольца R, и мнокест-зза катриц 2 Кольцо R21_І однозначно определяется : (с точностью до изоморфизма) следующим универсальным ssoKctbom; для любого гомоморфизма ; -. f кольца ;з кольцо Т" » переводящего матрицы из 21 э обратимые ыазрицы над Т » существует единственный гомоморфизм ~~$: RZ"^~*".T » Дополняющий'следующую диаграмму до коадутативной! ''.."''..."'
ч" - V/
: ХТ л... ,
- Построение конструкции К 2Z сделало возможным применение техники локализаций в некоммутативных кольцах. Описание ядра универсального 'У -обращающего гомоморфизма & позволило В.Н. Герасимову-и П.- Маяьколъмсопу доказать, в частности, обратимость Z FI -колец.
Таким образом, при изучении вложений колец в тела рассматривались следующие классы колец: JCg - кольца без делителей нуля, ЗСа. - области, мультипликативная полугруппа которых влокииа в группу, JCz ~ обратимые кольца, , : - кольца, вложимые в тела. Результаты А.И. Мальцева, А.а-|
утелла, Л. Клейна, Л.А. Бокутя, В.Н. Герасимова, П» Маль-кольнсона показывают, что-все включения.э цепочке
%<>=> Л± г?" Хх =? Л3 / .
являются строгими.
Затронутые выше вопросы возникают и при изучении иле-. явний колец в радикальные (по Джекобсоау) кольца: ветре* чающиеся свойства мультипликативной полугруппы кольца нукно заменить соответствующими свойствам его присоединенной полугруппы, уклонение в которой определяется яра-. видом &ов-а,+в+<ь' Ванность решения этих вопросов обусловлена ведущей ролью радикала Джокобсоиа в исследованиях по структурной теории колец. Вопрос о наховдении не- обходимых я достаточных уоливий блозшмостй произвольного кольца в. радикальное, кольцо был сфоркуяирован В.А. Авд-рунакиевичем [ ?,вопр* I.7.J , доказавшим,-что "кольцо, присоединенная.полугруппа которого удовлетворяет условие, яа Орэ и двустороннего сокращения, влогино в радикальное.
Изучение радикальній: колец связано ецз с одним вз?шьш ' направлением современной теории колец -исследованием то-ндеств в расииренной сигнатура. Эта связь обусловлена те;.;, что.класс радикальные колец является многообразием в саг-натуре, состоящей из кольцевш: операций к увзрной операции квазиобрацония» Тогдсстзз з расширенной сигнатуре» выпол~ .няющаеся кг. кольцах згога многообразия«. будем называть рацнопзльныки по. аналогии, с рациональными то8Двстваігиг. взеденшки С. 'Ааитцуроц для класса тел. .
Основной результат, доказанный С".Ашітцур&ч [II] е-состоит в той, что всякое тело с бесконэчпнм цангроы, удовлетворяющее нетривиальному рационздьпону тоадеству, пвлк-
Є5СЯ РІ-КОЛЬЦОІІ,- БОПрОС. О TUH» будет ЛИ РІ-К0Л5Ц0Ц ради-
.кальное кольцо, удовлетворяющее.нетривиальному рациональному гоядеству, сформулирован В.Н, Геразииовня [ ?,воир. 2.31 3 <
Упсзднутыа вше вопросы рассматриваются в настоящей
диссертации.
Цель работы. I) нахождение необходимых и достаточных условий вложиыости произвольных колец в радикальные кольца (ответ на вопрос Е.А, Андрунанибвича),
2) доказательство отсутствия конечного оазиса нвазито-2десїв у нваьимногообразия колец, влоаимых в радикальные,
1) прогроение примеров' необратимых (ненвазиобратимых)
алгебр над произвольный полей, мультипликативные (присое
диненные) полугруппы которых влоанш в группу ^ответ на .
вопрос Л.А.. Б0в>тя)9 . : ' .
-
исследование влозішсств радикальные кольца универсальных обертывающих конечномерных алгебр Лп (частичный озает на вопрос 2JU Бокутя),
-
доказательство геореыы, аналогичной теорвые С. Аыи-їцура о рациональных тоздествах (частичный ответ на Bounce В.Н. Герасимова).
Общие методы исследования. Основным инструментом, ис-польауешы в диссертации, является конструкция матричной локализации» принадлежащая В.Н. Герасимову, используется такяз ыетод жшйойнций А.й. Ширвова и геореыы структурной seopaa колец. '' -''.'.'/ :
Изучная новизна. Вое результаты, полученные в диссер
таций, являются новым». Некоторые из пах отвечает на из
вестные вопросы, результаты получены диссертантом без со
авторов. Л .
Практическая ревность. Диссертация является исследованием но теории колец в носит теоретический характер. Ее результаты и методы ыбгуг бык» попользованы в дальнейших исследованиях по вложениям колец в тела и в радикальные кольца, при чтеааа слецкурооэ; в монографиях.
Апробация работы. Основные результаты докладывались автором на сеыинарах "Алгебра и логика", "Теория колец",. "Ассоциативные кольца н -яоліца Ли института математики СО АН СССР и Новосибирского государственного университета, а также на пятой Всесоюзном симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Новосибирск, 1982).
Публикации. Результаты исследований опубликованы в
работах автора 16-19 3 *
Структура и объем работы. Диссертация состоит из вве дения и четырех глаз. Она содержит II* страниц машшопи--оного текста; список литературы включает 41 наименование.