Введение к работе
Актуальность темы исследования. Задачи классификации и представления квадратичных форм являются классическими для теории чисел. В диссертации для положительно определенных квадратичных форм Л размерности т и форм Q размерности п > т решается вопрос о весе примитивных представлений формы А родом формы Q. Первый общий результат для веса представлений п(А, [Q]) формы А родом [Q] был получен Зигелем [1] в 1935 году
n(A,[Q]) = m([Q]) П «рИ.ЯЬ
р=-1,2,...
HQ) Здесь m([Q]) = ^2 l/(Qi) ~ масса /г-классного рода [Q], вы-
)=1 численная в 1885 году в инагурационной диссертации Минков-
ским [2]. В дальнейшем предпринимались многочисленные попытки вычисления локальных плотностей Зигеля ар(А, Q) с применением многомерных гауссовых сумм и точной формулы для обычной суммы Гаусса. Китаока [3] техникой модулярных форм получил качественные и оценочные результаты о представлении формы А размерности m ^ 2 формой Q размерностей п ^> 1т + 2 и п ;> 2т + 3.
Используя операторы Гекке, Андрианов [4] - [6] для произвольных размерностей m выразил усреднение числа представлений формы А родом [Q]. В последнее время Андрианов [7] исследовал случай сингулярных операторов Гекке Т(р) для р, одновременно делящих определители форм А и Q. Другим методом Фоменко О.М. и Голубева Е.П. [8] - [9] исследовали равномерность распределения точек на поверхностях второго порядка.
Аддитивный подход к вычислению веса представлений формы родом, впервые предложенный Гауссом для нахождения ко-
личества представлений числа суммой трех квадратов, использовал Журавлёв В.Г. в 1996 [10]. Им были рассмотрены представления формы А бесквадратного уровня а родом [Q] определителя d, взаимно простого с а. Техникой приведенной системы р-символов Конвея и Слоэна [11] и масс-формулы Минковского-Зигеля он получил условия существования примитивных представлений и формулу веса примитивных представлений формы .4 родом [Q]. Геометрическим аналогом аддитивного подхода является склейка форм Витта - Кнейзера.
Случай не взаимно простых уровня а — level А и определителя d = \Q\ представляет трудность при любом подходе и не был ранее исследован. Если уровень а и определитель d имеют общие делители, то возникает ветвление представлений, проявляющееся в многообразии р-инвариантов форм сцепки.
В диссертации получены условия существования и формулы веса примитивных представлений р-элементарной формы родом в случае ветвления. Это стало возможным благодаря классификации всех минимальных неразложимых представлений. Последние задают число орбит примитивных представлений.
Геометрическим аналогом представления форм являются вложения соответствующих решеток.Задача о числе возможных под-решеток возникает в связи с ростом квазикристаллов и является актуальной проблемой кристаллографии.
Цель работы. Получить классификацию минимальных неразложимых представлений р-элементарной формы А — А\(&рАр. Найти условия существования примитивных представлений и вес примитивных представлений р-элементарной формы родом в случае ветвления, то есть когда уровень а формы А и определитель d формы Q имеют общие делители р. Для взаимно простых and исследовать формы с условием а < |А|. Рассмотреть приложения формулы веса представлений к классическим решеткам корней.
По заданным локальным инвариантам найти метод построения новых родов форм.
Методы исследования. В работе использованы теория ветвления вложений над кольцами р-адических чисел, аддитивный метод склейки форм, локальный метод Минковского Хассе, теория р-адических символов Конвея и Слоэна.
Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты для положительно определенных квадратичных р-эле-ментарных форм А :
-
найдены все типы минимальных неразложимых представлений формы А родом [Q];
-
получена формула для веса примитивных представлений формы А родом [Q], если а < \А\ и наибольший общий делитель (a,d) = 1;
-
получена формула веса примитивных представлений формы А родом [Q] в случае ветвления представлений (a,d) > 1;
-
рассмотрены приложения формул веса к формам классических решеток корней;
-
найдены условия полноты рода.
Практическая и теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут быть использованы для получения наиплотнейших упаковок в дискретной геометрии, для решения систем диофантовых уравнений второй степени в арифметической теории квадратичных форм и найти практическое приложение в задачах цифровой связи, а также для решения проблемы роста квазикристаллов. Результаты диссертации могут быть использованы для проведения спецкурсов по
теме "Диофантовы квадратичные уравнения и системы" в МГУ, СПбГУ, ВГПУ.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VII международной конференции "Математика. Экономика. Экология. Образование." (Ростов-на-Дону, 1999), на XXII конференции молодых учёных (МГУ, 2000). Основные результаты были представлены в тезисах докладов на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2000), а так же докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорско-преподовательского состава ВГПУ (1998 - 2000 г. г., секция "Алгебра и теория чисел"), на научных семинарах по "Теории чисел" ВГПУ под руководством доктора физико - математических наук, профессора Н.М. Тимофеева (1999 - 2000 г.г.).
Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах автора [12]-[17].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих четырнадцать параграфов и изложена на 120 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 50 наименований, включая работы автора.