Содержание к диссертации
Введение
2. Формулировка основного результата
2.1. Обозначения и первоначальные сведения 9
2.2. Постановка задачи и план доказательства 12
3. Связность и непустота пространства путей на полном пересечении в инд-грассманиане 14
3.1. Первоначальные сведения и идея доказательства 14
3.2. Связность нулей сечения глобально порожденного расслоения 17
3.3. Когомологии пространства флагов 19
3.4. Расслоения на пространствах флагов 22
3.5. Доказательство теоремы 2 28
3.6. Следствие из теоремы 2 29
4. Равномерность векторных расслоений на полном пересечении в инд-грассманиане 30
4.1. Вспомогательные определения и идея доказа тельства
4.2. Доказательство 1-связности X 32
4.3. Доказательство 2-связности X 35
4.4. Доказательство равномерности расслоения Е 36
5. Расщепление векторных расслоений конечного ранга на X 39
5.1. Построение флага подрасслоений в Е 39
5.2. Линейно тривиальное расслоение тривиально 45
5.3. Расщепление расслоения Е 47
5.4. Доказательство теоремы 1 49
6. Заключение 51
Литература
- Постановка задачи и план доказательства
- Связность нулей сечения глобально порожденного расслоения
- Доказательство теоремы
- Линейно тривиальное расслоение тривиально
Постановка задачи и план доказательства
Теперь мы имеем представление об объектах, с которыми нам предстоит иметь дело. Перейдем к формулировке теоремы, доказательство которой и является нашей главной задачей.
Теорема 1. Любое векторное расслоение Е конечного ранга на инд-многообразии X изоморфно прямой сумме линейных расслоений.
Доказательство этой теоремы состоит из нескольких этапов, которые изложены в последующих главах.
В главе 3 мы рассматриваем пространство путей длины п, соединяющих две точки полного пересечения грассманиана G(n, V2n) с / гиперповерхностями степеней d\,...,di. Под путем здесь понимается набор последовательно пересекающихся друг с другом проективных прямых в X, посредством которых от одной точки можно дойти до другой. Основным результатом является условие на числа n, d\,..., d\, при выполнении которого, пространство путей, соединяющих любые две точки полного пересечения, связно и непусто. Так же получено условие на числа k,n, d\,..., d\ для случая полного пересечения грассманиана G(k, Vn). В этом случае мы получаем связность и непустоту пространства путей длины к.
Главным результатом главы 4 является доказательство равномерности любого конечномерного расслоения Е на X. Это означает, что векторное расслоение Е при ограничении на все проективные прямые из X имеет одинаковое разложение в прямую сумму линейных расслоений.
В главе 5 мы показываем, что во всяком равномерном расслоении Е имеется флаг подрасслоений 0 = FQ С Fi С F2 С ... С Fs = Е, таких, что каждое из фактор-расслоений Fi/Fi_i является подкруткой линейно тривиального расслоения на О (аІ) ДЛЯ 1 і s. Мы доказываем далее, что любое конечномерное линейно тривиальное расслоение на X является тривиальным. Затем приводим доказательство того, что расслоение Е расщепляется в сумму 0iFj/Fi_i. Используя равномерность векторного расслоения Е и 1 -связность инд-многообразия X, мы завершаем доказательство теоремы 1.
Теперь приступим к подробному доказательству основных этапов. 3. Связность и непустота пространства путей на полном пересечении в инд-грассманиане Начнем с необходимых определений. Определение 5. Пусть X - проективное многообразие с обильным пучком Сх(1) Назовем проективным подпространством в X такое многообразие М Рг в X, что Ох(1)\м — Ofr{l). В случае, если М одномерно, назовем его проективной прямой в X, или просто прямой в X.
Определение 6. Путь рп(х,у) длины п на многообразии X, соединяющий точки х}у, - это набор точек х = Хо}Х\} ...}хп = у в X и набор проективных прямых /о,---,4г-і в X, таких, что ХІ}ХІ+І Є li. Многообразие всех путей длины п, соединяющих точки х и у, обозначим Рп(х,у). Замечание 1. Оба определения переносятся дословно на случай инд-многообразия X. Основным результатом настоящей главы является следующая теорема. Теорема 2. Пусть X - полное пересечение грассманиана G(n} 2п), вложенного по Плюккеру, с набором гиперповерхностей степеней du...,di : X = G(n,2n) nflL Если 2Д + 1) [], то многообразие Pn(u,v) путей длины п, соединяющих любые две точки u}v в X, непусто и связно. Первым делом докажем следующее утверждение: Лемма 1. Пусть X - проективное многообразие, тогда пространство путей длины п, соединяющих любые две точки X, также является проективным многообразием.
Доказательство. Пусть F(X) - многообразие Фано прямых на X. Рассмотрим декартово произведение Xn+l х F(X)n, содержащее п + 1 копий многообразия X и п копий многообразия F{X). Пространство всех путей длины п изоморфно пересечению п подмногообразий этого произведения, определенных следующим образом: прямая из і-ого фактора F(X) содержит точки из і-ого и (і + 1) -ого факторов X . Аналогично доказывается и утверждение про пути, соединяющие две фиксированные точки на X. Следующий шаг - дать описание пространства путей длины п, соединяющих две общие точки на грассманиане G(n, 2п).
Лемма 2. Пусть U, V - два трансверсалъных п-мерных векторных подпространства в W2n. Обозначим через и и v соответствующие точки грассманиана G(n}2n) п-мерных подпространств 2п -мерного пространства W2n. Пространство Pn(u,v) путей из п звеньев, соединяющих и и v на G(n,2n), изоморфно произведению двух пространств полных флагов F(U) xF(V).
Доказательство. Построим изоморфизм F(U) х F(V) — Pn(u,v). Пусть U1 с ... с Un l cUn = U, Vі с ... с Vn l cVn = V два полных флага. Тогда определим і-ую прямую в цепочке как множество всех п -мерных подпространств в ип г+1 0 уг; содержащих Un % 0 V . Таким образом, мы получим связную цепочку прямых, где общей точкой і-ой и (і + 1)-ой прямых является п -плоскость ип г 0 Vі. Таким образом, каждой точке F{U) х F(V) мы сопоставили цепочку из Pn(u,v), а следовательно, получили инъективный морфизм F(U) х F(V) — Pn(u,v). Докажем теперь, что морфизм является сюрьективным.
Пусть pn(u,v) - путь длины п в G(n, 2п), соединяющий точки и и v. Каждой вершине цепочки соответствует точка щ грассманиана. Тогда имеем соответствие между точками щ и п -мерными подпространствами U{ в W2n для 0 і п, и выполнено Щ = U, Un = V. Заметим, что для всякого і размерность пересечения п -плоскостей UІ и Ui+\ не меньше п — 1. Таким образом, мы получаем, что для всякого і имеются следующие неравенства: с\\т(и nUi) n-i, с1іт(У П UІ) і. Рассмотрим п + 1 число d{ = dim(U П Ui) для 0 і п. Разница di — di+i может быть равна ± 1 или 0. Но для нашего случая должно быть п + 1 число, от п до 0. И такая последовательность единственна: п,п — 1,п — 2,...,1,0. Значит — d{+\ = 1. Отсюда вытекает, что приведенные выше неравенства на самом деле обязаны быть равенствами, поэтому путь pn(u,v) лежит в образе морфизма, и, значит, морфизм сюрьективен.
Наконец, чтобы доказать, что морфизм является изоморфизмом, достаточно проверить, что его образ является гладким подмногообразием пространства всех цепочек длины п в G(n, 2п), которое само является гладким. Гладкость образа вытекает из того, что группа GL{U) х GL(V) действует на пространстве всех цепочек, и образ морфизма представляет собой замкнутую орбиту этого действия.
Таким образом, на грассманиане G(n,2n) пространство путей длины п, соединяющих две общие точки, изоморфно прямому произведению Fn х Fn двух полных пространств п-мерных флагов. Идея доказательства теоремы 2 состоит в том, чтобы построить на Fn х Fn глобально порожденное векторное расслоение S с выделенным сечением s, таким что нули s задают пространство путей длины п, соединяющих х и у и лежащих в пересечении гиперповерхностей степеней d\,...,di. Используя явное представление расслоения S в виде прямой суммы линейных расслоений, мы покажем, что нули общего, а следовательно, и любого сечения S образуют непустое, связное подмногообразие в F х F
Связность нулей сечения глобально порожденного расслоения
В этом параграфе мы построим обещанное векторное расслоение на Fn х Fn, покажем, что оно расщепляется в сумму линейных, и вычислим его старший класс Черна. Такое расслоение возникает всякий раз, когда мы рассматриваем пересечение G(n,2n) с набором гиперповерхностей, и конкретный выбор гиперповерхностей определяет сечение расслоения (с точностью до пропорциональности). Чтобы объяснить конструкцию, достаточно рассмотреть случай пересечения G(n, 2п) с одной гиперповерхностью степени d.
Итак, рассмотрим грассманиан G(n, 2п), вложенный по Плюккеру. Пусть Sd - сечение 0{d), соответствующее гиперповерхности Yd степени d, которую мы пересекаем с G(n, 2п). Прежде чем строить расслоение, рассмотрим более простой вопрос о том, как получить аналогичное описание для многообразия Фано прямых, лежащих на G(n,2n) П Yd. Напомним, что многообразие Фано самого грассманиана изоморфно пространству частичных флагов F(n +
Доказательство. Рассмотрим сначала случай d = 1. В этом случае утверждение вытекает из того, что для всякой пары Wn-\ С Wn+\ подпространств W n имеется естественное линейное отображение Для того, чтобы путь Р лежал в Yd, необходимо и достаточно, чтобы каждое звено Р лежало в Yd. Иными словами, необходимо, чтобы для всякого к точка Рк(Р) Є F(n + l,n — l;2n) соответствовала прямой, лежащей на Yd. Таким образом, для каждого к, используя лемму 6 и определение морфизма pk, мы видим, что точка Р лежит в нулях сечения pl(s d) расслоения p (Ed). Из этого сразу же следует, что в качестве искомого расслоения на Fn х Fn мы могли бы взять p\{Ed) 0 p\{Ed) 0 ... 0 p n{Ed) Однако вместо него нам придется взять некоторое его подрасслоение коранга два. А именно, имеет место следующая лемма, поясняющая выбор такого подрасслоения.
Лемма 7. 1) Расслоения p\{Ed) и p n(Ed) канонически расщепляются в суммы p\{Ed) = 00 p\{Ed)/0, p n{Ed) = 0@p n(Ed)/0.
2) Более того, в случае если гиперповерхность {.Sd = 0} содержит точки и и v грассманиана G(n, 2п), то сечения Pi(s d) и Pn(s d) лежат в подрасслоениях p\{Ed)/0 и p n(Ed)/0 соответственно.
Мы дадим доказательство этой леммы в следующем параграфе, после того, как будет выведен явный вид расслоений p\{Ed) и p n{Ed) Заметим пока только, что в нашей задаче точки и и v лежат на гиперповерхности {sd = 0} (так как мы изучаем пространство путей, соединяющих две точки пересечения G(n,2n) П {sd = 0}). Если бы в качестве расслоения на Fn х Fn мы взяли всю сумму Pi(Ed)(BP2(Ed)(B...(BPn(Ed), то у такого расслоения было бы сечение без нулей. А именно, можно было бы просто взять сечение Sd такое, что {sd = 0} не проходит через и и v. Именно, чтобы разрешить эту проблему, мы должны несколько модифицировать расслоение на Fn х Fn. Это приводит нас к следующему определению.
Доказательство. Достаточно доказать эту лемму для каждого из слагаемых p k{Ed). Заметим, что расслоение Ed на F(n + 1, п — 1; 2п) глобально порождено. Действительно, для всякого выбора ограничения сечения расслоения 0(d) на прямую в G(n,2n) существует сечение расслоения 0(d), имеющее выбранное ограничение на прямую. Таким образом, расслоение p k{Ed) также глобально порождено.
Согласно лемме 8, расслоение pk{Ed) является симметрической степенью суммы двух линейных расслоений. Значит, оно само также расщепляется в сумму линейных. Наконец, заметим, что если глобально порожденное расслоение распадается в сумму линейных, то каждое из слагаемых также глобально порождено, так как имеется проекция всего расслоения на каждое из слагаемых. Доказательство леммы 7. Мы рассмотрим случай расслоения p\{Ed); случай расслоения p n{Ed) аналогичен. Согласно лемме 8,
Таким образом, p\{Ed) является суммой d + 1 линейных расслоений, одно из которых тривиально. Несложно показать, что вышеуказанное разложение расслоения p\{Ed) в прямую сумму единственно с точностью до изоморфизма. Таким образом, первая часть леммы доказана. Чтобы доказать вторую часть, достаточно заметить, что при малых d всякая гиперповерхность {sd = 0} , проходящая через U, содержит прямые на G(n, 2п), проходящие через точку U. Иными словами, сечение p (s d) обязано иметь нули на Fn х Fn. В то же время, если бы сечение p (s d) не лежало в подрасслоении p\EdJO, то оно не обращалось бы в ноль нигде, так как оно было бы суммой ненулевого сечения О и сечения p\EdJO. Это завешает доказательство леммы.
Доказательство теоремы
Доказательство. Действительно, пусть ж, у - две точки на Y П С. Будем считать, что эти точки общие, в частности, прямая, проходящая через х и у, не проходит через вершину конуса. Пересечем Y П С гиперплоскостью Н, проходящей через х и у и не содержащей вершину конуса. Так как С П Н - многообразие Сегре, то пересечение Z = Y П (С П Н) будет многообразием, описанным в предложении 2, которое является 1-связным согласно предложению. Наконец, нам понадобится еще одна лемма. Лемма 12. Для любого т и любых двух точек х}у на G существует цепочка проективных подпространств Рт на G; соединяющая х и у, в которой любые два последовательных подпространства пересекаются.
Доказательство. Это следует из того, что грассманиан G(k,n) 1-связен: на G(k,n) любые две точки можно связать цепочкой из min(A;,n — к) прямых, см. [1]. В то же время, любая прямая на G(k,n) лежит в некоторых подпространствах fk l и f n k l; ([6], Часть 1, Лекция 6, Упражнение 6.9). Доказательство теоремы 9. Приступим к доказательству того, что X 1-связно. Пусть d\,...,di - степени инд-гиперповерхностей Yi,...,Y/, и пусть Y = Pl =1Yj. Согласно многомерной теореме Безу ([ ], Chapter I, 7, Theorem 7.7) для всякого проективного подпространства Рп (п /) все неприводимые компоненты пересечения Р П Y имеют степень не больше d = d\ ... d\. Кроме того, коразмерность всех этих компонент в Рп не больше /. Положим N = 2ld\ ... d\. Пусть х и у - две точки на X. Наша цель - построить цепочку прямых на X, соединяющую х и у. Согласно лемме 12 существует цепочка из линейных проективных подпространств Р ,... Wf, лежащих на G, соединяющая х и у. Пусть точки х = Х\, Х2,..., Xi+\ = у на G являются вершинами этой цепочки (то есть Р содержит Xj и Xj+\, j = 1,...г, 1 j і). Напомним, что при этом точки Xj для j ф \. и j г + 1 не обязаны леж;ать в X.
Согласно теореме 10 для всякого j пересечение Р П Y является 1-связным. Таким образом, для построения цепочки проективных прямых, идущей от х = Х\ до Xi+\ = у, достаточно показать, что для всякого j существует цепочка прямых, соединяющая какую-нибудь точку из Р П Y с какой-нибудь точкой из Р і П Y . Выведем последний факт из следствия 4. Рассмотрим объединение Cj+i всех прямых на G, проходящих через точку Xj+\. Это объединение является конусом над произведением Р00 х Р00 , вложенным по Сегре. Безусловно, оба пространства Р и P i лежат в Cj+i. По следствию 4 пространство Cj+i П Y является 1-связным, следовательно, любую пару точек из Р П Y и Р і П Y можно соединить цепочкой прямых, лежащих в Cj+i П Y . П 4.3. Доказательство 2-связности X Из теоремы 9 выведем теорему 8.
Доказательство теоремы 8. Чтобы доказать, что X 2-связно, заметим, что для любых двух прямых /,/ на X, пересекающихся в точке ж, найдется набор прямых / = 1\,І2, ...,ln-i,ln = I і проходящих через х, таких, что для всякого і прямые /І, /j__i лежат в плоскости Р , содержащейся в X. Это утверждение эквивалентно тому, что база семейства прямых, проходящих через х Є X, 1-связна, и вытекает из предложения 2. Действительно, база семейства прямых, проходящих через х Є X, является пересечением вложенного по Сегре P00 х P00 с базой семейства прямых, проходящих через х на Y, а последняя база имеет конечную коразмерность и степень.
Таким образом, всякую цепочку прямых на X можно дополнить, вставив веер прямых в каждую вершину цепочки. Это доказывает 2-связность. 4.4. Доказательство равномерности расслоения Е Наконец, чтобы доказать теорему 7, нам потребуется некоторая информация о схемах Фано (см. [?]) полных пересечений в Рп. Мы докажем следующую лемму и следствия из нее. Лемма 13. Пусть УЇ,...,У/ - гиперповерхности степеней d\,...,di в Рп. Пусть У = Уі П ... П У/ и к - подпространство в Y. Тогда если »- -i E(J + ; то существует подпространство fk+l с Y такое, что к С тЫг+1 Доказательство. Понятно, что достаточно доказать лемму для случая, когда Y является гиперповерхностью степени d. = 0 так, . ВсеІГГЯ тот 3CL1V1C j і diixj ± Введем на Рп координаты (хо : ... : Xk . Xk+i : ... что Р задается системой уравнений Xk+i = ... = хп vk і (к + 1)-мерные подпространства, которые содержат проективное подпространство f n k l. При этом (xk+i однородные координаты в f n k l. Пусть теперь некоторый многочлен fd степени d от (хо : ... : хп) обращается в ноль на Р . Мы докажем, что fd обнуляется также на некотором подпространстве fk+l, содержащем к .
Линейно тривиальное расслоение тривиально
Обозначим через / = (io,...,ij ) Є Z набор неотрицательных чисел, удовлетворяющих условию 0 /2-ij d — 1. Тогда можно записать fd в следующем виде: Jd — / J XQ ...Xk Jj{Xk+l, Xn), I=(i0,...,ik) гДе // - однородный многочлен степени d — 2- ij от (xk+i : ... : xn). Наконец, рассмотрим в pn-fc-i пересечение ( -і) гиперповерхностей с уравнениями // = 0. Пересечение непусто, так как п - к - 1 (j+J) . Понятно, что линейная оболочка подпространства Р и любой точки в пересечении этих гиперповерхностей дает искомое подпространство fk+l. Из этой леммы, используя индукцию, получаем следствие. Следствие 5. Пусть Yi,...,Yi - инд-гиперповерхности степеней d\, ...,di в Р00 . Пусть Y = Yi П... П Yi, и к - подпространство в Y . Тогда существует такое проективное инд-пространство Р00 С Y, что W С Р00 . Доказательство этого следствия очевидно. Из следствия 5 вытекает следующее утверждение. Следствие 6. Для всякой проективной плоскости Р2 С X существует Р00 С X такое, что выполнено Р2 С Р00. В частности, всякое конечномерное расслоение Е на X расщепляется при ограничении на любую плоскость Р2 С X. Доказательство. Первое утверждение следует непосредственно из следствия 5. Действительно, всякая плоскость Р С X лежит в некотором Р00 в G . Второе утверждение следует из первого по теореме Барта, Ван де Вена [! ] и Тюрина [20].
Теперь перейдем к доказательству равномерности расслоения Е на инд-многообразии X. Доказательство теоремы 7. Любые две прямые на X можно соединить цепочкой плоскостей Р , лежащих в X, в которой соседние Р пересекаются по прямой. По следствию 6 расслоение Е расщепляется на всякой плоскости Р С X, поэтому на всякой плоскости Р расслоение Е имеет одинаковый тип расщепления при ограничении на все прямые в плоскости Р . Отсюда вытекает утверждение теоремы. 5. Расщепление векторных расслоений конечного ранга на X В этой главе мы приведем доказательство главной теоремы. Для начала дадим краткий план доказательства теоремы . 1. Мы докажем, что в векторном расслоении Е есть флаг подрасслоений 0 = Fo С Fi С F2 С ... С Fs = Е, таких, что каждое из фактор-расслоений Fi/Fj_i является подкруткой линейно тривиального расслоения на О (аІ) ДЛЯ 1 і s. 2. Затем мы докажем, что любое конечномерное линейно тривиальное расслоение на X является тривиальным. 3. Наконец, докажем, что расслоение Е расщепляется в сумму 0iFj/Fi_i. Здесь мы будем пользоваться теоремой Кодаиры об обращении в ноль.
В этой главе мы построим флаг подрасслоений в векторном расслоении Е конечного ранга г на полном пересечении X С G конечной коразмерности. Прежде чем делать это формально, мы опишем главную идею. Выберем точку ж Є X и рассмотрим слой Еж расслоения Е над X . Для всякой проективной прямой /, проходящей через X , по теореме Гротендика ([] ], Chapter 1, 2, Theorem 2.1.1) в ограничении Е/ имеется канонический флаг подрасслоений 0 = F0cFi с... cFe = Ei. Таким образом, в Еж возникает флаг подпространств, который мы обозначим F(x,l). Априори флаг F(x,l) может зависеть от прямой /, проходящей через х, но мы докажем, что этого не происходит.
Пусть Вт{х) - база семейства прямых на Хт, проходящих через х, рассматриваемая как приведенная схема. Мы покажем, что отображение из Вт(х) в пространство флагов Еж, сопоставляющее прямой / С Вт{х) флаг F(x,l), является морфизмом для всякого т. После чего мы воспользуемся следующей теоремой.
Теорема 11. Для любого d существует такое число М := M(d), что для всякого т М всякий морфизм из Вт(х) в проективное многообразие размерности меньшей d постоянен. Доказательство теоремы 11 Начнем с анализа базы Вт{х). Напомним, что для і = 1,...,/ число deg УііГа = di, т 1, обозначает степень гиперповерхности YijTn. Обозначим Р т 2 проективизированное касательное пространство в точке х к плюккеровому пространству Р -1.
Предложение 3. Вт(х) задается пересечением fkm l хПт кт 1 с di гиперповерхностями из Р т 2, степени которых не больше maxj(rfj). Доказательство. База семейства прямых, проходящих через точку х на грассманиане G(km,nm), есть Pfcm_1 х Р"- -1. Поэтому достаточно доказать, что для всякого і множество прямых, лежащих на У ;ГП и проходящих через х, является пересечением d{ гиперповерхностей в Р т 2. Введем однородные координаты (ZQ : Z\ : ...) на fNm l. Пусть х = (1 : 0 : .. : 0), тогда (z\ : z i : ...) это однородные координаты на Рх Запишем уравнение гиперповерхности У то в виде F = FdXzi : z2 : ...) + zQFdi l(zi : z2 : ...) + ... + z 1F1(z1 : z2 : ...) = 0, тогда многообразие прямых из Y m, проходящих через х, задается в Р т 2 системой di уравнений Fd.(zi : z2 : ...) = Fd._i{zi : z2 : ...) = ... = 0 степеней di di — 1,..., 1 соответственно. Это доказывает наше утверждение. Доказательство теоремы 11. Заметим, что для любого d существует такое число М, что для всякого т М выполняются следующие два условия: 1) Многообразие Вт(х) является 1-связным. Это следует из предложения 2 вместе с предложением 3. 2) Всякая проективная прямая в проективном подпространстве Р Это следует из леммы 13 Заметим, что проекция р : ф(Х) — Y является изоморфизмом ([7], глава II, 4, теорема 2), так как проекция р является биективным морфизмом и по условиям леммы Y гладко. Искомый морфизм / : Y — Z задается композицией f = тг о р 1.